dec 17

Herfst-symposium in zes beelden

Hé, jullie hebben nog een verslag te goed! Namelijk van het herfst-symposium “Determinisme & Indeterminisme in de Fysica” dat ik organiseerde op woensdag 26 november 2014 in Groningen. Dit doe ik aan de hand van zes foto’s.

Zes foto's van het symposium.

Deze foto’s werden tijdens het symposium gemaakt door onze voorzitter Fred Muller.

Foto (1) – De middag werd geopend door Fred Muller (U Utrecht; voorzitter NVWF) en door mij (in de hoedanigheid van secretaris van de NVWF en projectleider Veni).

~

Voor de pauze: twee presentaties over (in-)determinisme in de klassieke fysica.

Foto (2)Dennis Dieks (U Utrecht) gaf een presentatie over “Determinisme en Wetmatigheid”. Eerst legde hij uit dat hij met determinisme (in de natuurwetenschap) een eigenschap van de theorie bedoelt. Over de wereld kan eventueel enkel iets gezegd worden via zo’n theorie. Bovendien houdt determinisme niet noodzakelijk voorspelbaarheid in.

Vervolgens stelde Dieks zich de vraag of Newtoniaanse mechanica deterministisch is. Dit lijkt misschien een vreemde vraag: de klassieke mechanica van Newton is immers het schoolvoorbeeld van een deterministische theorie! Recent is in de wetenschapsfilosofie (met name door John Norton) echter aangevoerd dat dit folkore is: er zijn differentiaalvergelijkingen die fysisch geïnterpreteerd kunnen worden maar die (voor welbepaalde beginvoorwaarden) geen unieke oplossing hebben. Dieks is echter van mening dat de randvoorwaarden even belangrijk zijn als de ‘wetten’ en dat men zich enkel van het geheel (theorie plus randvoorwaarden) moet afvragen of het deterministisch is. Op deze manier tracht hij te voorkomen dat de notie van determinisme trivialiseert.
Hij sloot af met verdere bedenkingen over de notie van natuurwetten.

*** Meer details vind je in de slides van de presentatie van Dennis Dieks. ***

DeWet.

Als de wet het zegt…

~

Foto (4)Marij van Strien (Max Planck Institute for the History of Science, Berlijn) presenteerde enkele “Discussies over (in-)determinisme in de tijd van Laplace”. Zij besprak dus de ideeën over metafysica en continuïteit bij auteurs uit de achttiende en negentiende eeuw.

In zijn beroemde Essai bespreekt Laplace een intellect (later de ‘demon van Laplace’ genoemd) dat in staat zou zijn om de toestand van de wereld in het volgende moment (en eender welk toekomstig of verleden ogenblik) te bepalen op basis van een volledige kennis van de huidige toestand. Van Strien plaatst een aantal kanttekeningen bij deze passage: andere auteurs hebben eerder en preciezer over dit idee van gedetermineerdheid geschreven. Dat de passage vrij slordig geformuleerd is en dat het idee erin niet origineel is, hoeft ons niet te verbazen als we in rekening brengen dat hij afkomstig is uit het Essai: een populariserende tekst over kansrekening. Bovendien merkt Van Strien op dat de visie van Laplace beïnvloed is door de Leibniziaanse metafysica, met name waar hij een beroep doet op het principe van voldoende grond.

Émilie du Châtelet.Du Châtelet ging op zoek naar extra voorwaarden, naast de bewegingsvergelijkingen, waaraan de beweging moet voldoen opdat gedetermineerdheid van de volgende toestand uit de vorige wordt bekomen. Ze nam aan dat alle natuurlijke processen continu verlopen en dat dit determinisme verzekert. Deze continuïteitswet sluit bijvoorbeeld botsingen tussen (perfect) harde lichamen uit. Bij zo’n botsing treedt er immers een instantane omkering op van de richting van de snelheden, wat samengaat met een discontinuïteit van de versnelling.

Boscovich gaf in 1758 een definitie van gedetermineerdheid – preciezer dan de informele verwoording van Laplace en zonder beroep te doen op Leibniziaanse metafysica. Ook hij stelde een strenge continuïteitseis voor om determinisme te verzekeren: zijn voorstel sluit botsingen tussen perfect harde lichamen uit (net als bij Du Châtelet), maar heeft bijvoorbeeld ook problemen met de situatie waarin iets recht omhoog gegooid wordt.

*** Meer details vind je in de slides van de presentatie van Marij van Strien. ***

~

Na de pauze: twee presentaties over (in-)determinisme in de kwantumfysica.

Foto (5)Ronnie Hermens (Ru Groningen) gaf een presentatie met als titel “Indeterminisme en waarschijnlijkheid in de quantamechanica” (zijn alternatieve benaming voor ‘kwantummechanica’: zie ook dit bericht). Hij begon zijn presentatie eerst met een verkenning van mogelijke invalshoeken voor het onderwerp.

In de rest van de presentatie stonden de Bell-ongelijkheden centraal. Het artikel van Bell is in 1964 verschenen, precies 50 jaar geleden dus, en het wordt per vijf jaar steeds meer geciteerd. Zoals bij elk theoretisch resultaat hangt ook de afleiding van de Bell-ongelijkheden af van een aantal aannames. Diverse auteurs hebben echter een andere analyse gemaakt van wat die aannames in dit geval zijn. Hermens besprak eerst de analyse van Earman (1986) en dan twee recentere publicaties: van Cator en Landsman (2014) en van Maudlin (2014).

Hermens komt tot de conclusie dat er in feite verschillende varianten zijn van ‘de stelling van Bell’. Wat betreft de determinisme-kwestie (het onderwerp van het symposium) is de analyse van Cator en Landsman (die determinisme als één van de aannames opnemen) informatief, wat niet geldt voor de analyse van Maudlin.

*** Meer details vind je in de slides van de presentatie van Ronnie Hermens. ***

~

Foto (3)Gerard ’t Hooft (U Utrecht) gaf een lezing over “Kwantummechanica en Cellulaire Automaten: de CA interpretatie”. Hij begint met de observatie dat determinisme een kwestie is van alles of niets. Een deterministische theorie kan alsnog onvoorspelbaar zijn: dat is het geval bij deterministische chaos. Het idee van ’t Hooft is nu dat de onvoorspelbaarheid van de kwantummechanica van dezelfde vorm zou kunnen zijn: dat wil zeggen dat er een onderliggende theorie is die het universum op een nog kleinere schaal beschrijft en dit op een discrete, lokaal deterministische manier. De variabelen in deze theorie zijn ontologisch en commuteren altijd; in het Engels noemt t’Hooft ze ‘beables’ (naar Bell). Op die kleine schaal werkt het universum dan als een cellulaire automaat (CA), terwijl het op een grotere schaal nog steeds beschreven kan worden met kwantumtheorie.

Met enkel kennis op de schaal van de kwantummechanica is het echter niet mogelijk om de juiste CA-theorie te selecteren. We kennen daarmee namelijk onvoldoende details om de ontologische basis te bepalen. Hierdoor kan de theorie enkel worden uitgeschreven in termen van ‘sjablonen’ (superposities van de – tot op heden onbekende – ontologische toestanden).
Het beschrijven van macroscopische toestanden wordt in deze aanpak een kwestie van statistiek in plaats van het gebruikelijke verhaal van decoherentie.

Aangezien dit een deterministische theorie is, ligt op voorhand vast welke experimenten er gedaan zullen worden. Dit wordt ook wel superdeterminisme genoemd, hoewel het eigenlijk geen bijkomende aanname betreft: alles voldoet aan dezelfde wetten. Dit blijft echter praktisch onvoorspelbaar.

*** Over de aanpak van ’t Hooft verscheen er eerder een toegankelijk stuk bij Kennislink.***

~

Foto (6) – Om de middag af te sluiten werd er een forum georganiseerd, waarbij de sprekers over gemeenschappelijke thema’s discussieerden aan de hand van vragen uit het publiek.

Persoonlijke noot: het voelde die hele dag alsof ik jarig was. Ik had namelijk een aantal mensen uitgenodigd, ze brachten allemaal een cadeau mee (in de vorm van een mooi verhaal) en achteraf gingen we rustig iets eten en napraten. Zo ging het forum dus verder na het officiële programma. En, nee, hier zijn geen foto’s van. ;-)

Dankbetuiging: Ik ben het NWO dankbaar voor financiële steun.

Aanvulling (22 december 2014):

Het verslag staat nu ook in pdf-vorm op de NVWF-website: link.

dec 14

Boek onder de kerstboom: “Het exacte verhaal”

Deze week zat er een pakje in de bus met daarin het nieuwe boek van ionica Smeets. “Het exacte verhaal” is een spoedcursus wetenschapscommunicatie voor (hoofdzakelijk) exacte wetenschappers. Ik heb het gewonnen met een Twitteractie van uitgeverij Nieuwezijds – en wel met deze inzending. Daar was ik er erg blij mee, zoals je op de eerste foto ziet.

Blij met het nieuwe boek van Ionica Smeets.

Blij met het nieuwe boek van Ionica Smeets…

Ik begon meteen in het boek te kijken: eerst de index, dan het eerste hoofdstuk, dan de inhoudsopgave. Het ging dus van achter naar voor en zo had ik niet eens meteen gezien dat er boodschap van Ionica op het schutblad stond. Daar werd ik nog blijer van, zoals je op de tweede foto ziet. (Met dank aan Danny voor het maken van de foto’s. En voor wie het zich zou afvragen, de kerstkrans op de foto’s is gebreid door mijn moeder.)

Blij met het nieuwe boek van Ionica Smeets.

…en met de inscriptie op het schutblad: “Best Sylvia, Veel succes met (schrijven over) fysica! Alle goeds, Ionica”.

Het boek leest als een trein doordat er veel concrete voorbeelden en citaten in staan. Voor het boek interviewde Ionica Smeets namelijk een aantal bekende Nederlandse wetenschapscommunicatoren en er passeert zelfs één Vlaming de revue: Lieven Scheire. Hoewel “Het exacte verhaal” dus zeer vlot geschreven is, neem ik me voor om de hoofdstukken juist niet te snel achter elkaar te lezen, zodat ik de tijd heb om ook echt iets te doen met de vele tips en ideeën die er voorbijkomen. Het kan vast geen kwaad om één tip uit het boek hier te vermelden:

“Kies bij popularisatie voor onderwerpen waarover je op feestjes graag praat.”

Met de feestdagen in het vooruitzicht is dat alvast een idee dat ik in de praktijk ga proberen brengen bij mijn volgende Eos-column.

Kortom, tot nu toe bevalt het boek me alleszins veel beter dan de vorige communicatiecursus die ik heb bijgewoond. ;-)

dec 03

Brownie uit de microgolfoven

Chocoladecake in een mok.Gelukstip voor zoetebekken, ideaal voor deze tijd van het jaar: een warm vieruurtje. :-)

Dit jaar maakte ik voor het eerst in mijn leven een brownie in a mug of dus een chocoladecake in een mok. Het recept was eenvoudig en zelfs haalbaar voor mij. (Koken is niet mijn sterkste kant, zoals je je misschien herinnert.) Het resultaat was snel klaar en zeer lekker. Daarom wil ik het hier met jullie delen.

Het idee om een brownie te maken in de microgolfoven was ik al meermaals tegengekomen op het internet. Ik ging aan de slag op basis van dit recept, enigszins aangepast op basis van deze reactie.

Ingrediënten

2 eetlepels bakboter

2 eetlepels melk

4 eetlepels bloem

3 eetlepels suikers

2 eetlepels pure cacao*

1 snuifje zout

Optioneel:

– voor in het beslag: 1 teelepel gevriesdroogde koffie (versterkt de chocoladesmaak!) of vanille of kaneel of …

– om er achteraf bij te doen: schepijs, slagroom, chocoladesaus, pepernoten, …

*Poeder voor chocolademelk bevat meer suiker (en andere ingrediënten) dan cacao. Voor dit recept kun je de juiste verhouding dus enkel bekomen als je pure cacao gebruikt.

Werkwijze

– Neem een mok.

– Doe eerst de boter erin en laat die smelten (zo’n 20 seconden in de microgolfoven**).

– Voeg de melk toe.

– Voeg dan één voor één alle droge ingrediënten toe en roer tussendoor telkens met een vork.

– Uiteindelijk heb je een zeer dik beslag. Zet dit gedurende 1 minuut in de microgolfoven op de hoogste stand**.

Dat is alles! Natuurlijk kan je daarna nog extra zoetigheid toevoegen.

**De vereiste tijd hangt uiteraard af van het vermogen van de microgolfoven, maar ook van het materiaal van de mok. Als de mok erg heet wordt, moet de boter langer staan en het baksel juist iets minder lang. Kijk of het goed is na de aangeduide tijd en laat telkens 10 seconden extra staan indien dit nog niet zo is.

Smakelijk!

nov 28

SciShirt? Geen saai shirt!

Vorige week deed op Twitter de hashtag #ThatShirt de ronde. Dit was een reactie op het opvallende T-shirt dat wetenschapper Matt Taylor droeg bij de persconferentie over de komeetlanding. Taylors keuze voor een print vol wulpse vrouwen viel in slechte aarde bij veel twitteraars. Alternatieve hashtags waren dan ook #ShirtGate en #ShirtStorm. Matt Taylor lichtte toe dat het T-shirt ontworpen was door een vriendin van hem (van mysogynie was dus geen sprake), maar hij excuseerde zich toch voor deze keuze, die in de context van een persconferentie over een wetenschappelijke missie ongelukkig was. (Lees meer bij Vincent van Eylen.)

Nochtans zijn er heel veel leuke T-shirts die naar wetenschap verwijzen. Het is dus het kledingsstuk bij uitstek om aan wetenschapspromotie te doen en dit kan ook op een inclusieve manier. Dat idee zette Jacquelyn Gill aan om een nieuwe, positieve hashtag te starten: #scishirt.

Eos lanceerde een oproep om ook in Vlaanderen mee te doen. En daarom maakten we thuis deze foto:

SciShirt.

#SciShirt? Geen saai shirt! ;-)

Danny draagt een T-shirt met daarop twee structuren die hij berekende voor zijn tweede doctoraat. Als cadeautje bij die gelegenheid gaf ik hem een zwarte stropdas, waarop ik dit motief had aangebracht (met behulp van speciaal transferpapier voor donkere stoffen, een printer en een strijkijzer). Als test maakte ik eerst een T-shirt, dat nu dus op de foto staat. Een onderdeel van dit plaatje haalde ook de cover van een wetenschappelijk tijdschrift.

Zelf draag ik een T-shirt met mijn symbool voor oneindig kleine kansen. De vorm P verwijst naar de waarschijnlijkheidsfunctie (van het Latijn probabilitas). De opening van deze letter wordt aangegeven door een lottobal met daarin een lemniscaat, het symbool voor oneindig. (Lees in dit stukje meer over oneindige loterijen.)

En ons zoontje zit tussen ons in zijn pyjama, met daarop een ruimteraket.

SciShirt.

Mijn ontwerp voor SciShirt: een loterij op de natuurlijke getallen heeft oneindig veel ballen; toch zit er geen enkele bal bij waar ‘oneindig’ op staat.

nov 27

Op Twitter: @SylviaFysica

Sinds dinsdag heb ik een Twitter-account: @SylviaFysica. (Een early adopter ben ik bepaald niet; veeleer een laggard.)

Na drie dagen ziet die er zo uit:

TwitterDag3.

Twitter: Dag 3

Bij het symposium gisteren stelde ik voor om de hashtag NVWF te gebruiken voor live-tweets (aangezien #NVWF sinds februari niet meer gebruikt was en het dan nog over bruiloften ging). Dit was de eerste keer dat ik het woord “hashtag” publiekelijk heb uitgesproken en er waren toch twee aanwezigen die dit hebben gedaan: #NVWF. Waarvoor dank. :-)

Ik dacht wel dat ik Twitter leuk zou vinden; juist daarom wou ik er niet aan beginnen (zie ook mijn ervaring met spel 2048). En ja, de eerste verslavingsverschijnselen beginnen op te treden. ;-)

Verder ben ik van plan om nieuwe blogposts steeds op Twitter te melden (behalve deze dan, anders wordt het té meta), dus als je wil kan je me via daar volgen.

Laat me weten als je hier leest en ook op Twitter zit!

nov 25

Jagen op oneindig

Recept voor een kunstwerk:

  • Neem een zeer smalle strook papier en schrijf op de voorkant in één regel een lange wiskundige formule met limieten, sommen en integralen erin. Als je aan het einde van de strook gekomen bent, draai dan de strook om, zodanig dat de tekst op de achterkant nu ondersteboven staat, en ga verder met schrijven tot aan het einde van die regel.
  • Plak de smalle uiteinden van de strook papier zodanig aan elkaar dat de bovenkant van het ene uiteinde aan de onderkant van het andere uiteinde komt en de formule netjes verderloopt. Er ontstaat dan een lus met een draaiing van 180° erin. Dit stelt een Möbiusband voor: een niet-oriënteerbaar oppervlak met maar één oppervlak en één zijde.
  • Geef de papieren lus in haar geheel nog eens een draaiing van 180°mee, waardoor er een soort acht ontstaat. Laat de acht schrikken zodat hij flauwvalt. Dan heb je een lemniscaat: het symbool voor oneindig.
  • Voeg nog een jachthond* toe die eindeloos achter een konijntje aan holt over die Möbiusband (of is het andersom?) en geef de verdwaasde jager het nakijken.

Dit recept is afgekeken van de Poolse grafisch kunstenaar Adam Pekaslki (of Kapitan Kamikaze), die net zo’n werk maakte dat de kaft van een wiskundig vademecum uit 2010 siert.

Jagen op oneindig.

Illustratie door Adam Pekaslki.

Ik vond het plaatje toevallig op internet en het hangt nu op op mijn kantoor. Of het werk een titel heeft, weet ik niet. Zelf zou ik het “Jagen op oneindig” noemen. Er is nog een mooi werk van hem met een soortgelijk thema dat “hortus mathematicus” heet.

* Het moeten niet altijd mieren zijn, zoals bij Escher. Welk soort jachthond mag je zelf kiezen. Er zijn minstens twee verschillende versies van dit werk: terwijl er op de kaft van het vademecum een witte hond met bruine staat, staat er op de versie van de portfolio van de kunstenaar een zwarte hond.

nov 23

Interstellar

Gisteren ben ik met Danny naar Interstellar gaan kijken, de nieuwe sciencefictionfilm van regisseur Christopher Nolan (die ook Inception regiseerde). In deze film wordt er – en daarmee verklap ik nauwelijks iets – gereisd door een wormgat. De visuele voorstelling van het wormgat werd mede ontwikkeld door theoretisch natuurkundige Kip Thorne en volgens Wikipedia zal de computergrafiek voor de film zo aanleiding geven tot twee wetenschappelijke publicaties.

Mijn mini-recensie (met spoilers! en een mening!) vind je hieronder (te lezen door op Show te klikken).

Spoiler Inside SelectShow
Interstellar.

Illustratie over Interstellar. (Bron afbeelding: Robin Davey.)

Aanvulling (27 november 2014)

Muggenzifters, ahoi! :-) Een aantal analyses van Interstellar door wetenschappers die de film hebben gezien:

  • Neil DeGrasse Tyson heeft lof voor de film (met name voor de relativistische effecten zoals tijddilatatie) en ook begrip voor het fictie-aspect.
  • Phil Plait van Bad Astronomy vond enkele fouten in de film, maar zette later enkele van zijn eigen misvattingen hierover recht. Ik vrees echter dat ik het eens ben met zijn uitspraak in het eerste stuk (die eigenlijk losstaat van eventuele wetenschappelijke accuratesse):

    I’d say that the real, basic problem with Interstellar is that it’s a movie that desperately wants to be profound, but simply isn’t.”

  • Nolan zegt over dit type analyses:

    My films are always held to a weirdly high standard for those issues that isn’t applied to everybody else’s films—which I’m fine with.

    en ook nog:

    There have been a bunch of knee-jerk tweets by people who’ve only seen the film once, but to really take on the science of the film, you’re going to need to sit down with the film for a bit and probably also read Kip’s book.

  • En een infographic kan natuurlijk niet ontbreken.

nov 20

Nanokunst

Danny stuurde me een linkje naar een pagina met deze afbeelding:

STM poster.

STM poster

De poster is gemaakt door Jessie Flatt: deze studente aan de Universiteit van North Dakota studeerde aanvankelijk ingenieurswetenschappen, maar stapte over naar de richting grafisch ontwerp. Bij professor Lucy Ganje kregen zij en de haar medestudenten de opdracht om een poster te maken over wetenschap en daarbij gebruik te maken van meetresultaten van de scanning-tunnelingmicroscoop (STM) van de groep van professor Nuri Oncel.

De groep van Oncel werkt ook mee aan een soortgelijk project met middelbare scholieren: NanoART. Dat lijkt me een fijne activiteit en het sluit goed aan bij mijn ideeën over begrijpend tekenen. :-)

Het citaat op de poster van Jessie Flatt is van Will Durant:

Every science begins as philosophy and ends as art.”

(“Alle wetenschap begint als filosofie en eindigt als kunst.”)

Dit citaat is al vaker gebruikt voor posters: zie bijvoorbeeld dit plaatje van Lisa DeJohn op Etsy.

Aanvulling (4 december 2014):

Nog een citaat over wetenschap en kunst, ditmaal van Phil Plait (van Bad Astronomy):

Citaat over wetenschap en kunst.

Citaat over wetenschap en kunst. (Bron afbeelding.)

Poging tot vertaling:

“Zoals gewoonlijk moet ik wrang lachen als ik hoor dat mensen proberen om kunst van wetenschap te onderscheiden. Het universum is beide, mensen. Je kan proberen om ze uit elkaar te trekken, maar dat gaat niet, omdat het kunstige van het universum voor altijd verweven is met hoe het werkt. Ze zijn elkaars brandstof. De wetenschap is de reden waarom de kunst mooi is en de kunst is één van de redenen waarom we de wetenschap nastreven.”

nov 05

Verstrooidheidsindex

Baudoin.Oktober is zombiemaand op planeet Academia.

Op 1 oktober ben ik in Leuven begonnen als onderzoeksprofessor (zie eerder). Oktober is altijd een drukke maand voor academici, maar als je van universiteit en van functie verandert, is het nog drukker met extra administratieve zaken, infosessies en vergaderingen.

Ondertussen probeer ik mijn onderzoek op peil te houden (daar ben ik tenslotte voor aangesteld). Verder heb ik lessen om voor te bereiden, een symposium om te organiseren, een doctoraatsjury om in te zetelen en een column om te schrijven. Ondertussen ging Danny een week op cursus in Zwitserland en moest ik thuis het fort alleen staande houden. Hier was er een lief kindje met veel koorts en zijn verjaardagsfeestje om voor te bereiden. (Gelukkig stonden zijn oma en opa klaar om voor hem te zorgen toen hij te ziek was om naar de opvang te gaan, terwijl ik naar Leuven moest. Ik ben mijn ouders heel dankbaar!) Bloggen schoot er een paar weken bij in, maar zoals je merkt heb ik dat ook weer opgepikt.

Het resultaat is dat ik de laatste weken te weinig geslapen heb en dat heeft zo zijn gevolgen:

  • Enerzijds staan de balken onder mijn ogen al geruime tijd op zwart. Ik doe dan maar of ik een personage ben uit een boek van mijn favoriete striptekenaar Edmond Baudoin (zie plaatje): die zien er ook vaak uit alsof ze hebben gehuild met mascara op. Ik draag geen mascara, maar wel een bril en ik hoop dat de balken als slagschaduw worden geïnterpreteerd. Die schim erachter, dat ben ik. ;-)
  • Anderzijds staat mijn verstrooidheidsindex op alarmfase rood. Ik merk bijvoorbeeld dat ik de radio steeds luider zet, omdat er anders helemaal niets van doordringt. Of ik merk dat ik niets kan navertellen van een verhaaltje dat ik net zelf heb voorgelezen (snelwegtrance voor gevorderden). Ook kwam ik met mijn arm vast te zitten tussen de spijlen van het kinderbed en kon ik me niet herinneren hoe dat zo gekomen was. En in gedachten verzonken loop ik geregeld tegen meubels en deurstijlen aan. Au!

Zombieverbod.Nu ik dichter bij huis werk, kan ik vaker naar kantoor gaan. Ik vind het fijn om af en toe met collega’s te kunnen gaan lunchen en ook om weer college te geven. Het was wel wennen om opnieuw zo veel onderweg te zijn. Stilaan vind ik echter een nieuw ritme en op de trein kan ik heel geconcentreerd lezen, waardoor ook mijn reistijd zowel aangenaam als nuttig besteed wordt.

Halloween is voorbij*, dus die zombie-look mag nu wel weg.

* “Trallowien” zegt ons kleintje. :-)

nov 04

Koordeprobleem

Op zondag kreeg ik een vraag in mijn mailbox van David Vandormael, die ik hier (met zijn toestemming) deel. Hij had onlangs het boekje “Mathematische denkspelletjes” van Robert Müller op de kop getikt. Daarin vond hij op pagina 81 een puzzel over kansrekening:

“Vanuit een punt P op de omtrek van een cirkel trekt men een willekeurige lijn PQ. Hoe groot is de waarschijnlijkheid dat een willekeurige andere lijn die vanuit P wordt getrokken, korter is dan PQ?

Koordeprobleem.

Figuur 1: Het koordeprobleem uit het boekje van Robert Müller: de opgave (links) en de constructie voor de oplossing (midden en rechts). (Gebaseerd op een scan die bij DV’s e-mail zat.)

In zijn e-mail, vermeldde David Vandormael ook de oplossing uit het boek:

“Men lost dat heel mooi op de volgend manier op: we trekken vanuit P een lijn PQ’, die even lang is als PQ. Het is dan eenvoudig in te zien dat een willekeurige lijn PZ langer is dan PQ, als Z tussen Q en Q’ op de omtrek van de cirkel ligt (groen op de tekening). Alle andere lijnen zoals PK, zijn korter dan PQ (rood op de tekening). Hieruit volgt dat de verhouding tussen de lengte van de cirkelboog die wordt begrensd door Q, P en Q’ en de omtrek van de cirkel de waarschijnlijkheid aangeeft.

Als bijvoorbeeld PQ gelijk is aan de straal van de aangegeven cirkelboog, dan is de waarschijnlijkheid dat een willekeurige koorde korter dan PQ is, 1/3. Men kan namelijk een straal van een cirkel precies zes maal afpassen op de omtrek van de cirkel (dat is de constructiemethode van de regelmatige zeshoek).”

Figuur 2 is een illustratie van dit speciale geval.

Koordeprobleem.

Figuur 2: Speciaal geval, waarbij de lengte van PQ gelijk is aan de straal van de cirkel (R).

Tot hiertoe was hem alles duidelijk. Maar toen bedacht hij zelf een andere vraag bij deze opgave, waar infinitesimale kansen bij komen kijken. Dit was ook de reden dat hij bij mij kwam aankloppen:

“[T]oen kwam bij mij de vraag op wat de kans is dat een willekeurige lijn getrokken vanuit P op de omtrek van die cirkel, precies even lang is als PQ (dus niet korter of langer). En dan bleek dat er maar precies 1 zo’n lijn is op oneindig veel lijnen (namelijk PQ’ is precies even lang als PQ) of als we het met lengtes doen: de kans is de verhouding van de lengte op de cirkelomtrek van 1 zo’n lijn op de totale omtrek van de cirkel: dus een oneindig kleine lengte/de lengte van de cirkelomtrek wat dus volgens mij overeenkomt met een oneindig kleine kans of anders gezegd: een kans nul (maar niet niks want er is wel 1 zo’n lijn en dus is er wel een heel kleine of infinitesimale kans). Is dit juist?

Joseph Bertrand.

~

In mijn antwoord vertelde ik eerst eerst iets over oorspronkelijke opgave en dan iets over zijn vraag rond infinitesimale kansen.

~

Eerst iets over de originele puzzel. Zo’n lijnstuk dat twee punten op een cirkel met elkaar verbindt, noemen wiskundigen een koorde en dit vraagstuk is verwant aan het koordeprobleem van Bertrand. (Dat is dezelfde Bertrand als die van het doosjesprobleem). Bij het koordeprobleem van Bertrand luidt de opgave als volgt:

Beschouw een gelijkzijdige driehoek en de omgeschreven cirkel. Veronderstel dat er een willekeurige koorde van de cirkel gekozen wordt. Wat is de kans dat de koorde langer is dan een zijde van de driehoek?

Hierbij is er discussie mogelijk over wat het juiste antwoord is. De ambiguïteit ontstaat doordat het niet helemaal duidelijk is hoe we “een willekeurige koorde van de cirkel” moeten interpreteren. Ik doceer dit vraagstuk in mijn les over de geometrische interpretatie van kansrekening en het indifferentieprincipe van Laplace. Drie verschillende redeneringen leiden tot drie verschillende resultaten: 1/2, 1/3, of 1/4. (De Nederlandstalige Wikipedia-pagina volstaat voor de illustraties; meer context op de Engelstalige Wikipedia-pagina).

Koordeprobleem.

Figuur 3: Het koordeprobleem van Bertrand.

Het vraagstuk uit het puzzelboekje, verschilt op drie punten van de Bertrands koordeprobleem:

  • het gaat om de kans dat een andere koorde korter is dan een gegeven koorde, terwijl in het vraagstuk van Bertrand naar de kans op een langere koorde wordt gevraagd;
  • de referentielengte (lengte van de eerste koorde) is er tussen 0 (nul) en 2 \times R (diameter van de cirkel), terwijl dit bij de koordeparadox \sqrt{3} \times R is (zijde van de ingeschreven gelijkzijdige driehoek);
  • er wordt één punt op de cirkel vast gekozen, terwijl bij de koordeparadox beide eindpunten vrij zijn.

Vooral deze laatste aanpassing is van belang om de ambiguïteit in het originele probleem weg te nemen. We moeten niet weten wat “een willekeurige koorde van de cirkel” is, maar enkel wat “een willekeurige andere lijn die vanuit P wordt getrokken” is. Daarbij lijkt het duidelijk dat we een tweede willekeurig gekozen punt van de cirkel moeten beschouwen. (Of een willekeurige hoek ten opzichte van de raaklijn aan de cirkel in punt P tussen 0 en pi, maar dat komt op hetzelfde neer.) Het antwoord kan dan worden bekomen zoals hoger aangegeven (dat wil zeggen: als de verhouding tussen de relevante booglengte en de omtrek van de cirkel). Voor het speciale geval waarbij de lengte van PQ R is (Figuur 2), is de kans dat een willekeurige andere koorde korter is dan PQ 1/3; de kans dat deze langer is, is dus 2/3. Voor het geval waarbij de lengte van PQ \sqrt{3} \times R is (Figuur 3), is de kans dat een willekeurige andere koorde langer is dan PQ 1/3. (Dus de “willekeurige eindpunten”-methode in de Wikipedia-pagina over de koordeparadox.)

~

Koordeprobleem.

Figuur 4: Een alternatieve vraag over koorden: de opgave (links) en de constructie voor de oplossing (rechts).

Dan iets over de bedenking rond infinitesimale kansen. Als we vragen naar de kans op een andere koorde die dezelfde lengte heeft als PQ, dan is er inderdaad één mogelijkheid op succes uit (overaftelbaar) oneindig veel mogelijkheden, waarbij al deze mogelijkheden een gelijke kans hebben. Met de klassieke kansrekening is deze kans nul. Er is ook een alternatieve kansrekening mogelijk (waar ik zelf aan werk: zie hier en hier), waarin deze kans een infinitesimaal strikt groter dan nul is. Terwijl de klassieke kansrekening met reële getallen werkt, werkt de alternatieve theorie met hyperreële getallen. Het reële getal nul is de dichtste benadering van alle mogelijke infinitesimale hyperreële getallen.

De term “infinitesimale kans” kan trouwens ook worden gebruikt in combinatie met de klassieke kansrekening: daarbij duidt deze term gebeurtenissen aan die (1) kans nul hebben, maar die (2) niet logisch onmogelijk zijn. (Bij dit vraagstuk zou een voorbeeld van een logisch onmogelijke gebeurtenis zijn: een koorde die zowel strikt kleiner is dan PQ en strikt groter is dan PQ; dit kan natuurlijk niet.) En dit komt dan precies overeen met de gevallen waarin de alternatieve kansrekening een strikt positieve, infinitesimale kans aan de gebeurtenis toekent. (Iets dat logisch onmogelijk is, krijgt ook in de alternatieve theorie kans nul.)

~

Kortom, de vraag die David Vandormael bedacht, is inderdaad een voorbeeld van een infinitesimale kans.

Oudere berichten «