mei 08

ULTRAFUN, with a holistic puff

De afgelopen tijd loop ik vaak tegen de frustrerende blog-paradox aan: van veel verschillende dingen doen krijg je inspiratie, maar je hebt haast geen tijd om er iets mee te doen.

Daarom een fragmentarische update over de voorbije maanden, geschreven op de trein tussen Groningen en Gent, in de geheel onhippe vorm van enkele wist-je-datjes.

Wist je dat…
- er al maanden een bestand op mijn bureaublad staat dat “ULTRAFUN” heet?
- dit niet de hele bestandsnaam is, maar het eigenlijk ULTRAFUNCTIONS_40.pdf is?

- de zin “Kennis krijgt een holistisch trekje” volgens Google Translate naar het Engels te vertalen is als: “Knowledge will gain a holistic puff“? :-D

- ons zoontje twee maanden geleden al de eerste brief kreeg van een school die hem graag wil inschrijven?
- ze het over het eerste middelbaar hadden? :-)
- wij niet wisten dat het zó erg was met die wachtlijsten?! :-O

- ik onlangs een e-mail kreeg van een heuse morosoof?
- dit na twee jaar in dienst van een filosofische faculteit hoog tijd werd?
- deze meneer een theorie verdedigt waarin het Nederlands herleid wordt tot het gekwaak van kikkers?

- ik niet antwoord op e-mails die gericht zijn aan “Geachte heer Wenmackers”?
- voorgaande opmerking niet gerelateerd is aan het bericht van de morosoof?
- deze aanhef wel afkomstig is van iemand die met veel vragen lijkt te zitten over het universum en waarnemers en waarschijnlijkheid?
- ik stiekem toch sympathie koester voor mensen die wiskunde consequent ‘mathematica’ noemen?

- Danny wist te melden dat zijn stresstensor weer in gang is geschoten?
- dit goed nieuws is?
- onze gesprekken als maar bizarrer worden?

En nu terug aan het werk, verdorie!

apr 29

Er ging bij ons geen lampje branden op “De Lampadeire Quiz”

Dit lampje brandde wél op de 'Lampadeire Quiz'.Een handelsingenieur, een master in toerisme, een natuurkundige en een filosoof deden mee aan een quiz. Het zou het begin van een grap kunnen zijn. Hilarisch werd het alleszins.

Het was vrijdagavond en we gaven present op “De Lampadeire Quiz”, die georganiseerd werd door ouderraad “Het kersenpitje”. Onze ploeg bestond uit Wouter, Kristien, Danny en ik. We stonden er goed voor, dachten we: met Wouter hadden we een chef sport in huis, Kristien kent haar aardrijkskunde en Danny en ik onze wetenschappen. Gaandeweg werd echter duidelijk dat het hebben van zowel universitaire diploma’s als jonge kinderen in huis een gevaarlijke combinatie vormde. Desastreuze quizresultaten waren het gevolg. Die diploma’s zorgden ervoor dat we het systematisch veel te ver gingen zoeken. En die kinderen zijn de reden – of althans ons excuus – waarom niemand van ons up-to-date was met de actualiteit. (Ah ja, want tijdens het journaal van zeven uur hebben die kinderen honger, of moeten ze gaan slapen.)

Onze algmene kennis werd gewogen en te licht bevonden op de 'Lampadeire Quiz'.

Onze algmene kennis werd gewogen en te licht bevonden op de ‘Lampadeire Quiz’. Linksboven: streekbier (een “exporke”). Rechtsboven: onze prijs. Onder: onze tafel met bladen vol berekeningen.

Hieronder vijf vragen, waarbij we grotendeels grandioos de mist in gingen. Na de vouw zowel ons antwoord als het antwoord volgens de jury.

  1. Fotovraag. Zoek het verband tussen de vier afbeeldingen (je ziet het blad met de opgave ook op de foto hierboven):
    (1) de rode Teletubby (Po),  (2) een flesje Maes (vermoedelijk alcoholvrij, NA), (3) een CD-hoesje van Johnny Jordaan, (4) Fe.
  2. Van welk spreekwoord worden hier enkel de klinkers weergegeven:
    A ee oe ee o ee ee, oo e ee e ee ee.
  3. Welke letter hoort op de plaats van het vraagteken:
    W L H O D P V H ?
  4. Los deze droedel op:
    24h

    D
  5. Van welke bloem of plant wordt saffraan gemaakt?

Lees verder »

apr 24

Woordenwolk over wetenschap

Aan de Rijksuniversiteit Groningen ging een filosofietraject van start voor Honoursstudenten.Gisteren is er aan de Rijksuniversiteit Groningen een nieuw programma gestart binnen het Honours College, namelijk het traject Philosophy. Hiervoor werden zesentwintig Bachelor-studenten geselecteerd vanuit alle faculteiten (behalve Filosofie zelf) en zij kwamen gisteravond voor het eerst samen. Vóór de les was er een Italiaans buffet in het torentje van het Academiegebouw. Bij deze gelegenheid hoorde natuurlijk een welkomstwoord van onze – ook al gloednieuwe – decaan Lodi Nauta en van de coördinator van het traject, Arnold Veenkamp.

Daarna verhuisden we naar de Zernikezaal (vernoemd naar Frits Zernike, uitvinder van de fasecontrastmicroscoop) en daar was het woord aan mij, want ik mocht de spits afbijten met het vak “Philosophy of Science“. Het Honours-traject staat ook open voor buitenlandse studenten, vandaar dat het hele programma in het Engels gedoceerd wordt.

Als opwarmingsoefening vroeg ik aan mijn studenten om tien woorden op te schrijven die ze associeerden met “science” (“wetenschap”). Doe de oefening gerust zelf thuis mee op een papiertje. Na de vouw vind je de woordenwolk die gebaseerd is op de antwoorden van mijn studenten.

Lees verder »

apr 18

Parallelle universa

Onlangs schreef ik over de veel-werelden-interpretatie van de kwantummechanica en hoe ons universum daarin slechts één tak blijkt te zijn van een veel groter geheel: het multiversum.

Kwantummechanica is niet de enige context waarin de term “parallelle werelden” opduikt binnen de fysica. In onderstaand filmpje (link) van “Minute Physics” worden er drie soorten parallelle werelden uit de doeken gedaan (en op Wikipedia vind je nog meer mogelijkheden):

  1. bubbeluniversa, die zich eigenlijk binnen één en hetzelfde universum bevinden, maar dan op zo’n grote afstand van elkaar (mogelijk door aanhoudende inflatie), dat ze niet binnen dezelfde waarnemingshorizon vallen,
  2. branen uit de supersnarentheorie en de overkoepelende M-theorie,
  3. takken in het multiversum.

Is dit meer dan fantasie of metafysisch gemijmer? Vanaf 3min45′ wordt er in het filmpje ingegaan op mogelijkheden om de drie theorieën te testen. “Fysica is wetenschap, geen filosofie,” volgens de commentaarstem en: “We moeten beweringen doen die in principe getoetst kunnen worden en ze dan toetsen.” Dus, hoe fantastisch sommige hypotheses ook klinken, uiteindelijk beslist het experiment.

apr 16

De paradox van de Schone Slaapster (deel 1)

Doornroosje in de versie van Disney.Jullie kennen vast het sprookje van de Schone Slaapster (“La belle au boi dormant” in de versie van Perrault), ook bekend als Doornroosje (“Dornröschen” in de versie van de gebroeders Grimm). Maar kennen jullie ook de paradox van de Schone Slaapster? De Sleeping Beauty paradox is een probleem uit de filosofie van de kansrekening. Ik heb nu twee jaar na elkaar een vak gegeven dat “Philosophy of Probability” heet. Studenten moeten hier elk vier essays voor schrijven. Ze krijgen een lijst met mogelijke essayvragen en daarnaast mogen ze ook zelf onderwerpen voorstellen. Vorige keer schreef ik al dat de studenten heel uiteenlopende onderwerpen kiezen. Op deze regel is er één uitzondering: bij de derde opdracht staat de paradox van de Schone Slaapster namelijk ook op de lijst en dat is veruit het populairste onderwerp. Hoog tijd dus voor een kennismaking.

Important!

De Schone Slaapster zal weldra in slaap worden gebracht door een heks. Het meisje zal daarna twee dagen slapen. In die tijd zal de heks haar voor één of twee korte perioden wekken. Zodra Doornroosje slaapt, zal de heks namelijk een eerlijk muntstuk opgooien: als het kop is, wekt ze het meisje één keer; als het munt is, doet ze dit twee keer. Na zo’n wekmoment dient de heks een gif toe aan Doornroosje, waardoor die zich niet zal kunnen herinneren dat ze wakker is geweest. De Schone Slaapster is zelf ook op de hoogte van wat er gaat gebeuren.

Stel nu dat de Schone Slaapster juist gewekt is. Ze kan nergens uit afleiden of dit de eerste of de tweede maal is. Wat is nu de kans die de Schone Slaapster moet toekennen aan de mogelijkheid dat de muntworp in kop is geëindigd?

De heks uit Doornroosje in de versie van Disney.Laat me nog even toelichten dat deze puzzel van de Schone Slaapster optreedt in de context van een bepaalde interpretatie van kansen: namelijk kansen als “rationele graden van geloof”. De vraag komt dus hierop neer: in welke mate mag de Schone Slaapster – op het moment dat zij gewekt wordt – geloven dat de muntworp kop is geworden? Wat is er rationeel om te geloven voor iemand in haar situatie?

Denk gerust even na over je eigen antwoord en lees dan verder na de vouw.

 

Lees verder »

apr 08

Plagiaatscanner

Aan de Rijksuniversiteit Groningen wordt een plagiaatscanner gebruikt.Over enkele uren – klokslag middernacht – verstrijkt voor mijn studenten van het vak “Philosophy of Probabilityde deadline voor hun vierde en laatste essayopdracht. Ik ben elke keer nieuwsgierig naar wat ze inleveren. Het zijn allemaal Master-studenten, maar sommigen hebben filosofie gestudeerd, terwijl anderen een achtergrond hebben in de wiskunde (met name kunstmatige intelligentie). Dit levert zeer gevarieerde onderwerpkeuzes op, wat het voor mij natuurlijk des te aangenamer maakt om alles na te lezen.

Aan de Rijksuniversiteit Groningen wordt Nestor als elektronisch leerplatform gebruikt. (Nestor draait op de software van Blackboard, die aan veel universiteiten gebruikt wordt.) Voor mijn cursus gebruik ik het e-platform vooral om presentaties en handouts te archiveren, zodat de studenten mijn dia’s rustig kunnen herbekijken. Ook beschikken de deelnemers die helemaal niet aanwezig kunnen zijn bij een les zo toch over al het gebruikte materiaal.

Sinds dit jaar vraag ik mijn studenten om hun schrijfopdrachten via Nestor in te leveren. Dit betekent onder andere dat mijn mailbox nu niet langer overspoeld raakt bij elke deadline. Enkel dringende vragen komen nog in mijn inbox terecht, zoals wanneer een student twijfelt of een bepaald onderwerp wel voldoende aansluit bij de huidige schrijfopdracht. Intussen staan de al ingeleverde taken rustig op een rij te wachten om door mij beoordeeld te worden.

Via dit systeem gaan de ingestuurde teksten bovendien door een plagiaatscanner (van Ephorus), waarvan ik dan automatisch een rapport te zien krijg. De plagiaatscanner wordt vooral gebruikt als preventieve maatregel: plagiaat ontmoedigen door studenten het gevoel te geven van een grote pakkans. Dat neemt echter niet weg dat de scanner het prima doet, want hij pikt citaten en referenties, die uiteraard ook in andere bronnen voorkomen maar geen plagiaat zijn, er feilloos uit. Gelukkig heb ik tot nu toe nog niemand op echt plagiaat kunnen betrappen.

Wat preventieve maatregelen betreft, doet de universiteit van Bergen het ook niet slecht. Zij lanceerde (in 2010 al) onderstaand filmpje “Et Plagieringseventyr“: “Een plagiaatavontuur”, een kerstvertelling in de stijl van Dickens met Engelstalige ondertitels.

Vannacht zwengel ik de plagiaatscanner dus nog één keer aan. Laat ons hopen dat ik daarna niet wordt bezocht door de geesten uit bovenstaand filmpje.

mrt 31

Kleine publicatie over grote loterijen

Een zonnige dag in Brussel.Deze publicatie verscheen eind vorig jaar al, maar is toen tussen de mazen van het blognet geglipt. In dit korte artikel – dat ook als vierde hoofdstuk in mijn proefschrift voorkomt – vergelijk ik het probleem van de oneindige loterij met de loterijparadox, die optreedt bij een grote maar eindige loterij. Het artikel staat in een boekje dat de proceedings bevat van de “Second Young Researchers Day” (YRD II) voor logica, wetenschapsgescheidenis en -filosofie, die in september 2010 werd gehouden in het Paleis der Academieën in Brussel. (Het was een zonnige dag, zoals je op de kleine foto ziet.)

YRD II Proceedings.

Proceedingsbijdrage: “Ultralarge and infinite lotteries“.

O ja: natuurlijk wens ik aan al mijn bloglezers een vrolijk Pasen.

mrt 29

Het leven te slim af

Klem.Het leven is soms hectisch. Het kan dan als een enorme overwinning voelen wanneer je zelf een creatieve oplossing vindt voor een alledaags probleempje. Dankzij het internet kun je ook gemakkelijk aan inspiratie komen door de oplossingen van andere mensen te lezen. Zoek maar eens naar “life hacks” en je krijgt meteen een hele waslijst aan voorbeelden. Een goede Nederlandstalige term heb ik er nog niet voor gevonden, dus hou ik het voorlopig bij deze omschrijving: “tips om het leven te slim af te zijn”.

Een tijdje geleden zat ik zelf met een vervelend praktisch probleem. Een kinderzitje in de auto monteren kan – afhankelijk van het merk van het zitje en je eigen handigheid – vrij moeilijk zijn. Je moet namelijk de autogordel volledig afrollen om achter het zitje door te kunnen, maar als de gordel tijdens dit manoever per ongeluk een beetje terug oprolt, blokkeert die. Je moet de gordel dan eerst volledig terug oprollen, voor je die terug kunt afrollen. Ondertussen zit je gegarandeerd met een huilende baby, waardoor je je wil haasten en alles nog minder gesmeerd verloopt.

Toen heb ik volgend trucje bedacht. We hebben thuis plastic klemmen die we vooral gebruiken om diepvrieszakjes te sluiten. (In theorie kun je er ook halfvolle zakjes chips mee afsluiten, maar vreemd genoeg hebben we ze daar zelden voor nodig!) Het zou toch mooi zijn als je die op de afgerolde gordel kon klemmen, zodat je je beide handen vrij had om het zitje veilig op de achterbank te plaatsen… En jawel, hoor, dit simpele trucje werkt echt. Na enkele keren rustig een zitje monteren had ik mijn “gordelklem” daar zelfs helemaal niet meer voor nodig. Daarom plaats ik deze tip nu online, als inspiratie voor andere onhandige ouders. :-)

Gordelklem.

Zie hier, een gordelklem. Je kunt ook voor een zwart exemplaar kiezen, zodat de klem minder opvalt in je autointerieur, maar het voordeel van zo’n knalkeur is juist dat je het ding altijd snel terugvindt.

Eén van de internet-memes van het voorbije jaar (in de stijl van Philosoraptor) is ‘Actual advice mallard‘: de wilde mannetjes eend die onderaan het plaatje – op de plaats waar je een grappige clou verwacht – met echt advies op de proppen komt. Hier vind je een kleine selectie met vooral huishoudelijke tips.

Broodsluiting als herkenningsteken aan verschillende stekkers.Nog meer praktische tips voor het dagelijks leven vind je hier. Je kunt bijvoorbeeld je computerkabels uit elkaar houden met behulp van de plastic sluitingen van broodzakken (waar overigens een heuse fylogenetische stamboom van bestaat, die in een medisch tijdschrift verschenen is). Toevallig heeft Greet van Pimpajoentje ook net een blogpost over het labelen van kabels, maar zij heeft er speciale sierdoppen – aka tsjoepkes – voor gekocht. :-)

Het past niet helemaal in dezelfde categorie als het voorgaande, maar het is wel even troostend in chaotische tijden: wanneer je ontdekt dat totaal ongerelateerde voorwerpen precies in elkaar blijken te passen. Daar bestaat natuurlijk een Tumblr-blog voor. Zo’n vondst kan overigens wel tot een praktische tip uitgewerkt worden. Zo passen de wieltjes van het park van ons zoontje precies over de tegels voor de sier-openhaard: een hele plaatswinst in onze living! En als er een muntje past in de holle zijkant van je fietsstuur, dan heb je altijd pasmunt op zak voor een ijsje ergens onderweg. :-)

Andere originele tips zijn altijd welkom in het commentaarvakje.

mrt 27

Op verkenning in het multiversum

Hugh Everett bedacht de veel-werelden-interpretatie van de kwantummechanica.“O – mijn vriend – deze wereld is niet de echte”
Hans Lodeizen (gedicht)

 

In een vorig bericht vermeldde ik terloops de veel-werelden-interpretatie van de kwantummechanica. In 2002 schreef ik mijn masterscriptie (toen nog ‘licentiaatsthesis’ genaamd) over de voor- en nadelen van verschillende interpretaties. Als student in de fysica was de veel-werelden-interpetatie – of many worlds voor de vrienden – alleszins mijn favoriet: volgens het standaardverhaal wordt er bij een meting, waarbij er aanvankelijk meerdere mogelijke uitkomsten zijn, slechts één gerealiseerd (instorting van de golffunctie of collapse). Dit indeterminisme roept vragen op. Waarom deze mogelijkheid en niet een andere? En waren die andere mogelijkheden wel écht mogelijk?

De veel-werelden-interpretatie lost dit elegant op: alle mogelijkheden worden gerealiseerd in parallelle werelden, maar wij zitten als waarnemer in zo’n wereld en zien daarom slechts één mogelijkheid gerealiseerd worden. In andere takken van het multiversum (andere werelden dus) ziet een andere versie van onszelf een alternatieve mogelijkheid gerealiseerd worden. Het multiversum als geheel is deterministisch en de tijdsevolutie ervan verloopt continu. De vragen, die ontstonden in reactie op het indeterminisme van de standaardaanpak, zijn daarmee van de baan, maar dan moet je wel aannemen dat die andere werelden echt bestaan.

PJ Swinkels vroeg zich in een reactie op het vorige bericht af wat Hugh Everett, de bedenker van many worlds, hierover dacht: hebben die andere werelden enige geldigheid buiten de kwantumtheorie om? Wat Everett er zelf over dacht weet ik niet precies, maar zijn oplossing werkt pas als je het multiversum als werkelijkheid aanvaardt. Als prille twintiger deed ik dat met plezier. De andere werelden in het multiversum zijn net zo echt als het universum dat wij waarnemen, zou ik toen gezegd hebben. De mens ging ooit van geo- naar heliocentrisme. Vervolgens bleek ons zonnestelsel er maar één van vele te zijn en zelfs onze Melkweg is maar een doorsnee sterrenstelsel gebleken. Many worlds leek me een natuurlijke volgende stap in dit proces, weg van antropocentrisme.

Een variant van many worlds heet many minds, maar daar moest ik absoluut niets van weten: many minds stelt namelijk de mens (of alleszins de bewuste waarnemer) centraal en dit is juist wat many worlds zo mooi weet te omzeilen. Verder stoorde ik me eraan als many worlds werd uitgelegd aan de hand van alternatieve (menselijke) geschiedenissen, zoals: “Volgens de veel-werelden-interpretatie van de kwantumfysica is er een parallelle wereld waarin Hitler de oorlog won.” (Zie bijvoorbeeld hier.) Dergelijke voorbeelden stoorden me omdat het helemaal niet duidelijk is of een dergelijke alternatieve geschiedenis het gevolg had kunnen zijn van louter kwantumgerelateerde variaties op de geschiedenis zoals wij die kennen. Ook PJ’s suggestie om dit elegante wereldbeeld te vergelijken met de fantasie van fictieschrijvers, of te linken aan de meervoudige facetten van iemands persoonlijkheid – die onder verschillende pseudoniemen tot uiting kunnen komen – zou ik destijds een aanfluiting gevonden hebben.

Interferentie van licht.De veel-werelden-interpretatie past niet enkel een mouw aan het instorten van de golffunctie na een meting, maar kan ook helpen om te begrijpen hoe interferentie werkt. Het vreemde aan interferentie is dat het bijvoorbeeld ook optreedt bij lichtbundels die een zo’n lage intensiteit hebben dat er op ieder ogenblik hoogstens één foton onderweg is tussen de lichtbron en het scherm of de fotografische plaat (waarop uiteindelijk het interferentiepatroon verschijnt). Je kunt je afvragen: waar interfereert zo’n solo-foton dan aan? Volgens de veel-werelden-interpretatie interfereert het foton met fotonen uit parallelle takken van het multiversum. Hoewel er geen communicatie mogelijk is tussen verschillende takken van het multiversum, is er dus wel interactie.

Mijn eerste kennismaking met many worlds gebeurde – voor zo ver ik het me juist herinner – tijdens het vak “Kwantumveldentheorie”: onze professor was Henri Verschelde en hij vertelde er heel enthousiast over. Ik herinner me een uitgewerkt voorbeeld van een kwantummijnenveger. In die tijd las ik ook het boek “The Fabric of Reality” van David Deutsch, waarin many worlds een centrale rol speelt en dat mijn enthousiasme ervoor nog aanwakkerde. Ik kribbelde wel enkele vragen in de kantlijn van mijn cursus, zoals wat er gebeurt als er zich meerdere werelden afsplitsen, waarbij de kansen niet gelijk verdeeld zijn. Helaas heb ik deze vragen nooit durven stellen. De promotor van mijn thesis, professor Willy De Baere, was overigens géén aanhanger van de veel-werelden-interpretatie. Hij deed onderzoek naar Bohmse mechanica, een alternatieve interpretatie (of theorie, het is maar hoe je het bekijkt). Daar kwam ik echter pas veel te laat achter, namelijk op de dag dat ik mijn scriptie bij hem inleverde. Tja, ik durfde nooit iets vragen, en opzoeken wat hij eigenlijk deed – natuurlijk het allereerste dat je moet doen als je bij iemand een thesis gaat maken – dat was domweg niet bij me opgekomen.

Kwantumveldentheorie wordt het best met jeugdig enthousiasme benaderd.

Kwantumveldentheorie wordt het best met jeugdig enthousiasme benaderd. Nee, dit is niet ons zoontje. :-) (Bron afbeelding; via.)

Inmiddels ben ik die verlegenheid gelukkig wat ontgroeid en heb ik al aan heel wat mensen durven vragen wat zij van die kwantumkwesties vinden. De vragen die ik destijds in de kantlijn schreef, blijken daarbij lang niet zo onschuldig als ik toen zelf dacht.

Door mijn uitgebreide omzwervingen in de filosofie van de kansrekening lijk ik nu ook many worlds ontgroeid te zijn. Terwijl ik het multiversum destijds als iets intrinsiek kwantumfysisch omarmde, zie ik het verwijzen naar andere werelden nu veeleer als een natuurlijke reactie van mensen wanneer ze geconfronteerd worden met indeterminisme. Alternatieve uitkomsten van de menselijke geschiedenis of niet-gerealiseerde uitkomsten van een kwantumexperiment lijken plots niet meer zo fundamenteel verschillend. Wat deze ‘mogelijke werelden’ verbindt, is dat het diverse invullingen zijn van hoe de wereld anders had kunnen zijn, een gamma dat ingevuld wordt door de menselijke verbeelding, die in verschillende contexten andere mogelijkheden ziet. In dit licht lijkt ook de weinig-antropocentrische veel-werelden-interpretatie menselijk, al te menselijk.

Als pas afgestudeerde fysicus vond ik het aanvaardbaar om alle mogelijke werelden als echt te zien, althans voor zover dat die werelden kwantumfysisch mogelijk waren: door kwantumprocessen die een andere uitkomst hadden dan degene die in onze tak van het universum gerealiseerd werd. Eén van de ruimste invullingen van “mogelijke werelden” is “alle werelden die logisch mogelijk zijn”, waarvan de al zeer talrijke kwantumfysisch-mogelijke werelden op hun beurt slechts een klein deel uitmaken. Als je aanneemt dat ook al de logisch-mogelijke werelden echt bestaan, dan zijn we terug bij het modale realisme van David Lewis uit het vorige stukje.

Ik hoop om binnenkort de tijd te vinden om mijn oude belangstelling voor kwantumfysica weer op te pakken – niet alleen op dit blog, maar ook in mijn onderzoek. Nu ik me enkele jaren heb verdiept in de grondslagen van waarschijnlijkheid voel ik me beter toegerust om een eigen antwoord te formuleren op de interpretatievraagstukken van de kwantummechanica, waarin het kansconcept een centrale rol speelt. De veel-werelden-interpretatie zal het wellicht niet worden. Wie weet ben ik nu klaar om het Bohmse alternatief te omarmen.

mrt 24

Het probleem van de oneindige loterij

Een loterij op de natuurlijke getallen heeft oneindig veel ballen. Toch zit er geen enkele bal bij waar 'oneindig' op staat.Eind vorige maand schreef ik over hoe een onderzoeksvraag mijn leven een andere wending gaf. Over wat dit probleem precies was, bleef ik eerder op vlakte. Daarom is deze post volledig gewijd aan het probleem van de oneindige loterij – de onderzoeksvraag die mijn leven veranderde.

Important!

De axioma’s van de klassieke kansrekening laten je niet toe om aan elk lot in een aftelbaar oneindige verzameling dezelfde kans toe te kennen.

Dit vereist enige toelichting.

Het standaard voorbeeld van een aftelbaar oneindige verzameling is de verzameling van alle natuurlijke getallen, \mathbb{N}. Er zijn ook verzamelingen die overaftelbaar zijn en dus van een grotere orde oneindigheid: de verzameling van alle reële getallen, \mathbb{R}, is een voorbeeld van zo’n overaftelbaar oneindige verzameling.

Dan die axioma’s waarvan sprake is: de klassieke kansrekening berust op fundamentele aannames, uitgedrukt in vier axioma’s. De axioma’s heten: Normering, Positiviteit, Som en Continuïteit.

  1. Normering zegt dat de kans van de unie van alle loten samen precies één moet zijn, 100% dus.
  2. Positiveit zegt dat eender welke combinatie van loten een kans heeft die niet negatief kan zijn.
  3. Som zegt dat als twee verzamelingen loten geen loten gemeenschappelijk hebben, dat dan de kans van
  4. Continuïteit vertelt iets over het limietgedrag van oneindige deelverzamelingen van loten. Voor ons is van belang dat Som en Continuïteit samen aanleiding geven tot het principe van Aftelbare additiviteit.

Aftelbare additiviteit zegt dat de som van de kansen van aftelbaar veel loten apart gelijk moet zijn aan de kans van de unie van al deze loten samen. Omdat er in een aftelbaar oneindige loterij, in tegenstelling tot een overaftelbare, maar aftelbaar oneindig veel loten zijn, impliceert dit principe in dit geval dat de som van de kansen van alle loten apart gelijk moet zijn aan de kans van de verzameling van alle loten. En volgens het eerder genoemde axioma van de normering is die laatste kans gelijk aan één.

Stel nu dat je een gelijke kans wil toekennen aan alle loten in loterij op de natuurlijke getallen. Wat je ook probeert, je overtreedt altijd minstens één van de axioma’s:

  • Als je nul toekent aan ieder lot, sommeert de kans van alle loten samen tot nul. Dit is echter in strijd met de combinatie van Normering en Aftelbare additiviteit, die samen impliceren dat deze som gelijk moet zijn aan één.
  • Als je een kans groter dan nul toekent aan ieder lot, sommeert de kans van alle loten samen tot oneindig. (Anders gezegd: de som van deze kansen divergeert.) Dit is opnieuw in strijd met de combinatie van Normering en Aftelbare additiviteit, die vereisen dat deze som gelijk moet zijn aan één.

Het komt er dus op neer dat nul te klein is, terwijl iedere andere kans meteen te groot is. (Voor de wiskundigen onder jullie: het probleem komt er in feite op neer dat som en limiet niet commuteren.) Het lijkt of je iets tussen nul en de ‘eerstvolgende’ waarde zou willen hebben en dat als kans aan zo’n loterij hangen. Zoiets als één op oneindig, een infinitesimaal. De klassieke kansrekening werkt echter met reële getallen en er is niet zoiets als “het eerstvolgende getal groter dan nul”: tussen iedere twee reële getallen zitten er immers oneindig veel andere reële getallen. Je hebt dus oneindig veel reële getallen tussen nul en eender welk klein positief getal en toch zijn ze allemaal te groot.

Het lijkt onbegonnen werk daar een nog kleiner getal tussen te wringen dat de kans van één lot in loterij op een aftelbaar oneindige verzameling kan uitdrukken. En toch is dit in feite waar mijn oplossing op neer komt: door hyperreële getallen te gebruiken om kansen uit te drukken, krijg je beschikking over infinitesimalen. Infinitesimalen zijn kleiner dan eender welk positief reëel getal en toch groter dan nul.

Deze infinitesimalen zijn essentieel in de niet-Archimedische waarschijnlijkheidstheorie waar ik met collega’s aan werk. Met onze theorie kun je duidelijk het verschil aangeven tussen de situatie waarin je een waterkans hebt (bijvoorbeeld: je hebt één lot in een oneindige loterij) of die waarin je helemaal kansloos bent (bijvoorbeeld: je hebt geen enkel lot in eender welke loterij).

Oudere berichten «