jan 30

De enige wet van de kans

Waterkans.Op mijn blog heb ik het al vaker gehad over kleine kansen, zogenaamde waterkansen. (Soms duiken ze zelfs op in de vorm van colakansjes!) Ook mijn Eos-column deze maand gaat erover. De column is gebaseerd op de langere tekst hieronder, die ik in 2012 schreef. Rond die tijd gaf ik namelijk een presentatie over kleine kansen voor de Nederlandse Vereniging voor WetenschapsFilosofie (NVWF, waar ik toen nog geen lid van was, laat staan secretaris). Naar aanleiding van dit onderwerp gaf ik toen een interview voor Hoe?Zo! bij de Nederlandse radio 5, dat hier nog steeds te herbeluisteren is.

~

Het principe van Cournot stelt dat een op voorhand gespecifieerde gebeurtenis met een zeer kleine kans niet zal gebeuren. Dit idee is al terug te vinden in de geschriften van Bernoulli. Borel noemde het zelfs “de enige wet van de kans”. Daar tegenover staat mijn wet van de waterkans, die zegt dat je in veel situaties op voorhand zeker kunt zijn dat er een gebeurtenis met een kleine kans gerealiseerd zal worden. Verwacht het onverwachte in deze beschouwing over grote aantallen en kleine kansen.

Bernoulli’s “gouden stelling”

Jakob Bernoulli.Jakob Bernoulli was een befaamd Zwitsers wiskundige die leefde van 1654 tot 1705. Hij zou niet de laatste bekende wetenschapper worden in de Bernoulli-familie. Zo maken we in de fysica nog steeds gebruik van de wet van Bernoulli om de druk in stromende vloeistoffen of gassen te beschrijven; deze wet is vernoemd naar de in Groningen geboren Daniël Bernoulli, een neef van Jakob. Naar Jakob zelf is geen natuurkundige wet vernoemd, maar wel een wiskundige stelling: de stelling van Bernoulli, het eerste voorbeeld van een wet van grote aantallen.

Jakob Bernoulli schreef een verhandeling over de waarschijnlijkheidsrekening, die pas na zijn dood verscheen (in 1713): “Ars Conjectandi” of “De kunst van het gissen”. Hierin beschreef hij waarschijnlijkheden als graden van zekerheid; dit is een subjectieve interpretatie van wat kansen zijn, die in contrast staat met objectieve interpretaties, bijvoorbeeld in termen van frequenties. In zijn boek presenteerde Jakob ook zijn “gouden stelling” – dit is de eerder genoemde stelling van Bernoulli –, als oplossing van een vraagstuk dat hem twintig jaar lang had beziggehouden.

Stel dat je een eerlijke munt opgooit. De kans op kop is dan 50%, net als de kans op munt. Dit is een voorbeeld van een Bernoulli-experiment; in het algemene geval hoeven de kansen op succes (kop) en mislukking (munt) overigens niet gelijk te zijn. Herhalen we nu de (eerlijke) muntworp een groot aantal maal, dan verwachten we dat we in ongeveer de helft van de gevallen kop te zien en in de andere helft van de gevallen munt. De (sterke) wet van de grote aantallen drukt deze verwachting als volgt uit: de fractie van de muntworpen die kop opleveren convergeert vrijwel zeker naar 50%.

Hierbij vallen er drie bedenkingen te maken.

  • Ten eerste suggereert de wet een brug tussen het begrip kans enerzijds en experimenteel waargenomen fracties of frequenties anderzijds – een brug dus tussen pure wiskunde en experimentele wetenschap. Opgepast: het betreft een puur wiskundig resultaat, dat op zichzelf deze brug nooit kan slaan.
  • Ten tweede moeten we de frase “vrijwel zeker” hier interpreteren als “met kans 100%”. Daarbij moet je weten dat dit laatste niet garandeert dat het noodzakelijk zo moet zijn, enkel dat het oneindig veel waarschijnlijker is dan dat het niet zo gebeurt.
  • Ten derde was de oorspronkelijke stelling van Bernoulli een zwakke wet van grote aantallen, maar de verschillen met de sterke wet laten we hier buiten beschouwing.

Jakob interpreteerde zijn wet van de grote aantallen als volgt: we kunnen een zeer hoge waarschijnlijkheid op een bepaalde gebeurtenis beschouwen als morele zekerheid. Verder kunnen we de frequentie waarmee we een gebeurtenis waarnemen gebruiken als een schatting van de waarschijnlijkheid van die gebeurtenis. Lees verder »

jan 29

Kansrekening (gedicht)

Kansrekening

(Vertwijfeld tellen van 0 tot 1)

 

Het leek een onmogelijke opdracht,

maar we hadden een waterkans.

We zijn door het oog van de naald gekropen,

die kleine nul boven die lange één.

 

Het is een dubbeltje op zijn kant,

maar de teerling is geworpen.

Waarschijnlijk gaat het lukken,

we weten het zeker.

jan 25

Spruitjes in een saus van kansrekening

Het cliché wil dat kinderen geen spuitjes spruitjes [met dank aan een oplettende lezer!] lusten. Bij ons zit het anders: ons zoontje eet juist graag spruitjes, net als zijn papa. Ik ben thuis de enige die bij de geur van spruiten alleen al op de vlucht slaat. Natuurlijk word ik hier wel eens mee geplaagd, maar dat vind ik onterecht. En de wetenschap steunt me daarin: ik ben gewoon erfelijk belast!

Stelling van de dag:

Het is helemaal niet stoer om te zeggen dat je spruitjes lust. Sommige mensen proeven niet hoe bitter die zijn: ze missen daartoe de werkzame variant van een bepaald gen (TAS2R38-gen).

Spruitjes.Waarom ik op een zondagavond over spruitjes en genetische aanleg voor het proeven van bitter begin? Welnu, in de Nationale WetenschapsQuiz 2014 zat er een vraag hierover en dat in combinatie met kansrekening (zie vraag 11). Ha, spruitjes in een saus van kansrekening, dat is dan weer wel spek naar mijn bek! :-)

Uiteraard blogde ik hier al eerder over, maar het verhaal kreeg een staartje in de commentaren. Voor wie het gemist heeft: iemand betwijfelde of de modeloplossing van NWO wel juist was, maar ik kon hem overtuigen. Ook Mark Peeters – Vlaanderens zelfverklaarde nieuwe Copernicus – dacht aanvankelijk dat er iets mis was met de modeloplossing, maar gaf uiteindelijk zijn fout toe.

Nu is hij echter van mening dat weinig mensen de uitleg die tot de juiste oplossing leidt écht begrepen hebben. Daarom daagt hij de lezers van zijn blog uit om (nogmaals) uit te leggen waarom zijn initiële redenering (die tot een fout resultaat leidt bij de originele opgave) niet werkt.

Hij stelt de volgende variant van de opgave voor (hier uitgeschreven om misverstanden te vermijden):

Een stel heeft twee kinderen. Moeder vindt spruitjes niet bitter, vader wel. Het proeven van bitter is een dominante eigenschap van één gen. De werkzame en de niet-werkzame versie van dit gen komen even vaak voor. Wat is de kans dat beide kinderen de spruitjes wel bitter vinden smaken?

(Voor de volledigheid: in de originele opgave werd er gevraagd naar de kans dat beide kinderen de spruitjes niet bitter vinden smaken. Marks initiële idee was 1/3 x 1/3 = 1/9, terwijl de juiste oplossing 1/6 was.)

Marks initiële redenering levert als antwoord op bovenstaande variant 2/3 x 2/3 = 4/9 op.

Hij vraagt wie met hem wil wedden voor 100€. Nu, wedden doe ik niet, uit principe, maar ik wil wel met alle plezier een poging doen om uit te leggen waarom het antwoord op deze variant van de opgave niet 2/3 x 2/3 is.

In deel 1 zal ik uitleggen hoe de berekening dan wel verloopt (of althans één manier geven om het uit te leggen) en in deel 2 zal ik verduidelijken wat er mis gaat bij “als voor één kind de kans 2/3 is, dan is voor twee kinderen de kans 2/3 x 2/3″. Lees verder »

jan 21

Doodgewone dingen

Ik hou zo van:

  • Films met een alwetende verteller, zoals in Amélie Poulain waarin bij elk personage wordt verteld van welke alledaagse dingen hij of zij wel of juist niet houdt.
  • Gesprekken die meanderen zoals een rivier: er zit duidelijk een richting in, maar het hoeft niet altijd rechtdoor te gaan. Bij rivieren kan je dit meten (sinuositeit), bij gesprekken kan je het voelen.
  • Thuis zitten werken en me via de radio toch verbonden met de rest van de wereld.
  • Een knipoog of een blik van verstandhouding tijdens een saaie vergadering.
  • Naar eekhoorns kijken in de tuin – zeker als ze verliefd zijn en achter elkaar hollen en zich uit de bomen laten vallen (zoals toen in Oxford).
  • Curryketchup van de man, of mensen leren kennen die het erover eens zijn dat dit de beste ketchup is.
  • Dat iemand iets vraagt en dat ik het dan uitleg en dat ze het dan snappen (en niet gewoon ‘ja’ zeggen om ervan af te zijn).
  • De sterren zien.
  • Een kladblok met ezelsoren. Omdat het maar een kladblok is, is er geen enkele remming om er vage plannen of halfbakken ideeën in te noteren. En juist door ze op te schrijven krijgen die plannen en ideeën meer vorm. Het gebeurt geregeld dat ik ‘s avonds opnieuw het licht aanknip om snel iets op te schrijven.
  • Mijn vriend die in het weekend met opzet te grote porties kookt, zodat ik als hij er tijdens de week niet is, maar gewoon een bord uit de koelkast moet halen om op te warmen. ♥
  • Dat ik de radio aanzet en dat er dan net een liedje van Counting Crows gespeeld wordt.

 

Deze rubriek is een idee van Lilith.

jan 21

Goochelen met deuren en kansen

Ik blog al bijna vier jaar en daarbij gaat het regelmatig over kansrekening. Toch heb ik het hier nog niet gehad over het drie-deuren-probleem – ook bekend als het probleem van Monty Hall. Bij de paradox van de Schone Slaapster kwamen de drie deuren wel zijdelings ter sprake, maar daar bleef het bij. Tot nu althans. Naar aanleiding van een blogbericht van Jean Paul Van Bendegem – over de vraag hoe we de oplossing voor het drie-deuren-probleem het beste kunnen uitleggen (zonder wiskunde) – schrijf ik met alle plezier mijn driehonderste bericht precies hierover. :-)

Of een lama!

Als je verkeerd kiest, win je niets. Of een geit. Of een lama. Zonk!

Het probleem

Important!

Stel je voor dat je mee doet aan een ouderwetse spelshow op TV. Je maakt kans op een hoofdprijs (bijvoorbeeld een auto), maar als je pech hebt win je niets (of een geit).

Je staat naast de presentator (Monty Hall) voor drie gesloten deuren. Je mag een deur kiezen en de prijs erachter straks mee naar huis nemen.

Nadat je je keuze bekend hebt gemaakt, opent een assistent die weet waar de hoofdprijs staat één van de twee andere deuren, zodat je kan zien dat daar alvast niet de hoofdprijs staat.

Nu geeft de presentator je de mogelijkheid om nogmaals te kiezen: blijf je bij de deur die je in het begin gekozen had, of kies je de andere deur?

Wat denk je:

  • Bij je eerst keuze blijven geeft je de grootste kans om te winnen.
  • Van deur veranderen geeft je de grootste kans om te winnen.
  • Het maakt niet uit.

De oplossing

Spoiler Inside SelectShow

Lees verder »

jan 13

Foto van komeet Lovejoy?

Vanavond heb ik in de tuin rond 23u20 een foto gemaakt van de sterrenhemel – met een compactcamera en uit de losse hand. (Tot voor kort wist ik zelfs niet dat dat mogelijk was, maar met een goede camera blijkbaar wel!)

Op de foto zie je een deel van ‘mijn’ sterrenbeeld Stier en rechts bovenaan de Pleiaden. Maar het aangeduide, wazige vlekje: is dat nu komeet Lovejoy (C/2014 Q2)? Als ik me hierop en hierop baseer, moet het ongeveer kloppen.

Wie het weet mag het zeggen! :-)

Sneeuw.

Een stukje van de sterrenhemel vanavond. Deze foto is een beetje bewerkt voor beter contrast. Link naar onbewerkte foto.

Update [iets na middernacht]:
Twitter is handig! Stijn de Vos verwees me naar deze reddit en via daar vond ik dit plaatje. Het lijkt dus inderdaad zo te zijn dat komeet Lovejoy hier op de foto staat. Fijn! :-)

Als het morgen weer helder is, maak ik nog een foto om te checken of het ‘vlekje’ zich in de goede richting beweegt.

jan 09

Over kantlijnvragen en zonnebloemen

Zonnebloem.Terwijl de meeste studenten nu druk aan het blokken zijn voor hun examens denk ik terug aan mijn eigen studie van de theoretische fysica. Hoewel het zeker geen gemakkelijke richting is, biedt ze wel een groot voordeel: je moet weinig uit het hoofd leren.

Je krijgt als fysicastudent dikke cursussen vol wiskundige uitdrukkingen te verwerken, dat is waar. Maar als je de samenhang ervan begrijpt, hoef je slechts enkele formules van buiten te kennen. De andere formules kan je hier zo uit afleiden. Dit gebeurt via rigoureuze stappen (bijvoorbeeld: haakjes uitwerken), maar minstens even vaak via ‘slimme’ benaderingen (bijvoorbeeld: voor kleine hoeken is de sinus van een hoek ongeveer gelijk aan de hoek zelf). Hierbij zet ik ‘slimme’ even tussen aanhalingstekens, omdat wiskundigen deze benaderingsstappen doorgaans te kort door de bocht vinden: “Hoezo, ‘ongeveer’?!” Zij  schudden het hoofd meewarig bij het argument dat het hier om ‘fysische intuïtie’ zou gaan.

Tussen al die formele krachtpatserij komen er ook prachtige verhalen en briljante ideeën voorbij. Vaak zijn dit precies de ideeën waar ook populariserende boeken vol van staan. Het gekke is dat die verhalen en ideeën niet altijd even naadloos bij de formele theorie aansluiten. Ik heb het zo ervaren: de professor vermeldt even een wild idee, steevast afkomstig van een intussen wereldvermaarde wetenschapper, waardoor vervolgens het hele formele apparaat op een nieuw spoor terechtkomt. De trein vertrekt en komt nooit terug bij het station waar het allemaal begon.

Maar terwijl de trein verder denderde, bleef ik achter op dat perron met een tas vol vragen. Vaak had ik het gevoel dat er iets niet klopte: het initiële idee leek me niet in overeenstemming met de theorie die er uiteindelijk uit ontsproot. Omdat ik in mijn studententijd nogal verlegen was, durfde ik niet vragen hoe het precies zat. Hooguit schreef ik mijn vraag in potlood in de kantlijn van de cursus.

We zijn intussen meer dan tien jaar verder, maar mijn vragen zijn gebleven. Het is natuurlijk niet voor niets dat ik wetenschapsfilosoof ben geworden. Nu ben ik best trots op mijn marginalia van destijds: heel wat van mijn kantlijnvragen blijken nog steeds open problemen in het grondslagenonderzoek! Met andere woorden: als ik mijn vragen destijds wél had durven stellen, dan had de professor het vast ook niet geweten. Of erger: dan had hij misschien wel iets geantwoord en me met een kluitje in het riet gestuurd, waardoor ik niet verder had gezocht.

Radicale relativisten stellen dat er in de loop van de geschiedenis steeds verhalen bijkomen, terwijl er nooit iets wordt uitgeveegd. Zij gooien wetenschappelijke verhalen op dezelfde hoop als sprookjes en andere vertellingen.

Zo ver wil ik niet gaan, maar ik ben er wel van overtuigd dat menselijke verhaalstructuren de wetenschap sturen. De verbeelding stimuleert ons om nieuwe dingen te ontdekken en grenzen te verleggen, maar zelfs op onze fantasie zitten er beperkingen. We kunnen niet eender wat denken: onze verhalen hebben een bepaalde mate van complexiteit, die niet onbeperkt kan groeien. Eén van de functies van wetenschap is om onszelf een coherent verhaal te vertellen over de wereld waarin we leven. En zo’n verhaal heeft alleen maar zin als het voor ons begrijpelijk blijft.

Zonnebloempit.Wiskundige theorieën over de natuur zijn prachtig, maar ze ontstaan niet uit het niets. Eerst moeten we een informeel idee hebben, vaak in de vorm van een verhaaltje of korte redenering, voor we het formeel kunnen gaan uitwerken. In gunstige omstandigheden groeit het idee uit van een zonnebloempit (het informele idee) tot een zonnebloem (de formele theorie). Tijdens dit proces verandert het idee wezenlijk. Als de zonnebloem er eenmaal is, is de pit nergens meer te vinden. (Daarom ook kwam de trein nooit meer aan het eerdere station voorbij…) En vervolgens kunnen er uit die ene bloem zeer veel nieuwe pitten ontstaan.

Misschien werkt de wetenschap zo: in cycli van formele en informele groei, met zomers vol zonnebloemen en winters waarin de vogels zonnebloempitten wegpikken – maar gelukkig niet allemaal.

Of is dit maar een verhaal dat ik mezelf wijsmaak?

jan 01

Jaaroverzicht 2014

Terwijl Dagobert Duck zijn goudstukken telt, tellen wetenschappers hun publicaties van het voorbije jaar.Na afloop van een kalenderjaar wordt er in veel bedrijven een inventaris opgemaakt. Academici doen iets soortgelijks: wij werken ons CV bij of schrijven een activiteitenrapport. Een goede gelegenheid om mijn ‘jaarproductie’ van 2014 ook eens op op te lijsten voor dit blog.

Nieuw werk: +1

Publicaties: +5

  • Rationality: a social-epistemology perspective”,
    Sylvia Wenmackers, Danny E.P. Vanpoucke, and Igor Douven,
    Frontiers in Psychology; published: 18 June 2014;
    DOI: 10.3389/fpsyg.2014.00581
  • Rethinking Gibbard’s Riverboat Argument”,
    Karolina Krzyżanowska, Sylvia Wenmackers, and Igor Douven,
    Studia Logica (2014) 102 pp. 771–792;
    DOI: 10.1007/s11225-013-9507-2
  • Knowledge and Approximate Knowledge
    Lieven Decock, Igor Douven, Christoph Kelp, and Sylvia Wenmackers
    Erkenntnis (2014) 79 pp. 1129–1150
    DOI: 10.1007/s10670-013-9544-2
  • BOOK CHAPTER
    DNA Structures on Silicon and Diamond
    Simona D. Pop, Karsten Hinrichs, Sylvia Wenmackers, Christoph Cobet, Norbert Esser, and Dietrich R.T. Zahn
    Chapter 3 in “Ellipsometry of Functional Organic Surfaces and Films”, Karsten Hinrichs ‎and Klaus-Jochen Eichhorn (eds.) pp. 47–59.
  • EDITORIAL
    “Infinite regress in decision theory, philosophy of science, and formal epistemology”
    Jeanne Peijnenburg and Sylvia Wenmackers
    Synthese (2014) 191 pp. 627–628
    DOI: 10.1007/s11229-014-0397-2

Over die eerste publicatie wil ik trouwens nog een blogpost schrijven! (Het heeft iets te maken met mijn fascinatie voor tetraëders.)

Presentaties: +6

  • GroLog lezing, RuG 27 maart “On numerosities and infinitesimal probabilities” (andere spreker: Paolo Mancosu)
    [Over tellen tot oneindig.]
  • RuG interne lunchlezing (Brown Bag lecture) 20140507 – “Sleeping Beauty Puzzle
  • Tilburg University – TiLPS Colloquium 20140926 “Boxing up the subjectivity in the Sleeping Beauty problem
  • Bayreuth University – Research Seminar – 20141111 – “Boxing up the subjectivity in the Sleeping Beauty problem
  • KU Leuven – CLAW/RTAP seminar – “Paradoxes of Probability
  • KU Leuven – Faculty seminar – “A new theory of old evidence” (joint work with J.-W. Romeijn)

Lesopdrachten: +1

PhD studenten: +1

Deelname oppositie bij promotie: +2

  • Pablo Acuña, promotor D. Dieks, UUtrecht
  • Marc Holman, promotor D. Dieks, UUtrecht

Columns: +4

Eos columns in rubriek “Scherp Gesteld”:

  • Eos 2014 Jg31 Nr1 p59 “Kinderspel” Over de vraag of kinderen geboren wetenschappers zijn
  • Eos 2014 Jg31 Nr4 p55 “Blinde vlek” Over onderrepresentatie van vrouwen in de harde wetenschappen
  • Eos 2014 Jg31 Nr7-8 p87 “Stralend blauwe hemel” Over het fenomeen van Scheerer
  • Eos 2014 Jg31 Nr11 p59 “Begrijpend tekenen” Over het belang van tekeningen en schema’s bij wetenschappelijk denken

Outreach: +2

Referee-opdrachten: +7

PS: Ook van 2012 en van 2013 maakte ik een jaaroverzicht.

dec 28

Sneeuw: voor en na

Onze tuin gisteren, ‘s ochtends.

Sneeuw.

Sneeuw in de tuin (1).

Onze tuin deze ochtend. Zoek de verschillen! :-)

Sneeuw.

Sneeuw in de tuin (2).

O ja: onze oprit. Met dank aan mijn vader voor het komen opladen van de autobatterij.

Batterij.

Batterij bijladen.

dec 24

Kerst & wetenschap: knutseltip

Einstein is klaar voor de Kerst. U toch ook?Een wetenschappelijk verantwoorde knutseltip voor de kerstvakantie: ‘sneeuwvlokken’ knippen met de beeltenis van Albert Einstein, Marie Curie, of Erwin Schrödinger erin! Het patroon vind je hier (het deed de ronde op Twitter).

Ik denk erover een versie te maken met Isaac Newton: dat zou prima passen bij de ‘traditie’ van Newtonmas. Anderzijds lijkt de kans me groot dat er daarvoor ook al een patroon bestaat: tips zijn welkom.

De patronen voor Einstein en Curie hebben een zesvoudige symmetrie, zoals echte sneeuwvlokken. Vreemd genoeg heeft het patroon voor Schrödinger slechts een viervoudige symmetrie. Er staat wel een kat bij, wat veel goed maakt (maar die heeft dan weer twee staarten…)

Ik maakte vorige week een Einstein-vlokje om op de deur van mijn kantoor te hangen. Helaas vergat ik daar een foto maken. Daarom moest ik gisteravond wel opnieuw aan de slag om ook thuis wat van de vlokjes te knippen. Ik gebruikte een schaar in plaats van een breekmes, waardoor de resultaten suboptimaal zijn. Maar het was wel leuk om eens te doen!

Een goede aanleiding ook om deze video van wiskunstenaar Vi Hart te bekijken. In eerste instantie dacht ik dat ook de ‘sneeuwvlokken’ op het kerstkaartje van de universiteit slechts een viervoudige symmetrie hadden, maar na het bekijken van de video lijkt rotatiesymmetrie hier een betere omschrijving voor.

Kerstvlokjes.

Kerstvlokjes.

Ook gelezen op Twitter: waarom dragen sneeuwmannen een muts? Het houdt de warmte buiten. Thermische isolatie werkt in twee richtingen. (Een variant op het oude grapje met de thermosfles, als het ware.)

In 2011 schreef ik ook al een post over wetenschap en kerst. En natuurlijk is er dezer dagen de Nationale WetenschapsQuiz. Op één of andere manier passen wetenschap en de kerstperiode wonderwel bij elkaar.

Fijne feestdagen gewenst!

Oudere berichten «