Mei 22

1 000 000 000 000 km op de teller

Deze column is in licht gewijzigde vorm verschenen in het juninummer van Eos.

Voor de uitnodiging voor zijn zesendertigste verjaardag rekende mijn vriend uit dat hij 315 576 uren geleden geboren was. Dat zijn 13 149 dagen. Nee, dat is niet deelbaar door 365, aangezien hij ook rekening hield met de extra schrikkeldagen (inclusief 2000, wat een schrikkeleeuw was).

Toen ik in mei dezelfde leeftijd bereikte, leek het me leuk om eens te schatten hoeveel afstand ik tijdens mijn leven al heb afgelegd. Laten we beginnen met de gewandelde kilometers. De aangeraden 10 000 stappen zouden gemiddeld overeenkomen met zo’n 12 tot 15 duizend km – het hangt er natuurlijk vanaf hoe groot je stappen zijn. Maar zelf heb ik nooit meegedaan met deze actie, dus laat me eens uitgaan van een gemiddelde van 2 km stappen per dag, dan komen we op mijn leeftijd aan meer dan 26 000 km. Door te leren fietsen wordt onze actieradius groter, maar ik heb zelf nooit fanatiek gefietst. Sportievelingen die willen meerekenen hebben vast een fietscomputer of -gps waar ze hun afgelegde kilometers op kunnen nakijken.

Ik ben opgegroeid in Limburg en we woonden te ver om te voet naar school of naar de winkel te gaan en ook het openbaar vervoer was (en is) er niet in de buurt. Op de teller van mijn eigen auto (nog steeds de eerste) blijkt dat het bakje ongeveer een afstand van 80 000 km heeft afgelegd: dat is twee keer de omtrek van de aarde. Maar voor verre verplaatsingen neem ik meestal de trein en ik heb tijdens mijn twintigerjaren geregeld gevlogen om op congres te gaan, waarvan twee keer naar de VS en één keer naar China. Ik schat mijn totale afstand afgelegd over de aarde in de orde van zo’n 300 duizend kilometer.

Afstand afgelegd met mijn autootje: 88888 km.

Gisteren was de afstand afgelegd met mijn autootje precies 88888 km. De acht is mijn lievelingscijfer, dus ging ik even aan de kant staan om deze foto te maken. ;-)

De aarde zelf staat natuurlijk niet stil: om te beginnen draait de aarde elk etmaal om haar as, wat correspondeert met zo’n 40 000 km per 24 uur. Althans op de evenaar. Elders moeten we rekening houden met de breedtegraad: dat is ongeveer 51° in Vlaanderen. Hierdoor leggen we in Vlaanderen meer dan 25 000 km af per etmaal (40 000 km × cos(51°) ), wat mij 330 miljoen afgelegde kilometers oplevert.

Zelfs voor echte globetrotters valt hun actieve reisafstand dus in het niets bij deze afstand, die we al slapend kunnen afleggen. Enkel mensen die nabij één van de aardpolen zouden wonen kunnen hun ruimtemijlen sterk beperken. Althans wat deze rotatie betreft, want aan de volgende term in de berekening kunnen ook zij niet ontsnappen. De aarde beschrijft namelijk jaarlijks een baan om de zon. De gemiddelde afstand tussen aarde en zon is ongeveer 150 miljoen km. De afstand die we daarbij afleggen is 940 miljoen km per jaar. In totaal zit ik met deze term alleen al aan bijna 34 miljard km. Opnieuw vallen alle vorige afstanden hierbij in het niets.

Maar ook het zonnestelsel als geheel beweegt ten opzichte van het centrum van het Melkwegstelsel en dit met een duizelingwekkende snelheid van 230 km/s. Dat betekent dat het zonnestelsel tijdens mijn leven al meer dan 260 miljard km heeft afgelegd. (Daarmee is het nog lang niet rond: een galactisch jaar duurt ongeveer 250 miljoen aardjaren.)

We zien andere sterrenstelsels van het onze wegbewegen, gemiddeld aan hogere snelheid naarmate ze verder van ons staan. Dit komt door de uitdijing van het heelal en wordt uitgedrukt met de Hubbleconstante, maar dit tel ik niet mee als afgelegde weg: het is immers afstand die erbij komt tussen sterrenstelsels. (Deze factor is wél van groot belang als we willen uitrekenen hoe lang we over een intergalactische reis zouden doen.)

Daarnaast beweegt de Melkweg met 630 km/s rond de Grote Attractor: een gebied in de ruimte met een extreem hoge zwaartekracht. Hierdoor zou ik tijdens mijn leven naar schatting nog eens meer dan 700 miljard km extra hebben afgelegd. In totaal dus ongeveer een biljoen kilometer! (Dat is een één met twaalf nullen erachter, zoals in de titel.) Hoe honkvast u ook dacht te zijn, ook u hebt niet stilgezeten.

Het is heel aannemelijk dat we deze schattingen de komende jaren nog zullen moeten bijstellen: hoe groter de afstanden, hoe groter de onzekerheid erop. Bovendien weten we niet of de Grote Attractor beweegt ten opzichte van een nog grotere structuur, die we (nog) niet kunnen waarnemen. Zo blijft mogelijk de grootste term in deze berekening een volstrekt onbekende.

Important!

Las je deze blogpost in 5 minuten?
Dan ben je intussen een kwart miljoen km verder (ten opzichte van de Grote Attractor).

Mei 17

Vragen van Daan – deel 2: over het heelal

Van Daan kreeg ik twee vragen:

  1. Als het heelal oneindig is, hoe kan het dan nog uitdijen?
  2. Hoe kunnen er verschillende soorten oneindig zijn?

Vorig jaar plaatste ik mijn antwoord op de laatste vraag. Er kwamen wat andere dingen tussen, maar vandaag schrijf ik alsnog mijn tweede brief aan Daan met het antwoord op zijn vraag over het heelal.

Hubble.

Cluster van sterrenstelsels (MACS J0416) gefotografeerd door de Hubble-ruimtetelescoop. (Bron afbeelding: NASA/ESA.)

~

Beste Daan,

In mijn vorige brief heb ik proberen uitleggen waarom wiskundigen tegenwoordig denken dat er inderdaad meerdere soorten oneindigheid bestaan (je tweede vraag). Een belangrijk onderdeel van mijn antwoord was de theorie van Cantor over de ‘cardinaliteit’ van verzamelingen. Deze uitleg komt me nu goed van pas bij het beantwoorden van je eerste vraag.

Eerst even ter herinnering: twee verzamelingen hebben dezelfde cardinaliteit wanneer er een één-op-één relatie tussen bestaat. Met andere woorden, als er manier bestaat om aan elk element van de ene verzameling precies één element van de andere verzameling te koppelen zodanig dat ook alle elementen van de tweede verzameling aan bod komen. Als dit kan, dan zijn de verzamelingen “even groot” – in de specifieke betekenis van ze hebben “dezelfde cardinaliteit”. Dit is in feite hoe we eindige verzamelingen tellen, dus het is geen gek idee om het ook in het oneindige geval zo te proberen.

Hotel van Hilbert

Toch heeft deze manier van ‘tellen’ wat vreemde gevolgen in het oneindige geval. Die worden geillustreerd door het Hotel van Hilbert. (Hilbert is de naam van een belangrijke wiskundige: David Hilbert.)

  • Een extra gast

Stel je een hotel voor waarin de kamers genummerd zijn met alle natuurlijke getallen. Er zijn dus aftelbaar oneindig veel kamers in dit fictieve hotel. Bovendien zijn alle kamers in het hotel bezet. Op dat moment komt er een nieuwe gast aan. Wat nu?

Wel, de receptionist beveelt alle gasten naar de kamer te gaan waarvan het kamernummer één hoger is dan waar ze nu zijn. De gast in kamer 1 verhuist naar kamer 2; de gast in kamer 2 verhuist naar kamer 3; enzoverder. Zo hebben alle gasten die er al waren nog steeds een kamer en is kamer 1 vrijgemaakt voor de nieuwe gast.

Dit verhaal illustreert de volgende eigenschap van cardinaliteit: 1 + aftelbaar oneindig = aftelbaar oneindig.

Geen enkel eindig getal is gelijk aan één plus zichzelf. Het is dus wel duidelijk dat de gewone rekenregels voor eindige getallen niet gelden voor oneindige cardinaliteiten.

Als er meerdere extra gasten tegelijk op de stoep staan, kunnen we een soortgelijke oplossing bedenken. (Als er bijvoorbeeld 100 extra gasten zijn, dan laten we de gast uit kamer 1 verhuizen naar kamer 101, de gast uit kamer 2 naar kamer 102, enzoverder.)

  • Oneindig veel extra gasten

Goed, een eindig aantal extra gasten kan dit hotel duidelijk wel aan. Maar wat als er een nabijgelegen hotel, ook met aftelbaar oneindig veel bezette kamers, ontruimd moet worden en er dus nog eens aftelbaar oneindig veel extra gasten bij moeten?

Ook daarvoor is er een oplossing: laat elke gast verhuizen naar de kamer met als nummer het dubbel van zijn of haar huidige kamernummer. Na de verhuis zitten er enkel nog gasten in de kamers met even nummers en kunnen er dus aftelbaar oneindig veel nieuwe gasten inchecken in de kamers met oneven nummers.

Dit verhaal illustreert de volgende eigenschap van cardinaliteit: 2 x aftelbaar oneindig = aftelbaar oneindig. Of nog: de verzameling van alle even getallen heeft dezelfde cardinaliteit als de verzameling van alle natuurlijke getallen.

Bekijk ook onderstaand filmpje van TED-Ed over het hotel van Hilbert (6 minuten):

Uitdijend heelal

Uit metingen blijkt dat nagenoeg alle sterrenstelsels van ons en van elkaar weg bewegen. Deze waarneming is één van de peilers van de oerknaltheorie: de wetenschappelijke theorie die zegt dat ons heelal ooit veel heter en dichter was dan het nu is. Je kan je de uitdijing van het heelal het beste voorstellen als extra ruimte die erbij komt tussen de sterrenstelsels. Hiervoor worden soms de volgende beelden gebruikt:

  • Stel je de sterrenstelsels in onze omgeving voor als rozijnen in brooddeeg. Terwijl het deeg rijst, bewegen alle rozijnen uit elkaar doordat het deeg ertussen uitzet.
  • Of stel je ons sterrenstelsel voor als een mier die op een elastiekje loopt. Terwijl de mier stapt, wordt het elastiekje telkens verder uitgerokken.

De reden dat ik dit erbij schrijf is dat het woord oerknal (of Big Bang) de meeste mensen – heel begrijpelijk – aan een ontploffing doet denken, waarbij alle brokstukken vanaf de bron van de explosie uit elkaar door de ruimte vliegen. In het geval van het heelal is dit echter een zeer misleidend beeld! Het is namelijk niet zo dat er oneindig veel lege ruimte klaarligt waarin de sterrenstelsels aan ‘de rand van het heelal’ uitzwermen. (Er is geen rand van het heelal.) Bovendien is het niet zo dat er in het heelal één bijzondere plaats is waar de oerknal ooit heeft plaatsgevonden: de oerknal vond overal tegelijk plaats. Dat is – hopelijk – beter te begrijpen met het beeld van ruimte die erbij komt tussen de sterrenstelsel.

Hoe een oneindig heelal kan uitdijen

Nu hebben we -eindelijk!- alles wat we nodig hebben om je vraag over het heelal te beantwoorden. Als het heelal al oneindig is, hoe kan het dan nog groter worden? Stel dat we het volume van het heelal op twee momenten vergelijken (bijvoorbeeld nu en over een uur).

  • Voor en na het uitdijen kunnen we het heelal ‘oneindig’ noemen, maar dit betekent niet dat het niet groter is geworden: oneindig is geen getal. Zoals ik vorige keer al schreef, betekent dit woord enkel ‘niet eindig’. (Dit werkt zoals het woord ‘veel’: ik heb al veel boeken in huis en ik koop er nog een paar, dan zijn het er nog steeds ‘veel’ – en toch zijn het er nu meer dan voorheen.)
  • Stel dat we het volume van het heelal uitdrukken in kubieke meter. Als het heelal oneindig is, kunnen we het aantal kubieke meter uitdrukken met een cardinaliteit. Net zoals er in het Hilbert hotel altijd oneindig veel extra plaats gemaakt kan worden tussen de gasten, kan dit ook in een oneindig uitdijend heelal. Er komt extra ruimte bij tussen de ‘gasten’ van het heelal, namelijk tussen de sterrenstelsels. Vreemd genoeg wordt de cardinaliteit van het aantal kubieke meter in het heelal hierbij niet noodzakelijk groter, maar dit betekent niet dat het niet groter is geworden: cardinaliteiten zijn geen gewone getal. Cardinaliteit drukt een soort grootte-orde van oneindigheid uit. (Stel dat ik moet schatten hoeveel boeken ik in huis heb. Ik heb ze niet precies geteld, maar ik schat ‘duizenden’. Als ik er twee bij koop, of zelfs enkele honderden, dan zijn het er nog steeds “duizenden”. Toch heb ik achteraf meer boeken dan voordien en op een bepaald moment moet ik een kast bijkopen.)
  •  Als het heelal oneindig is, kunnen we het aantal kubieke meter ook anders uitdrukken, namelijk met een numerositeit. De numerositeit van het volume van het heelal wordt wél groter terwijl het heelal uitdijt. Hieraan kunnen we dus wel, net als bij gewone getallen, zien dat het groter is geworden. (Eerst had ik bijvoorbeeld 2540 boeken, daarna 2612.)

Ik stelde je vraag op Twitter aan Sean Carroll (theoretisch fysicus bij Caltech) en hij antwoordde als volgt:

“Space expands between galaxies. Think of the integers, and multiply them all by 2. Still infinitely many, but further apart.”

Carroll schrijft trouwens blogposts en heel boeiende boeken waarin hij complexe ideeën uit de fysica glashelder uitlegt en vaak ook verbindt met filosofische vragen – een aanrader, dus!

Is het heelal inderdaad oneindig?

Ik heb je vraag geïnterpreteerd als “Indien het heelal oneindig is, hoe kan het dan nog uitdijen?” Over de aanname wil ik wel nog een belangrijke opmerking maken: het is namelijk helemaal niet zeker of het heelal oneindig is! De snelheid van licht in vacuüm is ongeveer 300 duizend km/s. Dat is naar onze maatstaven is een zeer grote snelheid, maar het is wel een eindig getal. Doordat de lichtsnelheid eindig is en alle signalen in het heelal (voor zo ver we weten) zich maximaal met deze snelheid kunnen voortplanten, is er een grens aan hoe ver we kunnen kijken. (De signalen moeten ons tijdens de leeftijd van het heelal bereikt kunnen hebben.) We weten niet hoe groot het heelal is buiten het voor ons waarneembare deel, waardoor er ruimte blijft voor verschillende theorieën en speculaties.

Aarde in het waarneembare universum.

Aarde in het waarneembare universum. (Bron afbeelding.)

Sommige fysische modellen gaan ervan uit dat het heelal oneindig groot is, of dat wat wij het heelal noemen eigenlijk maar een klein deel is (een soort bubbel) van een veel grotere structuur. Hoewel we niet buiten het voor ons waarneembare deel van het heelal kunnen kijken, kunnen we wel proberen indirecte aanwijzingen te vinden in onze omgeving over hoe het heelal als geheel eruit ziet. Uit nauwkeurige WMAP-metingen van NASA maken we op dat het heelal in elk geval veel groter is dan het deel dat we kunnen zien. Zo proberen kosmologen loutere speculaties te scheiden van onderbouwde theorieën en toch een tipje van de sluier op te lichten over de structuur van het heelal als geheel.

Vriendelijke groeten,
Sylvia

Mei 05

Kans op chocoladetaart

Zopas verscheen mijn artikel (samen met Jan-Willem Romeijn) “New theory about old evidence” in de papieren versie van het filosofische vaktijdschrift Synthese. Het is open-access, dus je kan het artikel integraal online lezen. Naar aanleiding van dit artikel schreef ik vorig jaar een column voor Eos, die ik nu ook online plaats.

Op = op!

Deze column is in licht gewijzigde vorm verschenen in het decembernummer van Eos (2015).

Waarschijnlijkheid is als een chocoladetaart: je hebt er maar honderd procent van en eens die verdeeld is, is het op. Als je een muntstuk opgooit zijn er twee mogelijke uitkomsten: kop of munt. Als je vijftig procent kans toekent aan de ene mogelijkheid, dan blijft er automatisch vijftig procent over voor de andere.

Wetenschappers kennen niet alleen waarschijnlijkheden toe aan mogelijke uitkomsten, maar ook aan hypotheses. Biologen doen bijvoorbeeld onderzoek naar de vraag hoe plantenwortels reageren op de aanwezigheid van voedingsstoffen of zware metalen in de bodem. Stel dat ze aanvankelijk acht hypotheses hebben, die ze ongeveer even plausibel achten. Elke hypothese krijgt waarschijnlijkheid één achtste. Het is als een feest met acht gasten: je deelt de taart in acht gelijke stukken en iedereen is tevreden.

Uiteraard kunnen wetenschappers hierover van mening verschillen: als de hypotheses opgesteld zijn door acht teams van biologen, dan is het best mogelijk dat elk team de eigen hypothese het meest waarschijnlijk vindt. Ieder team wil als het ware het grootste stuk taart voor zichzelf. Dat klinkt erg subjectief, maar dat hoeft geen groot probleem te zijn, zolang ze maar overgaan tot de volgende stap: het doen van experimenten, hun resultaten delen en op basis daarvan hun oordeel herzien.

De stelling van Bayes zegt precies wat we moeten doen als we nieuwe informatie krijgen: op basis van onze oorspronkelijke waarschijnlijkheidsverdeling en de experimentele evidentie bekomen we de nieuwe waarschijnlijkheid van alle hypotheses. Als sommige hypotheses minder waarschijnlijk worden, worden de andere automatisch meer waarschijnlijk. De som blijft immers honderd procent. Je kan het je ongeveer zo voorstellen: je hebt de taart eerlijk verdeeld, maar dan blijken enkele gasten op dieet te zijn en schuiven ze de anderen extra stukjes toe.

Waarschijnlijkheid is als een chocoladetaart.

De kansrekening gaat ervan uit dat we op voorhand alle opties kennen, maar als je waarschijnlijkheden wil toekennen aan wetenschappelijke hypotheses is die aanname niet realistisch. Wetenschappers bedenken namelijk gaandeweg nieuwe hypotheses. De teams van biologen zien bijvoorbeeld dat geen enkele van de vooraf bedachte hypotheses de experimenten goed kan verklaren en gaan op zoek naar een alternatief.

De stelling van Bayes, die ons leert hoe we de waarschijnlijkheid moeten herverdelen tussen de hypotheses die van meet af aan meededen, zegt niet wat er gebeurt als er een nieuwe hypothese op de proppen komt. Als wetenschapsfilosoof buig ik me over die vraag: hoe moeten we nu waarschijnlijkheden toekennen aan de huidge hypotheses als we weten dat er later nog alternatieve opties kunnen worden bedacht?

Stel je het volgende scenario voor: je geeft een verjaardagsfeest en je hebt de taart net aangesneden en uitgedeeld onder de genodigden. Dan gaat de bel: er staat een onverwachte gast aan de deur. Wat nu gedaan? Er zit niets anders op dan blozend de taart te herverdelen.

Als je veel familie en vrienden hebt die graag spontaan langskomen, dan leer je op den duur een stuk taart opzij te zetten in de koelkast. Ook als je nog niet weet wie het dit jaar zullen zijn, toch kan je je voorbereiden op die eventuele laatkomers. Als je het slim aanpakt, geef je bijvoorbeeld telkens de helft van de hoeveelheid taart die je nog hebt. Als er dan meer mensen opdagen dan verwacht, kan je ze altijd nog een stuk aanbieden. En anders heb je zelf nog een stukje de dag nadien.

Kan je zoiets ook doen voor toekomstige wetenschappelijke theorieën? Het antwoord is “ja”: één mogelijkheid is om een catch-all-hypothese te maken. Dat is een hypothese die zegt: “Geen van bovenstaande”. Een soort rommellade waar je later specifieke hypotheses uit kan opvissen. Zo kan je alvast enige waarschijnlijkheid reserveren voor het geval er een nieuwe hypothese wordt bedacht. De catch-all-hypothese zegt dat wellicht nog niet alle hypotheses zijn aangekomen en de waarschijnlijkheid die we vooraf aan die mogelijkheid toekennen, kunnen we achteraf herverdelen.

De kans dat de wetenschap ooit af is lijkt me zeer klein. En als het tegen de verwachting in toch gebeurt, heb ik nog een stuk chocoladetaart in de koelkast.

Apr 27

Gouden jubileum

Proficiat aan mijn ouders! Ze zijn namelijk vijftig jaar getrouwd. (Vandaag volgens het gemeentehuis, morgen volgens de datum in hun trouwringen.)

Dit is hun trouwfoto uit 1966.

1966.

Mijn moeder had haar trouwjurk zelf gemaakt. (Niet op deze foto te zien: het is geen lange jurk, maar een rok tot onder de knie). Mijn vader droeg zijn legeruniform.

Het feest geven ze volgende maand, maar ik vond dat deze mijlpaal nu alvast digitaal gemarkeerd mocht worden.

Apr 26

Geen eiland

Dit jaar staat in het teken van de vijfhonderdste verjaardag van het boek van Utopia, daarom leek het me leuk om een column te schrijven over wetenschappelijk utopisme. Daarin kan Bacon’s utopie natuurlijk niet ontbreken. (Vanaf nu schrijf ik trouwens elke maand een column voor Eos!)

Deze column is in licht gewijzigde vorm verschenen in het meinummer van Eos.

In 1516 verscheen Utopia, het boek van Thomas More over het socio-politieke en religieuze leven op een fictief eiland. De ondertitel wordt vertaald als: “Een gouden boekje, niet minder heilzaam dan grappig, over de ideale republiek en over het nieuwe eiland Utopia.” Sindsdien is Utopia, wat ‘geen plaats’ of Nergensland betekent, haast synoniem geworden voor Eutopia, of ‘goede plaats’. More contrasteert de rationele eilandbeschaving met de moderne problemen van een Europese stad als Antwerpen. Engelsman Thomas More verbleef namelijk enige tijd in Vlaanderen en zijn boek werd vervolgens door bemiddeling van Erasmus gedrukt in Leuven. Daarom wordt de vijfhonderdste verjaardag van de publicatie ook bij ons gevierd: met een schrijfwedstrijd voor studenten en de expo Op zoek naar Utopia in Museum M (vanaf 20 oktober).

Utopia.

Heruitgave van Mores Utopia, met een illustratie van dit denkbeeldige eiland op de kaft.

Het bedenken van utopieën is van alle tijden. Plato beschreef in zijn dialoog Politeia al een ideale staat, waarin de leiders filosofen waren, en gedurende de middeleeuwen waren verhalen over Luilekkerland populair. Het boek van More gaf vervolgens de aanzet voor een heel genre: de utopische roman. Iets meer dan een eeuw later inspireerde het Francis Bacon tot het schrijven van Nova Atlantis, waarin Bacons visie op ideale wetenschap, wetenschapsethiek en de wisselwerking tussen wetenschappelijk onderzoek en maatschappij een centrale rol spelen. Nova Atlantis verscheen in 1627 (een jaar na het overlijden van Bacon). Zoals de verwijzing naar Atlantis in de titel al doet vermoeden projecteerde ook Bacon zijn utopie op een eiland. Daarop situeerde hij een ideaal instituut voor de wetenschap, dat hij het Huis van Salomon noemde en dat hoog aanzien genoot in deze beschaving. Ook dit verhaal werkte duidelijk inspirerend, niet enkel voor andere schrijvers maar ook voor wetenschappers, want in 1660 werd daadwerkelijk de Royal Society opgericht, een genootschap voor geleerden in Londen.

Francis Bacon twittert Vorig jaar verscheen Francis Bacon ‘twittert’ van wetenschapsethicus Gustaaf Cornelis (uitgegeven bij Garant, 2015; Google Books). Cornelis geeft een samenvatting van Nova Atlantis en licht leven en werk van Bacon toe. Hierbij plaatst hij beknopte parafrases in een kader: zo retweet Cornelis Bacons belangrijkste ideeën. De ondertitel is De nieuwe academie en Cornelis schetst inderdaad zijn eigen utopie van een wetenschappelijke opleiding. Daarnaast geeft hij ook een dystopische beschrijving van de huidige universiteit: Cornelis maakt melding van de nefaste publicatiecultuur die slodderwetenschap in de hand werkt. Maar hij citeert ook een studie waaruit blijkt dat studentenrestaurants bij gemiddeld 65% van de warme maaltijden frieten serveren.

Vóór zijn Nova Atlantis had Bacon een ander belangrijk werk geschreven: Novum Organum over een nieuwe wetenschappelijke methode. De titel verwijst naar de werken van Aristoteles over deductie, die het Organon worden genoemd. De redeneermethode van Aristoteles laat ons toe om uit zekere aannames even zekere conclusies te trekken. Dat lijkt nuttig, als we tenminste over zekere aannames beschikken, maar daar wringt in de praktijk het schoentje. Cornelis retweet Bacons opvatting hierover kernachtig:

“Deductie is enkel geschikt voor het behoud van dwalingen.”

Ons hedendaagse beeld van wetenschappelijke kennis is eerder probabilistisch: er zijn geen absolute zekerheden, maar sommige hypotheses kunnen wel met (zeer) hoge waarschijnlijkheid aangetoond worden. Deze visie vinden we al terug in Bacons Novum Organum: zijn nieuwe methode gaat precies over hoe wetenschappers door herhaling tot algemene wetmatigheden kunnen komen. De methode van Bacon heet inductie.

Drie eeuwen later voegde logicus Peirce de term ‘abductie’ in, voor een andere type niet-deductieve redeneringen, die gericht zijn op de best mogelijke verklaring voor een waarneming. (Hierover schreef ik al in mijn blogbericht “Brief aan een theoloog (over planet nine)“.) Zo komen we tot drie hoofdvormen van wetenschappelijk denken: deductie, inductie en abductie.

Dromen past niet in dit rijtje thuis, maar ik vermoed dat heel wat wetenschappers ook utopische denkers zijn. Daarom verwacht ik dat er vanuit de wetenschap zelf altijd ideeën over de verbetering ervan zullen blijven opborrelen en zie ik de toekomst optimistisch tegemoet. Natuurlijk blijft de aansluiting tussen wetenschap en de rest van de maatschappij steeds een moeilijke oefening. Utopieën spelen zich vaak op eilanden af, maar wetenschap is geen eiland. Misschien moet er iemand een vervolg schrijven op Bacons Nova Atlantis, over een expeditie waarin de bewoners ontdekken dat ze toch niet op een eiland wonen, maar op een schiereiland.

Apr 06

Vragen staat vrij!

ikhebeenvraag.be

Ik heb een nieuwe hobby: vragen van volslagen onbekenden beantwoorden! :-)

In Nederland was er de Nationale Wetenschapsagenda, waarbij iedereen vragen mocht indienen en op basis waarvan de komende jaren dan onderzoek gedaan zou worden. Sommige wetenschappers merkten op dat veel van de ingediende vragen al lang beantwoord zijn en wiskundige K.P. Hart ging ermee aan de slag: door de antwoorden op wiskundevragen online te plaatsen; hij schreef er ook een lezenswaardige nabeschouwing over.

In Vlaanderen hebben we (gelukkig?) geen Nationale Wetenschapsagenda, maar wél de website “Ik heb een vraag“. Daar kan iedereen permanent vragen indienen, waarop wetenschappers van Vlaamse kennisinstellingen dan een antwoord kunnen geven. Heb je zelf een vraag en wil je antwoord van een wetenschapper? Zoek dan eens in de database. Als je geen relevante resultaten vindt, dien dan een nieuwe vraag in.

Eindelijk heb ik me geregistreerd als wetenschapper en tot nu beantwoordde ik er vijf vragen:

De twee vragen die ik zelf het leukste vond plaats ik hieronder samen met mijn antwoord.

~

Stefaan vroeg:

Bestaat het heden? Het verleden bestaat niet meer. De toekomst bestaat nog niet. Het heden is het snijpunt tussen verleden en toekomst. Bestaat het heden dan ook niet? M.a.w. bestaat er niets?

Beste Stefaan,

Wat een mooie vraag. Vorig semester doceerde ik een vak over “Filosofie van de tijd”. Daarin kwamen er een aantal mogelijke antwoorden op uw vraag aan bod. Ik zet de vier belangrijkste visies hier kort op een rij, van meer naar minder intuïtief:

  1. Enkel het heden bestaat, verleden en toekomst zijn een illusie. Deze positie wordt presentisme genoemd. (Hierbij wordt ervan uitgaan dat het heden niet overlapt met verleden en toekomst, dus niet het ‘snijpunt’ is zoals u zegt. Wiskundig zouden we dit kunnen doen door verleden en toekomst voor te stellen door open verzamelingen.) Deze visie komt goed overeen met onze ervaring: we kunnen het verleden en de toekomst immers niet zien, voelen of aanwijzen.
  2. Het heden en het verleden bestaan, maar de toekomst niet. Dit wordt possibilisme genoemd en sluit aan bij het intuïtieve idee dat het verleden vast ligt, maar de toekomst nog niet. Deze visie wordt soms ook een groeiend blokuniversum genoemd, maar wat een blokuniversum is kan ik beter uitleggen bij de volgende stap.
  3. Zowel verleden, heden als toekomst bestaan en zijn even echt. Dit wordt eternalisme genoemd en deze visie heeft aan belang gewonnen na de ontwikkeling van de speciale relativiteitstheorie door Einstein. Uit Einsteins theorie blijkt namelijk dat gelijktijdigheid relatief is (afhangt van de bewegingstoestand van de waarnemer): er is dus geen universeel ‘nu’ en dit zet het idee dat enkel het heden echt is (presentisme) onder druk. We kunnen ruimte en tijd samen voorstellen als een vierdimensionaal geheel. Dit wordt soms ook het blokuniversum genoemd. De speciale relativiteitstheorie is een deterministische theorie: de toekomst staat dus vast, maar kennen we enkel nog niet. (In hoeverre dit compatibel is met een andere fundamentele natuurkundige theorie, namelijk de kwantummechanica, is niet helemaal duidelijk, vandaar dat de huidige stand van de wetenschap niet volstaat om opties 1 en 2 uit te sluiten.)
  4. Tijd is een illusie (o.a. de visie van Parmenides en Zeno): er bestaat wel iets, maar datgene dat bestaat is zelf tijdloos. Tijd is dus een illusie en ook de opdeling verleden/heden/toekomst, maar daarom bestaat er nog niet niets. Ook hierbij zijn er wetenschappelijke theorieën die er goed bij passen: in kwantumgravitatie-theorie zijn er bijvoorbeeld modellen waarin tijd een emergent verschijnsel is. Dat wil zeggen dat tijd zelf zou kunnen ontstaan uit een tijdloze theorie!

Verder wou ik nog opmerken dat het realisme-debat in de wetenschapsfilosofie vooral gaat over de vraag welke objecten echt bestaan. (Enkele voorbeelden: Bestaat een tafel? Een planeet? Een elektron? En hoe weten we dat?) De vraag die u stelt, “Bestaat het heden?”, is van een andere aard en toch leidt uw gedachtegang tot de suggestie dat er niets zou bestaan (dus ook geen objecten). Binnen filosofie van de tijd wordt dit vraagstuk op een andere manier bekeken:

  • Enerzijds is er de vraag of tijd al dan niet echt bestaat. Als tijd een illusie is (optie 4 hierboven), volgt daar nog niet uit dat er niets bestaat. Wel rijst bijvoorbeeld de vraag hoe het komt dat we die illusie hebben.
  • Anderzijds is er de vraag hoe objecten doorheen de tijd blijven bestaan. Ook daarop zijn er verschillende antwoorden te geven, maar dat zou me hier te ver leiden.

Vriendelijke groeten,
Sylvia Wenmackers

~

Jonathan vroeg:

Mag je nog geloven in de Germaanse goden (Asen)? Ik ben heel erg geïnteresseerd in de oude Germaanse mythologie, vooral de Asen. Maar ik begin wat te geloven in hen. Maar mag of kan dat nog?

Beste Jonathan,

Je vraag spreekt me aan omdat ik de ervaring meen te herkennen: vroeger was ik erg geïnteresseerd in de mythologie van het Oude Egypte. Door er veel over te lezen kwamen de goden als het ware tot leven in mijn verbeelding.

Nu wil ik een analogie opmerken. Als je je onderdompelt in fictie, dan komen de personages voor jou tot leven. Als je bijvoorbeeld van fantasy houdt, dan zal je je levendig een eenhoorn kunnen voorstellen en er waarschijnlijk wat eigenschappen van kunnen opnoemen. Toch bestaat een eenhoorn niet echt. Je iets levendig kunnen voorstellen is dus niet voldoende om erin te geloven, maar het lijkt wel op de ervaring die je beschrijft. In de filosofie zijn hier een aantal interessante vragen en paradoxen aan verbonden. Een eerste is de vraag hoe het mogelijk is dat we emotioneel reageren op iets dat niet bestaat (namelijk op de verhalen van personages in fictieve verhalen). Een tweede is de vraag of (bijvoorbeeld) de uitspraak “Sherlock Holmes woonde in Londen” waar is; op het eerste zicht klopt het, maar aangezien Sherlock Holmes niet echt bestaat is het niet duidelijk of dit soort uitspraken over hem wel waar kunnen zijn… Deze vragen worden meestal gesteld over fictieve literatuur, maar als je ze toepast op oude mythologische verhalen en religieuze teksten krijg je soortgelijke puzzels.

Verder is het zo dat als je over andere godsdiensten leert, je patronen kunt beginnen opmerken. Dit wordt gedaan in de vergelijkende godsdienstwetenschappen: dit valt buiten mijn eigen vakgebied, maar ik kan je wel iets vertellen over een Griekse filosoof die hier al over nadacht. Bij de Grieken waren goden eigenlijk net als mensen: ze handelden uit vriendschap of haat en ervoeren liefde en bedrog. De Griekse filosoof Xenophanes, die leefde van de zesde tot de vijfde eeuw v.Chr., merkte dit ook al op: goden worden geboren, dragen kleren, hebben een stem en een lichaamsbouw net als mensen. Xenophanes observeerde ook dat de goden anders werden afgebeeld door verschillende volkeren. Hij geeft als voorbeeld de Ethiopiërs die hun goden afbeeldden met een donkere huid en platte neuzen en de Thraciërs (die woonden in het Zuidoosten van Europa) die hun goden afbeeldden met blauwe ogen en rood haar. Hij speculeert dat als dieren (zoals ossen, paarden of leeuwen) handen hadden zodat ze kunstwerken konden maken, dat ze hun goden dan ook zouden afbeelden als dieren (paarden zoals paarden, ossen zoals ossen).
Wellicht kan je door over Germaanse mythologie te lezen dus iets leren over de oude Germanen: over hoe ze zichzelf zagen en wat ze belangrijk vonden. Op die manier kan je ook onderzoeken wat je er zo in aantrekt: het mysterieuze van een voorbije cultuur, de verhalen op zich, of wat ze suggereren over de waarden die toen belangrijk waren.
Misschien vind je deze website interessant: http://www.godchecker.com/ Het is een database met meer dan vierduizend goden, demonen en andere spirituele wezens uit tal van wereldgodsdiensten (wel enkel in het Engels). Germaanse mythologie staat – uiteraard – ook op de website.

Tot slot wil ik nog opmerken dat religie voor veel mensen ook een sociale component heeft: een religieuze dienst bijwonen verbindt je met anderen. Dat is natuurlijk iets dat je zal missen als je als individu een oude godsdienst hervindt of als je je opperwezen(s) uit een grote databank plukt. Dit doet me denken aan levende geschiedenis: mensen die in het weekend samenkomen om een periode uit de geschiedenis te doen herleven, door zich te kleden en te gedragen zoals bij die periode past.  Vaak gebeurt dit in de vorm van een LARP (live action role-playing game), waarbij de mensen die meedoen een personage spelen en al improviserend een opdracht moeten volbrengen. Of dit ook bestaat voor de oude Germanen en of de mythologie er dan een grote rol in speelt weet ik niet, maar als je interesse aanhoudt kan je er misschien eens naar op zoek gaan.

Je merkt dat ik je vraag niet rechtstreeks beantwoord heb, maar hopelijk geeft mijn reactie je wel wat stof tot nadenken!

Vriendelijke groeten,
Sylvia Wenmackers

Apr 04

Regenboogdag

Gisteren was het zondag 3 april en het was Find-a-rainbow-day. Ik schreef al eerder over deze kleurrijkste feestdag van het jaar.

Gisteren vond ik geen regenboog, maar eerder vorige week lukte het wél. :-)

Regenboog.

Regenboog met overtallige bogen en ook de tweede boog is zwak te zien.

Regenboog.

En aan de voet van de regenboog vonden we… dit paard. (En het heeft vast een hart van goud.)

Mrt 20

Aankondiging: Lezing over waarschijnlijkheid (21/3)

Morgenavond (maandag 21 maart om 19u30) geef ik een lezing over waarschijnlijkheid in de Pieter De Somer-aula van de KU Leuven. Dit is een “Les voor de 21ste eeuw”, de laatste van dit academiejaar. Het is een grote aula, dus er is vast plaats voor extra geïnteresseerden. ;-) Ik geef er een soort best of van mijn vak over filosofie van de waarschijnlijkheid: het gaat over geschiedenis, wiskunde, filosofie en psychologie van waarschijnlijkheid.

De volledige titel is: ‘Dat kan geen toeval zijn!’ Waarschijnlijkheid: van objectieve kansen tot subjectieve graden van geloof.

Hier alvast de handout van mijn lezing, die een samenvatting is van het hoofdstuk dat ik schreef voor het boek bij de lezingenreeks (dat ook morgen verschijnt).

Aanvulling 22 maart 2016:

Ook de dia’s staan online, trouwens van (bijna) alle lezingen uit de reeks.

Erratum bij mijn hoofdstuk in het boek (p. 286): het publicatiejaar bij Kolmogorov is 1933, er staat 1956, maar dit is de datum van de Engelstalige vertaling.

Mrt 20

Windmolenillusie

Kijk eens naar de animatie en vraag je af of je iets vreemds ziet.

Lees dan de column met de oplossing erronder.

Windmolenillusie.

Windmolenillusie. Klik op de afbeelding voor groter. (Animatie: idee S. Wenmackers; uitvoering P. Torrez – Scigrades.)

Deze column is verschenen in het aprilnummer van Eos.

We reden ’s avonds naar huis via de autosnelweg, ruim na zonsondergang. Het was op de E314 bij het windmolenpark ter hoogte van Diest. De silhouetten van de windmolens tekenden zich duidelijk af tegen de verlichte wolken erachter. De wieken draaiden allemaal met dezelfde snelheid, maar vreemd genoeg draaide er één molen de andere kant op. Even dacht ik dat deze windmolen zich misschien 180 graden gedraaid had, maar dat kon de verklaring niet zijn: het profiel van de vleugels is zo dat de molen maar één kant op kán draaien. Was de windrichting dan anders bij die molen? Dat leek me ook stug. Niets wees erop dat het weer zo veranderlijk of onstuimig was.

Ik knipperde eens met mijn ogen, maar het was toch echt zo: alle molens draaiden in wijzerzin, behalve die ene, die in tegenwijzerzin draaide. De situatie is schematisch aangegeven op het plaatje hieronder.

Toen begon me iets te dagen. Doordat we enkel de silhouetten van de molens zagen, was het niet duidelijk of we tegen de voor- of de achterkant aankeken. Bij daglicht zou deze illusie vast niet optreden. Ik kon het natuurlijk niet 100% zeker weten, daarvoor zou ik dezelfde situatie eens bij daglicht moeten kunnen bekijken. Maar de volgende keer dat we er passeerden was de wind gedraaid en wezen de assen van alle molens een andere kant op.

Waar echte experimenten niet haalbaar blijken, doen wetenschappers steeds vaker een beroep op computersimulaties. Ook in dit geval leek een simulatie in een 3D-tekenprogramma me een goede manier om mijn hypothese te testen. Daarom riep ik de hulp in van Pieter Torrez, een marien bioloog die na zijn opleiding Scigrades heeft opgericht, een bedrijfje voor wetenschapsvisualisatie. (De animaties die Pieter maakte staan boven- en onderaan dit bericht.)

De hypothese werd getest en afdoende bevonden. Als het licht zo is dat we enkel het profiel van de windmolens kunnen zien, lijken de molens verschillend te draaien. Bij daglicht krijgen we echter meer informatie: we zien of we tegen de voor- of achterkant van de gondel aankijken en door licht en schaduw zien we meer diepte. Zo treedt de illusie niet meer op. Als we de diepte-informatie correct interpreteren kunnen we trouwens ook bij slechte lichtomstandigheden inzien dat de molens wél dezelfde kant op draaien: interpreteer de rode pijlen niet als “tegenwijzerzin” en “wijzerzin” (verschillend), maar als “naar ons toe” (hetzelfde).

Windmolenillusie.

Windmolens: je kan de illusie opheffen door de rode pijlen te interpreteren als “naar ons toe”.

Voor zo ver ik weet is deze illusie nog niet eerder gedocumenteerd. Wel zijn er minstens twee andere optische illusies met windmolens bekend. De eerste illusie is dat windmolens in werkelijkheid groter zijn dan we doorgaans inschatten. Dit komt door gebrek aan referentiepunten in de hoogte en door perspectiefwerking. Zelfs als je bij het plaatsen van nieuwe windmolens met eigen ogen hebt kunnen zien dat de rotorbladen meer dan 80 meter lang zijn, is het moeilijk om dit besef vast te houden. Hierdoor lijken de molens zelfs bij sterke wind relatief rustig te draaien. Als je in rekening brengt hoe groot de wieken zijn, zie je dat de uiteinden ervan toch grote snelheden halen.

De tweede illusie heeft opnieuw met de draaibeweging te maken. Let maar eens op een rotorblad dat net de mast passeert: daar lijkt die ene wiek even iets sneller voorbij te zwiepen, terwijl de wieken in werkelijkheid natuurlijk allemaal even snel draaien.

Windmolens bij daglicht.

Dezelfde windmolens als bovenaan, nu bij daglicht. Klik op de afbeelding voor groter. (Animatie: idee S. Wenmackers; uitvoering P. Torrez – Scigrades.)

Mrt 09

Onzekerheidsprincipe

Het onzekerheidsprincipe binnen en buiten de kwantummechanica

Vandaag was acteur Aron Wade te gast bij “De bende van Annemie”, een programma op Radio 1. De studiogast mag aan het einde een vraag stellen en dan bellen ze iemand op. Aron Wade is gefascineerd door wetenschap, van planeten tot de microkosmos. Deze “kennisjunky” wilde graag meer weten over het onzekerheidsprincipe van Heisenberg en de redactie belde mij met deze fijne vraag. Ik plaatste het fragment op YouTube, zodat je het hier kan herbeluisteren. (De hele uitzending is – vandaag althans – hier te herbeluisteren; het item begint om 1u43min.)

Note to self: minder vaak ‘eigenlijk’ zeggen bij interviews. ;-)

Dit leek me een goede gelegenheid om ook een blogstukje te schrijven over dit onderwerp. Hier gaan we.

Wat is het onzekerheidsprincipe van Heisenberg?

Het onzekerheidsprincipe van Heisenberg is een onderdeel van de kwantummechanica, dat is de fysica die we nodig hebben om de wereld op kleine schaal te beschrijven. Het onzekerheidsprincipe zegt dat in een kwantumtoestand sommige combinaties van eigenschappen niet tegelijk volledig bepaald kunnen  zijn. Het is in 1927 gepubliceerd door Werner Heisenberg, één van de natuurkundigen die de kwantummechanica mee ontwikkeld hebben. Hij kreeg trouwens ook de Nobelprijs voor Natuurkunde voor zijn bijdragen in 1932.

Natuurkundigen spreken over de onzekerheidsrelaties, meervoud dus, omdat er verschillende koppels van grootheden zijn waarvoor er zo’n fundamentele limiet bestaat op hoe nauwkeurig beide tegelijk bepaald kunnen zijn. De bekendste is die voor positie en snelheid (eigenlijk impuls), maar er is bijvoorbeeld ook een onzekerheidsrelatie over energie en tijd.

Hoe kunnen we ons dit voorstellen?

Om dit goed te begrijpen hebben we gelukkig niet eens kwantummechanica nodig.

  • Stel je een vijver voor en je neemt een stok, die je aan de kant in het water op en neer beweegt. Als je dat regelmatig doet, gaat het hele oppervlak golven, met toppen en dalen op regelmatige afstand. Je kan hier dan een golflengte aan toekennen. Dat is de afstand tussen twee toppen. Maar als je vraagt “waar is de golf precies?” dan stel je een rare vraag: een golf is per definitie uitgespreid. Het is niet op één zeer specifieke plaats.
  • Omgekeerd kan je één harde slag in het water geven. Dan ontstaat er een soort golfpakket, met een duidelijk aanwijsbare positie. Maar nu wordt de vraag wat de golflengte is moeilijker te beantwoorden. Want een golfpakket kan je beschrijven als een som van heel veel golflengten.

Deze wisselwerking is óók een onzekerheidsrelatie – niet die van Heisenberg, maar eentje voor macroscopische golven. (Zie ook: onzekerheidsrelatie in de Fourier-analyse.)

Deze insteek wordt ook goed uitgelegd in onderstaand filmpje van “One Minute Physics” (1 minuut).

Wat heeft dat nu met de fysica van de microschaal te maken?

Om te beginnen kunnen we aan licht denken. Daar spreken we in het dagelijks leven soms al over als lichtgolven, dus het zal je niet verbazen dat ook in de kwantummechanica de onzekerheidsrelaties gelden voor licht. Net zoals voor die golven in het water.

Het onzekerheidsprincipe voor licht wordt geIllustreerd in onderstaand filmpje van “Veritasium” (4 minuten).

Maar er is meer. Ook deeltjes met een massa hebben golfeigenschappen. Dit werd voor het eerst gepostuleerd door Louis de Broglie en later experimenteel aangetoond. (Eerst voor elektronen, later voor atomen en tegenwoordig voor steeds grotere moleculen.) En het is hierop dat Werner Heisenberg zijn onzekerheidsrelaties baseerde.

Kwantummechanica beschrijft een toestand als een waarschijnlijkheidsverdeling: het kent waarschijnlijkheden toe aan verschillende combinaties van positie en snelheid. Maar doordat we met golfachtige systemen werken, kunnen niet zowel positie als impulstegelijk 100% waarschijnlijkheid krijgen. Naarmate de waarschijnlijkheidsverdeling voor de positie meer gepiekt is, is die voor impuls meer uitgespreid en vice versa.

Hebben de onzekerheidsrelaties toepassingen?

In de eerste plaats zijn de onzekerheidsrelaties belangrijk in de kwantummechanica zelf. Ze helpen ons om de wereld beter te begrijpen.

De onzekerheidsrelaties hangen samen met ons begrip van het tunneleffect en dat is een effect dat wel gebruikt wordt in zeer veel toepassingen. Kwantumtunneling is het proces waarbij deeltjes, bijvoorbeeld elektronen, een barrière kunnen passeren waarvoor ze – als je het puur met klassieke fysica bekijkt – niet genoeg energie lijken te hebben.

Kwantumtunneling helpt om natuurlijke processen te begrijpen zoals radioactief verval, bijvoorbeeld alfa-verval waarbij een kern een twee protonen en twee neutronen uitstoot. Maar het wordt ook gebruikt in technologische toepassingen: bijvoorbeeld in transistoren, die in computers en andere elektronische toepassingen gebruikt worden.

Kwantumtunneling wordt ook gebruikt in een raster-tunnelmicroscoop. Dat is een toestel dat in labo’s wordt gebruikt om materialen op atomaire schaal te bestuderen. Indirect leidt dat ook weer tot nieuwe toepassingen, want het is in die labo’s dat nieuwe materialen worden ontwikkeld.

Heeft het onzekerheidsprincipe ook een impact buiten de fysica?

Het onzekerheidsprincipe is één van de bekendste aspecten van kwantummechanica en hangt ook samen met het wereldbeeld dat sindsdien veranderd is. Vóór de ontwikkeling van de kwantummechanica dachten veel mensen dat de wereld in principe perfect voorspelbaar is. Laplace schreef hier een gedachte-experiment over: de demon van Laplace. Een intelligentie die de huidige posities en snelheden van alle deeltjes in het heelal perfect zou kennen, zou met de wetten van Newton perfect de toekomst kunnen voorspellen en ook het verleden reconstrueren. In de praktijk is dit natuurlijk niet mogelijk, maar de onzekerheidsrelaties zeggen bovendien dat het zelfs in principe niet mogelijk is om tegelijk de positie en de snelheid van één enkel deeltje exact te kennen.

Zelf denk ik dat vooral het golfkarakter veel van deze aspecten duidelijker kan maken, omdat een golf iets is dat uitgespreid is. Ook in de latere ontwikkeling van kwantumveldentheorie werken natuurkundigen met uitgespreide velden als fundamentele beschrijving in plaats van gelokaliseerde deeltjes.

Betekent het onzekerheidsprincipe dat we niets zeker kunnen weten?

Nee. Eigenlijk zou onbepaaldheid een beter woord zijn dan onzekerheid. Het gaat niet slechts om wat we kunnen meten of zeker weten, maar om eigenschappen van de kwantumtoestand zelf. Als de positie van een kwantumsysteem zeer nauwkeurig bepaald is, dan leidt dit er automatisch toe dat de snelheid niet één bepaalde waarde heeft, maar verschillende mogelijke waarden elk met een zekere waarschijnlijkheid. En omgekeerd is een kwantumtoestand met een welbepaalde snelheid niet geconcentreerd op één punt in de ruimte, maar kent het aan allerlei verschillende mogelijke posities enige waarschijnlijkheid toe. De onzekerheidsrelatie zegt hoe die trade-off tussen de bepaaldheid van twee zulke eigenschappen precies werkt.

Tot slot nog deze animatie van TedED die het ook goed weergeeft (bijna 5 minuten).

Als er iemand nog goede manieren weet om de onzekerheidsprincipes uit te leggen: tips altijd welkom in de reacties.

Oudere berichten «