apr 15

Ondertussen (deel 2)

De voorbije maanden had ik te weinig tijd voor mijn blog en bleef het bij af en toe een berichtje op Twitter. Dit is deel 2 van een overzicht van de voorbije periode: over tijdreizen, dode cartoonisten, een nieuwe polo, een groene specht en LEF. (Deel 1 vind je hier.)

Januari 2015 (deel 2)

Mijn doctoraatsstudent, Pieter Thyssen, werkt aan een project dat te maken heeft met de filosfische implicaties en de kwantumfysische grondslagen van teleportatie en tijdreizen. Hij schreef hierover op zijn eigen blog (in het Engels):

Het laatste bericht uit de trilogie gaat over de film “Somewhere in Time“. Ik heb die film (nog) niet gezien, maar Pieters beschrijving deed me denken aan een dubbelaflevering van Stark Trek – The Next Generation: “Time’s Arrow” waarin de bemanning van de Enterprise Mark Twain ontmoet.

~

Wat onze eigen tijd betreft, was januari niet zo’n fraaie maand. In Parijs werden er cartoonisten vermoord. In reactie hierop stuurde Katrijn volgend bericht via Twitter:

“De grote deugd van humor is dat het filosofie in actie is, een flonkerende zilverdraad in het grote dekbed vh bestaan (Critchley) #Charlie”

Ik besloot op zoek te gaan naar het originele citaat (uit “On Humor” van de Engelse filosoof Simon Critchley) en stuurde dit erachteraan:

“The great virtue of humor is that it is philosophizing in action, a bright silver thread in the great duvet of existence.” S. Critchley #pt

Illustratrice Stephanie Dehennin beschreef haar gevoel die dag aldus:

“It’s a weird thing to explain to your kid you don’t need police protection because you make different kinds of drawings.”

:-(

~

Stromae won een MIA voor beste pop-act. Dit was de aanleiding voor mijn volgend bericht:

“Vond die @Stromae “onmogelijke vierkantswortel” direct leuk http://www.sylviawenmackers.be/blog/2013/12/stromae-en-de-onmogelijke-vierkantswortel/ Heb nu zo’n polo! :-) Mosaert: http://store.mosaert.com/ #pt”

~

Ondertussen verhuisde ik mijn werkplek thuis naar een tafel met uitzicht op de tuin. Dat was een heel goede beslissing: meer daglicht en vaak dieren te zien. Op Twitter plaatste ik bijvoorbeeld deze foto:

Groene specht

Groene specht.

“Aan het schrijven met uitzicht op de tuin: groene specht zoekt hier naar insecten.”

~

Moraalfilosoof Patrick Loobuyck (UA en UGent) lanceerde het voorstel tot het invoeren van een vak ‘LEF’ (levensbeschouwing, ethiek en filosofie). Hierover werd onder meer gedebatteerd bij het Radio1-programma Hautekiet.

Op het forum schreef ik (Sylvia Maandag 12 Jan 22:52; comment 434907):

Iets dat me altijd is bijgebleven van mijn schooltijd (in de jaren ’90):
Er was een leraar (van een niet-levensbeschouwelijk vak) ziek en we kregen dat lesuur vervanging van de leraar islam, in zijn klas. In plaats van ons gewoon huiswerk te laten maken (zoals de meeste leerkrachten deden als ze vervanging moesten geven) heeft hij met ons gepraat. Er stond een schaalmodel van een moskee in zijn klas, met lichtjes die aan konden, en hij heeft ons het verschil uitgelegd tussen integratie en assimilatie. Dit is me altijd bijgebleven.

Ik denk dat het heel nuttig zou zijn als er inderdaad een vak zou zijn dat het mogelijk maakt dat leerlingen van diverse levensbeschouwingen horen. Liefst van de bron zelf, niet enkel van een vaste ‘neutrale’ leerkracht. (Dit zou met de huidige leerkrachten kunnen, door ze naar meer scholen te laten gaan.) De rest van de wereld is ook niet neutraal.

Het systeem met aparte leraars en lokalen voor levensbeschouwing, in de lagere school al, is eigenlijk heel naar: het benadrukt het anders-zijn en nodigt niet uit tot dialoog.

Als leerling had ik trouwens de indruk (op basis van gesprekken op de speelplaats) dat er in de lessen godsdienst en moraal sowieso veel over dezelfde thema’s werd gepraat, bijvoorbeeld een overzicht van (andere) godsdiensten, dus zo groot zou de stap naar LEF niet eens zijn.

En achteraf op Twitter:

Levensbeschouwing op school: al wie anders denkt moet naar een ander lokaal. Dat is toch een gek systeem? LEF houdt mensen samen. @hautekiet

apr 13

Ondertussen op Twitter (deel 1)

De voorbije twee maanden had ik geen tijd voor mijn blog. Af en toe een berichtje op Twitter lukte nog wel. Dit is deel 1 van een overzicht van de voorbije periode: over spelen met blokjes, de volle maan, logica en het werken aan een cursus.

Januari 2015 (deel 1)

Bij het begin van 2015 stuurde ik volgende nieuwjaarswens:

“Moge in 2015 ook uw balans tussen werk & gezin goed genoeg zijn om af en toe met de blokjes te spelen. ;-) #Duplo”

Work Life Balance

Helaas moest ik vervolgens dit bericht erachteraan sturen…

“Pijnlijk detail: vijf seconden nadat de vorige foto gemaakt is, is één van de mannetjes eraf gevallen. #pt”

~

Frank Deboosere herinnerde ons eraan dat het volle maan was:

“De volle maan is de hele nacht zichtbaar. Per definitie. http://www.frankdeboosere.be/vragen/vraag90.php http://youtu.be/DKyTe68xJ3c

Mijn reactie:

“.@frankdeboosere Met compactcamera kwamen we vanavond niet verder dan deze foto (bijgeknipt).”

Volle maan

~

Bij het Hoger Instituut voor Wijsbegeerte (HIW) van de KU Leuven werden er een aantal filmpjes gemaakt om toekomstige studenten te informeren over onze expertise. Samen met enkele collega’s werd ik geïnterviewd over mijn logica-gerelateerd onderzoek (filmpje in het Engels).

Verder gaf Lorenz Demey, één van de postdocs aan het HIW, een inleidingsles over logica (filmpje ook in het Engels).

~

Intussen werkte ik naarstig verder aan de cursus voor mijn nieuwe vak in het tweede semester. Ook op dat vlak vond ik steun op Twitter dankzij de account Dr Academic Batgirl. :-)

“For all the January syllabus makers, data crunchers, and writers. Respect.”

Volle maan

apr 13

Kinderen van de Kosmos

Het Foundational Questions Institute (FQXi) onderzoekt de grondslagen en de grenzen van de fysica en de kosmologie. Het voorziet budgetten voor onderzoek naar grote vragen uit de natuurkunde en naar betere communicatie over fascinerende onderwerpen zoals zwarte gaten en kwantummechanica. Geregeld schrijven ze ook wedstrijden uit: zo was er onlangs een wedstrijd voor filmpjes waarin een onderwerp uit fysica uitgelegd of – beter nog – getoond wordt. (Hier kan je de winnende filmpjes zien. Mijn persoonlijke favoriet is de animatiefilm van Xiangjun Shi, waarover ik eerder al blogde.)

Op dit moment loopt er een essaywedstrijd met als titel “Trick or truth?” over de vraag hoe het komt dat wiskunde zo verbluffend goed werkt in de natuurkunde. En ik heb meegedaan! Mijn inzending heet “Children of the Cosmos“.

Als je op mijn essay wil stemmen, dan kan dat hier. (Maar de publieksstemmen spelen geen directe rol bij de beoordeling.) De tekst is in het Engels, maar ik zal misschien nog een Nederlandse versie uitwerken en online plaatsen.

feb 04

Wet van de waterkans

Dit stukje is als column verschenen in Eos.
(Jaargang 32, nummer 2.)

Een langere versie van deze tekst vind je hier.

En een gedichtje dat erbij past.

Waterkans.In Vlaanderen beschikken we over een mooi woord voor een uiterst kleine kans: waterkans. Kansloos wil zeggen dat de kans helemaal onbestaande is. Volgens het principe van Cournot zijn waterkansjes in de praktijk kansloos: een op voorhand gespecifieerde gebeurtenis waarvan de kans zeer klein is zal niet gebeuren. Dit principe is vernoemd naar Antoine Augustin Cournot die in 1843 inderdaad een dergelijke redenering publiceerde.

Volgens de eponiemenwet van Stigler wordt geen enkele ontdekking naar de oorspronkelijke ontdekker vernoemd. En inderdaad: het principe van Cournot is al terug te vinden in de geschriften van eerdere auteurs, zoals Jakob Bernoulli. In “De kunst van het gissen” (postuum verschenen in 1713) bewees Bernoulli als eerste een speciaal geval van de wet van de grote aantallen. Hij interpreteerde zijn wiskundige resultaat al in termen van praktische zekerheid.

Later ging de Franse wiskundige Émile Borel zo ver om in zijn boek “De kansen en het leven” uit 1943 te schrijven: “Het principe dat een gebeurtenis met een zeer kleine kans niet zal gebeuren is de enige wet van de kans.” Borel heeft ook een aantal vuistregels opgesteld voor welke gebeurtenissen men in welke context als onmogelijk kan beschouwen. Volgens hem zijn kansen kleiner dan één miljoenste (10-6) onmogelijk op de menselijke schaal en kansen kleiner dan één honderd-octiljoenste (10-50) onmogelijk op de kosmische schaal.

Het principe van Cournot lijkt zeer aannemelijk. De kans dat een op voorhand gespecifieerde combinatie van zes verschillende getallen tussen 1 en 45 wint bij de volgende lottotrekking is kleiner dan één op acht miljoen (ongeveer 0,000 012 %). Volgens Borels vuistregels is de hoofdprijs winnen met de Belgische lotto dus onmogelijk op de menselijke schaal. Ook het principe van Cournot zegt dat onze combinatie niet zal winnen.

Waterkans.Nochtans worden we voortdurend geconfronteerd met gebeurtenissen waaraan we op voorhand niet meer dan een waterkans hebben toegekend. Geregeld blijkt dat iemand vooraf de zes juiste getallen heeft aangeduid op het lottoformulier. Een kans, hoe klein ook maar groter dan nul, is en blijft een kans. De bijbehorende gebeurtenis kan niet op voorhand worden afgedaan als onmogelijk. Noem het de “wet van de waterkans”. De “wet van Wenmackers” allitereert even mooi, maar hierbij is opnieuw de wet van Stigler van kracht: wetenschapsfilosoof Brian Skyrms schreef hier immers al over in 1980. Hij benadrukt dat we kunnen winnen. Enkel als we niet meedoen aan de loterij is winnen echt onmogelijk.

Natuurlijk blijft het veel waarschijnlijker dat die ene, vooraf uitgekozen combinatie niet zal winnen. Het is precies deze vaststelling die het principe van Cournot zo plausibel maakt. In veel situaties weten we echter op voorhand met volledige zekerheid dat er een gebeurtenis met een zeer kleine kans zal optreden. Over een uur zullen de luchtmoleculen in onze dampkring zich in een bepaalde configuratie bevinden. Er zijn zeer veel configuraties mogelijk waardoor de kans behorende bij elke specifieke configuratie zeer laag is, maar er zal er één gerealiseerd worden. Dit is mijn wet, de wet van de waterkans: “Als elke mogelijke gebeurtenis een even kleine kans heeft, moet er met zekerheid een gebeurtenis met zo’n kleine kans gerealiseerd worden.”

Kosmische loterij.Als afsluitende denkoefening moet je je eens proberen voorstellen hoe klein de kans was dat je geboren zou worden en dat je leven zich vervolgens precies zo zou voltrekken als het tot op de dag van vandaag heeft gedaan. Hoe groot was die kans op basis van informatie beschikbaar negen maanden voor je geboorte? Negen jaar voordien? Negentig jaar ervoor? Toen de eerste mensen ontstonden? Toen de aarde gevormd werd? Het zonnestelsel? Het heelal???

Als je genoeg details in rekening brengt, kom je al snel bij een kans van minder dan één honderd-octiljoenste uit. Moeten wij onszelf dan tot een paradox verklaren, onmogelijk op de kosmische schaal? Welnee, we zijn gewoon allemaal het levende bewijs van de collectieve kracht van waterkansen. Wij zijn de onvoorziene winnaars in de kosmische loterij.

Er staan ons nog veel onvoorspelbare gebeurtenissen te wachten, zoveel is zeker.

jan 30

De enige wet van de kans

Waterkans.Op mijn blog heb ik het al vaker gehad over kleine kansen, zogenaamde waterkansen. (Soms duiken ze zelfs op in de vorm van colakansjes!) Ook mijn Eos-column deze maand gaat erover. De column is gebaseerd op de langere tekst hieronder, die ik in 2012 schreef. Rond die tijd gaf ik namelijk een presentatie over kleine kansen voor de Nederlandse Vereniging voor WetenschapsFilosofie (NVWF, waar ik toen nog geen lid van was, laat staan secretaris). Naar aanleiding van dit onderwerp gaf ik toen een interview voor Hoe?Zo! bij de Nederlandse radio 5, dat hier nog steeds te herbeluisteren is.

~

Het principe van Cournot stelt dat een op voorhand gespecifieerde gebeurtenis met een zeer kleine kans niet zal gebeuren. Dit idee is al terug te vinden in de geschriften van Bernoulli. Borel noemde het zelfs “de enige wet van de kans”. Daar tegenover staat mijn wet van de waterkans, die zegt dat je in veel situaties op voorhand zeker kunt zijn dat er een gebeurtenis met een kleine kans gerealiseerd zal worden. Verwacht het onverwachte in deze beschouwing over grote aantallen en kleine kansen.

Bernoulli’s “gouden stelling”

Jakob Bernoulli.Jakob Bernoulli was een befaamd Zwitsers wiskundige die leefde van 1654 tot 1705. Hij zou niet de laatste bekende wetenschapper worden in de Bernoulli-familie. Zo maken we in de fysica nog steeds gebruik van de wet van Bernoulli om de druk in stromende vloeistoffen of gassen te beschrijven; deze wet is vernoemd naar de in Groningen geboren Daniël Bernoulli, een neef van Jakob. Naar Jakob zelf is geen natuurkundige wet vernoemd, maar wel een wiskundige stelling: de stelling van Bernoulli, het eerste voorbeeld van een wet van grote aantallen.

Jakob Bernoulli schreef een verhandeling over de waarschijnlijkheidsrekening, die pas na zijn dood verscheen (in 1713): “Ars Conjectandi” of “De kunst van het gissen”. Hierin beschreef hij waarschijnlijkheden als graden van zekerheid; dit is een subjectieve interpretatie van wat kansen zijn, die in contrast staat met objectieve interpretaties, bijvoorbeeld in termen van frequenties. In zijn boek presenteerde Jakob ook zijn “gouden stelling” – dit is de eerder genoemde stelling van Bernoulli –, als oplossing van een vraagstuk dat hem twintig jaar lang had beziggehouden.

Stel dat je een eerlijke munt opgooit. De kans op kop is dan 50%, net als de kans op munt. Dit is een voorbeeld van een Bernoulli-experiment; in het algemene geval hoeven de kansen op succes (kop) en mislukking (munt) overigens niet gelijk te zijn. Herhalen we nu de (eerlijke) muntworp een groot aantal maal, dan verwachten we dat we in ongeveer de helft van de gevallen kop te zien en in de andere helft van de gevallen munt. De (sterke) wet van de grote aantallen drukt deze verwachting als volgt uit: de fractie van de muntworpen die kop opleveren convergeert vrijwel zeker naar 50%.

Hierbij vallen er drie bedenkingen te maken.

  • Ten eerste suggereert de wet een brug tussen het begrip kans enerzijds en experimenteel waargenomen fracties of frequenties anderzijds – een brug dus tussen pure wiskunde en experimentele wetenschap. Opgepast: het betreft een puur wiskundig resultaat, dat op zichzelf deze brug nooit kan slaan.
  • Ten tweede moeten we de frase “vrijwel zeker” hier interpreteren als “met kans 100%”. Daarbij moet je weten dat dit laatste niet garandeert dat het noodzakelijk zo moet zijn, enkel dat het oneindig veel waarschijnlijker is dan dat het niet zo gebeurt.
  • Ten derde was de oorspronkelijke stelling van Bernoulli een zwakke wet van grote aantallen, maar de verschillen met de sterke wet laten we hier buiten beschouwing.

Jakob interpreteerde zijn wet van de grote aantallen als volgt: we kunnen een zeer hoge waarschijnlijkheid op een bepaalde gebeurtenis beschouwen als morele zekerheid. Verder kunnen we de frequentie waarmee we een gebeurtenis waarnemen gebruiken als een schatting van de waarschijnlijkheid van die gebeurtenis. Lees verder »

jan 29

Kansrekening (gedicht)

Kansrekening

(Vertwijfeld tellen van 0 tot 1)

 

Het leek een onmogelijke opdracht,

maar we hadden een waterkans.

We zijn door het oog van de naald gekropen,

die kleine nul boven die lange één.

 

Het is een dubbeltje op zijn kant,

maar de teerling is geworpen.

Waarschijnlijk gaat het lukken,

we weten het zeker.

jan 25

Spruitjes in een saus van kansrekening

Het cliché wil dat kinderen geen spuitjes spruitjes [met dank aan een oplettende lezer!] lusten. Bij ons zit het anders: ons zoontje eet juist graag spruitjes, net als zijn papa. Ik ben thuis de enige die bij de geur van spruiten alleen al op de vlucht slaat. Natuurlijk word ik hier wel eens mee geplaagd, maar dat vind ik onterecht. En de wetenschap steunt me daarin: ik ben gewoon erfelijk belast!

Stelling van de dag:

Het is helemaal niet stoer om te zeggen dat je spruitjes lust. Sommige mensen proeven niet hoe bitter die zijn: ze missen daartoe de werkzame variant van een bepaald gen (TAS2R38-gen).

Spruitjes.Waarom ik op een zondagavond over spruitjes en genetische aanleg voor het proeven van bitter begin? Welnu, in de Nationale WetenschapsQuiz 2014 zat er een vraag hierover en dat in combinatie met kansrekening (zie vraag 11). Ha, spruitjes in een saus van kansrekening, dat is dan weer wel spek naar mijn bek! :-)

Uiteraard blogde ik hier al eerder over, maar het verhaal kreeg een staartje in de commentaren. Voor wie het gemist heeft: iemand betwijfelde of de modeloplossing van NWO wel juist was, maar ik kon hem overtuigen. Ook Mark Peeters – Vlaanderens zelfverklaarde nieuwe Copernicus – dacht aanvankelijk dat er iets mis was met de modeloplossing, maar gaf uiteindelijk zijn fout toe.

Nu is hij echter van mening dat weinig mensen de uitleg die tot de juiste oplossing leidt écht begrepen hebben. Daarom daagt hij de lezers van zijn blog uit om (nogmaals) uit te leggen waarom zijn initiële redenering (die tot een fout resultaat leidt bij de originele opgave) niet werkt.

Hij stelt de volgende variant van de opgave voor (hier uitgeschreven om misverstanden te vermijden):

Een stel heeft twee kinderen. Moeder vindt spruitjes niet bitter, vader wel. Het proeven van bitter is een dominante eigenschap van één gen. De werkzame en de niet-werkzame versie van dit gen komen even vaak voor. Wat is de kans dat beide kinderen de spruitjes wel bitter vinden smaken?

(Voor de volledigheid: in de originele opgave werd er gevraagd naar de kans dat beide kinderen de spruitjes niet bitter vinden smaken. Marks initiële idee was 1/3 x 1/3 = 1/9, terwijl de juiste oplossing 1/6 was.)

Marks initiële redenering levert als antwoord op bovenstaande variant 2/3 x 2/3 = 4/9 op.

Hij vraagt wie met hem wil wedden voor 100€. Nu, wedden doe ik niet, uit principe, maar ik wil wel met alle plezier een poging doen om uit te leggen waarom het antwoord op deze variant van de opgave niet 2/3 x 2/3 is.

In deel 1 zal ik uitleggen hoe de berekening dan wel verloopt (of althans één manier geven om het uit te leggen) en in deel 2 zal ik verduidelijken wat er mis gaat bij “als voor één kind de kans 2/3 is, dan is voor twee kinderen de kans 2/3 x 2/3″. Lees verder »

jan 21

Doodgewone dingen

Ik hou zo van:

  • Films met een alwetende verteller, zoals in Amélie Poulain waarin bij elk personage wordt verteld van welke alledaagse dingen hij of zij wel of juist niet houdt.
  • Gesprekken die meanderen zoals een rivier: er zit duidelijk een richting in, maar het hoeft niet altijd rechtdoor te gaan. Bij rivieren kan je dit meten (sinuositeit), bij gesprekken kan je het voelen.
  • Thuis zitten werken en me via de radio toch verbonden met de rest van de wereld.
  • Een knipoog of een blik van verstandhouding tijdens een saaie vergadering.
  • Naar eekhoorns kijken in de tuin – zeker als ze verliefd zijn en achter elkaar hollen en zich uit de bomen laten vallen (zoals toen in Oxford).
  • Curryketchup van de man, of mensen leren kennen die het erover eens zijn dat dit de beste ketchup is.
  • Dat iemand iets vraagt en dat ik het dan uitleg en dat ze het dan snappen (en niet gewoon ‘ja’ zeggen om ervan af te zijn).
  • De sterren zien.
  • Een kladblok met ezelsoren. Omdat het maar een kladblok is, is er geen enkele remming om er vage plannen of halfbakken ideeën in te noteren. En juist door ze op te schrijven krijgen die plannen en ideeën meer vorm. Het gebeurt geregeld dat ik ‘s avonds opnieuw het licht aanknip om snel iets op te schrijven.
  • Mijn vriend die in het weekend met opzet te grote porties kookt, zodat ik als hij er tijdens de week niet is, maar gewoon een bord uit de koelkast moet halen om op te warmen. ♥
  • Dat ik de radio aanzet en dat er dan net een liedje van Counting Crows gespeeld wordt.

 

Deze rubriek is een idee van Lilith.

jan 21

Goochelen met deuren en kansen

Ik blog al bijna vier jaar en daarbij gaat het regelmatig over kansrekening. Toch heb ik het hier nog niet gehad over het drie-deuren-probleem – ook bekend als het probleem van Monty Hall. Bij de paradox van de Schone Slaapster kwamen de drie deuren wel zijdelings ter sprake, maar daar bleef het bij. Tot nu althans. Naar aanleiding van een blogbericht van Jean Paul Van Bendegem – over de vraag hoe we de oplossing voor het drie-deuren-probleem het beste kunnen uitleggen (zonder wiskunde) – schrijf ik met alle plezier mijn driehonderste bericht precies hierover. :-)

Of een lama!

Als je verkeerd kiest, win je niets. Of een geit. Of een lama. Zonk!

Het probleem

Important!

Stel je voor dat je mee doet aan een ouderwetse spelshow op TV. Je maakt kans op een hoofdprijs (bijvoorbeeld een auto), maar als je pech hebt win je niets (of een geit).

Je staat naast de presentator (Monty Hall) voor drie gesloten deuren. Je mag een deur kiezen en de prijs erachter straks mee naar huis nemen.

Nadat je je keuze bekend hebt gemaakt, opent een assistent die weet waar de hoofdprijs staat één van de twee andere deuren, zodat je kan zien dat daar alvast niet de hoofdprijs staat.

Nu geeft de presentator je de mogelijkheid om nogmaals te kiezen: blijf je bij de deur die je in het begin gekozen had, of kies je de andere deur?

Wat denk je:

  • Bij je eerst keuze blijven geeft je de grootste kans om te winnen.
  • Van deur veranderen geeft je de grootste kans om te winnen.
  • Het maakt niet uit.

De oplossing

Spoiler Inside SelectShow

Lees verder »

jan 13

Foto van komeet Lovejoy?

Vanavond heb ik in de tuin rond 23u20 een foto gemaakt van de sterrenhemel – met een compactcamera en uit de losse hand. (Tot voor kort wist ik zelfs niet dat dat mogelijk was, maar met een goede camera blijkbaar wel!)

Op de foto zie je een deel van ‘mijn’ sterrenbeeld Stier en rechts bovenaan de Pleiaden. Maar het aangeduide, wazige vlekje: is dat nu komeet Lovejoy (C/2014 Q2)? Als ik me hierop en hierop baseer, moet het ongeveer kloppen.

Wie het weet mag het zeggen! :-)

Sneeuw.

Een stukje van de sterrenhemel vanavond. Deze foto is een beetje bewerkt voor beter contrast. Link naar onbewerkte foto.

Update [iets na middernacht]:
Twitter is handig! Stijn de Vos verwees me naar deze reddit en via daar vond ik dit plaatje. Het lijkt dus inderdaad zo te zijn dat komeet Lovejoy hier op de foto staat. Fijn! :-)

Als het morgen weer helder is, maak ik nog een foto om te checken of het ‘vlekje’ zich in de goede richting beweegt.

Oudere berichten «