Infinitesimaal

Sylvia Wenmackers 01/06/2011 8 Reacties

In mijn proefschrift maak ik gebruik van infinitesimale kansen. Wellicht ga ik in een volgend bericht hier iets meer over vertellen, maar vandaag zou ik graag even stilstaan bij het woord ‘infinitesimaal‘. Klinkt dat als Latijn? Dat treft, want dat is ook!

‘Infinitesimaal’ betekent ‘oneindig klein’. Lang woord, hè, voor ‘bijna niets’? Het woord werd bedacht door Leibniz. Als je één deelt door duizend dan krijg je een duizendste. De uitgang -ste geeft in het Nederlands dus aan dat je de stambreuk neemt (zelfde vorm als een rangtelwoord). In het Latijn gebruik je daarvoor de uitgang -esimus of (vanaf de Middeleeuwen) -esimalis. Bijvoorbeeld: duizend is ‘mille’ en duizendste is ‘millesimus’ of ‘millesimalis’. Leibniz plakte deze uitgang aan het Latijnse woord voor oneindig (infinitus) en verkreeg zo: ‘infinitesimalis’. In diverse talen werd dit woord overgenomen, met een lichtjes aangepaste uitgang. In het Nederlands werd het infinitesimaal. (Vergelijk met ons woord decimaal: dit komt van het Latijnse woord voor tiende, ‘decimus’ of ‘decimalis’.) Een ‘infinitesimaal’ is dus letterlijk een ‘oneindigste’.

Leibniz was een Duits wiskundige en filosoof die leefde van 1646 tot 1716. Daarmee weten we echter nog niet waarvoor Leibniz die infinitesimalen nodig had. Net als zijn tijdgenoot Newton (maar onafhankelijk van hem) werkte Leibniz aan een wiskundige theorie die we nu nog altijd leren en volop toepassen (bijvoorbeeld in de fysica): we noemen het tegenwoordig calculus, analyse, of differentiaal- en integraalrekening. Een integraal kun je gebruiken om de oppervlakte onder een kromme te berekenen. De oppervlakte van een rechthoek berekenen is eenvoudig – je doet gewoon breedte maal hoogte – maar hoe doe je dat bij een kromme? Het idee is dat als je maar sterk genoeg op een kromme ‘inzoomt’, deze lokaal (over een infinitesimaal stukje) wel recht is. Door de oppervlakte van oneindig veel smalle stroken op te tellen kun je de oppervlakte onder een kromme berekenen. Deze oneindige som noemen we de integraal.

Briljant idee, maar er zit nog een addertje onder het gras. Hoewel hun intuïtieve ideeën wiskundig zeer vruchtbaar waren, slaagden Leibniz en Newton er niet in het begrip infinitesimaal zelf op een rigoureuze manier in de wiskunde in te voeren. Later heeft Weierstrass hier een mouw aangepast: hij slaagde erin een strikte definitie te geven van het limiet-begrip; daarbij omzeilde hij het probleem van de infinitesimalen. (Hij voerde de epsilon-delta methode in; om het helemaal verwarrend te maken worden deze ook vaak infinitesimalen genoemd, maar het zijn gewone reële getallen, klein maar niet oneindig klein.)

Pas in de jaren 1960 slaagde iemand (namelijk Abraham Robinson) erin om het begrip infinitesimaal in de oorspronkelijke betekenis van Leibniz op een wiskundig strikte manier in te voeren. Robinsons niet-standaard analyse voegt oneindig kleine en oneindig grote getallen toe aan de gewone reële getallen en geeft regels hoe je met deze getallen kunt rekenen. Het oorspronkelijke werk van Robinson is zeer complex, maar sindsdien zijn er andere wiskundigen geweest die zijn werk vertaald hebben in cursussen die in principe toegankelijk zijn voor middelbare scholieren (en die juist bedoeld zijn om nauwer aan te sluiten bij de intuïtie). In Italië hebben ze hier al proefprojecten mee gedaan op scholen.

Voor fysici is niet-standaard analyse een heel natuurlijke theorie. Zij zijn het immers gewoon om in termen van infinitesimalen te denken. Tot voor de theorie van Robinson was onze manier van spreken strikt genomen fout. Vreemd genoeg leidde de ‘foute’ berekeningen van fysici wél tot juiste uitkomsten. Nu kunnen we dit begrijpen: fysici gebruikten altijd al niet-standaard analyse, een theorie die wiskundig net zo juist is als de standaard analyse, maar gewoon pas later is ontwikkeld.

Nog een kleine bedenking: tegenwoordig horen wetenschappen en wiskunde enerzijds en filosofie anderzijds bij verschillende faculteiten, wat het moeilijk maakt om deze vakgebieden te combineren. In de tijd van Leibniz was wiskundige én filosoof zijn echter niet zo vreemd. Ook Newton beoefende beide disciplines en was bovendien ook fysicus, alchemist en theoloog. Een mooie tijd dus voor onderzoekers met brede interesses? Voor Leibniz en Newton vast wel, maar om überhaupt onderzoeker te zijn in hun tijd moest je een man zijn en liefst van gegoede komaf. Voor meisjes die alles willen weten is onze tijd dus zo gek nog niet.

Gelijkaardige berichten:

• Waterkans of kansloos?
• Het probleem van de oneindige loterij
• Klinkende munt in New York