Minuscule olifant

Sylvia Wenmackers 20/06/2011 3 Reacties

Deze post gaat over een kudde minuscule olifanten en een karavaan kleine kamelen. Maar eerst een rekensom. Stel je begint met een half, telt daar een kwart bij op, dan een achtste en zo verder. Wiskundig kun je dit als volgt noteren: , waarbij die drie puntjes betekenen dat je oneindig veel termen optelt. Zo’n oneindige som noemen we een reeks. Wat heb je eraan te weten dat deze som precies gelijk is aan één?

Wel, er zijn (minstens) drie totaal verschillende toepassingen van deze reeks, .

Toepassing 1. Je kunt deze som gebruiken om oneindig veel, steeds kleinere olifanten te tekenen op een gewoon cursusblad. Volgens de som mag de eerste olifant half zo breed zijn als het blad, de tweede een kwart van de breedte, de derde een achtste en zo verder. (Natuurlijk kun je nooit oneindig veel tekeningetjes maken: je hebt maar eindig veel tijd en de punt van je potlood heeft een eindige breedte. Aan de andere kant zijn onze ogen niet in staat om oneindig scherp te zien, en zo lijkt het toch net echt.)

Vi Hart doet het ons voor in onderstaand YouTube-filmpje. Ze noemt zichzelf een recreatief mathemusicus en ze babbelt héél snel.

Toepassing 2. Wiskundigen en humor, het is geen evidente combinatie. Toch is onze reeks de basis van een heus wiskunde-grapje:

Een oneindig aantal wiskundigen komt een café binnen. De eerste gaat naar de toog en bestelt een half glas bier. De tweede bestelt een kwart glas bier. De derde bestelt een achtste glas bier. Als de vierde zijn mond opendoet om te bestellen, roept de cafébaas: “Jullie zijn allemaal idioten!” Hij tapt één pint en gaat weer naar zijn afwasbak.

Toepassing 3. De reeks doet ook denken aan één van de paradoxen van Zeno: de dichotomie- of tweedelingsparadox. Zeno is een filosoof uit de Oudheid, volgens wie beweging onmogelijk is. Als je een bepaalde afstand wil overbruggen, moet je immers eerst de helft van die afstand overbruggen. Maar om dat te doen moet je eerst de helft van die afstand overbruggen en ook van die helft moet je eerst de helft overbruggen. Als afstanden oneindig deelbaar zijn, lijkt het onmogelijk om een afstand, hoe klein ook, af te leggen.

Verderop in het filmpje van Vi Hart vraagt ze zich af wat er gebeurt als je begint met een kameel die de breedte heeft van één derde van je blad papier. Hoe kun je dan verder gaan met steeds kleinere kamelen om zo precies het blad te vullen? Je kunt het antwoord al doende te vinden, al tekenend zoals Vi. Maar wat is nu het reeksvoorschrift? De methode van Vi begint met en gebruikt dan telkens dezelfde schaalfactor, namelijk oftewel . Dit geeft, net als bij de olifanten, een geometrische reeks: .

Er zijn echter oneindig veel manieren om oneindig veel kamelen op een blad te krijgen, zelfs als je de voorwaarde stelt dat de eerste kameel precies een derde van de breedte van het blad moet innemen. Eén zo’n mogelijke alternatieve oplossing is deze: , waarbij de noemer telkens een driehoeksgetal is. Visueel komt de geometrische reeks neer op het tekenen van twee rechte lijnen als omhullende vorm, terwijl de oneindig veel andere oplossingen corresponderen met andere omhullende vormen. Voorwaarde is wel dat deze hulplijnen steeds dichter bij elkaar komen en precies samenkomen aan de verre zijde van het blad. De hulplijnen vormen als het ware een trechter, die de convergentie van de reeks duidelijk illustreren; convergentie betekent immers ‘naar elkaar toegaan’.

Vi Hart was vorige maand te gast op het evenement “Wiskunst in Gent”. Helaas kon ik daar zelf niet bij zijn, maar op het wiskunde-blog van Paul Levrie en Rudi Penne kun je een kort verslag met enkele foto’s vinden. In hun recentste bericht schrijven ze trouwens over de prijsvraag in wiskundetijdschrift ‘Pythagoras’, waarin op zoek gegaan wordt naar ludieke namen voor bestaande wiskundige stellingen. De sommen uit het bericht van vandaag kunnen we alvast volgende namen geven:

• De olifantenreeks:
• De kamelenreeks:

Ook kunnen we de volgende ‘conjecture’ lanceren – dit is de Engelse term voor een wiskundig vermoeden, een stelling die vooralsnog niet bewezen is:

• Wiskunde + fantasie = kunst.

Gelijkaardige berichten:

• Oplossing: De ingeschreven gnoe
• Puzzelvraag: De ingeschreven gnoe
• Jagen op oneindig