Oplossing: De ingeschreven gnoe

Sylvia Wenmackers 06/07/2011 0 Reacties

kunst, oneindig, raadsel, tekenen, wiskunde

Gnoe in een cirkel Vorige week vroeg ik me af welke tophoek de driehoek moet hebben waarmee we, à la Vi Hart, oneindig veel gnoes op een blad papier kunnen tekenen. Daarbij is de breedte van het eerste dier, G, een willekeurig getal tussen nul en één. Hier kom mijn oplossing.

Volgens de formule voor de straal (R) van een ingeschreven cirkel geldt:

$R = 1/2 \sqrt{\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{a+b+c}}$ ,

waarbij a, b en c de zijden van de driehoek zijn. Voor onze gnoes geldt dat de straal van de ingeschreven cirkel de helft is van de breedte van de grootste gnoe (de diameter): G/2.

Laat ons eerst de zijden van de driehoek uitdrukken in functie van de tophoek. (Dit kun je doen door de driehoek in twee te splitsen langs de bissectrice of deellijn van de tophoek: dan krijg je twee rechthoekige driehoeken waarvan je de zijden eenvoudig kunt berekenen in functie van de tophoek.) Laten we de twee gelijke zijden a en b noemen, dan vinden we $a = b = \frac{1}{\cos(\theta/2)}=\sec(\theta/2)$ . Voor de derde zijde, die we c noemen, vinden we $c = 2 \tan(\theta/2)$ . Figuur 1 vat de uitkomsten samen.

Figuur 1: Lengte van de zijden van de gelijkbenige driehoek.

Nu kunnen we de gegevens over de zijden invullen in bovenstaande formule:

$G/2 = 1/2 \sqrt{\frac{(2 \tan(\theta/2)^2(2\sec(\theta/2)-2\tan(\theta/2))}{2\sec(\theta/2)+2\tan(\theta/2)}}$ .

Vereenvoudigen geeft:

$G = 2 \sqrt{\frac{-1+\cos(\theta/2)}{-3+\cos(\theta)-4\sin(\theta/2)}}$ .

Deze vergelijking heeft meerdere oplossingen voor $\theta$ , maar wij zijn geïnteresseerd in de kleinste, positieve oplossing: dit is de waarde van de tophoek.

Laat ons dit nu toepassen op een voorbeeld. Stel, we willen dat de eerste gnoe twee derde van de breedte van het blad heeft. Dan vullen we G=2/3 in de laatste vergelijking in. Met behulp van een grafisch rekenmachine of een computerprogramma zoals Maple of Mathematica zijn de oplossingen snel gevonden. In dit geval blijkt de tophoek 60° te zijn. Dit is een speciaal geval, waarbij we te maken hebben met een gelijkzijdige driehoek. Daarbij zou de straal van de ingeschreven cirkel $R=a \frac{\sqrt{3}}{6}$ moeten zijn. Als we $a=\sec(60^{\circ}/2)=\frac{2}{\sqrt{3}}$ invullen, vinden we $R=\frac{2}{\sqrt{3}} \frac{\sqrt{3}}{6}=1/3$ en zo zijn we terug bij onze aanname: $G=2R=2/3$ . Dit is een controle die bevestigt dat we geen fouten hebben gemaakt in het opstellen van de formule.

Tweede voobeeld: in Figuur 2 hieronder is G iets kleiner dan een half. De tophoek is dan iets kleiner dan $2 \arccos[(2 \sqrt{2}/3]$ . De tweede cirkel kan gevonden worden als de ingeschreven cirkel in een gelijkbenige driehoek met hoogte 1-G in plaats van 1: de schaalfactor is dus 1-G.

Figuur 2: Onze driehoek geeft aanleiding tot een ingeschreven cirkel waarvan de diameter, G, net iets kleiner is dan 1/2. De tweede cirkel kan gevonden worden als de ingeschreven cirkel in een gelijkbenige driehoek met hoogte 1-G.

En dan nu het leukste deel: het tekenen van de gnoes. Het resultaat zie je in Figuur 3.