«

»

nov 23

Over fractals, Engelse gotiek en een dwaaltuin

Het paleis van Blenheim is een voorbeeld van de Engelse Gotiek.Fractals zijn figuren waarvan de onderdelen op het geheel lijken. De takken van een boom lijken bijvoorbeeld op een verkleinde kopie van de volledige boom. Bij een wiskundige fractal blijf je steeds structuren vinden die op het geheel lijken, hoe ver je ook inzoemt. Daar houdt de gelijkenis met een boom op: een blad lijkt (vaak) wel op een miniatuurboompje (met het steeltje als stam en het blad zelf als kruin), maar als je verder inzoemt kom je bij cellen, moleculen en uiteindelijk atomen uit, die niet op bomen lijken. Dit belet niet dat het leuk is om in de natuur of in de stad op zoek te gaan naar fractalachtige planten en gebouwen.

Naast twee zich wild vertakkende bomen, heb ik in Oxford ook fractalachtige architectuur gevonden, met dank aan de Engelse gotiek. De foto linksboven is een zicht op All Souls College, gezien vanaf Queen’s Lane. (Dit is dus eigenlijk nog maar de achterkant van het gebouw!)

Het paleis van Blenheim is weliswaar ook een voorbeeld van de Engelse gotiek, maar ik heb er helaas geen overtuigende fractals in kunnen ontdekken. Het paleis staat in Woodstock (nabij Oxford) en werd in 1705 opgericht door Koningin Anna ter ere van John Churchill, beter bekend als de eerste Hertog van Marlborough. Deze hertog had het commando gevoerd in de Slag bij Blenheim en daar een overwinning behaald voor de Engelsen en hun alliantie. In de tuinen van het paleis ligt er tegenwoordig een mooi haagdoolhof: het Marlborough Maze. Een ‘maze‘ is echt een doolhof en geen labyrint, dus je kunt er wel degelijk in verdwalen. Een doolhof is géén fractal en gelukkig maar, want anders zou je er nooit uitgeraken!

Fractals in Oxford

Bovenaan links: de fractalachtige omtreklijn van de achtergevel van het All Souls College komt extra duidelijk uit bij tegenlicht. Bovenaan rechts en onderaan links: sommige bomen vertakken zich als wilde fractals, haast zonder zich iets aan te trekken van de zwaartekracht. Onderaan rechts: gelukkig was dit doolhof géén fractal.

De foto van het haagdoolhof (rechtsonder) is gemaakt vanop één van de twee bruggen, die ook dienst doen als uitkijkposten. Daarop kun je je route vrij efficiënt plannen. Natuurlijk zou je vooraf een satellietfoto van het doolhof kunnen opzoeken om daarop je weg uit te stippelen. Je kunt de route dan zelfs met een computerprogramma uitdokteren: met Mathematica bijvoorbeeld, of een ander programma dat overweg kan met grafen. Op een satellietfoto kun je echter moeilijk de bruggen van een gewoon pad onderscheiden, waardoor je oplossing in realiteit mogelijk niet zal werken.

Vóór het doolhof staat er een grondplan waar ik onderstaande foto van gemaakt heb; de hagen corresponderen met de groene lijnen op het plan. De andere kleuren helpen niet om je weg te vinden – in tegendeel – en dienen enkel om de figuur, die in het grondplan verwerkt zit, duidelijk te maken: een kanon met kogels, twee trompetten en een banier. (Deze heldhaftige symboliek verwijst natuurlijk weer naar de overwinning van de Hertog van Marlborough in de Slag bij Blenheim.) Op de foto heb ik de bruggen aangeduid met gele B’s. Op die posities kun je dus wel van boven naar onder lopen op de kaart, of van links naar rechts, maar niet ‘afslaan’.

Als je een satellietfoto hebt en weet waar de bruggen zijn, dan kun je inderdaad Mathematica gebruiken om de kortste route te vinden. Ik heb deze website maar achteraf gevonden, maar het lijkt goed overeen te komen met de route die we zelf gevolgd hebben. Deze oplossing is dus proefondervindelijk geverifieerd. ;-)

Marlborough Maze.

Foto van het grondplan voor het Marlborough-doolhof. De gele B’s geven de posities van de twee bruggen aan. Bij het gele sterretje staat er wel een groen lijntje, maar op de corresponderende plek in het doolhof is er daar toch een doorgang.

Als je in plaats van een satellietfoto bovenstaand grondplan zou gebruiken om je route vooraf te plannen, heb je alsnog een probleem: hierop staat er namelijk op een cruciale plek een barrière aangegeven, waar er in werkelijkheid geen haag staat; daar heb ik een geel sterretje toegevoegd op de foto. Met deze extra barrière erbij zou het doolhof geen oplossing te hebben.

Conclusie: in een doolhof moet je vooral gewoon zelf ronddwalen en dan maar hopen dat de ontwerper geen fan was fractals.

Aanvulling (24 november 2011):

Ik heb het grondplan op de foto nog eens goed vergeleken met een recente satellietfoto (via Google Maps) en er ontbreken nóg twee hagen. Tja, op die manier wordt het moeilijk om nog echt te verdwalen… Op de afbeelding hieronder heb ik de drie verschilpunten aangeduid met groene sterretjes. Ik vraag me af of er daar nooit haag heeft gestaan, of dat de haag op die plaats pas na verloop van tijd verwijderd is en waarom dan. Danny lanceerde de hypothese van een tuinman die het zat was om altijd om te moeten lopen. Ook lijkt het me leuk om een filmpje te zien van een haagdoolhof in de loop van de tijd: de haag wordt natuurlijk dikker en dunner in de loop van het jaar en lijkt te ‘ademen’, maar ook kan ik me zo voorstellen dat het oorspronkelijk ontwerp geleidelijk verloopt, doordat hoeken anders worden afgerond en dergelijke.

Marlborough Maze.

Satellietfoto van het Marlborough-doolhof: op de plaats van de groene sterretjes staat er geen haag, terwijl er daar wel een versperring wordt aangegeven op de plattegrond. De middelste haag zou weinig verschil maken, maar de twee andere zitten op cruciale plaatsen in het parcours. (Bron: Google Maps.)

En zo is jaren “Zoek de 8 fouten” spelen in de krant (op cartoons van Laplace) toch nog ergens goed voor gebleken. ;-)

1 ping

  1. Sleutelen aan de kosmos » Sylvia's blog

    […] Ik wil niet te veel verklappen, maar ik wil toch alvast één beeld uit de film met jullie delen: een volstrekt originele verbeelding van de ringen van Saturnus (mét fractale structuren). […]

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Verplichte velden zijn gemarkeerd met *


vier × 2 =

Je mag deze HTML-tags en attributen gebruiken: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>