Fruitsap van niet-meetbare delen

Eerst dacht ik nog 'He?!', maar toen dacht ik 'He?! He?!'Van één sinaasappel kun je er twee maken. Je kunt de pitten tot een boom laten uitgroeien en daarvan de eerste twee vruchten plukken, maar dan moet je wel veel geduld hebben. Volgens wiskundige maattheorie kan het sneller: je kunt een sinaasappel (of eender welke volle bol), zo opdelen, in minstens vijf stukken, dat je door de stukken enkel te draaien en te schuiven twee exemplaren kunt maken met dezelfde diameter als de oorspronkelijke sinaasappel.

Dit resultaat staat bekend als de Banach-Tarski paradox. En ja, het idee is behoorlijk gestoord. Het is ook gemakkelijk om het resultaat verkeerd voor te stellen. Om te beginnnen is het veelgebruikte voorbeeld met de sinaasappels misleidend: je kunt namelijk geen enkel materieel voorwerp fijn genoeg opdelen om de paradox in de praktijk te demonstreren. In dit geval is dat de reden dat we van een paradox spreken: wiskundig gezien is er geen tegenstrijdigheid in het spel, maar de wiskunde leidt hier wel tot een tegen-intuïtief resultaat, dat ver van de dagdagelijkse ervaring verwijderd is. Ook lees ik op veel websites dat je twee identieke bollen krijgt, of twee bollen met hetzelfde volume. Dat klopt niet: je krijgt twee bollen met dezelfde straal, maar die zijn niet precies gelijk aan de oorspronkelijke bol: er is één spookachtige bol bij.

Het bewijs van de Banach-Tarski paradox berust namelijk op niet-meetbare delen: verzamelingen van punten die zo complex zijn, dat je er geen volume aan toe kunt kennen. Voor het bestaan van dit soort verzamelingen heb je het keuzeaxioma nodig, dat soms verworpen wordt precies omdat het dit soort tegen-intuïtieve resultaten oplevert. (Zolang ze onderling niet strijdig zijn, kun je axioma’s in de wiskunde vrijelijk “aan” of “uit” zetten. Omdat het keuzeaxioma ook veel handige gevolgen heeft, staat het standaard in de wiskunde “aan”.) Ook in de kansrekening, die gebaseerd is op maattheorie, zaait het keuzeaxioma geregeld verwarring: in situaties met oneindig veel uitkomsten, kun je aan sommige gebeurtenissen geen kans toekennen.

Het bestaan van niet-meetbare verzamelingen is een nodige, maar geen voldoende voorwaarde voor het optreden van de Banach-Tarski paradox. Je hebt ook een niet-commutatieve groep nodig. Het draaien en verschuiven van delen in één of twee dimensies is onafhankelijk van de volgorde waarin je de verplaatsingen doet (“commutatief” of “Abels”) en levert daar geen schijnbare verdubbelingen op. Pas in drie en meer dimensies is de corresponderende groep niet-commutatief, met Banach-Tarski paradox als resultaat. Er is nog een leuke variant van dit is resulaat: als je begint met een volle bol ter grote van een erwtje, kun je dat in eindig veel delen opdelen en de stukken, opnieuw enkel door draaien en schuiven, zo re-assembleren dat je een volle bol krijgt ter grootte van de zon. Dit handige systeem om meer ruimte te creëren zou niet misstaan in de Ikea-catalogus, maar opnieuw geldt dat het principe niet uitvoerbaar is met materiële voorwerpen, die maar eindig fijn kunnen worden opgedeeld.

Terug naar de sinaasappels, om het toch maar bij dit – enigszins misleidende – voorbeeld te houden. Als één sinaasappel er twee kunnen worden, dan kunnen die twee er ook vier worden, vier worden er acht, en zo verder. Het aantal gaat telkens maal twee: dat is een exponentiële toename van sinaasappels. Hiermee kun je onbeperkt fruitsap maken en je mag er zoveel van drinken als je wil, want er zitten toch geen calorieën in. ;-)

Banach-Tarksi paradox leidt tot exponentiele toename.

Door de Banach-Tarksi paradox herhaaldelijk toe te passen, krijg je een exponentiële toename van sinaasappels. (Aangepast van deze bron: http://dgleahy.com/p47.html)

Zo is het gemakkelijk om mirakels te doen: volgens de bijbel kon Christus Banach-Tarskiën met brood en wijn. Het kan ook met bananen, maar dan heet het de Bananach-Tarksi paradox. ;-) Naast sinaasappels is ook ander fruit populair, bijvoorbeeld Zorn’s lemon (een knipoog naar Zorn’s lemma, dat equivalent is met het keuzeaxioma). Vraag trouwens nooit aan een wiskundige om een anagram te maken van “Banach-Tarski”, want die zal zeker antwoorden: “Banach-Tarski Banach-Tarski”.

Een stel Deense wiskundigen (of wiskunde-studenten althans, voor zo ver ik kan achterhalen van de Universiteit van Kopenhagen) ging met het idee van de paradoxale vermenigvuldiging van de sinaasappels aan de haal, met onderstaand filmpje als resultaat: ellende met  niet-meetbare delen, een exponentiële groei van fruit en hier en daar een onderbroek. 100% nerd-alarm!

Tot slot nog een tip voor wie zich al eens verveeld en denkt “Ik wou dat ik twee hondjes was, dan kon ik samen spelen“. Mijn suggestie: één glas Banach-Tarski fruitsap bij het ontbijt en alles wordt dubbel zo leuk.

Gelijkaardige berichten:

Facebooktwittergoogle_plusredditpinteresttumblrmail

Laat een reactie achter

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

÷ 5 = 1