De paradox van de Schone Slaapster (deel 1)

Sylvia Wenmackers 16/04/2013 12 Reacties

Jullie kennen vast het sprookje van de Schone Slaapster (“La belle au bois dormant” in de versie van Perrault), ook bekend als Doornroosje (“Dornröschen” in de versie van de gebroeders Grimm). Maar kennen jullie ook de paradox van de Schone Slaapster? De Sleeping Beauty paradox is een probleem uit de filosofie van de kansrekening. Ik heb nu twee jaar na elkaar een vak gegeven dat “Philosophy of Probability” heet. Studenten moeten hier elk vier essays voor schrijven. Ze krijgen een lijst met mogelijke essayvragen en daarnaast mogen ze ook zelf onderwerpen voorstellen. Vorige keer schreef ik al dat de studenten heel uiteenlopende onderwerpen kiezen. Op deze regel is er één uitzondering: bij de derde opdracht staat de paradox van de Schone Slaapster namelijk ook op de lijst en dat is veruit het populairste onderwerp. Hoog tijd dus voor een kennismaking.

[important]

De Schone Slaapster zal weldra in slaap worden gebracht door een heks. Het meisje zal daarna twee dagen slapen. In die tijd zal de heks haar voor één of twee korte perioden wekken. Zodra Doornroosje slaapt, zal de heks namelijk een eerlijk muntstuk opgooien: als het kop is, wekt ze het meisje één keer; als het munt is, doet ze dit twee keer. Na zo’n wekmoment dient de heks een gif toe aan Doornroosje, waardoor die zich niet zal kunnen herinneren dat ze wakker is geweest. De Schone Slaapster is zelf ook op de hoogte van wat er gaat gebeuren.

Stel nu dat de Schone Slaapster juist gewekt is. Ze kan nergens uit afleiden of dit de eerste of de tweede maal is. Wat is nu de kans die de Schone Slaapster moet toekennen aan de mogelijkheid dat de muntworp in kop is geëindigd?

[/important]

Laat me nog even toelichten dat deze puzzel van de Schone Slaapster optreedt in de context van een bepaalde interpretatie van kansen: namelijk kansen als “rationele graden van geloof”. De vraag komt dus hierop neer: in welke mate mag de Schone Slaapster – op het moment dat zij gewekt wordt – geloven dat de muntworp kop is geworden? Wat is er rationeel om te geloven voor iemand in haar situatie?

Denk gerust even na over je eigen antwoord en lees dan verder na de vouw.

Er zijn twee mogelijke antwoorden: 1/2 en 1/3.

Het argument voor 1/2
De Schone Slaapster weet dat het om een eerlijke muntworp gaat. De kans op kop en die op munt is daarbij hetzelfde, namelijk elk 1/2. Bovendien weet ze op voorhand dat ze – ongeacht de uitkomst van de muntworp – minstens één keer gewekt zal worden. Op het moment dat ze inderdaad wakker is, krijgt ze dus geen nieuwe informatie. Het kan dan ook niet rationeel zijn om haar kanstoekenning te herzien. Ze moet dus aannemen dat de kans dat de muntworp in kop is geëindigd 1/2 is.

Het argument voor 1/3
Als je het scenario (in slaap doen, munt opgooien en vervolgens één of twee keer wekken) blijft herhalen, zal de Schone Slaapster zich in 2/3 van de gevallen in een situatie bevinden waarbij ze wakker is nadat de muntworp in munt geresulteerd heeft en slechts in 1/3 van de gevallen in een situatie met kop. Dit argument verwijst dus naar gedrag op lange termijn en berust op de veronderstelling dat het rationeel is om je subjectieve graden van geloof waar mogelijk gelijk te stellen aan de objectieve, relatieve frequenties (of de limieten ervan).

Deze twee redeneringen lijken allebei plausibel, maar ze leiden naar een verschillend antwoord. Vandaar dat we van een paradox spreken. Voor ik mijn eigen visie geef op dit probleem, ga ik  eerst proberen om de paradox nog iets dikker in de verf te zetten.

Vlak voor Doornroosje gaat slapen, kent ze een kans van 1/2 toe aan de mogelijkheid dat de muntworp kop zal worden. Toch weet ze op dat moment al dat ze in het eerstvolgende waakmoment nog slechts een waarschijnlijkheid van 1/3 zal toekennen aan deze mogelijkheid (bijvoorbeeld vanwege het hierboven gegeven argument). Nochtans is het volgens de regels van de kansrekening en de Bayesiaanse opvatting over rationaliteit, die daaraan gekoppeld is, niet rationeel om je waarschijnlijkheden te herzien op een moment dat je geen nieuwe informatie krijgt. Dus als Doornroosje op voorhand al weet dat ze bij het eerstvolgende waakmoment een waarschijnlijkheid van 1/3 zal toekennen aan kop, moet ze misschien nu haar graad van geloof al bijstellen naar 1/3? Maar het gaat om een eerlijke munt, dus een andere kans toekennen dan 1/2 is duidelijk absurd!

Nog een kleine uitweiding: het argument voor 1/3 kan ook herverteld worden aan de hand van weddenschappen, waarbij de Schone Slaapster moet vermijden dat ze in een situatie komt waarin ze door een bepaalde combinatie van weddenschappen geld verliest en dit ongeacht de uitkomst van de muntworp. Bij zo’n “Dutch book argument” moet je arbitraire geldbedragen invoeren en daarom vind ik deze aanpak zelf nodeloos ingewikkeld. De oorspronkelijke vraag gaat immers enkel over kansen, niet over geld of weddenschappen. Sommige filosofen (zoals Frank P. Ramsey) zouden echter tegenwerpen dat kansen – in de betekenis van “rationele graden van geloof” althans – geen betekenis hebben als ze niet aan een actie of beslissing gekoppeld zijn, zoals het aangaan van een weddenschap waarbij er weldegelijk iets op het spel staat.

Nu terug naar de kern van de paradox en mijn visie hierop. Kansrekening kan verwarrend zijn, maar als je eenmaal doorhebt welke informatie cruciaal is, blijft er in de meeste gevallen geen echte paradox over – denk maar aan de doosjes-‘paradox’ van Bertrand, of het driedeurenprobleem. Gegeven het argument voor 1/2, moet je om het antwoord 1/3 te verdedigen aannemelijk maken dat de Schone Slaapster wél nieuwe informatie krijgt op het moment dat ze gewekt wordt (ook al wist ze op voorhand dat ze minstens één keer zou ontwaken). Natuurlijk heeft de vaststelling “Aha, ik ben wakker” in de meeste dagdagelijkse situaties geen enkele invloed op de waarschijnlijkheid die we ergens aan toekennen. Dat neemt niet weg dat deze vaststelling in de context van het Schone-Slaapster-scenario juist wél cruciale informatie oplevert. Het is precies deze informatie waarop Doornroosje haar waarschijnlijkheden moet ‘conditionaliseren’: ze moet haar waarschijnlijkheden herzien door een voorwaardelijke kans te berekenen, waarbij de voorwaarde is “ik ben wakker”.

Voor ze in slaap werd gedaan (of na afloop van de twee dagen), was de enige relevante waarschijnlijkheid de onvoorwaardelijke kans van een eerlijke munt om kop op te leveren: 1/2 dus. Als Doornroosje merkt dat ze ergens in de loop van de twee dagen gewekt wordt, is het echter een voorwaardelijke kans die cruciaal wordt: de waarschijnlijkheid dat de muntworp kop was, gegeven het feit dat Doornroosje zich nu in wakkere toestand bevindt.

Natuurlijk zal de Schone Slaapster zich nooit in een toestand bevinden waarbij ze moet conditionaliseren op de informatie “ik slaap” – dat zou op zich al een paradox zijn (*). Toch kun je het probleem van de Schone Slaapster oplossen door je te realiseren dat er in het kop-scenario ook een tweede moment is waarop Doornroosje gewekt had kunnen worden (hoewel dit niet gebeurt), een moment dat in deze situatie bovendien nooit waargenomen kan worden – althans niet door Doornroosje zelf, de heks of een andere externe waarnemer kan dit natuurlijk wel moeiteloos doen.

Ik zal volgende keer proberen om dit punt aanschouwelijker te maken. Ook ga ik nog iets schrijven over de oorsprong van deze paradox en probeer ik uit te leggen waarom het voor sommige filosofen toch méér is dan enkel een verwarrend raadseltje. (Dan zal blijken dat er zelfs een verband is met de veel-werelden-interpretatie van de kwantummechanica!)

(*) De paradox van Jeroentje

Ik had vroeger een kussensloop met tekeningen erop uit “Jan, Jans en de Kinderen” van striptekenaar Jan Kruis: aan de ene kant stond Catootje erop met De Rode Kater  en aan de andere kant Jeroentje met de hond Lotje.

Catootje lag op haar kant vredig te slapen: ze had haar bril afgezet, haar ogen waren dicht en om alle twijfel weg te nemen stond er bij haar hoofd “zZz”.

Bij mij lag echter de Jeroentje-kant altijd naar boven, omdat daar de tekstwolk bij stond: “Sssst… ik slaap!” Of hij echt sliep kon je trouwens niet zien, omdat zijn haar zoals altijd voor zijn ogen hing.

Gelijkaardige berichten:

• De paradox van de Schone Slaapster (deel 2)
• De paradox van de Schone Slaapster (deel 3)
• De paradox van de Schone Slaapster (deel 4)