De paradox van de Schone Slaapster (deel 3)

Doornroosje in de versie van Disney.In dit bericht schrijf ik verder aan mijn mini-serie over de paradox van de Schone Slaapster (deel 1, deel 2). In dit deel zet ik het verband met de doosjes-paradox van Bertrand in de verf.

Als opfrissing herhaal ik eerst de originele doosjes-paradox. Daarna introduceer ik twee varianten erop en leg ik uit hoe die samenhangen met de paradox van de Schone Slaapster.

 

De originele doosjes-paradox: drie doosjes

[important]

Er zijn drie doosjes met in elk ervan twee munten: eentje met twee zilveren munten, eentje met een gouden en een zilveren munt en eentje met twee gouden munten.

Je neemt een willekeurig doosje en daaruit neem je een willekeurige munt. Dit blijkt een gouden munt te zijn.

De vraag is: wat is nu de kans dat de andere munt ook goud is?

[/important]

Je kunt twee antwoorden beargumenteren (1/3 en 2/3), maar er is er maar eentje juist (2/3). Lees mijn eerdere bericht hierover als je de juiste redenering niet (meer) weet.

Dit lijkt al vaag op de paradox van de Schone Slaapster, maar om het verband nog duidelijker te maken, heb ik een variant van de doosjes-paradox bedacht.

Eerste variant van de doosjes-paradox: twee doosjes

[important]

Er zijn nu slechts twee doosjes met in elk ervan twee munten: eentje bevat twee gouden munten en eentje bevat een gouden en een zilveren munt.

Je neemt een willekeurig doosje en daaruit neem je een willekeurige munt. Dit blijkt een gouden munt te zijn.

De vraag is: wat is nu de kans dat de andere munt niet van goud is?

[/important]

Je kunt twee antwoorden beargumenteren (1/2 en 1/3), maar er is er maar eentje juist (1/3).

Hierbij zijn de concurrerende opties hetzelfde als bij de paradox van de Schone Slaapster en ook het juiste antwoord is hetzelfde.

Volgens sommige auteurs gaat de paradox van de Schone Slaapster essentieel om ‘de se‘ geloofsovertuigingen: graden van geloof die betrekking hebben op de persoon zelf. In mijn vorige post ging ik ook deze kant op, toen ik uitlegde dat de situatie voor de heks fundamenteel anders is dan die voor de Schone Slaapster. (De heks kan terecht zeggen “Doornroosje slaapt”, maar Doornroosje kan nooit naar waarheid zeggen “Ik slaap”.)

Aangezien de structuur van bovenstaande twee-doosjes-puzzel volledig analoog is aan die van de Schone Slaapster, zou je kunnen zeggen dat die laatste paradox toch niet essentieel over de se overtuigingen gaat.

Als Doornroosje maar beseft dat ze nooit kan vaststellen “Ik slaap”, dan heeft ze de sleutel tot de oplossing van haar paradox in handen. Stel dat we afspreken dat goud staat voor “Doornroosje is wakker” en dat zilver staat voor “Doornroosje slaapt”, dan verandert dat op zich niets aan de uitkomsten van de puzzel – zelfs niet als je Doornroosje heet. Ook als je weet dat het experiment vroegtijdig wordt afgebroken als de eerste munt een zilveren munt blijkt te zijn (en je deze dus nooit bij aanvang te zien kunt krijgen), verandert dat niets aan het antwoord op bovenstaande vraag, die immers enkel van toepassing is als de eerste munt goud is.

Tweede variant van de doosjes-paradox: de ontbrekende munt

[important]

Er zijn opnieuw twee doosjes: eentje met twee munten erin en eentje met slechts één munt erin.

Je neemt een willekeurig doosje en daaruit neem je een willekeurige munt.

De vraag is: wat is nu de kans dat er geen tweede munt in het doosje zit?

[/important]

Opnieuw kun je twee antwoorden beargumenteren (1/2 en 1/3), maar er is er maar eentje juist (1/2).

Deze puzzel lijkt analoog aan de paradox van de Schone Slaapster, maar is het niet.

Deze tweede variant zal koren op de molen zijn van mensen die nog steeds denken dat het antwoord op de Schone Slaapster paradox ook 1/2 is. Dus, oeps, waarom schrijf ik dit eigenlijk op?! Ah ja, om te proberen uitleggen waarom dit zowel plausibel lijkt als fout is. :-)

• Eerst waarom het zo plausibel lijkt:

De schijnbare analogie komt door de gelijkenis tussen de afwezigheid van een tweede munt enerzijds en de afwezigheid van zelfbewustzijn bij het slapende Doornroosje anderzijds.

• En nu waar het mis gaat:

Om deze tweede variant correct aan de paradox van de Schone Slaapster te linken, moet je echter een andere vraagstelling hebben: je hebt twee gouden munten en één zilveren munt, waarvan je een willekeurige munt neemt. Wat is dan de kans dat het een zilveren munt is? Het antwoord is dan opnieuw 1/3, net als bij de ‘paradox’ van de Schone Slaapster.

Waarom dit de juiste werkwijze is als je maar drie munten hebt: (her-)lees daarvoor de uitleg over de gereduceerde kansruimte in mijn vorige bericht (zie met name Figuur 1 en Figuur 3).

Zolang je vier munten hebt – drie gouden die overeenkomen met waken en één zilveren die overeenstemt met slapen – zit je niet in de gereduceerde kansruimte. Je kunt trouwens ook in beide doosjes 46 extra zilveren munten stoppen. De relevante kans – namelijk de kans dat er niet nog een gouden munt in het doosje zit, gegeven dat je er al één gouden uit hebt getrokken – blijft daarbij gelijk. De analogie met de niet-gereduceerde kansruimte (in Figuur 2 bij mijn vorige bericht) is daarmee compleet.

Dus, de moraal van dit verhaal is: slapen is zilver en waken is goud. Carpe noctem! :-)

Wordt verwacht: vierde en laatste deel van deze reeks, over de oorsprong van deze inspirerende paradox.

Gelijkaardige berichten:

Facebooktwittergoogle_plusredditpinteresttumblrmail

Laat een reactie achter

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

3 + 3 =