Is eentje ooit geentje?*

Calimero.Eentje is geentje, zeggen ze. En toch maken veel kleintjes één groot.

Eén korreltje van een grote hoop zand is verwaarloosbaar. En toch bestaat die grote hoop uit niets anders dan zulke kleine korreltjes. (Filosofen herkennen hierin de paradox van de hoop, of de soritesparadox).

Infinitesimalen zijn oneindig klein. En toch zijn het net groepsdieren: samen sterk.

Eerste voorbeeld: de zwerfvuilparadox. Vorige maand startte in Vlaanderen een nieuwe campagne tegen zwerfvuil (hier aangekondigd). Wellicht heb je de affiches langs de weg toen gezien, of een reclamespotje gehoord.

Een citaat van de website:

Inderdaad, iedereen denkt wel eens “ach, wat is nu 1 kauwgom of 1 blikje?” Maar al die kleintjes zorgen er samen wel voor dat onze straten, parken en bermen vuil ogen. Door hier niet aan deel te nemen, kunt u het verschil maken.

2 miljoen achtergelaten blikjes.

De zwerfvuilcampagne laat het verhaal van twee kanten zien. Enerzijds is er de redenering van het individu dat één blikje de zaak niet kan maken en anderzijds is er de collectieve impact van deze houding: twee miljoen blikjes is een groot verlies aan recycleerbare grondstoffen.

Ik vind dat de campagne klopt, maar betwijfel of ze ook werkt. Iemand die iets langs de weg gooit, krijgt nog steeds niet het gevoel dat die ene kauwgom of dat ene peukje het probleem is: in onze beleving zijn het die mensen die al die andere troep achterlaten… Om Calimero te parafraseren: “Zij zijn met veel en ik is alleen en dat is niet eerlijk!”

Je zou kunnen zeggen dat we de splinter in andermans oog wel zien, maar niet de balk in het eigen. Maar ik vind het toepasselijker om op te merken dat die balk ook maar uit splinters bestaat, waardoor we de bomen in het bos niet meer zien. Of snijdt dat geen hout? Enfin, genoeg gezaagd, terug naar ons zwerfvuil.

De onderliggende paradox zit ook in ons taalgebruik ingebakken: net zoals we één zandkorreltje geen hoop noemen, noemen we één blikje geen zwerfvuil. Dit houdt de “eentje is geentje”-illusie in stand.

Misschien is het belangrijkste doel van dergelijke campagnes om mensen aan het denken te zetten en dat is alleszins gelukt: bij mij wekte de campagne een acute aanval van beroepsmisvorming op en daarvan is deze blogpost het (vertraagde) gevolg: een lijstje met soortgelijke redeneringen. (Laat zeker een reactie achter als je nog een voorbeeld weet!)

Tweede voorbeeld: de paradox van het stemhokje. “Mijn stem maakt toch het verschil niet” denken veel mensen en toch maken ze (samen) een groot verschil!

Derde voorbeeld: een reclamespot waarin vermeld wordt dat iets maar één euro kost, met daarbij de uitspraak “dat is bijna géén euro”. Als al hun potentiële klanten inderdaad zo denken, zijn ze binnenkort rijk.

Vierde voorbeeld: de loterijparadox (van Kyburg), waarover ik eerder al schreef. Kansen zijn soms net zandkorrels: ze hopen zich op. Als je één lotje hebt in een grote loterij waarin precies één lotje als winnaar wordt getrokken, kun je denken “ach, mijn lotje gaat toch niet winnen”. Iedereen kan zo denken en toch komt er (in dit scenario) met zekerheid een winnaar uit de bus.

* Antwoord op de vraag in de titel van dit blogbericht: nee.

Stelling: De redenering dat eentje geentje is, houdt geen steek (tenzij je zeker bent dat het er écht maar eentje is, maar dat ben je nooit).

Aanvulling (19 augustus 2013):

Deze PhD-comic is ook toepasselijk.

Gelijkaardige berichten:

Facebooktwittergoogle_plusredditpinteresttumblrmail

10 Reacties

  1. FGerard

    Die infinitesimalen zijn denk ik wel afhankelijk van ’n soort axioma van oneindigheid, dat bovenop de gewone set theorie geplakt moet worden dan. Je maakt een sprongetje, dat vergelijkbaar is met de sprong van 1 naar 2, alleen dan van eindigheid naar een eerste oneindigheid. Dus qua theorie zijn die oneindige kleintjes best wel ver :-)

    Reageren
    1. Sylvia Wenmackers (Auteur bericht)

      De constructie van infinitesimalen (en hyperreële getallen in het algemeen) vereist inderdaad het bestaan van ultrafilters, maar deze aanname is helemaal niet zo sterk: ze is zwakker dan het keuzeaxioma (zie hier) en als fysicus beschouw ik het keuzeaxioma als een integraal deel van de gewone verzamelingenleer. (We noemen die verzamelingenleer niet voor niets ZFC: Zermelo-Fraenkel with Choice.)

      Dat ik sprongetjes maak, dat klopt wel natuurlijk, maar daar is dit blog dan ook voor: vreugdevolle denksprongetjes. :-)

      Reageren
  2. FGerard

    Dat was een sprongetje van mij ook ;-)

    Als fysicus van oor-sprong zou je eens kunnen kijken naar dat sprongetje dat van 1 een 2 maakt, serieus: hoe komen veelvouden tot stand? Bestaan getallen in de natuur enkel door statistiek van de waarnemer of is er daadwerkelijk zoiets als een kopie of verdubbelen? Is de wet van behoud van energie niet gewoon een verbod om te kopiëren? Hoe bestaat vermenigvuldigen in de natuurkunde?

    Ik zie een groot gapend gat tussen 1 en 2. Bijna net zo groot als tussen 1 en oneindig.

    Reageren
    1. Sylvia Wenmackers (Auteur bericht)

      Zelf zou ik de overgang tussen eindig en oneindig eerder vergelijken met die van 0 naar 1: dat is een klein verschil, maar tegelijk oneindig keer meer.

      Wat niet wegneemt dat de vraag over de sprong van 1 naar 2 en het verband met de fysica inderdaad interessant is. In de fysica zou ik zeggen: elke meting berust op een vergelijking (bijvoorbeeld naast een lat leggen die je als eenheidslengte gebruikt) en die vergelijking is nooit precies (of je kunt het alleszins niet weten als twee voorwerpen echt exact even groot zouden zijn). Je kunt dus ook slechts met benadering van 1 naar 2. Bijvoorbeeld: je maakt een kopie van de eenheidslat – die binnen wat je kunt vaststellen even groot lijkt – en de oorspronkelijke maatlat plus de kopie lijken precies even groot als een ander object. Reële getallen worden dan wel standaard gebruikt in de theoretische natuurkunde, maar in de praktijk zit je met verhoudingen van gehele getallen, waarbij die gehele getallen slechts benaderend zijn voor hetgeen ze voorstellen.

      Op een congres hoorde ik laatst een presentatie van iemand die geprobeerd had om alle operaties die je op acties kunt doen (zoals optellen en vermenigvuldigen) te relateren aan fysische manipulaties, zonder wiskunde te vooronderstellen. (Uiteindelijk kon hij zo – in een manuscript van 120 pagina’s – het principe van minimale actie afleiden). Hij startte met het kiezen van een eenheid, het reproduceren van zo’n eenheid en zo bouwde hij op naar steeds complexere combinaties van fysische operaties (experimenten) die correspondeerden met de wiskundige operaties. Om maar te zeggen, er zijn wel degelijk mensen die zich fulltime met soort vragen kunnen bezighouden – bliss! :-)

      Reageren
  3. FGerard

    Ja, daarom zeg ik tussen 1 en 2, nul is zoiets radicaals en geheimzinnigs…
    Bijzonder natuurkundig project, ik snap er maar een klein beetje van.
    Mijn insteek (een-tweetje) zou zijn, hoe “reproduceerde” Bruno Hartmann zijn eenheid?
    Waardoor ontstaat precies de notie een kopie aan te treffen?

    Dit is een origineel,
    pas vond ik een schilderij van G. Briata voor 3 euro in de 2hands in Enkhuizen,
    van clown met wit gezicht:
    https://www.facebook.com/GigaGerard/posts/487853374638773
    Over kleine kansen gesproken!

    Reageren
  4. FGerard

    Hoi Sylvia, je schreef: “als fysicus beschouw ik het keuzeaxioma als een integraal deel van de gewone verzamelingenleer”, maar als je A (axiom of choice) toepast op oneindige verzamelingen of bijvoorbeeld in de analyse of op oneindige loterijen misschien, dan kan dit tot vreemde paradoxen leiden (oftewel je systeem deugt misschien niet of je ziet een fout over het hoofd).

    ——————————————————————————————————
    On Wed, Jul 14, 2010 at 8:40 PM, Gerard Lelieveld wrote to Tom Jech:
    How can the Axiom of Choice lead to contradictions in analysis?

    On the Stochastic Burgers Equation and the Axiom of Choice
    John M. Noble
    http://arxiv.org/pdf/1007.2375

    Regards, Gerard
    reader of your “Set Theory”
    ——————————————————————————————————
    Thomas Jech 7/23/10 to me

    Thanks for showing me the paper.
    The Axiom of Choice is consistent with ZF (by Goedel), and so any statement that contradicts AC contradicts the axioms of ZF. So there are four possibilities, in the increasing order of plausibility:

    1. The axioms of mathematics are contradictory.
    2. The published results quoted in the paper are false.
    3. The author misquotes the known results.
    4. There is at least one mistake in the paper.

    Best regards,
    Tom Jech
    ——————————————————————————————————
    John M. Noble 7/24/10 to me
    Dear Gerard,

    Many thanks for your mail!

    If there is an error in the paper, then it would be useful if somebody could find it, but I don’t expect anybody to think that it is worth the time and energy to read the paper.

    I’ve basically given up on the possibility of a careful reading of the paper and the main reason for putting it on the arxiv server was so that it was registered as mine. If and when somebody else comes up
    the same result, I can claim that I got there first and reference the paper on arxiv to prove it.

    The development (briefly) is as follows: when I finished my Ph.D., John Lewis suggested to me that I work on a ‘Directed Polymer’ problem. One of the open problems in from statistical mechanics was the 4/3 superdiffusive exponent that had been shown numerically, but for which there was no full proof. I thought I had come up with a proof of this, but a corollary of the proof was that the continuous space / time model did not have a low temperature phase. The referees were negative; there must be a problem with the proof because it was well known that there was a low temperature phase. This was known rigorously for discrete models, but there didn’t seem to be a full proof for continuous models and I imagined that the phase transition point tended to zero as one passed from a discrete model to a continuum limit.

    But then I came across the proof of the invariant measure for the stochastic Burgers equation by E, Khanin, Mazel and Sinai. The drift of the polymer process is the solution to the Burgers equation, so the two things are connected. Even though they were dealing with the circle rather than full space, it seemed pretty clear from my own computations that if I was right about the lack-of-low-temperature-phase, which was a corollary of the proof of the 4/3 mean squared displacement, then there shouldn’t be an invariant measure for that equation.

    After that, I checked the proof by E, Khanin, Mazel, Sinai carefully and it seems rock solid. I also did the bare-handed moment computations that are in the paper on the arxiv server. The two things seemed irreconcilable; on the one hand moment growth that excluded the possibility of an invariant measure, on the other hand a full proof of invariant measure.

    E, Khanin, Mazel and Sinai had used the representation of solution as the velocity of trajectories that minimise the action functional. I worked back and I think I have excluded all other possibilities; their argument is water tight and I can’t find any problem with my own either. If you really can represent the solution using the velocities of the *minimising* trajectories of the associated action functional (and proof of this is relatively straightforward – the basic arguments go back to Tonelli) then the invariant measure argument is solid. But this contradicts the moment computations which, while long, only employ standard arguments.

    That is some of the background.

    With best regards, John
    ———————————————————————————————
    John M. Noble 7/27/10 to me

    More information: I was never really in statistical mechanics; my Ph.D. was in stochastic partial differential equations and I tried solving a problem in statistical mechanics because the solution to one of the s.p.d.e.s I was working on for my Ph.D. thesis looked suspiciously like the partition function for a directed polymer problem. John Lewis spotted this.

    As a result of my work which led to the results on Choice, I have now started working on Bayesian networks instead – Bayesian networks is an applied subject, where random variables are either discrete or continuous and graphs are of finite size – I don’t seem to need the full machinery that the countable additivity of the Kolmogorov axioms gives, so I hope that it won’t be affected too much if the ZF set theory axioms seem to cause a problem.

    As far as 1. 2. 3. 4. go listed below,
    4. clearly I wouldn’t have put the paper up on arxiv if I hadn’t studied it very carefully before doing so.

    Furthermore, I put another paper up on arxiv two years ago, which I think proves the same result ………….

    Reageren
  5. FGerard

    Read among others, Terence Tao’s comment on “The Axiom of Choice is Wrong”:
    “It seems to me that the problems are not with the model theoretic aspects, but rather with the use of probability theory in infinite settings. The finer aspects of rigorous probability theory on infinite event spaces are actually rather subtle, and when non-measurable events are concerned one should proceed with extreme caution and to carefully examine all “intuitively obvious” probabilistic statements…”
    http://cornellmath.wordpress.com/2007/09/13/the-axiom-of-choice-is-wrong/

    Fundamental discussion going on: “Why worry about the axiom of choice?”
    http://mathoverflow.net/questions/22927/why-worry-about-the-axiom-of-choice

    a home page for the AXIOM OF CHOICE
    http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/choice.html
    “Jech is the author of the book titled The Axiom of Choice, which is not recent but is still excellent.”

    Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer.
    http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_dependent_choice

    Reageren
  6. Pingback: Wolkenatlas en brieven aan Doornroosje » Sylvia's blog

  7. Pingback: De enige wet van de kans » Sylvia's blog

  8. Pingback: Elkaar eerlijk houden » Sylvia's blog

Laat een reactie achter

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

÷ 1 = 6