Onmogelijk viervlak

Sylvia Wenmackers 26/11/2013 3 Reacties

meetkunde, optische illusie, plezier, tekenen, trivia

Onmogelijk viervlak. Een tetraëder is een ruimtelijke figuur: een viervlak waarvan de zijvlakken vier driehoeken zijn. Meestal bedoelt men met ’tetraëder’ trouwens het regelmatige viervlak: een Platonisch lichaam dat bestaat uit vier gelijkzijdige driehoeken. In één van mijn huidige onderzoeksprojecten spelen regelmatige tetraëders een centrale rol, maar dat werk is nog niet rijp om hier onthuld te worden. Wel zul je begrijpen dat ik op dit moment nadenk over verschillende manieren om een driedimensionale tetraëder zo duidelijk mogelijk op een tweedimensionaal blad te tekenen.

In meetkundige plaatjes kunnen extra constructielijnen (zoals een hoogtelijn) helpen om een illusie van diepte te creëren. Op een webpagina kan een bewegend plaatje van een draaiende tetraëder uitkomst bieden. Op de Engelstalige Wikipedia-pagina over Platonische lichamen hebben ze ervoor gekozen om bij elk plaatje van een regelmatig lichaam een link naar zo’n animatie plaatsen. In het geval van de tetraëder blijkt deze animatie aanleiding te kunnen geven tot een optische illusie. Het plaatje werd – zonder veel uitleg – geplaatst op “Mightly Optical Illusions“. Daar liet ik al een reactie achter, maar het leek me leuk om er zelf ook een blogstukje over te schrijven.

Regelmatig viervlak. Door afwisselend links en rechts naast de onderste hoek te kijken, kan het lijken of de figuur van draairichting verandert. (Bron afbeelding.)

Als we een driedimensionale figuur op een tweedimensionaal vlak weergeven, verliezen we diepte-informatie. Hierdoor kan er een optische illusie ontstaan, die lijkt op andere ambigue (of reversibele) figuren, zoals de Necker-kubus. Een tekening van een tetraëder kan een gelijkaardige ambiguïteit veroorzaken, waarbij het van één van de vertices (hoeken) niet duidelijk is of die in of uit het scherm wijst.

Om ons te helpen om de lijntekening als een driedimensionale figuur te interpreteren, zijn de zijvlakken van de tetraëder halftransparant ingekleurd. Toch laat de kleuring op zich nog steeds twee interpretaties toe: als je een bepaalde hoek als naar voren gericht interpreteert, draait de figuur de ene kant op; als je de hoek interpreteert als naar achter gericht, draait de figuur de andere kant op.

Op die manier lijkt de animatie dus sterk op illusie van de draaiende danseres, waarbij de schijnbare draairichting ook kan omkeren. Toch is er een verschil: omdat we hier niet met een lijntekening of silhouet te maken hebben, is er bij het draaiende viervlak weldegelijk een juiste zienswijze.

Het viervlak draait van rechts naar links. Dit kun je zien doordat de zijvlakken halftransparant ingekleurd zijn, waardoor een ribbe minder donker is wanneer die zich achteraan bevindt. Bovendien draaien alle andere Platonische lichamen op Wikipedia ook in diezelfde richting.

Het halftransparant inkleuren en het laten draaien van de figuur zijn bedoeld om de tetraëder zo correct mogelijk weer te geven. De optische illusie treedt hier dus onbedoeld op. Wel kun je deze onopzettelijke illusie gebruiken als inspiratie voor een andere illusie: een onmogelijk viervlak – een soort kruising tussen een onmogelijk driehoek (of Penrose-driehoek) en een onmogelijke kubus. Vreemd genoeg vond ik daarvan slechts één schets online (hier). Daarom heb ik geprobeerd om zelf wat onmogelijke tetraëders te creëren: zie het kleine plaatje bovenaan en de grotere afbeelding hieronder.

Het is maar spielerei; zo heb ik de schetslijnen met opzet laten staan. Ook heb ik de balken bij het kleine plaatje bovenaan wel een dikte gegeven (net zoals bij een onmogelijke kubus), maar bij de grotere tekening onderaan niet. Welke vind jij het duidelijkst?

Eigen tekening van een onmogelijk viervlak.

Tot slot nog een weetje over de tetraëder. Wij associëren de firmanaam “Tetra-Pak” tegenwoordig vooral met hun balkvormige brikken, maar wist je dat hun eerste verpakking voor melk tetraëdrisch was? Vandaar dus de naam! :-) Haribo, Jelly Belly en andere snoepfirma’s verkopen soms nog kleine snoepverpakkingen die zo’n viervlak vormen; klik hier voor een voorbeeld.