Oplossing vraagstuk

Kat en MuisIn een poging de losse draadjes op dit blog weer wat in te perken, geef ik vandaag de oplossing van het vraagstuk dat ik bijna twee maanden geleden online zette.

Ook geef ik een beetje context bij het vraagstuk.

 

Ter herinnering, dit was de opgave:

Een muis zit bovenaan in een boom van 60 el hoog. Een kat zit op de grond aan de voet van de boom. De muis daalt een halve el per dag af en kruipt ’s nachts een zesde van een el terug omhoog. De kat klimt één el per dag en kruipt ’s nachts een kwart el terug naar beneden. De boom groeit een kwart el per dag tussen de kat en de muis en krimpt ’s nachts een achtste el.

In hoeveel dagen bereikt de kat de muis?

(Lees verder na de vouw.)

Ik kwam dit vraagstuk tegen op Ask the Past: een blog waarop historica dr. Elizabeth Archibald fragmenten uit historische bronnen publiceert. Meestal gaat het om (in hedendaagse ogen althans) bizarre adviezen, die door haar dan nog eens van een ironisch lijntje commentaar worden voorzien. Onder het motto “The past asks you” staan er uitzonderlijk ook vraagstukken tussen: zo ook het raadsel van de magische boom.

Luca PacioliAls bron van dit vraagstuk vermeldt Archibald het werk “Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità” van Luca Pacioli uit 1494. Luca Pacioli was een Italiaanse wiskundige en zijn  “Summa” was een leerboek over wiskunde en boekhouden.

Het is natuurlijk best mogelijk dat het vraagstuk niet door hemzelf bedacht is, maar teruggaat op een oudere bron. Helaas heb ik daar verder geen informatie over.

Ik zette mijn oplossing in maart al online in een reactie op Ask the Past; dit is een vertaling en lichte uitbreiding van wat ik daar geschreven heb. Eerst geef ik de redenering die ik volgde om het raadsel op te lossen. Dan ga ik in op mijn zoektocht naar de oplossing volgens Luca Pacioli zelf (want die stond er niet bij op dat blog).

Mijn oplossing

Aannemende dat het verhaal begint bij het begin van de dag (in plaats van de nacht) luidt het antwoord: in de loop van de 63ste dag (en na 62 nachten). (Dit is in overeenstemming met de reactie van Deirdre.)

Aangezien het netto-effect tijdens de dag toenadering is en tijdens de nacht verwijdering, ging ik ervan uit dat het een strikvraag betrof: dat de kat de muis zou ontmoeten tijdens dag nummer n, maar dat je, als je enkel keek naar het netto-effect per etmaal, n+1 zou vinden (of een nog groter getal).

Om niet in deze val te lopen, stelde ik de ongelijkheid als volgt op (waarbij n het aantal dagen is en dus n-1 het aantal nachten):

60 + n * (-1/2 -1 +1/4) + (n-1) * (+1/6 +1/4 -1/8) \geq 0

Als uitkomst (bij gelijkheid) kreeg ik hieruit n = 62 + 7/23, of dus ongeveer 62,3 (net als een eerdere commentator KateM) en niet 62,6 (zoals in de reacties van Warren, EricD en Vivianne).

Intussen had ik ook gelezen dat de Venetiaanse methode van boekhouden die in de Summa aan bod komt “dubbel boekhouden” heet. Dit versterkte mijn idee dat je de ‘boekhouding’ voor toenadering tijdens dag en nacht apart moest houden.

Uiteindelijk bleek echter dat het helemaal geen strikvraag was. Dit betekent dat je wel het netto-effect per etmaal kunt gebruiken, waardoor je een eenvoudigere vorm vindt voor de ongelijkheid.

Nochtans krijg je een lichtjes ander resultaat als je het op mijn manier doet. Dit verschil is irrelevant bij het beantwoorden van de vraag die hier gesteld werd, maar het zou relevant kunnen worden als je aanvullende vragen wil beantwoorden, zoals hoe ver de muis en kat omhoog en omlaag moeten klimmen.

Opgave en oplossing bij Pacioli

Ik spreek geen Italiaans (en al helemaal geen Middeleeuws Italiaans!), maar ik slaagde er toch in de betreffende passage terug te vinden in een online versie van de “Summa” (zie Figuur 1). Dankzij de Engelstalige vertaling van de opgave op Ask the Past kon ik bovendien de belangrijkste woorden herkennen: ‘gatta‘ is kat, ‘topo‘ is muis, ‘elbero‘ is boom en zo verder.

De originele opgave (deel 1/2).

Figuur 1: Fragment uit de “Summa” van Luca Pacioli met de originele opgave van het vraagstuk en het begin van de oplossing. (Bron.)

Gewapend met deze sleutel tot het oud-Italiaans probeerde ik de oplossing van Pacioli te ontcijferen. Om te beginnen vond ik het leuk om te zien dat Pacioli inderdaad vervolgvragen stelt, waarbij mijn omslachtige maar zorgvuldige methode dus van pas zou kunnen komen.

De originele opgave (deel 2/2).

Figuur 2: Fragment uit de “Summa” van Luca Pacioli met het vervolg van de oplossing van het vraagstuk. (Bron.)

Tot mijn verrassing lijkt Pacioli echter 62,6 als antwoord te geven: in zijn tekst (zie Figuur 2) zie ik althans 62 (+) 14/23 staan.

Ik denk dus dat Pacioli in de war is geraakt van zijn eigen opgave! ;-)

Wat denken jullie?

Gelijkaardige berichten:

Facebooktwittergoogle_plusredditpinteresttumblrmail

Laat een reactie achter

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

÷ 6 = 1