De enige wet van de kans

Waterkans.Op mijn blog heb ik het al vaker gehad over kleine kansen, zogenaamde waterkansen. (Soms duiken ze zelfs op in de vorm van colakansjes!) Ook mijn Eos-column deze maand gaat erover. De column is gebaseerd op de langere tekst hieronder, die ik in 2012 schreef. Rond die tijd gaf ik namelijk een presentatie over kleine kansen voor de Nederlandse Vereniging voor WetenschapsFilosofie (NVWF, waar ik toen nog geen lid van was, laat staan secretaris). Naar aanleiding van dit onderwerp gaf ik toen een interview voor Hoe?Zo! bij de Nederlandse radio 5, dat hier nog steeds te herbeluisteren is.

~

Het principe van Cournot stelt dat een op voorhand gespecifieerde gebeurtenis met een zeer kleine kans niet zal gebeuren. Dit idee is al terug te vinden in de geschriften van Bernoulli. Borel noemde het zelfs “de enige wet van de kans”. Daar tegenover staat mijn wet van de waterkans, die zegt dat je in veel situaties op voorhand zeker kunt zijn dat er een gebeurtenis met een kleine kans gerealiseerd zal worden. Verwacht het onverwachte in deze beschouwing over grote aantallen en kleine kansen.

Bernoulli’s “gouden stelling”

Jakob Bernoulli.Jakob Bernoulli was een befaamd Zwitsers wiskundige die leefde van 1654 tot 1705. Hij zou niet de laatste bekende wetenschapper worden in de Bernoulli-familie. Zo maken we in de fysica nog steeds gebruik van de wet van Bernoulli om de druk in stromende vloeistoffen of gassen te beschrijven; deze wet is vernoemd naar de in Groningen geboren Daniël Bernoulli, een neef van Jakob. Naar Jakob zelf is geen natuurkundige wet vernoemd, maar wel een wiskundige stelling: de stelling van Bernoulli, het eerste voorbeeld van een wet van grote aantallen.

Jakob Bernoulli schreef een verhandeling over de waarschijnlijkheidsrekening, die pas na zijn dood verscheen (in 1713): “Ars Conjectandi” of “De kunst van het gissen”. Hierin beschreef hij waarschijnlijkheden als graden van zekerheid; dit is een subjectieve interpretatie van wat kansen zijn, die in contrast staat met objectieve interpretaties, bijvoorbeeld in termen van frequenties. In zijn boek presenteerde Jakob ook zijn “gouden stelling” – dit is de eerder genoemde stelling van Bernoulli –, als oplossing van een vraagstuk dat hem twintig jaar lang had beziggehouden.

Stel dat je een eerlijke munt opgooit. De kans op kop is dan 50%, net als de kans op munt. Dit is een voorbeeld van een Bernoulli-experiment; in het algemene geval hoeven de kansen op succes (kop) en mislukking (munt) overigens niet gelijk te zijn. Herhalen we nu de (eerlijke) muntworp een groot aantal maal, dan verwachten we dat we in ongeveer de helft van de gevallen kop te zien en in de andere helft van de gevallen munt. De (sterke) wet van de grote aantallen drukt deze verwachting als volgt uit: de fractie van de muntworpen die kop opleveren convergeert vrijwel zeker naar 50%.

Hierbij vallen er drie bedenkingen te maken.

  • Ten eerste suggereert de wet een brug tussen het begrip kans enerzijds en experimenteel waargenomen fracties of frequenties anderzijds – een brug dus tussen pure wiskunde en experimentele wetenschap. Opgepast: het betreft een puur wiskundig resultaat, dat op zichzelf deze brug nooit kan slaan.
  • Ten tweede moeten we de frase “vrijwel zeker” hier interpreteren als “met kans 100%”. Daarbij moet je weten dat dit laatste niet garandeert dat het noodzakelijk zo moet zijn, enkel dat het oneindig veel waarschijnlijker is dan dat het niet zo gebeurt.
  • Ten derde was de oorspronkelijke stelling van Bernoulli een zwakke wet van grote aantallen, maar de verschillen met de sterke wet laten we hier buiten beschouwing.

Jakob interpreteerde zijn wet van de grote aantallen als volgt: we kunnen een zeer hoge waarschijnlijkheid op een bepaalde gebeurtenis beschouwen als morele zekerheid. Verder kunnen we de frequentie waarmee we een gebeurtenis waarnemen gebruiken als een schatting van de waarschijnlijkheid van die gebeurtenis.

Het principe van Cournot

Cournot.In de geschiedenis van de kansrekening zien we telkens weer varianten opduiken van het idee dat vervat zit in Jakob Bernoulli’s interpretatie van zijn “gouden stelling”. In 1843 maakte Antoine Augustin Cournot de volgende redenering. Het mag dan wiskundig mogelijk zijn dat een zware kegel rechtop blijft staan op zijn top, toch is het fysisch onmogelijk, zo vond hij, omdat de waarschijnlijkheid van deze gebeurtenis zo klein is. Op de zelfde manier achtte hij het fysisch onmogelijk dat de frequentie van een gebeurtenis in een lange reeks proeven substantieel af zou wijken van de waarschijnlijkheid van die gebeurtenis.

Ook in de natuurkunde zien we het idee ingang vinden. In de jaren 1870 verklaarde Ludwig Boltzmann dat dissipatieve processen (waarbij er nuttige energie verloren gaat als warmte) onomkeerbaar zijn, omdat de waarschijnlijkheid van een toestand met een entropie ver van het maximum zo klein is.

Dit mag dan aannemelijk klinken, toch lijkt het in tegenspraak te komen met de terugkeerstelling, die Henri Poincaré bewees in 1890. Deze stelling zegt dat een mechanisch systeem uiteindelijk willekeurig dicht bij zijn begintoestand terugkeert. Hiervoor moeten er slechts drie voorwaarden voldaan zijn: het systeem moet volledig geïsoleerd zijn van zijn omgeving, het moet beperkt zijn tot een begrensd gebied van de faseruimte en de begintoestand zelf mag niet uitzonderlijk zijn.

Van de natuurkunde terug naar de wiskunde. In 1933 schreef Andrej Kolmogorov, de Russische grondlegger van de moderne aanpak van de kansrekening:

“Als P(A) zeer klein is, dan kunnen we er praktisch zeker van zijn dat de gebeurtenis A niet zal gebeuren tijdens een enkele proefneming.”

In 1939 formuleerde Jean Ville dit idee als volgt:

“Je zal het kapitaal dat je inzet niet met een grote factor vermeerderen.”

Émile Borel.Émile Borel was een Franse wiskundige, wiens naam we nog kennen van de Borel-verzamelingen in de maattheorie. In 1939 stelde hij in zijn boek “Valeur pratique et philosophique des probabilités” de volgende vuistregels op voor welke gebeurtenissen men als onmogelijk kan beschouwen in diverse contexten:

  • kansen kleiner dan 10^{-6} (één miljoenste) zijn onmogelijke op de menselijke schaal;
  • kansen kleiner dan 10^{-15} (één biljardste) zijn onmogelijk op de aardse schaal;
  • kansen kleiner dan 10^{-50} (één honderd-octiljoenste) zijn onmogelijk op de kosmische schaal.

In 1943 ging Émile Borel zo ver om in zijn boek “Les probabilités et la vie” of “De kansen en het leven” te schrijven:

“Het principe dat een gebeurtenis met een zeer kleine kans niet zal gebeuren is de enige wet van de kans.”

Het was Maurice Fréchet die dit steeds terugkerende thema benoemde als “het principe van Cournot”. Dit principe zegt dus:

“Een gebeurtenis met een zeer kleine kans is moreel onmogelijk; het zal niet gebeuren.”

Het principe van Cournot kan equivalent geformuleerd worden als volgt:

“Een gebeurtenis met een zeer grote kans is moreel zeker; het zal gebeuren.”

De wet van Wenmackers

Het principe van Cournot lijkt zeer aannemelijk. De kans dat een op voorhand gespecifieerde combinatie van zes verschillende getallen tussen 1 en 42 wint bij de volgende lottotrekking is één op (42 – 6)! x (6)! / 42!; dit is 1 / 5 245 786 of ongeveer 0,000 000 19.* Aangezien deze kans kleiner is dan één miljoenste, is winnen met de lotto volgens Borels vuistregels onmogelijk op de menselijke schaal. Ook het principe van Cournot zegt dat onze combinatie niet zal winnen.

Waterkans.Toch worden we voortdurend geconfronteerd met gebeurtenissen waaraan we op voorhand precies zo een kleine kans hebben toegekend. Geregeld blijkt dat iemand vooraf de zes juiste getallen heeft aangeduid op het lottoformulier. Een kans, hoe klein ook maar groter dan nul, is en blijft een kans. De bijbehorende gebeurtenis kan niet op voorhand worden afgedaan als onmogelijk. Noem het de wet van de waterkans – of de wet van Wenmackers, als je wil. Deze wet zegt dat we kunnen winnen. Enkel als we niet meedoen aan de loterij is winnen echt onmogelijk.

Natuurlijk blijft het veel waarschijnlijker dat die ene, vooraf uitgekozen combinatie niet zal winnen. Het is precies deze observatie die het principe van Cournot zo plausibel maakt. In veel situaties weten we echter op voorhand met volledige zekerheid (dus meer dan louter “met kans 100%”) dat er een gebeurtenis met een zeer kleine kans zal gebeuren. Over een uur zullen de luchtmoleculen in het kantoor van de rector zich in een bepaalde configuratie bevinden. Er zijn zeer veel configuraties mogelijk waardoor de kans behorende bij elke specifieke configuratie zeer laag is, maar er zal er één gerealiseerd worden. Dit is mijn wet, de wet van de waterkans:

“Als elke mogelijke gebeurtenis een even kleine kans heeft, moet er met zekerheid een gebeurtenis met zo’n kleine kans gerealiseerd worden.”

Allemaal waterkansjes

Als afsluitende denkoefening moet je je eens proberen voor te stellen hoe klein de kans was dat je geboren zou worden en dat je leven zich vervolgens precies zo zou voltrekken als het tot op de dag van vandaag heeft gedaan. Hoe groot was die kans negen maanden voor je geboorte? Negen jaar voordien? Negentig jaar ervoor? Toen de eerste mensen ontstonden? Toen de aarde gevormd werd? Het zonnestelsel? Het heelal???

Ik durf erop wedden dat je al snel bij een kans van minder dan één honderd-octiljoenste uitkomt. Moeten wij onszelf dan tot een paradox verklaren – “onmogelijk op de kosmische schaal”? Nee, we zijn gewoon allemaal het levende bewijs van de collectieve kracht van waterkansen.** Wij zijn de onvoorziene winnaars in de kosmische loterij.

Er staan ons nog veel onvoorspelbare gebeurtenissen te wachten, zoveel is zeker.

 

tl;dr: Die “enige wet van de kans” (volgens Borel) klopt niet. ;-)

 

* Aangezien ik zelf niet meedoe aan kansspelen, was het me destijds ontgaan dat er bij de lottotrekkingen in België nu 45 ballen gebruikt worden in plaats van de vroegere 42 (en dit blijkbaar sinds oktober 2011). Deze berekening heb ik dus aangepast in de nieuwe column. De kans om te winnen is nu nog kleiner dan met 42 ballen, dus gelukkig bleef het punt dat ik wou illustreren overeind.

** Zie ook: is eentje ooit geentje?

 

Aanvulling (4 februari 2015):

Daarnet las ik deze bespreking van “The improbability principle, een boek geschreven door David Hand, hier besproken door David Spiegelhalter, professor van het publieke begrip van risico’s . Er is ook een Nederlandstalige vertaling beschikbaar: “Het onwaarschijnlijkheidsprincipe”.

Blijkbaar formuleert Hand vijf principes. Het eerste noemt hij de “Law of Inevitability“. Nog iemand die een “wet van de waterkans” heeft geformuleerd, dus! :-) Nu ben ik erg benieuwd hoe dit principe in het Nederlands is vertaald én of Hand dit principe ook contrasteert met Borels “enige wet van de kans” en/of het principe van Cournot. Dat staat niet in de samenvatting, dus zal ik het boek eens moeten lezen. Als ik ooit eens vijf minuten tijd heb…

Gelijkaardige berichten:

Facebooktwittergoogle_plusredditpinteresttumblrmail

5 Reacties

  1. Pingback: Wet van de waterkans » Sylvia's blog

  2. Pingback: Wet van de waterkans › Material Girl

  3. Jos Groot

    ‘Law of inevitability’ in Hand’s boek is vertaald als ‘De wet van de onvermijdelijkheid’. In het begin meldt Hand dat Borel’s principe schijnbaar tegenstrijdig is met deze wet, en dat het boek dit zal ophelderen. Ik vindt dat dat niet heel duidelijk gebeurt. Wat het boek wel doet is laten zien dat we kansen van uitzonderlijke gebeurtenissen (zoals het in 35 jaar 7 keer getroffen worden door de bliksem, wat ene Roy Sullivan overkwam) vaak te klein inschatten. Dit suggereert – wat niet expliciet in het boek staat – dat we de ‘zeer kleine kans’ van Borel’s principe niet goed weten in te schatten. Ik zou nog verder willen gaan met dit ‘vermoeden van Jos’:

    De ‘zeer kleine kans’ uit Borel’s principe is 0.

    Reageren
  4. Sylvia Wenmackers (Auteur bericht)

    Beste Jos,

    Bedankt voor je reactie! Dit is best al een oud stukje en ik heb Hands boek intussen gelezen – al zo lang geleden zelfs, dat ik één en ander weer vergeten ben. Ik herinner me hoe knap ik het vond dat hij erin slaagde alle formules weg te laten, zelfs de stelling van Bayes (wat mij niet gelukt zou zijn). Ook vond ik dat hij er zeer goed in slaagde om met voorbeelden bij de lezer de gewoonte aan te kweken dat je altijd moet kijken naar de referentiegroep. (Bij het voorbeeld dat je aanhaalt zou een aandachtige lezer zich achteraf spontaan moeten afvragen: Hoeveel mensen zijn er op de die wereld die mogelijk één of meerdere keren getroffen kunnen worden door bliksem? Zijn er groepen mensen die een hoger risico lopen? Etc.)

    Als we deze moraal van Hand toepassen op het principe van Borel – even aannemende dat we een variant ervan überhaupt zouden willen behouden als heuristiek – zou je dus minstens extra kunnen vereisen dat het om een kansproces moet gaan dat niet herhaald wordt, want voldoende herhaling kan de kleine kans ‘neutraliseren’ en het juist heel onwaarschijnlijk maken dat het nergens zou optreden. (Ik herinner me inderdaad niet dat Hand een dergelijke suggestie doet.)

    Maar ik kan me ook prima vinden in het vermoeden van Jos! :-)

    Vriendelijke groeten,
    Sylvia

    Reageren
  5. Jos

    Beste Sylvia,

    Het mag dan een oud stukje zijn, ik ga er van uit dat je voor de eeuwigheid schrijft. :^)

    Voor wat betreft het herhalen van een kansproces: Hand’s onwaarschijnlijkheidsprincipe bestaat uit vijf wetten. Een daarvan is de ‘wet van de werkelijk grote aantallen’:

    * Bij een voldoende aantal gelegenheden zal welke buitenissige omstandigheid dan ook zich voordoen.

    Denk aan een reeks van 100 achtereenvolgende 6’en bij het gooien van een dobbelsteen. Ik denk dat deze wet voorziet in jouw vereiste.

    Overigen is het boek zelf een mooi voorbeeld van Hand’s ‘wet van de selectie’:

    * Kansen kun je zo groot en klein maken als je wilt door achteraf te kiezen.

    Hij beschrijft zo’n grote selectie van hoogst onwaarschijnlijke gebeurtenissen dat ik de kans er op inderdaad niet meer zo klein acht.

    De auteur maakt aannemelijk waarom we kansen van dit soort gebeurtenissen vaak te laag inschatten. Hij vindt dat er hiervoor dan ook geen ad hoc verklaringen nodig is, bijvoorbeeld een bovennatuurlijke verklaring. Ik vind dit wat makkelijk – waarmee ik niet pleit voor bovennatuurlijke verklaringen. Immers, hij levert niet anders dan wat ik een ‘statistische verklaring’ zou willen noemen. Hij levert bijvoorbeeld geen causele keten(s) waaruit een en ander blijkt. Het is vergelijkbaar met het wel weten van de halfwaardetijd van een radioactief atoom, maar niet het exacte vervalsmoment. Dat de huidige theorie beweert dat dat moment niet bekend is wil nog niet zeggen dat het hierbij blijft. De wereld zou best nog eens een verrassing voor ons in petto kunnen hebben. Het lijkt me irrationeel dat uit te sluiten, ook gezien de voortdurende uitbreiding van wetenschappelijke kennis tot nu toe. Wat vindt jij hiervan?

    Vriendelijke groeten,
    Jos

    Reageren

Laat een reactie achter

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

29 − = 22