Vraag van Mark: over pi en infinitesimale kansen

In reactie op mijn eerste brief aan Daan dwarrelde er nog een fijne vraag mijn inbox binnen, van een zekere Mark Mark Iske, bewoner van deze wonderlijke blogplek, met daarop zowel poëzie als patafysica (!) [aangevuld op 18/09]. Met zijn toestemming plaats ik zijn vraag en mijn antwoord ook weer op mijn blog. (Sorry, Daan, jouw tweede brief komt er ook aan, hoor!)

Marks vraag komt hierop neer:

Als de kans op een cijferherhaling in pi gelijk is aan 1/10 dan is het in theorie mogelijk dat ergens in de decimale ontwikkeling van pi het cijfer 1 wordt gevolgd door nog een 1, en nog 1, en nog 1, en nog 1, en nog 1, enz en zo aftelbaar oneindig door. Als ik je concept van infinitisimale kansen goed begrijp, is de kans op die oneindige reeks enen niet nul maar infinitisimiaal klein, en dus niet onmogelijk.
Als de getallenreeks waar pi uit is opgebouwd oneindig is, zou je verwachten dat ergens in pi die oneindige reeks van 1-en te vinden is, die uiteraard ergens in pi een beginpunt heeft, maar geen eindpunt. Maar je zou dezelfde redenering kunnen opbouwen rond een oneindige reeks 2-en (en ook 3-en, 4-en, enzoverder). Maar waar bevinden die reeksen zich dan, als de reeks 1-enen al oneindig lang doorgaat?

Voor ik deze vraag kan beantwoorden, moet ik eerst wat van de impliciete aannames rechtzetten.

Over normale en rationale getallen

Pi.(1) Het is niet bewezen dat pi een zogenaamd “normaal getal” is. (Zie ook hier) Normale getallen zijn getallen waarvoor inderdaad geldt dat alle cijfers en combinaties ervan even vaak komen in de decimale voorstelling ervan (en idem voor binaire of andere voorstellingen van het getal!).

Er wordt algemeen weliswaar aangenomen dat pi ook een normaal getal is, maar hier is geen bewijs voor. Het zou in principe dus kunnen dat er vanaf een bepaald punt in de decimale expansie van pi bijvoorbeeld nooit meer het cijfer 8 voorkomt.

(2) Nu denk je misschien dat het dan ook mogelijk is dat er vanaf een bepaald moment enkel nog 1-en voorkomen in de expansie van pi, maar dat is niet zo. Het is namelijk wél bewezen dat pi een irrationaal getal is. (Zie ook hier) Een getal waarbij vanaf een zeker punt in de decimale expansie enkel nog dezelfde eindige rij getallen wordt herhaald (bijvoorbeeld 1111111…) kan geschreven worden als een breuk (volgens dit recept) en is dus geen irrationaal getal. Maar pi is wél een irrationaal getal, wat betekent dat de decimale expansie dus niet zo’n herhaling kan bevatten.

Nu kan ik komen tot wat Mark wellicht echt bedoelde met zijn vraag:

Mark had het over “als de kans op een cijferherhaling in pi gelijk is aan 1/10”. Goed, laat ik nu even doen alsof hij naar een normaal getal had gevraagd in plaats van specifiek naar pi (waarvan de normaliteit tot op heden slechts een aanname is). Hierbij is de frequentie van de cijfers zo dat die voor elk cijfer 1/10 is en bovendien voor elke eindige combinatie ook (nagenoeg) uniform verdeeld is. Vaak zeggen frequenties ook iets over waarschijnlijkheid, maar we moeten wel voorzichtig zijn. Een correcte en een incorrecte manier om dit te doen:

  • (a) Als we een willekeurige positie in de decimale expansie van een normaal getal bekijken, dan is het cijfer op die positie met waarschijnlijkheid 1/10 gelijk aan 0, met waarschijnlijkheid 1/10 gelijk aan 1 en zo verder voor alle cijfers. (Deze waarschijnlijkheid is subjectief in de zin dat het uitdrukt wat wij weten over het getal: dat het normaal is en meer niet. Als we zouden weten welk normaal getal het is, dan kunnen we eventueel met zekerheid weten dat -bijvoorbeeld- het honderste cijfer een 8 is.)
  • (b) Als we deze frequentie zouden interpreteren als de (objectieve) kans die het volgende cijfer genereert of iets dergelijks, dan lijkt het inderdaad mogelijk te worden dat we -met een infinitesimale kans- het getal 0,111111… uitkomen. Dit getal voldoet echter niet aan de definitie van een normaal getal. Dat toont aan dat we de frequentie hier dus niet op deze manier aan een waarschijnlijkheid mogen koppelen. (Maar bijvoorbeeld wel op de manier in het punt (a) hierboven.)

Om het vorige punt helemaal uit te leggen zou ik moeten ingaan op wat von Mises een collectief noemde (zie bijvoorbeeld hier), maar ik hoop dat volgende opmerking voldoende suggestief is:

We zouden wel het volgende kunnen doen: stel we nemen een willekeurig reëel getal tussen 0 en 1. We kunnen dit zien als een willekeurige decimale expansie die begint met 0,… Daarna heeft elk cijfer telkens een kans van 1/10 om als volgende in de expansie te komen. Dan heeft elke specifieke uitkomst dezelfde infinitesimale kans, maar de kans om op deze manier een normaal getal te maken is binnen de klassieke kansrekening 1 – en als je infinitesimale kansen toelaat 1 min een infinitesimaal. Op die manier bekeken lijkt het dus wel heel waarschijnlijk dat pi inderdaad een normaal getal is, zoals vaak stilzwijgend wordt aangenomen!

Infinitesimale kansen en (on-)mogelijkheid

Mark schrijft ook over een kans die “niet nul maar infinitesimiaal klein” dat die gebeurtenis “dus niet onmogelijk” is. Hier schemert echter een subtiele misvatting door: in de klassieke kansrekening betekent kans nul niet onmogelijk (al geldt in mijn alternatieve kansrekening met infinitesimalen geldt deze implactie wél).

Belangrijker is de vraag of gebeurtenissen die mogelijk zijn ook moeten gebeuren? In het eindige geval uiteraard niet: als je maar één keer met een munt gooit, is het kop of munt, nooit beide. En ook na 10, 100, of 1000 keer is er geen garantie dat je beide kanten een keertje te zien krijgt – al wordt de kans uiteraard als maar kleiner (zelfs exponentieel kleiner in dit geval). Dus misschien kan je die garantie – op het zien van alle elementaire mogelijkheden – wél krijgen als je oneindig lang blijft proberen?

Het antwoord is volgens mij: nee. Maar op dit punt verschillen intuïties en het blijft speculeren, want het is niet mogelijk om dit experimenteel te testen (we kunnen nu eenmaal geen oneindige herhalingen doen). Met andere woorden: hier zitten we dus met een filosofische discussie.

De intuïtie die overeenkomt met het idee van een collectief bij von Mises (waar ik hoger naar al naar linkte) was dat als je oneindig herhalingen doet, dat dan alle mogelijkheden gerealiseerd moeten worden en wel met de frequentie die overeenkomt met de waarschijnlijkheid.

Mijn intuïtie is echter dat een eerlijke munt die oneindig vaak opgeworpen zou worden (wat in de praktijk natuurlijk niet kan) in principe telkens met kop naar boven kan landen (hoewel dat oneindig onwaarschijnlijk is). Het resultaat van elke muntworp wordt namelijk verondersteld onafhankelijk te zijn van de vorige uitkomsten. Er is dus geen extra kracht of iets dergelijks aan het werk die zou kunnen verhinderen dat dezelfde munt telkens weer met kop boven landt. (Dit wel veronderstellen berust op de denkfout van de gokker.)

Er zijn overaftelbaar oneindig veel mogelijke uitkomsten van een aftelbare reeks kop/munt. Al deze specifieke uitkomsten zijn even (on)waarschijnlijk. Wel is het zo dat de oneindige reeksen waarin de frequentie van kop/munt precies 1/2 is samen kans één min een infinitesimaal hebben, maar elke specifieke reeks uit deze groep is nog steeds infinitesimaal en gelijk aan de kans op ‘telkens kop’. Maar het punt dat van belang is om de vraag van Mark te bespreken is dat er in een aftelbare reeks dus gewoon niet genoeg plaats is om al deze mogelijke uitkomsten te representeren!

Dezelfde redenering kan je maken over decimale getallen, maar dan met tien in plaats van twee mogelijke uitkomsten per worp.

Dus, waar zit die oneindige rij 2-en dan?

Voor een rij 2-en na een oneindige rij 1-en zou je een overaftelbare rij kunnen gebruiken, maar dit is uitdrukkelijk niet van toepassing bij een decimale expansie die ‘slechts’ aftelbaar oneindig lang is.

Het ordetype van een aftelbaar oneindige reeks wordt genoteerd als ω. Voor een aftelbaar oneindige reeks 1-en en daarna een aftelbaar oneindige reeks 2-en heb je een ander ordetype nodig, namelijk ω · 2. Maar om dit beter te begrijpen, zou je eerst wat meer moeten lezen over ordinaalgetallen. (In de brief aan Daan schreef ik al over cardinaalgetallen van Cantor. Ordinaalgetallen zijn een andere manier, ook ontwikkeld door Cantor, om oneindige verzamelingen te vergelijken. Dit had ik niet nodig in mijn antwoord aan Daan, maar nu komt het alsnog ter sprake.)

Kortom: in de wiskunde kan veel, maar soms moeten we er wel wat moeite voor doen. ;-)

Gelijkaardige berichten:

Facebooktwittergoogle_plusredditpinteresttumblrmail

Laat een reactie achter

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

36 ÷ 6 =