Over fractals, vers uit de lasersnijder

Sylvia Wenmackers 06/02/2017 2 Reacties

Chaos en fractals

Zoals beloofd in mijn vorige bericht zou ik snel meer vertellen over het PiLoT1-project, waarbij kunstenaars en wetenschappers samenwerken. Het jaarthema van het project is “Chaos”. Voor mij, als fysicus, is dit in de eerste plaats een technisch begrip, dat nauw verwant is met fractals – wat meteen suggestief is voor visualisaties. Zelfs in het online woordenboek Van Dale wordt ‘fractal’ met behulp van een plaatje uitgelegd! :)

De meeste kunstenaars associëren het begrip chaos eerst en vooral met de menselijke ervaring – en vaak negatieve aspecten ervan. In het project samen met Shuktara Momtaz proberen we beide aspecten te combineren: de wiskundige-wetenschappelijke interpretatie (via fractals) en de menselijke kant (via schilderijen die te maken hebben met discriminatie, zoals Shuktara die maar al te vaak ervaren heeft, eerst als meisje in Bangladesh en daarna als buitenlandse vrouw in België).

Laat me eerst in een paar woorden proberen uitleggen wat een fractal is. Een fractal is een wiskundig object dat een gebroken (of ‘fractionele’) dimensie heeft. Sommige fractals kunnen gegenereerd worden door een iteratief proces: je begint met een basisstap (bijvoorbeeld: neem een vierkant) en herhaalt dan telkens dezelfde stap (bijvoorbeeld: haal van elk kleinste vierkant in het midden een vierkant weg met als zijde één derde van het kleinste vierkant). Strikt genomen is de fractal het wiskundige object dat ontstaat in de limiet naar oneindig van het aantal iteratiestappen, maar de eindige stadia worden ook wel (iteraties van) fractals genoemd. Als je het woord op die ruime manier gebruikt, dan zijn er heel wat vormen om ons heen die bij benadering fractaal zijn. Een mooi voorbeeld is een loofboom: de stam en de dikke takken vertakken zich op een gelijkaardige manier als de twijgjes en vaak lijkt één enkel blad met steeltje op de kruin en de stam. Enkel de schaal verschilt: deze schaalonafhankelijkheid is ook typisch voor fractals én voor chaotische processen.

Vorig jaar ging ik voor het eerst naar FabLab. Dat beviel prima en voor dit project besloot ik opnieuw aan de slag te gaan met de lasersnijder. Na overleg met Shuktara, koos ik voor iteraties met vierkanten, zoals in het voorbeeld in de vorige paragraaf. Door te starten met een vierkant en telkens kleinere vierkanten uit te snijden, ontstaan iteraties van het tapijt van Sierpiński. Mijn plan was aanvankelijk om zo enkele platen te maken, die beschilderd en naast elkaar opgehangen kunnen worden. Aangezien dit tevens zijvlakken zijn van de Menger-spons, stelde Shuktara voor om ook onze fractal-iteraties daadwerkelijk als een kubus in elkaar te zetten. (Voor alle duidelijkheid: we maken geen Menger-spons, want dan zouden we een 3D-printer nodig hebben, om ook intern de iteraties verder te zetten, maar dat is geen geschikte drager meer voor een figuratief schilderij.)

Voorbereiding

Voor ik naar het FabLab ging, maakte ik een bestand aan waarin met rode lijnen aangegeven staat hoe de platen gesneden moesten worden. Aangezien het met PowerPoint mogelijk is om vectorieel te werken en het resultaat achteraf als pdf op te slaan, gebruikte ik dat programma. De pdf kan je hier downloaden: het is een ontwerp waar je drie MDF-platen van 60 cm bij 30 cm en 9 mm dik voor nodig hebt; daarmee kan je één kubus maken met zijde iets minder dan 30 cm. De eerste pagina dient om het boven- en ondervlak te maken; de tweede en derde pagina zijn voor de zijvlakken.

Aan de slag in het FabLab

Met deze bestanden op een USB-stick ging ik naar het FabLab. Voor de meeste studenten was het op dat moment examenperiode, dus het was er vrij rustig en ik kon meteen beginnen.

Aangezien ik de lasersnijder nog niet eerder gebruikt had voor een echt 3D ontwerp, was het wel nog spannend afwachten of de zijpanelen van de kubus echt in elkaar zouden passen. Het lukte inderdaad!

The side with 5th iteration is being lasered right now! Cutting fractals goes exponentiontially slow… #FabLab @KU_Leuven #Maker #MengerBox pic.twitter.com/0poUIm2FCE

— Sylvia Wenmackers (@SylviaFysica) January 26, 2017

Wel maneschijn, maar geen rozengeur

Zoals je al merkt aan het aantal foto’s bij dit bericht, ben ik zeer enthousiast over dit project. Allemaal rozengeur en maneschijn is het nochtans niet.

Voor maneschijn kan mogelijk wel gezorgd worden, want de totale te snijden lengte stijgt exponentieel met het aantal iteraties. Als je dus nog hogere iteraties zou willen uitvoeren, dan wordt het inderdaad nachtwerk.

Lengte voor iteratie 0 = L0 = 4 * (28,8 + 10 * 0,9) cm = 151,2 cm (Dit is de lengte voor de buitenomtrek omtrek en de ‘kartels’ om de platen in elkaar te zetten. Als je enkel de fractal zelf wil tellen, dan moet je hier 4 * 27 cm = 108 cm voor tellen.)

Lengte voor iteratie 1 = L1 = L0 + 4 * (1 * 9) cm = L0 + 36 cm = 187,2 cm

Lengte voor iteratie 2 = L2 = L1 + 4 * (8 * 3) cm = L1 + 96 cm = 283,2 cm

Lengte voor iteratie 3 = L3 = L2 + 4 * (64 * 1) cm = L2 + 256 cm = 539,2 cm

Lengte voor iteratie 4 = L3 = L2 + 4 * (512 * 0.33) cm = L3 + 675,84 cm = 1215,04 cm (Vanaf hier treden er afrondingsfouten op: het bestand kan maar tot op een tiende van een mm worden ingesteld, dus meer decimalen meenemen heeft in de praktijk geen zin.)

Lengte voor iteratie 5 = L4 = L3 + 4 * (4096 * 0.11) cm = L4 + 1802,24 cm = 3017,28 cm

Algemeen voor n > 0:

Lengte voor iteratie n = Ln = L(n-1) + 4 * (8^(n-1) * 27 / 3^n) cm = L(n-1) + 4 * 27 * (8/3)^n cm

Dit is enkel de lengtedie gesneden moet worden, niet de extra lengte die de kop tussenin moet bewegen (wat wel veel sneller ging). In de praktijk mag je ongeveer 2 seconde per te snijden cm tellen, zo blijkt uit mijn ervaring met het laseren van deze bestanden. De vijfde iteratie duurde dus al meer dan anderhalf uur.

Maar rozengeur is er in het geheel niet bij! Een lasersnijder brandt het materiaal dat erin gelegd wordt door. In de lasersnijder is er gelukkig afzuiging gezien, maar het toestel moet op een gegeven moment open en de geur zit ook in het materiaal dat eruit komt. Nadat alle platen gelaserd waren, moest ik nog alle uitgesneden vakjes uit de plaat duwen. De grotere vierkanten kon ik snel ter plekke doen, maar de vierde en vijfde iteratie deed ik achteraf – thuis dus. Onze living vulde zich met een penetrante brandlucht, maar het resultaat mag er zijn, vind ik.

En verder?

Het plan is dat Shuktara op dit soort vlakken zal schilderen, maar hoe we het precies gaan aanpakken moeten we nog bespreken op onze volgende bijeenkomst. Ondertussen kan je hier al eens kijken met welke ontwerpen ze werkt.

Voor liefhebbers van Star Trek heb ik nog een extra foto, met de schaduw van zo’n Sierpiński-plaat.

En wat eten we vanavond? Fractals!

That's my favourite edible fractal, too @SimonGelten. #TeamRomanesco pic.twitter.com/lIsZz80BWw

— Sylvia Wenmackers (@SylviaFysica) January 25, 2017

PS: Zoals je ziet heb ik de layout van dit blog wat aangepast. Laat gerust een bericht achter als je er opmerkingen over hebt of als iets niet meer goed werkt.

Gelijkaardige berichten:

• Het tapijt van Sierpiński
• Over fractals, Engelse gotiek en een dwaaltuin
• FabLab-project: tactiele waarheidstabel