Archief voor Auteur: Sylvia Wenmackers

Minuscule olifant

Olifanten zijn kuddedierenDeze post gaat over een kudde minuscule olifanten en een karavaan kleine kamelen. Maar eerst een rekensom. Stel je begint met een half, telt daar een kwart bij op, dan een achtste en zo verder. Wiskundig kun je dit als volgt noteren: 1/2 + 1/4 + 1/8 + \ldots, waarbij die drie puntjes betekenen dat je oneindig veel termen optelt. Zo’n oneindige som noemen we een reeks. Wat heb je eraan te weten dat deze som precies gelijk is aan één?

Wel, er zijn (minstens) drie totaal verschillende toepassingen van deze reeks, 1/2 + 1/4 + 1/8 + \ldots = 1.

Toepassing 1. Je kunt deze som gebruiken om oneindig veel, steeds kleinere olifanten te tekenen op een gewoon cursusblad. Volgens de som mag de eerste olifant half zo breed zijn als het blad, de tweede een kwart van de breedte, de derde een achtste en zo verder. (Natuurlijk kun je nooit oneindig veel tekeningetjes maken: je hebt maar eindig veel tijd en de punt van je potlood heeft een eindige breedte. Aan de andere kant zijn onze ogen niet in staat om oneindig scherp te zien, en zo lijkt het toch net echt.)

Vi Hart doet het ons voor in onderstaand YouTube-filmpje. Ze noemt zichzelf een recreatief mathemusicus en ze babbelt héél snel.

(meer…)

Vrouwen tellen mee

Ingrid Duabechies: befaamd wiskundige, vrouw en van Limburgse origine.Dit is mijn vierde en laatste post over de zomerschool van vorige week. Vorige keer doken we de geschiedenis in, maar de vraag van vandaag is: hoe staat de situatie er in onze tijd voor? Toen ik aan mijn opleiding Fysica begon, verbaasde het me helemaal niet dat meisjes een minderheid vormden in deze richting. Wat me wél verbaasde was dat de situatie bij Wiskunde omgekeerd was: er waren maar twee jongens in een groep van zo’n twintig eerstejaars. Nu kun je je met kleine aantallen aan grote fluctuaties verwachten, maar de daaropvolgende jaren herhaalde zich een vast patroon: 10% vrouwen bij Fysica, 10 à 20% mannen bij Wiskunde. Fysica mag dan een groter recruteringsprobleem hebben onder vrouwen, Wiskunde raakt ze onderweg kwijt. Dat ‘leaky pipeline‘-fenomeen is misschien nog erger: dan zit je daar met een lokaal vol vrouwen die graag wiskunde willen doen en dan lopen ze alsnog weg… Het kan natuurlijk best dat vele studentes aan een opleiding Wiskunde beginnen met het idee om in het onderwijs te gaan, maar dan nog zou je verwachten dat een aantal jaar aan de universiteit een groter aantal onder hen zou aansporen om in het onderzoek verder te gaan. Toch gebeurt dat zelden. En daarom zijn er organisaties zoals European Women in Mathematics (EWM) nodig om zich in te spannen hier wat aan te veranderen.

Overigens speelt het ‘leaky pipeline‘-fenomeen vrouwen in alle faculteiten parten: onderstaande grafiek, gebaseerd op het Nederlandse rapport ‘Monitor vrouwelijke hoogleraren 2009‘ (p. 8), gaat over alle universitaire richtingen, niet enkel de exacte vakken. Deze grafiek wordt ook wel een ‘schaardiagram’ genoemd: er studeren aanvankelijk ongeveer evenveel vrouwen als mannen af (scharnier van de schaar), maar in de verdere carrière lopen de percentages mannen en vrouwen steeds verder uiteen (messen van de schaar).

Schaardiagram

Deze grafiek toont het ‘leaky pipeline’-fenomeen: hoewel er iets meer vrouwen dan mannen afstuderen, daalt hun procentuele aanwezigheid bij elke volgende carrièrestap. De grafiek is gebaseerd op Nederlandse gegevens uit 2008.

Hoe verder je teruggaat in de tijd, hoe minder voorbeelden er te vinden zijn van bekende vrouwen in de harde wetenschappen. Lange tijd waren vrouwen niet welkom aan de universiteit (daarover méér in de vorige post), dus dan is het te begrijpen dat ze ook geen doorbraken konden forceren in universitaire disciplines. Tegenwoordig echter staat het iedereen vrij om te studeren wat hij of zij wil en toch zijn er verhoudingsgewijs nog steeds weinig uitblinkers in de exacte vakken. Ontstaat deze wanverhouding door een verschil in aangeboren mentale capaciteiten tussen mannen en vrouwen? Is er een glazen plafond? Of is er nog iets anders aan de hand?

(meer…)

Wiskundevrouwen in de achttiende eeuw

Émilie du Châtelet koos zelf voor wiskunde.Op de zomerschool van vorige week (zie eerder: 1 en 2) waren er lezingen over de geschiedenis van de wiskunde, waaruit bleek dat er ook vroeger meer vrouwen aan wiskunde deden dan je misschien zou verwachten. Vóór de negentiende eeuw was wiskunde nog niet geïnstitutionaliseerd (aan de universiteiten en academies) en het vakgebied was nog niet duidelijk onderverdeeld in deelgebieden (zoals we nu calculus, algebra en meetkunde hebben).

Jeanne Peiffer vertelde ons over situatie tijdens de de Verlichting. In de achtiende eeuw (jaren 1700) waren er twee manieren om als vrouw in de wiskunde te belanden. De eerste berustte op het humanistische ideaal van de ‘puella docta’ (geleerde maagd): meisjes uit rijke families werden onderwezen door hun vader of door privé-leraars. Als ze aanleg hadden voor wiskunde, werden ze extra gestimuleerd en als wonderkind opgevoerd: hier kwamen reizigers op af. Een voorbeeld is Maria Gaetana Agnesi. Er is een verslag van een bezoeker, Charles de Brosses, die het meisje een vraag mocht stellen. Hij stelde een vraag over wiskunde, waarop de negenjarige Maria dan een uitgesponnen antwoord gaf. Dit alles natuurlijk in het Latijn.

Ook de tweede manier om als vrouw aan wiskunde te doen was enkel weggelegd voor de hogere kringen. Veel van deze vrouwen deden aan handwerk, maar het stond hen vrij een ander tijdverdrijf te kiezen, ook wiskunde. Een voorbeeld hiervan is Émilie du Châtelet. Ze was een rijke aristocrate die zelf besliste dat ze wiskunde wilde leren en contact hield met heel wat bekende wiskundigen uit haar tijd: Maupertuis, König, één van de Bernouilli’s uit Basel en Voltaire (met wie ze een affaire had).

Wiskunde was een collectieve onderneming, waarin communicatie een belangrijke rol speelde. Hoewel dit nog steeds zo is, is dit niet altijd duidelijk van buitenaf. De manier waarop wiskunde en wetenschappen doorgaans worden onderwezen is erg gericht op de resultaten (stellingen en natuurwetten) en geeft nauwelijks inzicht in het proces waarmee die resultaten behaald zijn: het belang van samenwerking, of op zijn minst communicatie, wordt niet duidelijk. Het feit dat deze resultaten überhaupt door mensen werden ontwikkeld (die ook geregeld fouten maakten in hun zoektocht naar een wiskundig bewijs of een algemene natuurwet) blijft onderbelicht.

Vrouwen en astronomie is een prima combinatie.Dit collectieve aspect is ook bijzonder duidelijk in de achtiende eeuwse astronomie: vrouwen en dochters namen deel aan de waarnemingen en berekeningen, hetgeen duidelijk blijkt uit hun notities. Het gezin was (net als de maatschappij) een hiërarchische structuur, waarbij sociale klasse, leeftijd en geslacht iemands rang bepaalden. Rijke oudere mannen stonden helemaal bovenaan in die rangorde, maar hun vrouwen stonden slechts één stapje lager. Maria Margarethe Winckelmann had thuis een gedegen opleiding gekregen en leerde astronomie van een boer die ook astronomische waarnemingen deed. Ze werkte een tijdje bij hem en leerde vervolgens Gottfried Kirch kennen, wiskundige en astronoom, met wie ze later trouwde. Het gezin kwam aan de kost met de verkoop van kalenders. Het hele gezin was betrokken bij de waarnemingen en berekeningen die daarvoor nodig waren: Gottfried en Maria, maar ook hun zoon (Christfried) en beide dochters (Christine en Maria). Van een andere astronoom uit die tijd, Clairaut, is bekend dat hij zes maanden nodig had om de terugkeer van komeet Haley te berekenen en dat daarbij zelfs de kok en bezoekers gevraagd werd om een beetje mee te rekenen.

(meer…)

Witte raven bij de kapper

Ada Lovelace was wiskundige en ze ontwikkelde het eerste computerprogramma... in 1843.De zomerschool in Leiden waar ik deze week aan deelneem, is de vierde European Women in Mathematics zomerschool. Het is een week vol lezingen over wiskunde, waarbij een grote meerderheid van de sprekers en deelnemers vrouwen zijn. En ja, dit is binnen de wiskunde eerder ongewoon. Noem maar eens een bekende wiskundige (of fysicus, informaticus of ingenieur): de kans is groot dat je vooral mannelijke voorbeelden kent.

Beroemde wiskunde-vrouwen, ze bestaan natuurlijk wel. Op de affiche voor de zomerschool prijkt zo’n witte raaf, wiskundige Ada Lovelace, zoals ze werd geschilderd in 1838. Zij schreef het eerste computerprogramma: ze werkte samen met Babbage die in die tijd een analytische machine ontwikkelde, de voorloper van de moderne computer. De computertaal ADA is ook naar haar vernoemd. Leuk detail: Ada was de dochter van Lord Byron, die echter kort na Ada’s geboorte van haar moeder scheidde. Haar moeder zorgde ervoor dat Ada’s privéleraren haar vooral onderwezen in wiskunde en natuurwetenschappen, in de hoop zo te voorkomen dat Ada, net als haar vader, dichter werd.

Terug naar het heden. De lezingen op de zomerschool gaan over diverse thema’s: logica, geometrie en geschiedenis van de wiskunde. Er zijn ook sessies waarin we als deelnemers zelf aan de slag moeten. Omdat het bij de geschiedenissessie over de ontwikkeling van de calculus gaat (zeventiende eeuw), heb ik voor die sessie gekozen. Samen met een collega lezen we twee teksten van Newton. Terwijl bij Leibniz het concept ‘infinitesimaal‘ centraal staat, schrijft Newton vooral in termen van ‘fluxionen’: afgeleiden van veranderlijke grootheden naar de tijd. Het is nog best lastig om de originele teksten te lezen! (We lezen weliswaar de Engelse, niet de Latijnse versie.) Hoewel afgeleiden tegenwoordig worden genoteerd als \frac{dx(t)}{dt} , wordt er in de fysica ook nog vaak gebruik gemaakt van Newtons punt-notatie, dus \dot{x}. Om het Newton nu ook eens zelf te zien doen (bij wijze van spreken dan), is heel interessant voor een natuurkundige.

Wiskunde is geen populair onderwerp in de gemiddelde kapperszaak.Maar misschien wil je liever weten waarover er gepraat wordt tijdens de koffiepauze op een congres met hoofdzakelijk wiskunde-vrouwen? Over naar de kapper gaan! Dit bezorgt  wiskundigen blijkbaar -euhm- kopzorgen. Als de kapper vraagt “Wat doe je voor werk?”, dan volgt op het antwoord dat je wiskundige bent doorgaans een ongemakkelijk stilte. Creatieve oplossingen hiervoor zijn: doen alsof je de vraag niet verstaan hebt (door op een andere, niet gestelde, vraag te antwoorden), liegen, of een kapper zoeken die de taal niet goed spreekt.

(meer…)

Op een nieuw spoor met Robbert Dijkgraaf

Robbert Dijkgraaf tijdens de zomerschool in Leiden.Op dit moment ben ik in Leiden voor een zomerschool. De eerste spreker was Robbert Dijkgraaf, de enige snaartheoreticus die geregeld mag aanschuiven aan tafel bij Matthijs van Nieuwkerk in De wereld draait door. Aan de hand van citaten van bekende wetenschappers gaf Dijkgraaf een overzicht van de aard van wiskunde en natuurwetenschappen. (Een heel interessant onderwerp voor een stukje over wetenschapsfilosofie, maar dat zal voor een andere keer zijn!) Hij ging ook kort in op de rol van wetenschappen in de maatschappij. Tot slot gaf hij ons tien tips voor een succesvolle carrière in de wetenschappen. Dit laatste is niet alleen interessant voor mensen die al wetenschapper zijn, maar kan ook nuttig zijn voor jongeren die een studie in de wetenschappen overwegen.

Stel dat je aan een hogere studie begint en goede resultaten behaalt, maar toch twijfelt of deze studierichting wel helemaal je ding is. Dan is het niet evident om van studie te veranderen: je moet dan immers terug van nul beginnen zonder garantie dat het beter (of zelfs maar even goed) zal gaan. Veranderen van richting wordt gaandeweg – tijdens of na een doctoraat – steeds moeilijker: de universiteit is gericht op een doorgedreven specialisatie, iets dat je niet kunt bereiken als je door de diverse disciplines fladdert. In aanvragen voor budgetten moet je een lijst opgeven van je eerdere onderzoekspublicaties, met als doel aan te tonen dat je kennis van zaken hebt. Ook dit moedigt switchen van onderwerp af.

Veranderen van spoor kan voor een positieve carrièrewending zorgen.Robbert Dijkgraaf houdt niet van een sterke opdeling van de wetenschappen in kleine subdomeinen. Hij ziet de wetenschap liever als een organisch geheel. Zijn eerste tip gaat dan ook radicaal in tegen het lineaire carrièremodel: durf veranderen van spoor, zegt hij. Het kan lijken alsof je vastzit aan een keuze, maar vaak is er wél ruimte om van vakgebied te veranderen, of om binnen je vakgebied een nieuwe onderzoekslijn te ontplooien. Een volgende tip is hier nauw mee verwant: ga op zoek naar je eigen niche. Misschien doe je heel goed werk in het onderzoek waar je nu mee bezig bent, maar durf ook exploreren. Het is best mogelijk dat er een onderzoeksvraag is die nog beter bij je past en waarmee je werkelijk kunt excelleren. Hier kom je echter nooit achter als je steeds maar hetzelfde blijft doen. Zijn belangrijkste tip is: geniet van je vak als wetenschapper. Als dat niet het geval is, heb je je plek nog niet gevonden.

(meer…)

Infinitesimaal

In geel en groen twee benaderingen voor een integraal (oppervlakte onder de kromme). Bron: Wikimedia Commons, auteur: KSmrq.In mijn proefschrift maak ik gebruik van infinitesimale kansen. Wellicht ga ik in een volgend bericht hier iets meer over vertellen, maar vandaag zou ik graag even stilstaan bij het woordinfinitesimaal‘. Klinkt dat als Latijn? Dat treft, want dat is ook!

‘Infinitesimaal’ betekent ‘oneindig klein’. Lang woord, hè, voor ‘bijna niets’? Het woord werd bedacht door Leibniz. Als je één deelt door duizend dan krijg je een duizendste. De uitgang -ste geeft in het Nederlands dus aan dat je de stambreuk neemt (zelfde vorm als een rangtelwoord). In het Latijn gebruik je daarvoor de uitgang -esimus of (vanaf de Middeleeuwen) -esimalis. Bijvoorbeeld: duizend is ‘mille’ en duizendste is ‘millesimus’ of ‘millesimalis’. Leibniz plakte deze uitgang aan het Latijnse woord voor oneindig (infinitus) en verkreeg zo: ‘infinitesimalis’. In diverse talen werd dit woord overgenomen, met een lichtjes aangepaste uitgang. In het Nederlands werd het infinitesimaal. (Vergelijk met ons woord decimaal: dit komt van het Latijnse woord voor tiende, ‘decimus’ of ‘decimalis’.) Een ‘infinitesimaal’ is dus letterlijk een ‘oneindigste’.

(meer…)

Welkom

Filosofie van de kansrekeningOp 2 mei 2011 verdedigde ik mijn doctoraat over de ‘Filosofie van Waarschijnlijkheid’ aan de Rijksuniversiteit Groningen (cum laude). Zoals bij ieder afgewerkt proefschrift werd er een week op voorhand een persbericht de wereld ingestuurd.
Blijkbaar spreken de onderwerpen toeval en kansrekening tot de verbeelding, want ik kreeg meerdere geïnteresseerde journalisten aan de lijn. Als resultaat hiervan verschenen er leuke stukken in de krant (NRC Next) en op internet (Kennislink). Ook mocht ik een woordje uitleg geven op de radio (Radio1-B, Radio2-NL). Dit leidde dan weer tot een aantal e-mails van mensen die graag mijn proefschrift wilden lezen.

Mijn proefschrift is hier voor iedereen vrij te raadplegen, maar dat wil nog niet zeggen dat het ook toegankelijk is.

  • Hinderpaal 1: zoals al mijn wetenschappelijke publicaties is het doctoraat geschreven in het Engels.
  • Hinderpaal 2: mijn werk is technisch van aard en is, zo zonder een woordje uitleg, slechts leesbaar voor een handvol collega-onderzoekers verspreid over de hele wereld.

Op zich is dat mooi, maar ik zou mijn passies graag kunnen delen met veel meer mensen. Vandaar het idee om met dit blog te starten. In het Nederlands, want dan hebben de mensen uit mijn naaste omgeving er ook nog wat aan.

Kom hier gerust nog een keertje langs voor:

  • een verteerbare portie wetenschap,
  • een verwarrend stukje filosofie,
  • of een vleugje kunst.

Aanmoedigingen, vragen of klachten zijn altijd welkom in de commentaren.