Nieuwste blogberichten

Rationaliteit in laagjes

Volgens mijn model van 'gelaagd geloof' worden kansen afgerond bij het nemen van beslissingen, meer of minder naar gelang de context.Vorige week was ik op het congres Decisions, Games & Logic. Zoals je al weet, ging het daar over beslis- en speltheorie en over logica. Leuk toeval: de wiskundemeisjes hebben deze week ook net een column over speltheorie.

Mijn eigen praatje ging over een model voor rationaliteit dat ik ‘stratified belief’ of ‘gelaagd geloof’ noem. Stel dat je naar de andere kant van de stad moet en je hebt keuze tussen met de fiets gaan of met de bus. Stel dat je gedetailleerde informatie hebt over kansen: de kans dat het gaat regenen, de kans dat de bussen staken, de kans dat er file staat, en zo verder. Dan nog moet je een eenvoudige beslissing nemen: met de fiets gaan of niet (en dus met de bus gaan). De vraag is hoe je, uitgaande van precieze kansen, deze beslissing op een rationele manier kunt nemen. Deze beslissing heeft ook met geloof te maken: welk van beide optie geloof je dat de betere is? Je moet op voorhand kiezen, dus zekerheid heb je niet.

Filosofen hebben het volgende voorgesteld: het is rationeel om een bewering te geloven als de kans dat die bewering waar is voldoende dicht is bij 1. Hoewel dit idee niet van Locke zelf afstamt, noemt men het wel de Lockeaanse stelling. Stel dat er enige waarheid zit in deze Lockeaans stelling, hoe moeten we dit “voldoende dicht bij 1” zijn dan begrijpen? Meestal wordt er vanuit gegaan dat er een drempelwaarde bestaat, bijvoorbeeld 90% of 99%. Als de kans dat de bewering waar is minstens gelijk is aan die drempelwaarde, dan is het rationeel om de bewering te bewaren. Mij lijkt dit echter geen natuurlijke aanpak: wat er wel of niet “voldoende dicht bij 1” is, hangt af van de context en zelfs als de context vastligt, blijft het een vage uitdrukking, die geen scherpe grens suggereert. Mijn voorstel is om “voldoende dicht bij 1” te interpreteren als “niet te onderscheiden van 1” (in een gegeven context). Als je dit op een wiskundige manier doet krijg je een vage relatie, die lijkt op het afronden van kleine getallen.

Maar wacht eens even: we zijn op zoek naar een model voor rationaliteit en dan gaan we afronden… Dat is toch fout en zeker niet rationeel? Dat ligt eraan hoe je het bekijkt. Als je er rekening mee houdt dat mensen maar een eindig brein hebben, met eindige cognitieve capaciteiten, en dat ze hun beslissingen in een eindige tijd moeten nemen, vaak zelfs binnen de seconde, dan kan afronden juist wel rationeel zijn. Als er veel op het spel staat, kan het raadzaam zijn om toch iets genuanceerder te zijn en langer na te denken. Vandaar het context-afhankelijke aspect in mijn voorstel. Het staat de persoon toe om als het ware naar een fijner denkniveau over te stappen, waarin de kansen minder sterk afgerond zijn en er dus meer onderscheid gemaakt kan worden. Een kans die op een ruw niveau afgerond wordt naar 1, kan op een fijner niveau toch strikt kleiner blijken. Vandaar de naam ‘gelaagd geloof’.

Vulcans, zoals Spock, proberen hun emoties uit te sluiten en puur rationeel te zijn; toch hebben ze maar een eindig brein.Hoewel mijn model voor rationaliteit uitgaat van een realistisch element (“mensen hebben eindige cognitieve capaciteiten”), maakt dat het model nog niet volledig realistisch. Zo houdt het er geen rekening mee dat ook emoties een rol kunnen spelen bij het nemen van beslissingen, of dat mensen vatbaar zijn voor typische denkfouten als het om kansrekening gaat. Erg hoeft dit niet zijn: het doel van het model is immers niet beschrijven wat echte mensen doen, maar wat ze zouden moeten doen om rationeel te zijn (rekening houdend met bepaalde beperkingen). Wie weet beschrijft mijn model wel perfect de denkwijze van Spock en andere Vulcans…

Ook de informele gesprekken waren erg interessant. Rohit Parikh is een vermaard wiskundige, filosoof en logicus, van Indische afkomst, maar verbonden aan de Universiteit van New York. Hij was aanwezig op de lezingen van vrijdag: hij toonde veel belangstelling voor alle presentaties en zorgde voor amusante interrupties. In een gesprek op café probeerde hij me van het volgende te overtuigen: speltheorie en andere economische beslistheorieën gaan uit van een verkeerd idee. Ze nemen aan dat mensen steeds handelen uit eigenbelang. Maar mensen zijn geëvolueerd als een sociale soort. Samenwerking is de regel en eigenbelang de uitzondering. Jonge kinderen zijn al in staat in te zien dat iemand hulp nodig heeft en reageren coöperatief. Ik was niet meteen overtuigd, maar dit voorbeeld houdt wel steek: Stel dat iemand geld steelt van iemand anders, dan is dat een egoïstische daad, maar de diefstal is enkel mogelijk doordat er een maatschappij is die waarde toekent aan dat geld. Zonder de samenleving, geen dief. Als iedereen enkel egoïstisch zou zijn, zou het hele systeem vierkant draaien en zouden we het niet lang overleven. Toch bestuderen economische theorieën hoofdzakelijk egoïstische spelers, de storingen aan het oppervlak van een veel grotere onderstroom die in essentie coöperatief is.

Een mooie gedachte om aan terug te denken als je weer eens aan de kassa staat en je bankkaart bovenhaalt na een rondje winkelen zonder ook maar één directe vorm van menselijk contact. Zonder andere mensen zouden de rekken leeg zijn, het licht niet branden en de plastic kaart in je hand geen waarde hebben.

Beslissingen, spelletjes en logica

Het nemen van een beslissing onder onzekerheid vereist een rationeel omgaan met kansen.Afgelopen donderdag tot zaterdag werd er aan de Universiteit van Maastricht een congres gehouden: Decisions, Games & Logic (DGL). Het was al de vijfde keer dat deze bijeenkomst over beslis- en speltheorie en logica georganiseerd werd. Voor mij was het tweede keer, want vorig jaar in Parijs was ik er ook bij. Volgend jaar is de afspraak in München.

Het doel van deze interdisciplinaire workshop is het bij elkaar brengen van mensen die met verwante onderzoeksvragen bezig zijn, maar die toch zelden met elkaars werk in contact komen, omdat ze aan verschillende faculteiten verbonden zijn. Beslis- en speltheorie wordt typisch onderzocht binnen de economie en sociale wetenschappen. Logica kan bij het departement wiskunde horen of bij de faculteit filosofie; soms hebben beide een logica-afdeling en werken ze niet samen. De onderwerpen die op de agenda stonden zijn nauw verwant met kansrekening en ik heb dan ook veel interessante presentaties gezien.

Om elkaar beter te leren begrijpen, waren de voormiddagen voorbehouden voor telkens een mini-cursus over één van de drie vakgebieden.

Drie spelers en een aantal financiële interacties.Op donderdag gaf Andrés Perea van de Universiteit Maastricht een inleiding over speltheorie. Speltheorie gaat over situaties waarin er twee of meer spelers een beslissing moeten nemen, wetende dat de uitkomst niet enkel van hun eigen beslissing afhangt, maar ook van die van de andere spelers. (Als je de film “A beautiful mind” hebt gezien, dan weet je wellicht dat John Nash de Nobelprijs heeft gekregen voor zijn bijdragen op het gebied van speltheorie.) Elke speler probeert te redeneren over hoe de andere spelers zullen redeneren, inclusief over hoe zij redeneren over hemzelf, en zo verder… Je zou verwachten dat je al snel een onontwarbaar kluwen hebt, maar Andrés Perea wist het ons helder uit te leggen. Hij heeft net een boek geschreven over het onderwerp van epistemische speltheorie en slaagde er wonderwel in om ons de rode raad niet te doen verliezen.

Op vrijdag gaf Paul Égré van het Institut Nicod in Parijs een mini-cursus over beslissingen. Paul Égré heeft recent vooral gewerkt over vaagheid. Hij had het dan ook over hoe we beslissen bij randgevallen van vage begrippen (zoals ‘groot’ en ‘klein’). De klassieke logica werkt enkel voor scherpe begrippen, zoals “minstens 170 cm lang”, en niet voor vage uitdrukkingen, zoals “klein, maar groot voor een jockey”. Paul Égré legde ons uit hoe je de klassieke logica kunt aanpassen of een alternatieve logica kunt opstellen zodat ze ook op vage woorden toegepast kan worden. In de klassieke logica is iets waar of niet-waar, nooit beide en evenmin geen van beide. Voor een logica voor vaagheid zou je kunnen overwegen dat iets wél waar en niet-waar kan zijn, of geen beide. Ook kun je een derde waarheidswaarde introduceren (‘half waar’), of misschien wel veel meer nieuwe waarheidswaarden introduceren (fuzzy logic). Al deze suggesties moeten natuurlijk in detail worden uitgewerkt en er bestaan interessante verbanden tussen de verschillende logica’s. Van al deze aspecten en meer kregen we een degelijk overzicht.

Op zaterdag was Joseph (Joe) Halpern van de Amerikaanse Cornell University aan de beurt. De verwachtingen waren hooggespannen, want alle aanwezigen kenden zijn werk over logica en redeneren over kennis en onzekerheid: je mag gerust van een legende spreken. Geen computerpresentatie deze keer, maar een oerdegelijke uiteenzetting aan bord. Het begon heel elementair met het onderscheid tussen syntax en semantiek. Syntax is enkel de symbolische notatie zonder betekenis. “Chicken scratches” noemt Joseph Halpern dat; betekenisloze hanenpoten, zeg maar. Semantiek gaat over de betekenis die we toeschrijven aan de symbolen. Klassieke logica kan uitdrukken wat waar is en wat niet. Met behulp van modale logica kun je ook beschrijven wat iemand gelooft, wat iemand zou moeten doen, of hoe zaken veranderen in de tijd.

In de inleiding van Halpern ging het over Kripke semantiek, waarmee je kunt modelleren wat verschillende mensen wel en niet weten. Op dit punt komt de logica dicht bij speltheorie, waar het ook gaat om mensen die over gedeeltelijke informatie beschikken. Logica neemt echter een andere afslag en onderzoekt (onder meer) hoe je het beste kunt modelleren dat iemand iets (niet) weet. Dit wordt voorgesteld als een binaire relatie tussen toestanden (hoe de wereld is): het bestaan van zo’n relatie tussen twee mogelijke toestanden kun je interpreteren als dat de persoon in kwestie deze mogelijke toestanden niet kan onderscheiden. Stel de uitspraak “Het regent nu in Sjanghai” voor door het symbool p. Dan staat niet-p voor de uitspraak “Het regent nu niet in Sjanghai”. Maar ik weet helemaal niet of het nu regent in Shanghai of niet! Dit kun je voorstellen door twee mogelijke toestanden, p en niet-p, verbonden door een lijn met mijn naam erbij: die geeft aan dat ik deze toestanden niet van elkaar kan onderscheiden. Deze relatie kan verschillende wiskundige eigenschappen hebben (zo kan ze symmetrisch zijn, reflexief, transitief, of combinaties van deze). Dit wordt gemodelleerd door axioma’s toe te voegen aan de logica en de resulterende eigenschappen daarvan te onderzoeken. Ik was toch al van plan om iets meer van modale logica te leren deze zomer, dus deze inleiding kwam op een ideaal moment!

(Wordt vervolgd: volgende keer een korte samenvatting van mijn eigen praatje en een inspirerend cafégesprek.)

Oplossing: De ingeschreven gnoe

Gnoe in een cirkelVorige week vroeg ik me af welke tophoek de driehoek moet hebben waarmee we, à la Vi Hart, oneindig veel gnoes op een blad papier kunnen tekenen. Daarbij is de breedte van het eerste dier, G, een willekeurig getal tussen nul en één. Hier kom mijn oplossing.

Volgens de formule voor de straal (R) van een ingeschreven cirkel geldt:

R = 1/2 \sqrt{\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{a+b+c}},

waarbij a, b en c de zijden van de driehoek zijn. Voor onze gnoes geldt dat de straal van de ingeschreven cirkel de helft is van de breedte van de grootste gnoe (de diameter): G/2.

Laat ons eerst de zijden van de driehoek uitdrukken in functie van de tophoek. (Dit kun je doen door de driehoek in twee te splitsen langs de bissectrice of deellijn van de tophoek: dan krijg je twee rechthoekige driehoeken waarvan je de zijden eenvoudig kunt berekenen in functie van de tophoek.) Laten we de twee gelijke zijden a en b noemen, dan vinden we a = b = \frac{1}{\cos(\theta/2)}=\sec(\theta/2). Voor de derde zijde, die we c noemen, vinden we c = 2 \tan(\theta/2). Figuur 1 vat de uitkomsten samen.

Gelijkbenige driehoek.

Figuur 1: Lengte van de zijden van de gelijkbenige driehoek.

Nu kunnen we de gegevens over de zijden invullen in bovenstaande formule:

G/2 = 1/2 \sqrt{\frac{(2 \tan(\theta/2)^2(2\sec(\theta/2)-2\tan(\theta/2))}{2\sec(\theta/2)+2\tan(\theta/2)}}.

Vereenvoudigen geeft:

G = 2 \sqrt{\frac{-1+\cos(\theta/2)}{-3+\cos(\theta)-4\sin(\theta/2)}}.

Deze vergelijking heeft meerdere oplossingen voor \theta, maar wij zijn geïnteresseerd in de kleinste, positieve oplossing: dit is de waarde van de tophoek.

Laat ons dit nu toepassen op een voorbeeld. Stel, we willen dat de eerste gnoe twee derde van de breedte van het blad heeft. Dan vullen we G=2/3 in de laatste vergelijking in. Met behulp van een grafisch rekenmachine of een computerprogramma zoals Maple of Mathematica zijn de oplossingen snel gevonden. In dit geval blijkt de tophoek 60° te zijn. Dit is een speciaal geval, waarbij we te maken hebben met een gelijkzijdige driehoek. Daarbij zou de straal van de ingeschreven cirkel R=a \frac{\sqrt{3}}{6} moeten zijn. Als we a=\sec(60^{\circ}/2)=\frac{2}{\sqrt{3}} invullen, vinden we R=\frac{2}{\sqrt{3}} \frac{\sqrt{3}}{6}=1/3 en zo zijn we terug bij onze aanname: G=2R=2/3. Dit is een controle die bevestigt dat we geen fouten hebben gemaakt in het opstellen van de formule.

Tweede voobeeld: in Figuur 2 hieronder is G iets kleiner dan een half. De tophoek is dan iets kleiner dan 2 \arccos[(2 \sqrt{2}/3] . De tweede cirkel kan gevonden worden als de ingeschreven cirkel in een gelijkbenige driehoek met hoogte 1-G in plaats van 1: de schaalfactor is dus 1-G.

Eerst en tweede cirkel.

Figuur 2: Onze driehoek geeft aanleiding tot een ingeschreven cirkel waarvan de diameter, G, net iets kleiner is dan 1/2. De tweede cirkel kan gevonden worden als de ingeschreven cirkel in een gelijkbenige driehoek met hoogte 1-G.

En dan nu het leukste deel: het tekenen van de gnoes. Het resultaat zie je in Figuur 3.

Oneindige rij gnoes.

Figuur 3: Op Vi Hart geïnspireerde constructie van een oneindige rij gnoes.

Uiteindelijk kom je altijd bij filosofie terecht

Wie zegt dat filosofen niet uit hun zetel te branden zijn, heeft nog niet van x-phi gehoord.Op dit blog heb ik nog niet veel over filosofie geschreven. Erg is dat niet, want als je iets langer nadenkt over de onderwerpen waar ik wel over geschreven hebt, dan kom je toch wel bij filosofie uit. Als je langer over wiskunde nadenkt, kom je uit bij vragen over haar grondslagen: “Wat is een getal?”, “Wordt wiskunde ontdekt of uitgevonden?” en vele kwesties rond het begrip oneindig. Als je nadenkt over mannen en vrouwen, kun je je afvragen of deze tweedeling wel zo absoluut is als ze vaak wordt voorgesteld. Is het ook mogelijk dat er sprake is van een continue schaal (die in het midden minder bevolkt is)? Dit is een kwestie van definities, maar ook concrete dingen kunnen vragen oproepen. Als je over een platenspeler nadenkt, bijvoorbeeld, kun je je afvragen hoe die werkt: dan kom je via de techniek uit bij de fysica van het geluid. Als je dan nog iets langer nadenkt, zit je toch weer kniediep in de filosofie: is er een fysische basis voor alle vormen van informatie (zoals een plaat de informatie bevat van de muziek die in haar groeven staat gegraveerd)? Hierop weet ik het antwoord niet, maar dat het des te meer uitdagend om er over na te denken.

Je kunt wel boeken lezen om je kennis te verbreden, maar onderzoekers houden zich juist bezig met vragen waarop er in geen enkel boek een antwoord staat. Het nadeel hiervan is dat ze niet ergens kunnen gaan spieken om te zien of ze op de goede weg zijn. Vaak weten ze zelfs niet of hun vraag wel een antwoord hééft. Ze kunnen ook experimenten uitvoeren om hun fysische (of chemische, of biologische, …) intuïtie aan te scherpen, maar het antwoord op sommige vragen kan men niet proefondervindelijk bepalen. Niet zelden betreft het hier filosofische vragen.

Hoewel filosofische kwesties niet met een welgekozen proefje te beslechten zijn, betekent dit niet dat experimentele resultaten irrelevant zouden zijn voor de filosoof. Filosofie en natuurwetenschappen hebben een gemeenschappelijke oorsprong en – volgens mij althans – nog steeds een gemeenschappelijk doel: de wereld om ons heen en onze plaats daarin begrijpen. De wetenschapsfilosoof vertrekt van wetenschappelijke bevindingen, al voert hij dat deel van het onderzoek niet langer zelf uit.

De archetypische filosoof mag dan in zijn zetel zitten nadenken, in het nieuwe millennium zijn er ook andere manieren om aan wijsbegeerte te doen. Zo worden er in de experimentele filosofie (of ‘x-phi’) methodes gebruikt die lijken op die uit de experimentele psychologie. Met behulp van vragenlijsten tracht men te achterhalen hoe mensen denken over morele dilemma’s, of onder welke omstandigheden ze zeggen dat iemand iets wel of niet weet. De resultaten worden dan geanalyseerd in een filosofische verhandeling over ethiek of epistemologie. Een andere nieuwe onderzoekslijn is de computationele filosofie, waarbij een wijsgerige onderzoeksvraag deels met behulp van computer-simulaties geanalyseerd wordt. Computer-simulaties worden ook wel pseudo-experimenten genoemd en zijn ook in de wetenschappen een populaire methode, met name wanneer gewone experimenten te duur, ethisch onverantwoord, of anderszins onhaalbaar zouden zijn. Computer-simulaties kunnen ook nuttig zijn als er wel gewone experimenten worden uitgevoerd, in de hoop dat de gecombineerde resultaten meer inzicht verschaffen in de onderliggende processen. Hoe en wat we van deze pseudo-experimenten kunnen leren, is dan weer een filosofische vraag. Hoewel computationele methoden relatief nieuw zijn, sluit deze vraag zeer nauw aan bij een eeuwenoude puzzel uit de traditionele wetenschapsfilosofie: wat is het verband tussen de wereld enerzijds en onze modellen en theorieën erover anderzijds?

Als je maar lang genoeg verder klikt op Wikipedia kom je uiteindelijk bij filosofie terecht.Ook op Wikipedia kom je altijd bij filosofie terecht. Meer precies gezegd: als je bij een willekeurig artikel begint op de Engelstalige Wikipedia en steeds de eerste link in een artikel aanklikt (voetnoten en links tussen haakjes niet meegerekend), zou je in meer dan 90% van de gevallen bij het artikel “Philosophy” uitkomen. Dit fenomeen was al eerder bekend (zo blijkt uit deze illustratie op Reddit), maar ik leerde het kennen via xkcd (mouseover bij deze cartoon). Als je al dat geklik maar tijdverlies vindt, maar toch benieuwd bent of en hoe een bepaald onderwerp op Wikipedia naar de pagina over filosofie leidt, dan kun je gebruik maken van deze website. Het kan zelfs nog mooier: Xefer illustreert de zoekresultaten in een boomstructuur.

Dit is een leuk weetje, maar toont het iets fundamenteels over de filosofie? Het zegt niet dat je absoluut altijd op filosofie uitkomt, enkel dat dit op Wikipedia heel vaak zo is en dan nog op voorwaarde dat je op een specifieke manier van het ene naar het andere artikel springt. Dat zegt dus net zo goed iets over de structuur van deze internet-encyclopedie, als over het onderwerp filosofie zelf. In mijn hoofd heeft alles met fysica te maken, maar is dat louter omdat fysica zo fundamenteel is, of komt het ook doordat ik fysicus ben en de verbindingen in mijn hersenen zich daar in de loop der jaren op zijn gaan richten? Nadat ik mijn onderzoek verlegd had naar het onderwerp kansrekening, begon ik te merken dat ik ook alles in functie van kansen, onzekerheid en toeval kon zien. We kunnen dit verschijnsel psychologisch verklaren, als een cognitieve bias, maar ik kan me moeilijk voorstellen dat dit effect even sterk zou optreden bij erg specifieke onderwerpen, zoals “stillevens uit de achttiende eeuw”. Opnieuw rijst de vraag: wat is het verband tussen de wereld aan de ene kant en ons mentale wereldbeeld en onze encyclopedieën aan de andere kant? Iets om in je zetel eens rustig over na te denken.

Puzzelvraag: De ingeschreven gnoe

Gnoe in een cirkelOnlangs schreef ik over reeksen die naar één convergeren en hoe Vi Hart deze convergente sommen gebruikt om ‘oneindig veel’ olifanten of kamelen op een blad papier te tekenen. Stel dat we nog een andere rij kuddedieren willen tekenen, gnoes bijvoorbeeld, zodat ze precies op het blad passen. Hoe kunnen we dit doen voor eender welke grootte van het eerste dier? Hoewel Vi Hart in haar filmpje suggereert dat het saai zou zijn om het antwoord uit te rekenen, vind ik het juist leuk om me dit soort vragen te stellen en ze ook op te lossen – gewoon voor de sport. Op zoek naar het antwoord kun je trouwens zoveel tekeningetjes maken als je maar wilt!

Probeer gerust eerst om de vraag zelf op te lossen. Ik zal mijn resultaat hier volgende week posten. Om vergelijken gemakkelijker te maken, verklap ik nu alvast welke aannames ik gemaakt heb. De breedte van het eerste dier noem ik G; G is dus eender welk getal tussen nul en één. Als je de methode van Vi herbekijkt, zie je dat G ook de diameter is van een ingeschreven cirkel in een driehoek. Voor de eenvoud gebruik ik een gelijkbenige driehoek met als hoogte één (breedte van het cursusblad). Ons doel is nu om de tophoek \theta van de driehoek te bepalen. Figuur 1 geeft aan hoe de gelijkbenige driehoek op het blad wordt georiënteerd.

Ingeschreven cirkel.

Figuur 1: Gelijkbenige driehoek met ingeschreven cirkel. (Klik op de figuur voor groter.)

Op zoek naar een hint? Spieken kan na de vouw.

(meer…)

Gelukkige tau-dag!

Een volledige cirkel komt overeen met een hoek van twee keer pi of een keer tau.Gelukkige tau-dag! Nee, ik heb het niet over de Oosterse Weg van het tauïsme maar over een getal. De constante tau (\tau) drukt namelijk de verhouding uit tussen de omtrek, C, en de straal, R, van een cirkel:

\tau = C/R = 6,283185\ldots

Maar wacht eens even: de verhouding tussen omtrek en straal van een cirkel… Hadden we daar pi (\pi) al niet voor? Bijna: pi is de verhouding tussen de omtrek en de diameter (twee keer de straal) van een cirkel en dus precies de helft van tau. Tau lijkt een elegantere keuze te zijn (een cirkel is bijvoorbeeld tau radiaal, in plaats van twee pi radiaal), maar omdat pi zoveel eerder in gebruik kwam zullen we van dat mormel wel nooit meer afkomen.

Het idee dat pi fout is en de suggestie om het dubbele van pi als de meer fundamentele constante te zien, werd tien jaar geleden gelanceerd door wiskundige Bob Palais. (Klik hier voor zijn pagina met een link naar het originele artikel.) Vorig jaar stelde fysicus Michael Hartl voor om \tau als symbool te gebruiken voor de nieuwe constante en om 28 juni als tau-feestdag in te stellen. In de Amerikaanse datumnotatie is 28 juni immers 6.28, of tau afgerond.

Vandaag is er zelfs een heuse Tau Day Party in Caltech. Alleen jammer dat dat voor ons zo ver is: Caltech ligt in Pasadena, Californië. Leuk weetje voor de fans van The Big Bang Theory: Caltech is ook het onderzoeksinstituut waar Leonard en Sheldon werken. Ik zie Sheldon al helemaal uit zijn dak gaan op de Tau Day Party! Of zou hij het meer voor pi hebben? Pi-dag wordt al jaren gevierd op 14 maart (3.14). Voor wie overtuigd is door de argumenten van Hartls tau-manifest is pi-dag natuurlijk een heidens feest, maar niet iedereen is overtuigd van de superioriteit van tau: op weetlogs zijn ze nog niet om en ons anders zo harmonieuze huishouden blijkt verdeeld over de kwestie.

Dit is een mogelijk argument tegen tau: als je een cirkel moet opmeten, is het gemakkelijker om de diameter te achterhalen dan de straal; dan lijkt de definitie van pi meer voor de hand te liggen. Als je de cirkel zelf moet construeren, of als je de wiskundige definitie ervan opschrijft, gebruik je echter de straal – en die gebruik je ook in de definitie van tau. Zo wordt het tau-versus-pi debat een welles-nietes spelletje: is pi nu de helft van tau, of is tau het dubbele van pi? Een goed onderwerp voor een zen-meditatie misschien… en zo zijn we alsnog in de Oosterse sfeer beland.

Natuurlijk is het onzin om een irrationaal getal op een bepaalde dag van het jaar te vieren. We baseren ons op amper drie cijfers en doen daarmee zwaar tekort aan de heerlijke oneindigheid van de decimale notatie van deze getallen. Bovendien is ons hele kalender-systeem discriminerend voor sommige getallen: we hebben maanden met maximaal 31 dagen, dus getallen waarvan de tweede en derde decimaal hoger zijn dan dit, moeten nog verder worden afgerond om een feestdag te kunnen krijgen. Laten we vandaag toch ook even denken aan deze arme stumperds (waaronder klassiekers als de gulden snede).

Net als de schijnbare nonsens van zen-raadsels (Wat is het geluid van één klappende hand?), volgt ook deze onzin zijn eigen logica. Onzin kan trouwens heel leuk zijn en tot creatieve vondsten leiden. Als je vindt dat er geen muziek zit in dat hele tau-verhaal, luister hier dan maar eens naar:

Eén ding waar iedereen het wel over eens lijkt, is dat het vandaag 6.28 een perfecte dag is. Zes en achtentwintig zijn namelijk de kleinste perfecte getallen. Een perfecte dag: doe er iets moois mee!

Aanvulling: Er staat nu ook een stuk over tau-dag op Kennislink; daar zie je dat veel formules korter (en mooier) worden door het gebruik van tau.

De magie van de platenspeler

In de kleurrijke jaren tachtig draaide ik deze kindermusical grijs.We hadden thuis een platenspeler waarop ik vaak luisterde naar sprookjes, de one-man-show van Toon Hermans en een musical ‘Wordt er in de ruimte ook gelezen?’. Natuurlijk kende ik al deze verhalen en liedjes – inclusief krassen, want zo ging dat toen – uit het hoofd en toch was het heerlijk om op een kussen voor de platenspeler te zitten met de zware hoofdtelefoon op. Door deze manier van luisteren – via de hoofdtelefoon of de boxen – zou je haast vergeten dat het principe van de platenspeler ook zonder elektriciteit werkt. De oorspronkelijke fonograaf van Edison, waarover ik eerder al schreef, werkte volledig mechanisch. Aangezien het cruciaal is voor de geluidskwaliteit om de draaisnelheid constant te houden, was het voor latere versies wel handig om hiervoor een elektrische motor te gebruiken. Ook om het geluid te versterken – met boxen of een koptelefoon – is er elektriciteit nodig en met de komst van stereo en high-fidelity is de kop, waar de naald in zit, steeds meer elektronica gaan bevatten. Maar elektriciteit is bij een platenspeler lang niet zo cruciaal als bij pakweg een gloeilamp.

Zelf ‘herontdekte’ ik het principe van de platenspeler twee keer. Een eerste keer kwam dit door een speciale vorm van reclame van een verzekeringsfirma: zij gaven een kartonnen folder uit, met daarop een plaatje. Door het karton op een bepaalde manier te vouwen, kwam één hoek van het karton, waar een naald aan was geplakt, net boven de plaat uit. Als je het plaatje dan met je vinger liet draaien, hoorde je de reclameboodschap. Wonderlijk! (Dankzij het internet kwam ik zojuist aan de weet dat dit systeem ook werd toegepast voor sprookjes.) Er kwam geen elektriciteit of versterking aan te pas. Het was puur mechanisch en hoewel ik het zelf in mijn handen hield, kon ik het toch niet echt begrijpen.

De tweede keer dat ik de magie van de plaat herontdekte was nadat mijn stereoketen met cassette- en platenspeler jarenlang stof had staan vergaren. Ik wilde nog eens naar een plaat luisteren, maar vergat de schakelaar van ‘cassettedeck’ naar ‘platendraaier’ te veranderen. De plaat begon wel te draaien, maar het geluid was heel zacht. Eerst dacht ik dat er een slecht contact was in de kabel naar de boxen, waardoor deze zeer weinig volume gaven. Pas dan realiseerde ik me dat het geluid van de plaat zelf kwam. Opnieuw stond ik verwonderd van dit eenvoudige en toch zo efficiënte mechanisme.

Fragment van een fonautogram uit 1859. De oudst bewaard gebleven stem stamt uit 1860, 17 jaar vóór Edisons uitvinding.Edisons uitvinding van de fonograaf in 1877 kwam natuurlijk niet uit het niets. In 1857 bedacht een Franse drukker, Édouard-Léon Scott de Martinville, de fonautograaf, waarmee je geluiden visueel kon vastleggen, maar niet opnieuw beluisteren. Pas in 2008 werd een fonautogram uit 1860 met behulp van computer terug in geluid omgezet: je hoort een stem die het Franse liedje “Au clair de la lune” zingt. (Intussen zijn er nog meer fonautogrammen uit 1860 gerestaureerd en hier te beluisteren.) Het idee dat wij nu een stem kunnen terughoren uit die tijd, van iemand die dit zelf nooit heeft kunnen beluisteren… Ik krijg er kippenvel van!

(meer…)

Zonder stotteren de oorlog in

In 'The King's Speech' moet koning George VI zijn angst voor de microfoon overwinnen.Studio Skoop in Gent is een heerlijke bioscoop om retro-films in te bekijken. De infrastructuur is misschien niet zo hi-tech als bij Kinepolis, maar de prijzen zijn er lager en de oude, geschilderde filmaffiches in de zalen geven meer sfeer. Een prima plek dus om (eindelijk) “The King’s Speech” te zien.

Toegegeven, ik was niet wild enthousiast om naar deze film te gaan. “The King’s Speech” won in 2010 weliswaar de oscar voor Beste Film en nog drie andere oscars, maar een echte kwaliteitsgarantie is dat niet. Het verhaal is ook niet spectaculair, maar juist dat laat toe er een mooie film van te maken: een geloofwaardig plot, met nadruk op de karakters en hun onderlinge relaties. Ik had nog nooit iets over het verhaal van de Britse koning George VI gehoord; na afloop had ik dan ook geen enkel idee of de film al dan niet historisch correct was. (Volgens de Engelstalige Wikipedia valt dat goed mee.) Ik had vooral het gevoel een degelijke film gezien te hebben. Als je de film nog wilt gaan bekijken, kun je de volgende twee paragrafen beter niet lezen. (Anderzijds is de film zeker nog de moeite waard ook als je het verhaal al kent.)

Het verhaal gaat over de Britse prins Albert (later koning George VI). Hij stottert, wat hem hindert bij het geven van speeches. Nochtans wordt van hem verwacht dat hij het Britse volk toespreekt, ondermeer via de radio – in die tijd een nieuw medium. De prins komt in behandeling bij Lionel Logue, een logopedist die er onconventionele, maar effectieve methodes op nahoudt. Hoewel prins Albert graag wat afstand houdt, spreekt Lionel hem steevast aan met “Bertie”, een koosnaam die eigenlijk enkel diens vrouw mag gebruiken.

Therapeut Lionel (rechts) vraagt aan prins Albert (links) om een stuk voor te lezen uit Hamlet.De therapeut wedt voor een stuiver dat de prins wél kan praten zonder stotteren. Daartoe zet hij hem een koptelefoon op met heel luide muziek, zodat hij zichzelf niet kan horen praten, en vraagt aan de prins om een stuk voor te lezen uit Hamlet (jawel, de bekende monoloog met de frase “to be, or not to be”). Om te bewijzen dat de prins dit kan voorlezen zonder haperen, neemt Lionel zijn stem op, op plaat. De prins begint er wel aan, maar gelooft er niets van en trapt het af. Pas later beluistert hij de plaat en hoort zichzelf voor het eerst praten zonder stotteren. Dit wekt een indruk van hoe zijn leven zou kunnen zijn, wat hem motiveert om de therapie te hervatten.

Hoe dit verder afloopt kun je beter zelf gaan bekijken. Hier wil ik het liever hebben over die platenspeler. Tegenwoordig is zo’n pick-up niet bepaald vooruitstrevend, maar roept het eerder nostalgische gevoelens op. In de context van de film echter zijn radio’s, koptelefoons, microfoons, platenspelers en -recorders moderne, hoog-technologische apparaten. Ook nu nog blijf ik het concept achter de platenspeler een fantastisch idee vinden.

Lange tijd was geen mens bij machte om geluid te bewaren. We konden teksten noteren in schrifttekens, maar als iemand de taal niet sprak, wist hij ook niet hoe de woorden moest klinken. (Bij dode talen, zoals het oud-Egyptisch, is dat een probleem: we kunnen de betekenis van hiërogliefen nu wel ontcijferen, maar hoe de taal klonk is grotendeels giswerk, waarbij de hiaten worden opgevuld met klanken uit het Arabisch.) Zelfs als je weet hoe de taal klinkt, zegt een geschreven tekst niet hoe een specifieke stem klonk, of hoe een bepaald citaat op een historisch moment werd uitgesproken. Bij muziek is de situatie vergelijkbaar: je kunt het ritme en de melodie noteren met behulp van notenbalken, maar daarmee weet je nog niet hoe die ene opvoering door die ene organist precies klonk in die ene kerk. Dat we geluid kunnen opnemen en later opnieuw afspelen lijkt heel gewoon, maar wat een wonder der techniek was het: die eerste keer dat een stem op plaat werd opgenomen en daarna opnieuw weerklonk.

(meer…)

Minuscule olifant

Olifanten zijn kuddedierenDeze post gaat over een kudde minuscule olifanten en een karavaan kleine kamelen. Maar eerst een rekensom. Stel je begint met een half, telt daar een kwart bij op, dan een achtste en zo verder. Wiskundig kun je dit als volgt noteren: 1/2 + 1/4 + 1/8 + \ldots, waarbij die drie puntjes betekenen dat je oneindig veel termen optelt. Zo’n oneindige som noemen we een reeks. Wat heb je eraan te weten dat deze som precies gelijk is aan één?

Wel, er zijn (minstens) drie totaal verschillende toepassingen van deze reeks, 1/2 + 1/4 + 1/8 + \ldots = 1.

Toepassing 1. Je kunt deze som gebruiken om oneindig veel, steeds kleinere olifanten te tekenen op een gewoon cursusblad. Volgens de som mag de eerste olifant half zo breed zijn als het blad, de tweede een kwart van de breedte, de derde een achtste en zo verder. (Natuurlijk kun je nooit oneindig veel tekeningetjes maken: je hebt maar eindig veel tijd en de punt van je potlood heeft een eindige breedte. Aan de andere kant zijn onze ogen niet in staat om oneindig scherp te zien, en zo lijkt het toch net echt.)

Vi Hart doet het ons voor in onderstaand YouTube-filmpje. Ze noemt zichzelf een recreatief mathemusicus en ze babbelt héél snel.

(meer…)

Vrouwen tellen mee

Ingrid Duabechies: befaamd wiskundige, vrouw en van Limburgse origine.Dit is mijn vierde en laatste post over de zomerschool van vorige week. Vorige keer doken we de geschiedenis in, maar de vraag van vandaag is: hoe staat de situatie er in onze tijd voor? Toen ik aan mijn opleiding Fysica begon, verbaasde het me helemaal niet dat meisjes een minderheid vormden in deze richting. Wat me wél verbaasde was dat de situatie bij Wiskunde omgekeerd was: er waren maar twee jongens in een groep van zo’n twintig eerstejaars. Nu kun je je met kleine aantallen aan grote fluctuaties verwachten, maar de daaropvolgende jaren herhaalde zich een vast patroon: 10% vrouwen bij Fysica, 10 à 20% mannen bij Wiskunde. Fysica mag dan een groter recruteringsprobleem hebben onder vrouwen, Wiskunde raakt ze onderweg kwijt. Dat ‘leaky pipeline‘-fenomeen is misschien nog erger: dan zit je daar met een lokaal vol vrouwen die graag wiskunde willen doen en dan lopen ze alsnog weg… Het kan natuurlijk best dat vele studentes aan een opleiding Wiskunde beginnen met het idee om in het onderwijs te gaan, maar dan nog zou je verwachten dat een aantal jaar aan de universiteit een groter aantal onder hen zou aansporen om in het onderzoek verder te gaan. Toch gebeurt dat zelden. En daarom zijn er organisaties zoals European Women in Mathematics (EWM) nodig om zich in te spannen hier wat aan te veranderen.

Overigens speelt het ‘leaky pipeline‘-fenomeen vrouwen in alle faculteiten parten: onderstaande grafiek, gebaseerd op het Nederlandse rapport ‘Monitor vrouwelijke hoogleraren 2009‘ (p. 8), gaat over alle universitaire richtingen, niet enkel de exacte vakken. Deze grafiek wordt ook wel een ‘schaardiagram’ genoemd: er studeren aanvankelijk ongeveer evenveel vrouwen als mannen af (scharnier van de schaar), maar in de verdere carrière lopen de percentages mannen en vrouwen steeds verder uiteen (messen van de schaar).

Schaardiagram

Deze grafiek toont het ‘leaky pipeline’-fenomeen: hoewel er iets meer vrouwen dan mannen afstuderen, daalt hun procentuele aanwezigheid bij elke volgende carrièrestap. De grafiek is gebaseerd op Nederlandse gegevens uit 2008.

Hoe verder je teruggaat in de tijd, hoe minder voorbeelden er te vinden zijn van bekende vrouwen in de harde wetenschappen. Lange tijd waren vrouwen niet welkom aan de universiteit (daarover méér in de vorige post), dus dan is het te begrijpen dat ze ook geen doorbraken konden forceren in universitaire disciplines. Tegenwoordig echter staat het iedereen vrij om te studeren wat hij of zij wil en toch zijn er verhoudingsgewijs nog steeds weinig uitblinkers in de exacte vakken. Ontstaat deze wanverhouding door een verschil in aangeboren mentale capaciteiten tussen mannen en vrouwen? Is er een glazen plafond? Of is er nog iets anders aan de hand?

(meer…)