Tag Archief: column

Doorbraakcircus

Deze toost op minder doorbraken en meer openheid in de wetenschap
verscheen in licht gewijzigde vorm in het maartnummer van Eos.

“Naar welke wetenschappelijke doorbraak kijk jij dit jaar uit?” Dat vroeg iemand me op een receptie. Een open vraag over een onderwerp dat me nauw aan het hart ligt: een mens kan het slechter treffen bij dit soort gelegenheden. En toch. Terwijl ik het net aangehapte toastje wegslikte, stelde ik in gedachten deze wedervraag: zijn er al niet te veel doorbraken geclaimd en mag het even iets kalmer, alstublieft? Een slok fruitsap gaf me net genoeg extra bedenktijd om een feestelijker antwoord te formuleren. Ik vertelde kort over een aantal problemen in de hedendaagse wetenschap, maar ook dat ik optimistisch ben over hoe onderzoekers verandering brengen in hun eigen praktijk en die van hun collega’s.

  • Ten eerste groeit het besef dat er veel meer replicatie-onderzoek nodig is. Alvorens een artikel gepubliceerd mag worden in een wetenschappelijk tijdschrift wordt eerst een beoordeling gevraagd aan andere experten uit het vakgebied. Dit systeem van peer review beperkt zich meestal tot het controleren van de tekst en eventueel enkele berekeningen. Wat er momenteel ontbreekt zijn systematische pogingen om de resultaten van andere onderzoekers te herhalen. Zo’n replicatiestudie levert geen doorbraken op, maar hooguit versterking of afzwakking van eerder gemaakte claims. Spannend klinkt het misschien niet en mede daardoor is deze belangrijke pijler van de wetenschap lange tijd verwaarloosd: relatief weinig wetenschappers voeren dergelijke studies uit en als ze dat wel doen, blijkt het moeilijker om hun resultaten te publiceren. Gelukkig is er nu een kentering op gang aan het komen. De Nederlandse Organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek  (NWO) heeft bijvoorbeeld voor het eerst fondsen beschikbaar gemaakt specifiek voor replicatieonderzoek. (Zie deze link.) Het zou mooi zijn als de Vlaamse tegenhanger, het Fonds Wetenschappelijk Onderzoek (FWO), dit voorbeeld volgt.
  • Ten tweede is er een groeiende groep onderzoekers die meer openheid van wetenschappelijke gegevens vraagt. Via internet is het mogelijk om naast de beknopte onderzoekartikels ook grote bestanden te delen: denk aan ruwe data, gebruikte computercodes en andere gegevens. Het delen van die bijkomende bestanden komt zowel de controle voorafgaand aan publicatie als de replicatiestudies achteraf ten goede. Toch worden deze gegevens tot nu toe meestal niet vrijgegeven. Een concreet en actueel voorstel om dit te veranderen is het Peer Review Openness (PRO) Initiative: er zijn al meer dan 350  wetenschappers die op opennessinitiative.org beloofd hebben dat ze vanaf nu  zullen weigeren om ingezonden artikels te beoordelen voordat de auteurs essentiële gegevens beschikbaar hebben gemaakt (of overtuigend gemotiveerd hebben waarom dit niet wenselijk zou zijn).*
  • Ten derde is er de roep voor vrije toegang tot wetenschappelijke publicaties. Die artikels gaan over onderzoek dat uitgevoerd is met behulp van publieke middelen (belastinggeld dus), terwijl de winsten tot nog toe grotendeels worden opgestreken door commerciële uitgeverijen (zoals Elsevier, Wiley en Springer). Hier zijn er al langer acties en onderhandelingen over bezig, maar ik verwacht dit jaar nog verdere stappen. Opnieuw in Nederland werden onlangs voor het eerst de bedragen die universiteiten aan deze uitgeverijen betalen openbaar gemaakt door de vereniging van universiteiten (VSNU). Die stap was niet evident, aangezien de afgesloten contracten een geheimhoudingsclausule bevatten. In Vlaanderen is die openheid er voorlopig niet, maar de ontevredenheid wél. Professor Andreas De Block, vice-decaan onderzoek aan het Instituut voor Wijsbegeerte van de KU Leuven, liet eind vorig jaar in De Standaard optekenen: “Geldwolven zijn het, die tot vijf keer langs de kassa passeren.” Het is dus spannend afwachten of ook de Vlaamse universiteiten samen zullen spannen om deze woekercontracten openbaar te maken en zo misschien betere voorwaarden te onderhandelen.

Kortom, ik hoop dat we in de komende tijd wat minder zogenaamde doorbraken zullen zien en meer consolidering en, waar nodig, nuancering of ontkrachting van eerdere conclusies. Dan werkt wetenschap namelijk op haar best. Uit de geschiedenis blijkt dat wetenschap een cumulatief en zelfcorrigerend proces is. Ook nu vinden haar beoefenaars vast manieren om de nieuwe problemen te overstijgen. Maatregelen om het doorbraak- en publicatiecircus een halt toe te roepen en in alle rust verder te zoeken naar nieuwe invalshoeken om het onbekende te behappen. Kijk, daar wil ik best op toosten.

~

*: Kort nadat ik mijn column had ingestuurd, raakte bekend dat Professor Gert Storms (psycholoog aan de KU Leuven) gevraagd was om af te treden als editor bij een wetenschappelijk tijdschrift, omdat hij zijn belofte aan het PRO Initiative ook wilde doorvoeren bij referee-opdrachten. Het bericht staat nu ook op de website van Nature, wat hopelijk zal helpen om het initiatief meer bekendheid te geven.

Dus ik pas in mijn koffer

Deze column is in licht gewijzigde vorm verschenen in het septembernummer van Eos.

Robot dreams: deze dromerige illustratie stond op de kaft van de eerste verhalenbundel van Isaac Asimov die ik ooit las.Waar komen grappen vandaan? Over die vraag gaat Jokester (Grappenmaker), een kort sciencefictionverhaal van Isaac Asimov uit 1956 over de oorsprong van humor. (Ik las het in de bundel “Een robot droomt”.) Asimov gaat uit van onze ervaring dat grappen hooguit variaties zijn op versies die we van anderen hoorden, alsof er nooit nieuwe grappen ontstaan. (Als je dit niet herkent, bedenk dan dat het geschreven is lang voor Twitter bestond.) In zijn verhaal blijkt humor een experiment te zijn van buitenaardse wezens – een experiment dat ophoudt zodra de mensen de oorsprong ervan ontdekken. Het is dus niet zonder risico dat ik in deze column de herkomst van een grap onderzoek.

Het grapje in kwestie steekt de draak met de klassieke logica. U hebt het vast al eens gehoord:

Ik pas in mijn kleren
en mijn kleren passen in mijn koffer,
dus ik pas in mijn koffer.

Uit twee ware aannames en een schijnbaar logische denkstap, wordt er hier een onware conclusie getrokken. Je kan het dus net zo goed een paradox noemen. Om een paradox op te lossen zijn er drie mogelijkheden: ofwel is één van de aannames onjuist, ofwel deugt de denkstap niet, ofwel is de verrassende conclusie toch waar.

(meer…)

1 000 000 000 000 km op de teller

Deze column is in licht gewijzigde vorm verschenen in het juninummer van Eos.

Voor de uitnodiging voor zijn zesendertigste verjaardag rekende mijn vriend uit dat hij 315 576 uren geleden geboren was. Dat zijn 13 149 dagen. Nee, dat is niet deelbaar door 365, aangezien hij ook rekening hield met de extra schrikkeldagen (inclusief 2000, wat een schrikkeleeuw was).

Toen ik in mei dezelfde leeftijd bereikte, leek het me leuk om eens te schatten hoeveel afstand ik tijdens mijn leven al heb afgelegd. Laten we beginnen met de gewandelde kilometers. De aangeraden 10 000 stappen zouden gemiddeld overeenkomen met zo’n 12 tot 15 duizend km – het hangt er natuurlijk vanaf hoe groot je stappen zijn. Maar zelf heb ik nooit meegedaan met deze actie, dus laat me eens uitgaan van een gemiddelde van 2 km stappen per dag, dan komen we op mijn leeftijd aan meer dan 26 000 km. Door te leren fietsen wordt onze actieradius groter, maar ik heb zelf nooit fanatiek gefietst. Sportievelingen die willen meerekenen hebben vast een fietscomputer of -gps waar ze hun afgelegde kilometers op kunnen nakijken.

Ik ben opgegroeid in Limburg en we woonden te ver om te voet naar school of naar de winkel te gaan en ook het openbaar vervoer was (en is) er niet in de buurt. Op de teller van mijn eigen auto (nog steeds de eerste) blijkt dat het bakje ongeveer een afstand van 80 000 km heeft afgelegd: dat is twee keer de omtrek van de aarde. Maar voor verre verplaatsingen neem ik meestal de trein en ik heb tijdens mijn twintigerjaren geregeld gevlogen om op congres te gaan, waarvan twee keer naar de VS en één keer naar China. Ik schat mijn totale afstand afgelegd over de aarde in de orde van zo’n 300 duizend kilometer.

Afstand afgelegd met mijn autootje: 88888 km.

Gisteren was de afstand afgelegd met mijn autootje precies 88888 km. De acht is mijn lievelingscijfer, dus ging ik even aan de kant staan om deze foto te maken. ;-)

De aarde zelf staat natuurlijk niet stil: om te beginnen draait de aarde elk etmaal om haar as, wat correspondeert met zo’n 40 000 km per 24 uur. Althans op de evenaar. Elders moeten we rekening houden met de breedtegraad: dat is ongeveer 51° in Vlaanderen. Hierdoor leggen we in Vlaanderen meer dan 25 000 km af per etmaal (40 000 km × cos(51°) ), wat mij 330 miljoen afgelegde kilometers oplevert.

Zelfs voor echte globetrotters valt hun actieve reisafstand dus in het niets bij deze afstand, die we al slapend kunnen afleggen. Enkel mensen die nabij één van de aardpolen zouden wonen kunnen hun ruimtemijlen sterk beperken. Althans wat deze rotatie betreft, want aan de volgende term in de berekening kunnen ook zij niet ontsnappen. De aarde beschrijft namelijk jaarlijks een baan om de zon. De gemiddelde afstand tussen aarde en zon is ongeveer 150 miljoen km. De afstand die we daarbij afleggen is 940 miljoen km per jaar. In totaal zit ik met deze term alleen al aan bijna 34 miljard km. Opnieuw vallen alle vorige afstanden hierbij in het niets.

Maar ook het zonnestelsel als geheel beweegt ten opzichte van het centrum van het Melkwegstelsel en dit met een duizelingwekkende snelheid van 230 km/s. Dat betekent dat het zonnestelsel tijdens mijn leven al meer dan 260 miljard km heeft afgelegd. (Daarmee is het nog lang niet rond: een galactisch jaar duurt ongeveer 250 miljoen aardjaren.)

We zien andere sterrenstelsels van het onze wegbewegen, gemiddeld aan hogere snelheid naarmate ze verder van ons staan. Dit komt door de uitdijing van het heelal en wordt uitgedrukt met de Hubbleconstante, maar dit tel ik niet mee als afgelegde weg: het is immers afstand die erbij komt tussen sterrenstelsels. (Deze factor is wél van groot belang als we willen uitrekenen hoe lang we over een intergalactische reis zouden doen.)

Daarnaast beweegt de Melkweg met 630 km/s rond de Grote Attractor: een gebied in de ruimte met een extreem hoge zwaartekracht. Hierdoor zou ik tijdens mijn leven naar schatting nog eens meer dan 700 miljard km extra hebben afgelegd. In totaal dus ongeveer een biljoen kilometer! (Dat is een één met twaalf nullen erachter, zoals in de titel.) Hoe honkvast u ook dacht te zijn, ook u hebt niet stilgezeten.

Het is heel aannemelijk dat we deze schattingen de komende jaren nog zullen moeten bijstellen: hoe groter de afstanden, hoe groter de onzekerheid erop. Bovendien weten we niet of de Grote Attractor beweegt ten opzichte van een nog grotere structuur, die we (nog) niet kunnen waarnemen. Zo blijft mogelijk de grootste term in deze berekening een volstrekt onbekende.

[important]Las je deze blogpost in 5 minuten?
Dan ben je intussen een kwart miljoen km verder (ten opzichte van de Grote Attractor).[/important]

Kans op chocoladetaart

Zopas verscheen mijn artikel (samen met Jan-Willem Romeijn) “New theory about old evidence” in de papieren versie van het filosofische vaktijdschrift Synthese. Het is open-access, dus je kan het artikel integraal online lezen. Naar aanleiding van dit artikel schreef ik vorig jaar een column voor Eos, die ik nu ook online plaats.

Op = op!

Deze column is in licht gewijzigde vorm verschenen in het januarinummer van Eos (2016).

Waarschijnlijkheid is als een chocoladetaart: je hebt er maar honderd procent van en eens die verdeeld is, is het op. Als je een muntstuk opgooit zijn er twee mogelijke uitkomsten: kop of munt. Als je vijftig procent kans toekent aan de ene mogelijkheid, dan blijft er automatisch vijftig procent over voor de andere.

Wetenschappers kennen niet alleen waarschijnlijkheden toe aan mogelijke uitkomsten, maar ook aan hypotheses. Biologen doen bijvoorbeeld onderzoek naar de vraag hoe plantenwortels reageren op de aanwezigheid van voedingsstoffen of zware metalen in de bodem. Stel dat ze aanvankelijk acht hypotheses hebben, die ze ongeveer even plausibel achten. Elke hypothese krijgt waarschijnlijkheid één achtste. Het is als een feest met acht gasten: je deelt de taart in acht gelijke stukken en iedereen is tevreden.

Uiteraard kunnen wetenschappers hierover van mening verschillen: als de hypotheses opgesteld zijn door acht teams van biologen, dan is het best mogelijk dat elk team de eigen hypothese het meest waarschijnlijk vindt. Ieder team wil als het ware het grootste stuk taart voor zichzelf. Dat klinkt erg subjectief, maar dat hoeft geen groot probleem te zijn, zolang ze maar overgaan tot de volgende stap: het doen van experimenten, hun resultaten delen en op basis daarvan hun oordeel herzien.

De stelling van Bayes zegt precies wat we moeten doen als we nieuwe informatie krijgen: op basis van onze oorspronkelijke waarschijnlijkheidsverdeling en de experimentele evidentie bekomen we de nieuwe waarschijnlijkheid van alle hypotheses. Als sommige hypotheses minder waarschijnlijk worden, worden de andere automatisch meer waarschijnlijk. De som blijft immers honderd procent. Je kan het je ongeveer zo voorstellen: je hebt de taart eerlijk verdeeld, maar dan blijken enkele gasten op dieet te zijn en schuiven ze de anderen extra stukjes toe.

Waarschijnlijkheid is als een chocoladetaart.

De kansrekening gaat ervan uit dat we op voorhand alle opties kennen, maar als je waarschijnlijkheden wil toekennen aan wetenschappelijke hypotheses is die aanname niet realistisch. Wetenschappers bedenken namelijk gaandeweg nieuwe hypotheses. De teams van biologen zien bijvoorbeeld dat geen enkele van de vooraf bedachte hypotheses de experimenten goed kan verklaren en gaan op zoek naar een alternatief.

De stelling van Bayes, die ons leert hoe we de waarschijnlijkheid moeten herverdelen tussen de hypotheses die van meet af aan meededen, zegt niet wat er gebeurt als er een nieuwe hypothese op de proppen komt. Als wetenschapsfilosoof buig ik me over die vraag: hoe moeten we nu waarschijnlijkheden toekennen aan de huidge hypotheses als we weten dat er later nog alternatieve opties kunnen worden bedacht?

Stel je het volgende scenario voor: je geeft een verjaardagsfeest en je hebt de taart net aangesneden en uitgedeeld onder de genodigden. Dan gaat de bel: er staat een onverwachte gast aan de deur. Wat nu gedaan? Er zit niets anders op dan blozend de taart te herverdelen.

Als je veel familie en vrienden hebt die graag spontaan langskomen, dan leer je op den duur een stuk taart opzij te zetten in de koelkast. Ook als je nog niet weet wie het dit jaar zullen zijn, toch kan je je voorbereiden op die eventuele laatkomers. Als je het slim aanpakt, geef je bijvoorbeeld telkens de helft van de hoeveelheid taart die je nog hebt. Als er dan meer mensen opdagen dan verwacht, kan je ze altijd nog een stuk aanbieden. En anders heb je zelf nog een stukje de dag nadien.

Kan je zoiets ook doen voor toekomstige wetenschappelijke theorieën? Het antwoord is “ja”: één mogelijkheid is om een catch-all-hypothese te maken. Dat is een hypothese die zegt: “Geen van bovenstaande”. Een soort rommellade waar je later specifieke hypotheses uit kan opvissen. Zo kan je alvast enige waarschijnlijkheid reserveren voor het geval er een nieuwe hypothese wordt bedacht. De catch-all-hypothese zegt dat wellicht nog niet alle hypotheses zijn aangekomen en de waarschijnlijkheid die we vooraf aan die mogelijkheid toekennen, kunnen we achteraf herverdelen.

De kans dat de wetenschap ooit af is lijkt me zeer klein. En als het tegen de verwachting in toch gebeurt, heb ik nog een stuk chocoladetaart in de koelkast.

Geen eiland

Dit jaar staat in het teken van de vijfhonderdste verjaardag van het boek van Utopia, daarom leek het me leuk om een column te schrijven over wetenschappelijk utopisme. Daarin kan Bacons utopie natuurlijk niet ontbreken. (Vanaf nu schrijf ik trouwens elke maand een column voor Eos!)

Deze column is in licht gewijzigde vorm verschenen in het meinummer van Eos.

In 1516 verscheen Utopia, het boek van Thomas More over het socio-politieke en religieuze leven op een fictief eiland. De ondertitel wordt vertaald als: “Een gouden boekje, niet minder heilzaam dan grappig, over de ideale republiek en over het nieuwe eiland Utopia.” Sindsdien is Utopia, wat ‘geen plaats’ of Nergensland betekent, haast synoniem geworden voor Eutopia, of ‘goede plaats’. More contrasteert de rationele eilandbeschaving met de moderne problemen van een Europese stad als Antwerpen. Engelsman Thomas More verbleef namelijk enige tijd in Vlaanderen en zijn boek werd vervolgens door bemiddeling van Erasmus gedrukt in Leuven. Daarom wordt de vijfhonderdste verjaardag van de publicatie ook bij ons gevierd: met een schrijfwedstrijd voor studenten en de expo Op zoek naar Utopia in Museum M (vanaf 20 oktober).

Utopia.

Heruitgave van Mores Utopia, met een illustratie van dit denkbeeldige eiland op de kaft.

Het bedenken van utopieën is van alle tijden. Plato beschreef in zijn dialoog Politeia al een ideale staat, waarin de leiders filosofen waren, en gedurende de middeleeuwen waren verhalen over Luilekkerland populair. Het boek van More gaf vervolgens de aanzet voor een heel genre: de utopische roman. Iets meer dan een eeuw later inspireerde het Francis Bacon tot het schrijven van Nova Atlantis, waarin Bacons visie op ideale wetenschap, wetenschapsethiek en de wisselwerking tussen wetenschappelijk onderzoek en maatschappij een centrale rol spelen. Nova Atlantis verscheen in 1627 (een jaar na het overlijden van Bacon). Zoals de verwijzing naar Atlantis in de titel al doet vermoeden projecteerde ook Bacon zijn utopie op een eiland. Daarop situeerde hij een ideaal instituut voor de wetenschap, dat hij het Huis van Salomon noemde en dat hoog aanzien genoot in deze beschaving. Ook dit verhaal werkte duidelijk inspirerend, niet enkel voor andere schrijvers maar ook voor wetenschappers, want in 1660 werd daadwerkelijk de Royal Society opgericht, een genootschap voor geleerden in Londen.

Francis Bacon twittert Vorig jaar verscheen Francis Bacon ‘twittert’ van wetenschapsethicus Gustaaf Cornelis (uitgegeven bij Garant, 2015; Google Books). Cornelis geeft een samenvatting van Nova Atlantis en licht leven en werk van Bacon toe. Hierbij plaatst hij beknopte parafrases in een kader: zo retweet Cornelis Bacons belangrijkste ideeën. De ondertitel is De nieuwe academie en Cornelis schetst inderdaad zijn eigen utopie van een wetenschappelijke opleiding. Daarnaast geeft hij ook een dystopische beschrijving van de huidige universiteit: Cornelis maakt melding van de nefaste publicatiecultuur die slodderwetenschap in de hand werkt. Maar hij citeert ook een studie waaruit blijkt dat studentenrestaurants bij gemiddeld 65% van de warme maaltijden frieten serveren.

Vóór zijn Nova Atlantis had Bacon een ander belangrijk werk geschreven: Novum Organum over een nieuwe wetenschappelijke methode. De titel verwijst naar de werken van Aristoteles over deductie, die het Organon worden genoemd. De redeneermethode van Aristoteles laat ons toe om uit zekere aannames even zekere conclusies te trekken. Dat lijkt nuttig, als we tenminste over zekere aannames beschikken, maar daar wringt in de praktijk het schoentje. Cornelis retweet Bacons opvatting hierover kernachtig:

“Deductie is enkel geschikt voor het behoud van dwalingen.”

Ons hedendaagse beeld van wetenschappelijke kennis is eerder probabilistisch: er zijn geen absolute zekerheden, maar sommige hypotheses kunnen wel met (zeer) hoge waarschijnlijkheid aangetoond worden. Deze visie vinden we al terug in Bacons Novum Organum: zijn nieuwe methode gaat precies over hoe wetenschappers door herhaling tot algemene wetmatigheden kunnen komen. De methode van Bacon heet inductie.

Drie eeuwen later voegde logicus Peirce de term ‘abductie’ in, voor een andere type niet-deductieve redeneringen, die gericht zijn op de best mogelijke verklaring voor een waarneming. (Hierover schreef ik al in mijn blogbericht “Brief aan een theoloog (over planet nine)“.) Zo komen we tot drie hoofdvormen van wetenschappelijk denken: deductie, inductie en abductie.

Dromen past niet in dit rijtje thuis, maar ik vermoed dat heel wat wetenschappers ook utopische denkers zijn. Daarom verwacht ik dat er vanuit de wetenschap zelf altijd ideeën over de verbetering ervan zullen blijven opborrelen en zie ik de toekomst optimistisch tegemoet. Natuurlijk blijft de aansluiting tussen wetenschap en de rest van de maatschappij steeds een moeilijke oefening. Utopieën spelen zich vaak op eilanden af, maar wetenschap is geen eiland. Misschien moet er iemand een vervolg schrijven op Bacons Nova Atlantis, over een expeditie waarin de bewoners ontdekken dat ze toch niet op een eiland wonen, maar op een schiereiland.

Grenzeloos traag glas

Bestaat er een fysische grens aan traagheid? Dat vroeg ik me af bij het schrijven van deze column over een schijnbaar alledaags materiaal met bijzondere fysische eigenschappen: glas!

Dit stukje is in licht gewijzigde vorm als column verschenen in Eos.
(Jaargang 32, nummer 11.)

Voor een fysicus is het glas altijd vol... lucht.Loom tikte ik tegen de autoruit: “Glas is eigenlijk een vloeistof.” Ik zat achterin de auto samen met studiegenoot Karin. Haar vader reed en hij kaatste terug: “Welnee, het vloeit toch niet?” Tegen zijn onwankelbare vertouwen in gezond verstand kon ik als dromerige fysicastudent niet op.

Toch was ik zeker van mijn stuk. Glas wordt op hoge temperatuur gemaakt en is dan vloeibaar genoeg om het in een bepaalde vorm te blazen. Dat zal niemand betwisten, maar hoe zit het op kamertemperatuur? Ons gezond verstand zegt dat glas geen vloeistof kan zijn, aangezien het gebruikt kan worden als barrière tegen regen (vensterglas) of als houder voor water (drinkglas). Voor de fysicus ligt het iets subtieler: op microscopische schaal is glas namelijk amorf. De atomen in glas zitten even ongeordend als in een vloeistof. Terwijl de meeste stoffen een duidelijke fase-overgang doormaken bij het afkoelen van vloeistof naar vaste stof, is dat bij glas niet zo.

Moleculaire structuur van glas.

Glas is een amorf materiaal. Schematische weergave van de moleculaire structuur ervan. (Bron afbeelding.)

Bij een mineraal als bergkristal vormen de zijvlakken regelmatige veelvlakken, die verraden dat de atomen binnenin een regelmatig roosterpatroon vormen. Alle zogenaamde kristallijne stoffen – zoals bergkristal, maar ook ijzer of diamant – kan men op kleine schaal als vaste stof herkennen. Stoffen die op macroscopische schaal vast lijken, maar die geen kristalrooster vertonen, noemen we ‘glazen’. Het silicaglas dat we voor ruiten en drinkglazen gebruiken is hiervan het bekendste voorbeeld.

Maar is glas dan wel écht een vaste stof, zoals de macroscopische eigenschappen ervan doen vermoeden, of moet de microscopische structuur de doorslag geven en is het een onderkoelde vloeistof? Uiteraard zien we vensterglas niet stromen en is de binding tussen de atomen in een glas veel sterker dan in een gewone vloeistof. Maar is glas misschien een vloeistof met een extreem hoge viscositeit en stroomt het dus onmeetbaar traag: nog trager dan het pek in het beroemde pekdruppelexperiment? Er is een fysische maximumsnelheid in dit heelal, maar staat er ook een grens op traagheid?

Glasraam in Middeleeuwse kathedraal.De glasramen in Middeleeuwse kerken zijn onderaan vaak dikker. Deze eeuwenoude, stille getuigen lijken dus te bevestigen dat glas inderdaad traag stroomt. Dit ‘bewijs’ blijkt bij nader inzien echter geen stand te houden. Om te beginnen is er geen systematische studie gedaan op de diktevariaties in oude glasramen. Verder was het maken van grote glazen platen technisch gezien een hele krachttoer. Men draaide het glas tot een platte cilinder die aan de buitenkant dikker was. Zo waren er al van bij de productie diktevariaties aanwezig in het glas. Daarbij lijkt het wel zo verstandig om de dikste kant, die ook zwaarder en sterker is, waar mogelijk onderaan te plaatsen. Bovendien tonen berekeningen aan dat als glas merkbaar zou vloeien, het dan niet bovenaan dunner zou worden, maar verkorten! Dat komt niet overeen met wat we zien in die oude kerken.

Als klap op de vuurpijl is er ook glas bewaard gebleven dat nog veel ouder is, bijvoorbeeld uit het oude Egypte. Als glas echt zou vloeien bij kamertemperatuur, dan zouden deze artefacten inmiddels tot een vormeloze poel herleid moeten zijn, maar dat is niet zo. Er is in 2012 zelfs onderzoek gedaan op een stukje amber (een soort organisch glas) van twintig miljoen jaar oud, waaruit bleek dat dit materiaal in al die tijd evenmin vervloeid is.

Begin 2015 publiceerden theoretici een studie naar wat er met glas gebeurt als het verder wordt afgekoeld: verliest het ooit alle gelijkenis met een vloeistof? Er onstaan dan inderdaad gebieden die zich in meetkundige vormen ordenen, zoals regelmatige twintigvlakken. Dergelijke configuraties waren meer dan zesitg jaar eerder trouwens al voorspeld – niet op basis van berekeningen op supercomputers, maar op basis van fysische intuïtie. Een soort gezond verstand voor gevorderden als het ware.

Deze observaties laten uiteraard nog steeds de theoretische mogelijkheid open dat glas bij kamertemperatuur vloeit, maar dan zo traag dat de vervorming pas meetbaar zou worden na meer dan tien miljoen jaar. (Er zijn nog veel hogere schattingen in omloop.) Maar op dit punt sluit ik me aan bij wat Karins vader al lang wist: glas is geen vloeistof, want het vloeit niet.

(meer…)

Huiswerk (met bijna twintig jaar vertraging)

In dit stukje doe ik het verhaal van de extra tien voor chemie die ik niet gekregen heb.

Dit stukje is in licht gewijzigde vorm als column verschenen in Eos.
(Jaargang 32, nummer 9.)

Koolstofpuzzel.

Ondanks de duidelijke regelmaat in mijn tabellen vond ik de totaalformule voor het aantal isomeren van een alkaan niet.

1, 1, 1, 2, 3, 5, 9, 18, 35, 75, …

In het vierde middelbaar kregen we organische chemie, met het element koolstof in de hoofdrol. Eerst leerden over koolwaterstoffen zoals propaan en butaan, waar auto’s met een lpg-tank op rijden. Dit zijn moleculen met een onvertakte koolstofketen. Daarna leerden we dat er ook vertakte koolwaterstoffen bestaan. In dit deel van de cursus stonden er opvallend weinig formules. “Hoeveel vertakte koolstofketens kan je dan maken met een gegeven aantal koolstofatomen?” vroeg ik aan onze leraar. Mijnheer Staut antwoordde: “Dat weet ik niet, maar probeer het maar uit te zoeken. Als je de oplossing vindt, krijg je een extra tien.” Frustrerend om te horen, maar dictatisch gezien een slimme zet. Het aanbod gold uiteraard ook voor de andere leerlingen.

Ik was ervan overtuigd dat die extra tien al binnen was. Er stonden achteraan in de klas handboeken over chemie: daar zou de formule zeker in staan. We zochten enthousiast, maar vonden het niet. Noodgedwongen probeerde ik de formule zelf af te leiden. Zo moeilijk kon het toch niet zijn? Die avond begon ik dus koolstofketens te tekenen. Het komt erop aan geen configuraties dubbel te tellen. Als je een ‘zijketen’ aan het eerste atoom van de hoofdketen koppelt, is dat in feite helemaal geen zijketen, maar nog steeds een lineair molecule (dat in een bocht ligt). Ook andere structuren kunnen meerdere voorstellingen hebben. Een zijtak op het voorlaatste atoom is bijvoorbeeld slechts een gespiegelde weergave van een zijtak op het tweede atoom. Je moet een waterdicht systeem bedenken om dit soort symmetrieën te doorzien en elke configuratie exact één keer te tellen.

Cursus chemie vierde middelbaar.

Isomeren van alkanen tekenen in de cursus: alle bindingen en waterstoffen moeten worden aangeduid. In mijn eigen notities hield ik het al snel bij het koolstofskelet.

Wekenlang bleef ik vertakte ketens tekenen. Ik ontwikkelde een compacte notatie door koolstofatomen voor te stellen door bolletjes op ruitjespapier. Waterstofatomen en bindingsstrepen liet ik weg. Zo werd het probleem herleid tot de wiskundige kern ervan: een vraagstuk uit de combinatoriek. Al tekenend zocht ik naar de regelmaat, maar het leek alsof ik bij elk groter aantal koolstoffen meer uitzonderingen vond op de regels die ik voordien had gevonden. Ik werkte alles uit tot tien koolstoffen, waarbij er al 75 verschillende configuraties zijn.

Het is me niet gelukt om voor het einde van het trimester een algemene formule te vinden. Toch waren dit mijn eerste stappen in het ‘vrije’ onderzoek met de emoties die daarbij horen. Je vertrekt van een vraag waar je zelf zielsgraag het antwoord op wil weten, maar dat je niet meteen vindt bij een expert of in een naslagwerk. Misschien ben je de eerste die zich deze vraag stelt en sta je op het punt het antwoord te vinden? Spannend! Je probeert verschillende dingen, maar niets lijkt te werken. Je ligt er ’s avonds van wakker en staat er ’s morgens mee op. Toen het bij wiskunde het jaar nadien over combinatoriek ging, spitste ik de oren en begon ik met hernieuwde moed aan de koolstofpuzzel. Opnieuw zonder succes. Je voelt je gaandeweg dommer worden, maar in werkelijkheid leer je veel bij.

Koolstofpuzzel.

Koolstofpuzzel: ik vond een systematische manier om alle isomeren te vinden, maar een formule zag ik er niet in.

Het is zo’n twintig jaar te laat om mijn oplossing in te leveren. Toch doe ik een ultieme poging. Ik zoek online naar de getallenrij van de eerste tien configuraties. De zoekmachine suggereert de getallenrij 1, 1, 1, 2, 3, 5, 9, 18, 35, 75. Bij mij staat er 32 op de negende plaats: blijkbaar heb ik destijds drie combinaties niet gevonden. Voor tien klopt mijn resultaat wel. Mijn vraag werd in 1875 al onderzocht door de Britse wiskundige Arthur Cayley: hij zag het als een graaf (een ‘vier-valente boom’ genoemd) en stelde een formule op, maar ook hij maakte een fout die zichtbaar is vanaf twaalf atomen.

Pas rond 1998, dus enkele jaren nadat ik deze vraag had gesteld, werd de definitieve formule gevonden, onafhankelijk van elkaar door enerzijds twee theoretische chemici (Laimutis Bytautas en Douglas J. Klein) en anderzijds twee wiskundigen (Eric Rains en Neil Sloane). De beslissingen die je moet maken om geen structuren dubbel te tellen, blijken trouwens ook nuttig te zijn bij het vastleggen van unieke namen voor de moleculen.

Voor dit schooljaar wens ik alle scholieren een leerkracht toe die een extra tien uitlooft voor een vraag die ze zelf hebben gesteld.

~

Extra links:

  • Je kan online isomeren van alkanen bouwen. Leuk! :-) Er is ook een nuttige FAQ.
  • Het artikel uit 1998 van Laimutis Bytautas en Douglas J. Klein: “Alkane Isomer Combinatorics“.
  • Het artikel uit 1999 van Eric Rains en Neil Sloane: “On Cayley’s Enumeration of Alkanes (or 4-Valent Trees)“.
  • De getallenrij 1, 1, 1, 2, 3, 5, 9, 18, 35, 75, … staat bekend als A000602 in de OEIS (online encyclopedie van rijen gehele getallen). Het wordt bekomen als de som van twee deelrijen (A000022 en A000200).
  • Een 4-valente boom is een speciaal geval van een graaf. Beetje jammer dat er geen grafentheorie gegeven wordt op de middelbare school. Ik ben er vrij zeker van dat ik dat veel leuker had gevonden dan al die goniometrische vergelijkingen. ;-) (Ik weet nog steeds niet waarom we die vergelijkingen altijd moesten omvormen!)
  • Voor wie geïnteresseerd is in een nadere  kennismaking met chemische grafentheorie is het artikel “Chemical Graph Theory and the Sherlock Holmes Principle” van Alexandru T. Balaban uit 2013 misschien een goede kennismaking (in het Engels).

~

Naschrift:

Op een dood moment ben ik op een kladblaadje nog eens begonnen. Het duurde me slechts een half uur om opnieuw alle isomeren van lengte één tot en met tien te vinden. Nochtans heb ik er vroeger veel meer tijd aan besteed. Zou dit komen omdat ik: (a) dit zo vaak gedaan heb (weliswaar lang geleden!) of (b) nu volwassen ben (en geduldiger ben) of (c) als onderzoeker geoefend ben in het soort denken dat hiervoor nodig is? Wellicht een combinatie van alle drie?

Natuurlijk had ik nu ook het voordeel zeker te zijn van de aantallen die ik moest bekomen. Het is altijd gemakkelijker – of op zijn minst geruststellender – als je weet dat de oplossing achteraan in het boek staat. In het onderzoek moet het boek echter nog geschreven worden. ;-)

O ja, over het belang van een goede onderzoeksvraag (en over het beangstigende en bevrijdende gevoel dat hoort bij het werken aan onopgeloste vraagstukken) schreef ik eerder deze column.

Opgebrande wetenschap

Op 25 maart nam ik deel aan een debatavond over wetenschappelijke integriteit “De wetenschap(per) liegt niet” op de KU Leuven campus in Heverlee. Kort daarna besloot ik een Eos-column te schrijven over het verband tussen wetenschapsfinanciering en slodderwetenschap.

Dit stukje is in licht gewijzigde vorm als column verschenen in Eos.
(Jaargang 32, nummer 5.)

Brand bibliotheek Alexandrië.De grote brand in de bibliotheek van Alexandrië behoort tot ons mythische geheugen. We kunnen speculeren over welke schatten aan kennis daar in de vlammen zijn opgegaan. In werkelijkheid ging het wellicht over meerdere branden en een geleidelijk proces van verval. Vandaag is er geen uitslaande brand in de wetenschap, maar er smeult weldegelijk iets. Het onderzoek brandt haar meest vurige beoefenaars op en dreigt zo zichzelf in de as te leggen. Wetenschap is een menselijke activiteit, maar wel eentje die haar beoefenaars kopzorgen bezorgt. Een wetenschappelijke studie heeft aangetoond dat stress – althans bij muizen – de aanmaak van nieuwe hersencellen vermindert. Als dat ook voor de wetenschappers zelf geldt, voorspelt het weinig goeds.

De wetenschap ondergaat momenteel een wereldwijd experiment: laten we eens een groep intelligente en ambitieuze mensen wedijveren om te weinig plaatsen. Wie de Hunger Games kent, weet dat dit geen onschuldige stoelendans wordt, maar een spel op leven en dood. En als er te veel druk wordt gelegd op wetenschappers, is het eerste slachtoffer dat valt de wetenschap zelf.

Cartoon.

Deze cartoon stond in 2009 in The New Yorker. Het winnende bijschrift was: “OK, laten we traag de fondsgelden verlagen”. (Bron afbeelding.)

De Oostenrijkse techniekfilosoof Ivan Illich had een theorie over technische ontwikkeling in termen van twee keerpunten. Bij het eerste keerpunt wordt alles veel efficiënter: de ontwikkeling van de ontploffingsmotor gaf een grote impuls aan onze mobiliteit en het centraliseren van gezondheidszorg in ziekenhuizen kwam de volksgezondheid ten goede. Bij het tweede keerpunt echter dreigt het systeem onder haar eigen bijwerkingen te bezwijken: de mobiliteit neemt af in de file en resistente ziekenhuisbacteriën rukken op.

Het lijkt erop dat we een soortgelijke analyse kunnen maken over hoe onderzoek georganiseerd wordt. Lange tijd was wetenschap enkel weggelegd voor rijke mensen: ze beoefenden het als hobby of sponsorden armoedzaaiers met meer talent op dit vlak. Bij het eerste keerpunt – zo rond de achttiende eeuw – ontstond er een systeem van door de overheid uitgereikte studiebeurzen en door de universteit bezoldigde posities voor onderzoeksprofessoren. Wetenschap werd een carrière, ook bereikbaar voor mensen van bescheiden komaf. Aanvankelijk had dit een gunstig effect en het kwam zowel het onderzoek als de (potentiële) onderzoekers ten goede. Er konden inderdaad meer mensen bijdragen aan fundamentele kennis, die uiteindelijk ook tot technologische en medische vooruitgang leidde.

In de loop der eeuwen werd de wetenschap verder geprofessionaliseerd, maar stilaan lijkt het erop dat we het tweede keerpunt hebben bereikt. Door de nadruk op excellentie neemt de druk op de onderzoekers steeds verder toe. Solliciatiedossiers en beursaanvragen worden steeds langer en uitgebreider. Dat is niet efficiënt: niet voor de mensen die de aanvraag indienen, maar evenmin voor de collega-onderzoekers die dit allemaal moeten lezen en beoordelen. Bovendien is het eigen aan onderzoek dat je niet op voorhand weet met welk resultaat je dit doet. Toch lijkt deze evidentie ergens verloren te zijn gegaan, want het huidige model vereist van wetenschappers gedetailleerde vijfjarenplannen en een gestage uitstroom van publicaties.

Vooralsnog hebben wetenschappers nog geen geldboom kunnen kweken.Bij jonge onderzoekers staan hierbij niet enkel verdere fondsen op het spel voor meetapparatuur of reagentia, maar ook de eigen baan. Dat is zuur. Hoewel het gelukkig slechts enkelingen zijn die flagrante fraude plegen, is slodderwetenschap wel schering en inslag. Beter een in der haast geschreven artikel over slordig uitgevoerde experimenten dan geen artikel – dat is althans de logica binnen het huidige financieringsmodel. Wat de cumulatieve schade hiervan is op de wetenschap als geheel valt niet te overzien.

Inmiddels lijkt deze aanpak haar doel zo zeer voorbij te schieten dat er stemmen opgaan om de factor geluk terug een centralere plaats te geven. Willem Trommel bijvoorbeeld, professor in de bestuurskunde aan de Vrije Universiteit Amsterdam, schreef eind vorig jaar een opiniestuk in de Volkskrant. Waar vroeger de afkomst iemands lot in de wetenschap grotendeels bezegelde, is zijn voorstel om na een ruwe schifting van onderzoeksvoorstellen alsnog te loten. Cru maar wel eerlijk en efficiënt. (En helemaal in lijn met mijn eerdere gedachten hierover.)

Op den duur betalen we wetenschappers om voltijds papieren in te vullen. Dan zal de wetenschap definitief zijn opgebrand. Moeten we hopen dat rijke hobbyisten ondertussen de waakvlam van het vrije onderzoek brandende houden, of zijn er andere oplossingen? Hopelijk slaagt de wetenschap erin om als een feniks uit haar assen te herrijzen.

Wet van de waterkans

Dit stukje is als column verschenen in Eos.
(Jaargang 32, nummer 2.)

Een langere versie van deze tekst vind je hier.

En een gedichtje dat erbij past.

Waterkans.In Vlaanderen beschikken we over een mooi woord voor een uiterst kleine kans: waterkans. Kansloos wil zeggen dat de kans helemaal onbestaande is. Volgens het principe van Cournot zijn waterkansjes in de praktijk kansloos: een op voorhand gespecifieerde gebeurtenis waarvan de kans zeer klein is zal niet gebeuren. Dit principe is vernoemd naar Antoine Augustin Cournot die in 1843 inderdaad een dergelijke redenering publiceerde.

Volgens de eponiemenwet van Stigler wordt geen enkele ontdekking naar de oorspronkelijke ontdekker vernoemd. En inderdaad: het principe van Cournot is al terug te vinden in de geschriften van eerdere auteurs, zoals Jakob Bernoulli. In “De kunst van het gissen” (postuum verschenen in 1713) bewees Bernoulli als eerste een speciaal geval van de wet van de grote aantallen. Hij interpreteerde zijn wiskundige resultaat al in termen van praktische zekerheid.

Later ging de Franse wiskundige Émile Borel zo ver om in zijn boek “De kansen en het leven” uit 1943 te schrijven: “Het principe dat een gebeurtenis met een zeer kleine kans niet zal gebeuren is de enige wet van de kans.” Borel heeft ook een aantal vuistregels opgesteld voor welke gebeurtenissen men in welke context als onmogelijk kan beschouwen. Volgens hem zijn kansen kleiner dan één miljoenste (10-6) onmogelijk op de menselijke schaal en kansen kleiner dan één honderd-octiljoenste (10-50) onmogelijk op de kosmische schaal.

Het principe van Cournot lijkt zeer aannemelijk. De kans dat een op voorhand gespecifieerde combinatie van zes verschillende getallen tussen 1 en 45 wint bij de volgende lottotrekking is kleiner dan één op acht miljoen (ongeveer 0,000 012 %). Volgens Borels vuistregels is de hoofdprijs winnen met de Belgische lotto dus onmogelijk op de menselijke schaal. Ook het principe van Cournot zegt dat onze combinatie niet zal winnen.

Waterkans.Nochtans worden we voortdurend geconfronteerd met gebeurtenissen waaraan we op voorhand niet meer dan een waterkans hebben toegekend. Geregeld blijkt dat iemand vooraf de zes juiste getallen heeft aangeduid op het lottoformulier. Een kans, hoe klein ook maar groter dan nul, is en blijft een kans. De bijbehorende gebeurtenis kan niet op voorhand worden afgedaan als onmogelijk. Noem het de “wet van de waterkans”. De “wet van Wenmackers” allitereert even mooi, maar hierbij is opnieuw de wet van Stigler van kracht: wetenschapsfilosoof Brian Skyrms schreef hier immers al over in 1980. Hij benadrukt dat we kunnen winnen. Enkel als we niet meedoen aan de loterij is winnen echt onmogelijk.

Natuurlijk blijft het veel waarschijnlijker dat die ene, vooraf uitgekozen combinatie niet zal winnen. Het is precies deze vaststelling die het principe van Cournot zo plausibel maakt. In veel situaties weten we echter op voorhand met volledige zekerheid dat er een gebeurtenis met een zeer kleine kans zal optreden. Over een uur zullen de luchtmoleculen in onze dampkring zich in een bepaalde configuratie bevinden. Er zijn zeer veel configuraties mogelijk waardoor de kans behorende bij elke specifieke configuratie zeer laag is, maar er zal er één gerealiseerd worden. Dit is mijn wet, de wet van de waterkans: “Als elke mogelijke gebeurtenis een even kleine kans heeft, moet er met zekerheid een gebeurtenis met zo’n kleine kans gerealiseerd worden.”

Kosmische loterij.Als afsluitende denkoefening moet je je eens proberen voorstellen hoe klein de kans was dat je geboren zou worden en dat je leven zich vervolgens precies zo zou voltrekken als het tot op de dag van vandaag heeft gedaan. Hoe groot was die kans op basis van informatie beschikbaar negen maanden voor je geboorte? Negen jaar voordien? Negentig jaar ervoor? Toen de eerste mensen ontstonden? Toen de aarde gevormd werd? Het zonnestelsel? Het heelal???

Als je genoeg details in rekening brengt, kom je al snel bij een kans van minder dan één honderd-octiljoenste uit. Moeten wij onszelf dan tot een paradox verklaren, onmogelijk op de kosmische schaal? Welnee, we zijn gewoon allemaal het levende bewijs van de collectieve kracht van waterkansen. Wij zijn de onvoorziene winnaars in de kosmische loterij.

Er staan ons nog veel onvoorspelbare gebeurtenissen te wachten, zoveel is zeker.

De enige wet van de kans

Waterkans.Op mijn blog heb ik het al vaker gehad over kleine kansen, zogenaamde waterkansen. (Soms duiken ze zelfs op in de vorm van colakansjes!) Ook mijn Eos-column deze maand gaat erover. De column is gebaseerd op de langere tekst hieronder, die ik in 2012 schreef. Rond die tijd gaf ik namelijk een presentatie over kleine kansen voor de Nederlandse Vereniging voor WetenschapsFilosofie (NVWF, waar ik toen nog geen lid van was, laat staan secretaris). Naar aanleiding van dit onderwerp gaf ik toen een interview voor Hoe?Zo! bij de Nederlandse radio 5, dat hier nog steeds te herbeluisteren is.

~

Het principe van Cournot stelt dat een op voorhand gespecifieerde gebeurtenis met een zeer kleine kans niet zal gebeuren. Dit idee is al terug te vinden in de geschriften van Bernoulli. Borel noemde het zelfs “de enige wet van de kans”. Daar tegenover staat mijn wet van de waterkans, die zegt dat je in veel situaties op voorhand zeker kunt zijn dat er een gebeurtenis met een kleine kans gerealiseerd zal worden. Verwacht het onverwachte in deze beschouwing over grote aantallen en kleine kansen.

Bernoulli’s “gouden stelling”

Jakob Bernoulli.Jakob Bernoulli was een befaamd Zwitsers wiskundige die leefde van 1654 tot 1705. Hij zou niet de laatste bekende wetenschapper worden in de Bernoulli-familie. Zo maken we in de fysica nog steeds gebruik van de wet van Bernoulli om de druk in stromende vloeistoffen of gassen te beschrijven; deze wet is vernoemd naar de in Groningen geboren Daniël Bernoulli, een neef van Jakob. Naar Jakob zelf is geen natuurkundige wet vernoemd, maar wel een wiskundige stelling: de stelling van Bernoulli, het eerste voorbeeld van een wet van grote aantallen.

Jakob Bernoulli schreef een verhandeling over de waarschijnlijkheidsrekening, die pas na zijn dood verscheen (in 1713): “Ars Conjectandi” of “De kunst van het gissen”. Hierin beschreef hij waarschijnlijkheden als graden van zekerheid; dit is een subjectieve interpretatie van wat kansen zijn, die in contrast staat met objectieve interpretaties, bijvoorbeeld in termen van frequenties. In zijn boek presenteerde Jakob ook zijn “gouden stelling” – dit is de eerder genoemde stelling van Bernoulli –, als oplossing van een vraagstuk dat hem twintig jaar lang had beziggehouden.

Stel dat je een eerlijke munt opgooit. De kans op kop is dan 50%, net als de kans op munt. Dit is een voorbeeld van een Bernoulli-experiment; in het algemene geval hoeven de kansen op succes (kop) en mislukking (munt) overigens niet gelijk te zijn. Herhalen we nu de (eerlijke) muntworp een groot aantal maal, dan verwachten we dat we in ongeveer de helft van de gevallen kop te zien en in de andere helft van de gevallen munt. De (sterke) wet van de grote aantallen drukt deze verwachting als volgt uit: de fractie van de muntworpen die kop opleveren convergeert vrijwel zeker naar 50%.

Hierbij vallen er drie bedenkingen te maken.

  • Ten eerste suggereert de wet een brug tussen het begrip kans enerzijds en experimenteel waargenomen fracties of frequenties anderzijds – een brug dus tussen pure wiskunde en experimentele wetenschap. Opgepast: het betreft een puur wiskundig resultaat, dat op zichzelf deze brug nooit kan slaan.
  • Ten tweede moeten we de frase “vrijwel zeker” hier interpreteren als “met kans 100%”. Daarbij moet je weten dat dit laatste niet garandeert dat het noodzakelijk zo moet zijn, enkel dat het oneindig veel waarschijnlijker is dan dat het niet zo gebeurt.
  • Ten derde was de oorspronkelijke stelling van Bernoulli een zwakke wet van grote aantallen, maar de verschillen met de sterke wet laten we hier buiten beschouwing.

Jakob interpreteerde zijn wet van de grote aantallen als volgt: we kunnen een zeer hoge waarschijnlijkheid op een bepaalde gebeurtenis beschouwen als morele zekerheid. Verder kunnen we de frequentie waarmee we een gebeurtenis waarnemen gebruiken als een schatting van de waarschijnlijkheid van die gebeurtenis. (meer…)