Tag Archief: congres

Vrijdag lezing over “Waterkansjes”

De kans dat dit gebeurt is erg klein!Aanstaande vrijdagmiddag (15 juni) houdt de Nederlandse Vereniging voor WetenschapsFilosofie (NVWF) een lente-symposium in Amsterdam. Het thema is “Omwenteling in de kenleer”. Komt dat zien! :-)

Jan-Willem Romeijn (mijn collega uit Groningen) zal het hebben over gevaarlijke voorspellingen, Maartje Raijmakers legt uit hoe je kinderen kunt uitdagen met logisch redeneren en Lieven Decock tast de grenzen af van kleurconcepten. Mijn eigen voordracht heeft als titel “Waterkansjes: kenleer van het hoogst onwaarschijnlijke”. Ik zal het hebben over grote en (vooral) heel kleine kansen. Voor deze gelegenheid hou ik het trouwens bij kleine, maar eindige kansen – zoals de kans om de lotto te winnen. Mijn infinitesimale kansen blijven vrijdag dus gewoon thuis.

Het programma met de precieze locatie en tijden vind je hier. Als je geen lid bent van de NVWF maar wel naar het symposium wilt komen, dan is er goed nieuws: voor amper 2,50 € mag je komen luisteren naar de vier voordrachten (en achteraf wordt er nog een drankje voorzien).

Aanvulling (19 juni 2012):

De pdf’s van alle presentaties staan online in het archief van de NVWF. Mijn presentatie vind je hier.

Aanvulling (25 juni 2012):

Hieronder zie je de ingang van het universiteitsgebouw waar het symposium plaatsvond.

Universiteit Amsterdam.

Universiteit Amsterdam.

Verslag München – deel 2

Vorige week was ik in München, op congres met uitzicht op dit paleis.Na het fotoverslag van mijn vrije dag in München krijgen jullie vandaag te horen wat ik daar de rest van de week gedaan heb tijdens de Formal Epistemology Workshop (FEW), die plaatsvond aan het Munich Center for Mathematical Philosophy (MCMP).

De lezingen gingen over onderwerpen zoals het modelleren van kennis, het analyseren van argumenten, het selecteren van wetenschappelijke theorieën, het herzien van waarschijnlijkheden en het kwantificeren van risico.

Voor mij waren dit enkele blikvangers:

  • De presentatie van Alan Hájek en de aansluitende commentaren van Thomas Hofweber, omdat deze gingen over infinitesimale kansen en “regularity” (waar ik zelf ook onderzoek naar doe). Natuurlijk kun je ook gewoon de artikels van deze mensen lezen, maar de meerwaarde van zo’n congres is juist dat je achteraf uitgebreid met hen van gedachten kunt wisselen.
  • Mee mogen doen aan een experiment. Ik riep jullie pas nog op om een vragenlijst in te vullen (dat mag trouwens nog steeds, we laten het experiment nog even openstaan!), maar af en toe is het goed om eens aan de andere kant te zitten. Als ik het goed begrepen heb, gaan de verzamelde gegevens helpen om koala’s te redden in Australië… Ace!
  • Tijdens het conferentiediner aan tafel zitten met Richard Dawid en zo uitgebreid kunnen praten over fysica en filosofie met – vermoedelijk – de eerste filosoof van de supersnarentheorie ter wereld.
  • Dat Rohit Parikh er ook weer bij was, even oplettend als altijd: als iemand een voorbeeld presenteert waarbij de kansen niet sommeren tot één, kun je er vanop aan dat hij dat als eerste gezien heeft en dat ook meteen zal melden, maar wel met een glimlach. :-)
  • Het gevoel hebben dat ik toch al best veel mensen begin te kennen in mijn nieuwe vakgebied.
  • Warme lunch ’s middags en gebak tijdens de pauze. Ja, sorry, van al dat praten en luisteren krijgt een mens honger! ;-)

Ik heb me laten vertellen dat er in totaal een tachtigtal deelnemers waren, maar natuurlijk bleef niet iedereen er de hele week. Hieronder zie je de groepsfoto. Zelf sta ik helemaal links op de foto, naast Alan Hájek. (Als je wil weten wie de andere mensen zijn, moet je de originele foto maar opzoeken op de Facebook-pagina van het MCMP, waar de meesten getagd staan.)

Groepsfoto FEW 2012.

Groepsfoto FEW 2012 (via http://www.facebook.com/lmu.mcmp).

Naast de gewone lezingen waren er ook tutorials: langere uiteenzettingen over één onderwerp, waarbij het de bedoeling is dat de spreker niet enkel over eigen onderzoek praat, maar een overzicht geeft over een onderwerp. Een soort mini-cursus, dus. Jeff Paris, professor in de wiskundige logica aan de Universiteit van Manchester, gaf twee tutorials over inductieve logica. Op de foto hierboven zie je hem helemaal rechts (met het groene tasje). Ik ontmoette Jeff voor het eerst tijdens het congres “Progic” in New York vorig jaar, dus ik wist al dat zijn sessies over logica niet alleen degelijk zouden zijn, maar ook aangenaam om te volgen vanwege zijn goed gevoel voor (Engelse) humor – wat wil een mens nog meer? :-)

Ik hou van infinitesimalen en die kun je voorstellen met hyperreële getallen.Zelf gaf ik twee tutorials over hyperreële getallen en hun toepassingen. Op de eerste dag legde ik uit wat niet-standaard modellen van de rekenkunde en van reële velden zijn. Dan lichtte ik toe wat de ster-functie is en wat het Transfer principe inhoudt; hiervoor maakte ik gebruik van een analogie met de sciencefiction-reeks Fringe. Ik gaf ook een beknopt overzicht van de geschiedenis van de differentiaalrekening. Die eerste dag eindigde ik met onderstaand filmpje van Vi Hart, waarin ze tien bewijzen geeft voor het feit dat het reële getal 0,999… (met oneindig veel decimalen gelijk aan negen) gelijk is aan 1. Daarin geeft ze namelijk ook aan dat hyperreële getallen iets kunnen zeggen over de intuïtie dat 0,999… een infinitesimaal kleiner zou zijn dan 1 en dat vormde een mooi brugje naar mijn volgende tutorial. (Met dank aan Florian Steinberger van de plaatselijke organisatie om me te helpen met het geluid in de zaal in München.)

De tweede dag begon ik met de constructie van de reële en de hyperreële getallen uit oneindige rijen van rationale getallen (breuken). Daarna konden we aan het echte werk beginnen: toepassingen van hyperreële getallen die nuttig zijn in de formele epistemologie en in de wetenschapsfilosofie. Hierbij besprak ik mijn eigen onderzoek naar oneindig kleine kansen, waarop ik achteraf veel positieve reacties kreeg. Als afsluiter besprak ik bestaande toepassingen van hyperreële getallen in de fysica en het mogelijke belang hiervan voor de wetenschapsfilosofie – een onderwerp waar ik me de volgende jaren verder in wil verdiepen.

Een niet-standaard draak.Er kwamen tijdens mijn lezing ook enkele afbeeldingen van draken in beeld, die natuurlijk 100% educatief verantwoord waren. Eén professor, die eerst een serieuze vraag had gesteld, merkte daarna ook nog op dat er iets mis was met de anatomie van één van de draken: “Het lijkt of zijn beide vleugels uit dezelfde schouder komen”. Daarop antwoordde professor Hannes Leitgeb (directeur van het MCMP): “Het is dan ook een niet-standaard draak.” Verder heb ik het verhaal van hoe een rups een vlinder wordt gebruikt als analogie om het verband uit te leggen tussen het standaard en niet-standaard model van de rekenkunde. Hierdoor kwam ik achteraf aan de weet dat Jeff Paris zelf vlinders en motten houdt en dus als één van de weinige aanwezigen wist wat er gebeurt in de pop van een vlinder. Op voorhand vreesde ik dat sommige van mijn voorbeelden iets te kleurrijk, frivool of fantasierijk zouden zijn, maar blijkbaar kan de gemiddelde formeel epistemoloog daar wel tegen. :-)

Aanvulling (14 juni 2012):

De pdf-bestanden van mijn presentatie staan online (deel 1 en deel 2). De bijbehorende tekst van mijn minicursus is hier beschikbaar. Ook de slides en teksten van alle andere sprekers staan online gearchiveerd op de website van de workshop – alles natuurlijk in het Engels.

Trivia: Voor zo ver ik weet, werd er voor het eerst live getweet over een lezing die ik gaf. Die moderne tijden toch!

Verslag München – deel 1

Vorige week was ik in München, op congres met uitzicht op dit paleis.Vorige week was ik in München voor de “Formal Epistemology Workshop“. Het waren interessante maar ook lange dagen en daardoor kwam het er niet van om een reis- of conferentieverslag te schrijven. Deze week was het ook extra druk doordat al mijn onderzoeksprojecten een week stil hadden gelegen, maar ik heb nu toch alle taken voor deze week kunnen afstrepen. En er blijft zelfs een uurtje over om enkele foto’s te posten! (Vandaag hou ik het bij de toeristische kant van mijn reis, volgende keer iets over het congres zelf.)

Tijdens mijn jaren aan de universiteit heb ik al meerdere Duitse universiteiten bezocht om er metingen te gaan doen of om een congres bij te wonen: van het nabije Aken tot het verre Berlijn en Regensburg, maar in München was ik nog niet eerder geweest.

Door acute verstrooidheid tijdens het boeken van mijn reis arriveerde ik een dag te vroeg in München. Het was een warme dag, dus maakte ik er gebruik van om wat foto’s te maken. Eerst nam ik de tram naar het “Schloss Nymphenburg“: een barok paleis met een groot park erbij. Hieronder een impressie.

Schloss Nymphenburg.

Schloss Nymphenburg in München. Linksboven: uitzicht op de voorgevel van het paleis. Linksonder: de achtergevel (aan de kant van het park). Rechtsboven: één van de beelden in het park. Rechtsonder: aan zwanen, eenden en ganzen geen gebrek op het domein.

Het congres vond hier ook plaats: in één van de bijgebouwen, die in een halve cirkel rond de voorkant van het paleis gebouwd zijn. Op de foto hieronder zie je het gebouw in kwestie.

Schlossrondell Nymphenburg.

Links zie je het gebouw waar het congres plaatsvond. Rechts begint de zijvleugel van het paleis.

Maar goed, het congres was dus nog niet begonnen en dus nam ik de tram naar het centrum. Veel gebouwen hier werden zwaar beschadigd aan het einde van de Tweede Wereldoorlog, maar daar is niets meer van te zien (ja, dat klinkt bekend in de oren). Aan de Marienplatz trok de toren van het Altes Rathaus mijn aandacht, vanwege de sprookjesachtige zijtorentjes, de gouden zonnewijzer en de astronomische klok. Onderaan staat er een vrouwenbeeld, maar waarom haar borst zo blinkt kwam ik alvast niet aan de weet van de man die erbij zat te rusten.

Het centrum van Munchen.

De toren van het Altes Rathaus in het centrum van München.

Aan de Marienplatz ligt er ook nog het Neues Rathaus (dat er weliswaar veel ouder uitziet dan het Altes), maar de neogotische gevel bleek gewoon te groot om mooi op de foto te krijgen. Ook de Frauenkirche vraagt om een groothoeklens, die ik niet heb. In plaats daarvan post ik nog enkele plaatjes van details die wél op de foto pasten.

Het centrum van Munchen.

Details die me opvielen in het centrum van München.

Zo, dit was deel één van mijn verslag over München. Volgende keer in deel twee: hoe het er binnen de muren van het congresgebouw aan toe ging.

Klinkende munt in New York

Mijn artikel over de loterijparadox bracht me tot in New York.De Columbia Universiteit ligt in New York, vlakbij Central Park. Hier werd er de voorbije twee dagen een congres gehouden met als naam Progic – een samentrekking van “probability” en “logic”. Deze samenkomst over de raakvlakken tussen waarschijnlijkheid en logica wordt om de twee jaar georganiseerd; volgende keer is het iets dichter bij huis: in München.

Elke editie van Progic heeft een specifiek thema; deze editie eerde het werk van Haim Gaifman, professor emiritus aan de Columbia Universiteit. Hij gaf zelf de laatste lezing van de bijeenkomst, waarin hij de diverse thema’s overliep waaraan hij in de loop der jaren heeft gewerkt, zoals het onderscheid en de overeenkomsten tussen objectieve en subjectieve waarschijnlijkheid. Hij besprak ook een aantal probabilistische puzzels. Een leuk voorbeeld dat hij gebruikte: “Alice schoot een pijl af. De pijlpunt landde in het midden van deze cirkel.” Dan volgde een tekening van een cirkel met precies in het midden inderdaad een pijl. De vraag is: wat is de kans dat dit gebeurde? Het antwoord is: dat hangt ervan af! Je weet immers niet of eerst de cirkel getekend werd en Alice dan moest schieten, of dat de cirkel achteraf getekend is, bijvoorbeeld om de landingsplaats aan te duiden. Dit lijkt misschien een flauw grapje, maar er zijn meer complexe situaties waar precies dit soort onduidelijkheid ervoor zorgt dat verschillende mensen tot verschillende kansbepalingen komen.

Om professor Gaifman te eren, werden er gerenommeerde sprekers uitgenodigd: zaterdag waren er lezingen van Dana Scott en Rohit Parikh (wie ik recent in Maastricht ontmoette) en zondag van Jeff Paris. Oorspronkelijk was voorzien dat ook Horacio Arló Costa een lezing zou geven op Progic, maar hij is twee maand geleden onverwacht overleden. Daarom was er zaterdag na de gewone lezingen een herdenkingssessie, waarbij bevriende collega’s herinneringen aan hem uitwisselden. Een doctoraatsstudent van Horacio Arló Costa presenteerde gezamenlijk werk, zodat zijn ideeën toch vertegenwoordigd waren op Progic.

Naast de uitgenodigde sprekers waren er ook een aantal ingezonden bijdragen. Mijn eigen bijdrage (waarvan de slides hier staan) ging over de loterijparadox. In mijn proefschrift heb ik een analyse van deze paradox voorgesteld in termen van “relatieve analyse” – een vorm van niet-standaard analyse ontwikkeld door Karel Hrbacek. Het formalisme is gebaseerd op het idee dat er op een gegeven ogenblik slechts eindig veel reële getallen een unieke naam hebben gekregen; naar de rest kun je enkel op een indirecte manier verwijzen. (Zo is “een getal groter dan een miljard” een indirecte verwijzing, waarvan “een triljard” een uniek benoemd voorbeeld is.) De getallen die zo groot zijn dat ze geen unieke naam hebben, worden ultragrote getallen genoemd; ze zijn relatief oneindig. Het inverse van een ultragroot getal is een ultraklein getal, of een relatieve infinitesimaal. Ik pas het idee van ultrakleine getallen toe op kansen: hiermee beschrijf ik kansen die – door een bepaalde persoon en in een bepaalde context – niet van nul worden onderscheiden, hoewel ze toch niet helemaal nul zijn.

Het punt met infinitesimalen is dat ze individueel verwaarloosbaar zijn, maar collectief heel substantieel kunnen zijn. Om dit uit te leggen gebruik ik volgende cartoon (naar een idee van Dr. Lachowska).

Het collectieve belang van relatieve infinitesimalen.

We moeten op de kleintjes letten.

Na afloop van elke lezing is er gelegenheid tot vragen stellen. Rohit Parikh stak zijn hand op, maar in plaats van met een vraag kwam hij met een verhaal voor de dag. “Jouw infinitesimalen doen me denken aan een sufi-verhaal”, zei hij en begon te vertellen:

Er was eens een verkoper van geroosterde walnoten. Een arme man kwam bij zijn kraam en genoot zichtbaar van de geur van de noten. ‘Heb je de walnoten geroken?’ vroeg de verkoper. ‘Ja,’ zei de man. ‘Dan moet je me daarvoor betalen,’ eiste de verkoper.
De man knikte instemmend, nam twee munten uit zijn zak en liet ze rinkelen tussen zijn gesloten handen. De verkoper strekte zijn arm uit om de munten in ontvangst te nemen. ‘Heb je de munten gehoord?’ vroeg de man. ‘Ja,’ zei de verkoper. ‘Goed, dan heb ik je betaald,’ zei de man.

Een kleine zoektocht op internet leverde een tiental varianten op van dit verhaal. Blijkbaar is het in alle werelddelen bekend. De aard van het eten varieert, maar het gaat altijd om geroosterd of gebakken voedsel. Het is ook niet altijd het geluid van munten dat als betaalmiddel wordt gebruikt, maar soms ook muziek (tromgeroffel).

Dit verhaal is wetenschappelijk te verantwoorden: het feit dat je eten kunt ruiken, wijst erop dat er moleculen van de etenswaren in je neus terecht zijn gekomen. De hoeveelheid moleculen die nodig is om iets te ruiken is relatief infinitesimaal ten op zichte van de hoeveelheid moleculen die je binnenkrijgt als je eet. Het geluid van geld echter brengt zelfs geen infinitesimaal van een cent in het laatje.

Let’s get metaphysical

Alle songteksten van The 21st Century Monads gaan over filosofie.Welkom bij een nieuwe aflevering, waarin Sylvia haar angst voor metafysica overwint. Om in de gepaste sfeer te komen voor dit bericht kun je zachtjes “Let’s get metaphysical” meeneuriën op de tonen van Olivia Newton-Johns “Let’s get physical”. Als alternatief kun je ook “We Can’t Stop Doing Metaphysics” van The 21st Century Monads als achtergrondmuziek opzetten.

Als fysicus boezemt het idee om over metafysica na te denken – laat staan om er publiekelijk over te praten of over te schrijven – me een zekere angst in. Rubriceer het gerust onder angst voor het onbekende, want het is me niet duidelijk wat dat precies is, metafysica. Enerzijds zweemt het naar speculaties en onwetenschappelijk gezwets, iets waar ik als wetenschapper niet mee geassocieerd wil worden. Anderzijds echter is het een klassieke tak van de wijsbegeerte, iets waar ik als wetenschapsfilosoof maar wat graag een mondje over wil kunnen meepraten. Gemengde gevoelens dus.

Hoewel ik nu al bijna twee jaar aan een filosofische faculteit werk, bleef ik toch mooi binnen een domein dat ook voor de meeste natuurwetenschappers aanvaardbaar is. Fysica behelst meten, rekenen en kritisch nadenken. Welnu, ik ben na mijn overstap van de fysica naar de filosofie weliswaar gestopt met meten, maar ik bleef kritisch denken en daarbij ook wiskunde gebruiken. Binnen de grondslagen van de kansrekening en de epistemologie voelde ik me veilig.

Toch moest het er op een dag van komen dat ik naar een congres over metafysica zou gaan. Vorige week woensdag en donderdag was het zo ver: ik trok naar de Blandijn in Gent voor twee dagen vol lezingen over fysica en metafysica in de negentiende eeuw. Bij de behandeling van een fobie wordt er meestal in kleine stapjes gewerkt. In het kader van mijn systematische desensitisatie voor metafysica ging ik dus niet meteen zelf aan de slag met metafysische argumenten. Zoals de arachnofoob eerst de confrontatie met een plastic spin moet aangaan, koos ik een congres met historische invalshoek uit als verzachtende omstandigheid: de sprekers verdedigen er niet hun eigen metafysische theorieën, maar proberen enkel die van een historische wetenschapper en/of wetenschapsfilosoof uit de doeken te doen.

Deze houtsnede uit 1888, van de Fransman Flammarion, wordt vaak gebruikt om het begrip metafysica te illustreren: de zoektocht naar de werkelijkheid achter de wereld.

Nadenken over wat filosofie eigenlijk is, vormt een integraal onderdeel van de filosofie. Het hoeft dan ook niet te verbazen dat ook de sprekers op het congres geen pasklaar antwoord hadden op de vraag “Wat is metafysica?” – ondermeer omdat de term zo veel betekenissen heeft. Deze betekenis is in de loop der tijd veranderd, maar lijkt bovendien van persoon tot persoon te variëren. Aangezien ik niet van gedichten over poëzie hou, ga ik hier ook niet aan meta-metafysische haarkloverij doen. Liever geef ik een benaderende definitie van het begrip.

Metafysica betekent letterlijk ‘voorbij de fysica’. Het woord werd oorspronkelijk gebruikt om die werken van Aristoteles aan te duiden, die na zijn hoofdstukken over fysica komen. In de filosofie bedoelt men er nu theorieën mee die verder gaan dan de fysica, die iets zeggen over de werkelijkheid achter de fysische wereld. Hoewel deze theorieën dus haast per definitie onwetenschappelijk zijn, hoeven ze niet onzinning te zijn. In tegendeel, het doen van wetenschap veronderstelt dat wij de wereld kunnen leren kennen en begrijpen – op zich een buiten-wetenschappelijke aanname.

Fysica en metafysica zijn nauwer met elkaar verwant dan veel natuurkundigen (willen) beseffen. Zo wordt er in een cursus over fysica vaak gesproken over causaliteit, zonder dat dit begrip zelf ter discussie staat. De aanname dat de wet van oorzaak en gevolg opgaat in de fysische wereld is oorspronkelijk metafysisch van aard, hoewel er in het kader van de moderne fysica wel experimenten gedaan kunnen worden die hier iets over zeggen. Als voorbeeld denk ik daarbij aan het experimenteel weerleggen van de Bell-ongelijkheden in de kwantumfysica; dergelijke experimenten zijn (terecht) van doorslaggevend belang in de natuurwetenschap, maar ze zeggen niet alles. Er blijft dus ruimte voor filosofie.

Eerder dit jaar verklaarde Stephen Hawking niet te geloven in een leven na dood en ja, als hij dat zegt, dan komt dat in de krant. Minder aandacht hadden de media voor het feit dat Hawking samen met religie ook de filosofie afwimpelde; in deze analyse op BBC hoor je er een fragment van. Filosofen reageerden not amused, maar voor mij kwam Hawkings opvatting niet als een verrassing: heel wat natuurwetenschappers zijn immers van mening dat je je niet moet bezighouden met filosofie. De standaardinterpretatie van de kwantummechanica is hier een voorbeeld van: zij zegt hoe je het formalisme moet gebruiken, maar uitdrukkelijk niet wat de theorie betekent. (De standaardinterpetatie wordt ook wel de Kopenhaagse interpretatie genoemd, vanwege het belang van Niels Bohr die in Kopenhagen werkte.) De wetenschappers wrijven in hun handen: “Zo, die discussie is van de baan en nu terug naar het labo.” (Het kan ook “het krijtbord” of “de computer” zijn.) Filosofen echter zullen opmerken dat deze puur instrumentalistische houding ten aanzien van wetenschappelijke theorieën ook een filosofie is. In de metafysica geldt: niet kiezen is ook kiezen.

Sommige fysici doen wel een poging om mee te filosoferen, maar ook zij krijgen een veeg uit de pan van de filosofen. Eén misstap in het metafysische moeras en je geloofwaardigheid als fysicus is voorgoed verloren. Maar een misstap in de andere richting en je geloofwaardigheid als filosoof is eraan… Ik hou mijn hart vast en hoop deze valkuilen hier te ontwijken.

Portret van J.J. Thomson, de ontdekker van het elektron.Op het congres passeerden bekende wetenschappers uit de negentiende eeuw de revue. Zo sprak Erik Banks over Mach (in een cursus over relativiteit hebben we ooit zijn kritiek op Newtons gedachte-experiment met de draaiende emmer water besproken), Jordi Cat over Maxwell (ja, die van de vier vergelijkingen voor het elektromagnetisme) en Jaume Navarro over J.J. Thomson (de ontdekker van het elektron, waarover zo dadelijk meer).

De presentatie van Daniel Mitchell was ook heel boeiend: hij onderzoekt hoe en wanneer klassieke fysica het label “klassiek” heeft meegekregen. Daarbij kwam ondermeer de ether-theorie ter sprake. Tot het einde van de negentiende, begin twintigste eeuw werd gedacht dat elektromagnetische golven, zoals licht, een medium nodig hebben, net zoals geluidsgolven zich enkel kunnen voortplanten door een medium (een gas, vloeistof, of vaste stof); dit hypothetische medium voor licht werd “ether” genoemd. Hoewel de ether-hypothese intussen verworpen is, wordt het woord nog steeds gebruikt in de context van radiogolven. (Voor alle duidelijkheid: radiogolven zijn de elektromagnetische golven die van de zender naar de antenne van je radio gezonden worden, dus niet de geluidsgolven die uit de luidsprekers komen).

In 1887 voerden Michelson en Morley een experiment uit (op basis van interferentie van licht) waarmee ze het bestaan van ether wilden aantonen, maar hun experiment weerlegde juist de ether-hypothese. Althans, dat is de korte versie, zoals je die in de fysicales te horen krijgt. De geschiedenis blijkt iets subtieler: Michelson staakte zijn pogingen om het bestaan van ether te bewijzen inderdaad kort na dit experiment, maar Morley ging er nog mee door tot in de jaren 1950! Het was pas met het latere werk van Albert Einstein dat het ether-idee volledig verlaten werd. (Anderzijds was het geloof in het bestaan van ether ook voor het Michelson-Morley-experiment nooit algemeen verspreid.)

In het atoommodel van Thomson zitten de negatief geladen elektronen als krenten in het positief geladen deeg. Met deze achtergrond hoeft het ons niet te verbazen dat ook J.J. Thomson minstens tot in 1924 in ether geloofde, hoewel zijn ontdekking – het elektron – veel beter bij de kwantumtheorie lijkt te passen. Thomson stelde een eigen atoommodel voor: het krentenbolmodel (dat beter bekend is onder zijn Engelse naam: plum pudding model). In dit model zitten de negatief geladen elektronen verspreid over de positieve achtergrond van het atoom, als krenten in het deeg van een krentenbol. (In het latere atoommodel van Rutherford – Ernest Rutherford was een student van J.J. Thomson in Cambridge – zitten de positieve ladingen samengebald in de kern van het atoom en zweven de negatieve elektronen rond de kern.) Maar wat was dit positieve ‘deeg’ dan volgens Thomson? Een lage dichtheid van ether-massa! Ook de elektronen legde hij uit in termen van ether. De ontdekking van het elektron betekende dus geenzins de doodsteek voor de metafysische ether-theorie.

Minstens tot in 1924 heeft J.J. Thomson zich in het Engelse Cambridge weten te verschuilen voor de kwantumtheorie die in de rest van Europa dan al tot volle bloei was gekomen. Getuige hiervan is het artikel “A suggestion as to the Structure of Light” van Thomson dat in 1924 verscheen in Philosophical Magazine.  In zijn artikel probeert Thomson licht te verklaren aan de hand van structuren in… de ether. Hoewel het uitgangspunt fout is, vind ik het toch een heel mooie theorie (die me vaag aan supersnaren en zeker ook aan Feynmandiagrammen doet denken).

Thomsons model voor het uitzenden van licht door een H-atoom.

Thomsons model voor het uitzenden van licht door een H-atoom. Dit model is gebaseerd op ether, niet op kwantummechanica; ja, in 1924 nog!

Thomson vertrekt van een waterstof-atoom, dat hij voorstelt als een soort vezel (een Faraday tube) in de ether. Deze vezel heeft een positief uiteinde (“P”, het proton in de waterstof-kern) en een negatief uiteinde (“E”, het elektron van het waterstof-atoom). Dan maakt Thomson volgende redenering: als deze vezels fysisch echt bestaat, dan is er een limiet aan hoever ze kunnen plooien. Hij stelt zich voor dat de vezel tot een lus gebogen kan worden, maar als de spanning dan nog verder toeneemt, splitst er zich een gesloten lus van de oorspronkelijke vezel af. Deze afgesplitste, lusvormige vezel heeft geen vrije uiteindes en draagt dus geen lading: dit stelt een foton voor. Het proces, voorgesteld in de figuur hierboven, was Thomsons voorstelling van het uitzenden van licht; het omgekeerde proces, waarbij een gesloten lus op een vezel botst en erdoor opgenomen wordt, stelt absorptie van licht voor. (De figuur is overgenomen uit de presentatie van Jaume Navarro onderaan deze pagina.)

Uiteindelijk heeft het ethermodel voor licht de strijd verloren tegen de kwantumtheorie, die veel veelzijdiger bleek. Thomsons bezwaar tegen de kwantummechanica was dat zij ons geen  inzicht verschaft in de aard van haar belangrijkste concepten. Zo had de constante van Planck, h, geen fysisch model; “waar komt dit vandaan?” wou Thomson weten. Met zijn nadruk op wat de fysische basis was voor de gebruikte concepten stelde J.J. Thomson dus eigenlijk een metafysische vraag, maar daarop wilden de instrumentalistisch ingestelde kwantumpioniers niet antwoorden.

Hun stilzwijgen galmt nog altijd na in de fysica, maar als de wind goed zit kun je soms de geest van Thomson horen neuriën “Let’s get metaphysical“.

Rationaliteit in laagjes

Volgens mijn model van 'gelaagd geloof' worden kansen afgerond bij het nemen van beslissingen, meer of minder naar gelang de context.Vorige week was ik op het congres Decisions, Games & Logic. Zoals je al weet, ging het daar over beslis- en speltheorie en over logica. Leuk toeval: de wiskundemeisjes hebben deze week ook net een column over speltheorie.

Mijn eigen praatje ging over een model voor rationaliteit dat ik ‘stratified belief’ of ‘gelaagd geloof’ noem. Stel dat je naar de andere kant van de stad moet en je hebt keuze tussen met de fiets gaan of met de bus. Stel dat je gedetailleerde informatie hebt over kansen: de kans dat het gaat regenen, de kans dat de bussen staken, de kans dat er file staat, en zo verder. Dan nog moet je een eenvoudige beslissing nemen: met de fiets gaan of niet (en dus met de bus gaan). De vraag is hoe je, uitgaande van precieze kansen, deze beslissing op een rationele manier kunt nemen. Deze beslissing heeft ook met geloof te maken: welk van beide optie geloof je dat de betere is? Je moet op voorhand kiezen, dus zekerheid heb je niet.

Filosofen hebben het volgende voorgesteld: het is rationeel om een bewering te geloven als de kans dat die bewering waar is voldoende dicht is bij 1. Hoewel dit idee niet van Locke zelf afstamt, noemt men het wel de Lockeaanse stelling. Stel dat er enige waarheid zit in deze Lockeaans stelling, hoe moeten we dit “voldoende dicht bij 1” zijn dan begrijpen? Meestal wordt er vanuit gegaan dat er een drempelwaarde bestaat, bijvoorbeeld 90% of 99%. Als de kans dat de bewering waar is minstens gelijk is aan die drempelwaarde, dan is het rationeel om de bewering te bewaren. Mij lijkt dit echter geen natuurlijke aanpak: wat er wel of niet “voldoende dicht bij 1” is, hangt af van de context en zelfs als de context vastligt, blijft het een vage uitdrukking, die geen scherpe grens suggereert. Mijn voorstel is om “voldoende dicht bij 1” te interpreteren als “niet te onderscheiden van 1” (in een gegeven context). Als je dit op een wiskundige manier doet krijg je een vage relatie, die lijkt op het afronden van kleine getallen.

Maar wacht eens even: we zijn op zoek naar een model voor rationaliteit en dan gaan we afronden… Dat is toch fout en zeker niet rationeel? Dat ligt eraan hoe je het bekijkt. Als je er rekening mee houdt dat mensen maar een eindig brein hebben, met eindige cognitieve capaciteiten, en dat ze hun beslissingen in een eindige tijd moeten nemen, vaak zelfs binnen de seconde, dan kan afronden juist wel rationeel zijn. Als er veel op het spel staat, kan het raadzaam zijn om toch iets genuanceerder te zijn en langer na te denken. Vandaar het context-afhankelijke aspect in mijn voorstel. Het staat de persoon toe om als het ware naar een fijner denkniveau over te stappen, waarin de kansen minder sterk afgerond zijn en er dus meer onderscheid gemaakt kan worden. Een kans die op een ruw niveau afgerond wordt naar 1, kan op een fijner niveau toch strikt kleiner blijken. Vandaar de naam ‘gelaagd geloof’.

Vulcans, zoals Spock, proberen hun emoties uit te sluiten en puur rationeel te zijn; toch hebben ze maar een eindig brein.Hoewel mijn model voor rationaliteit uitgaat van een realistisch element (“mensen hebben eindige cognitieve capaciteiten”), maakt dat het model nog niet volledig realistisch. Zo houdt het er geen rekening mee dat ook emoties een rol kunnen spelen bij het nemen van beslissingen, of dat mensen vatbaar zijn voor typische denkfouten als het om kansrekening gaat. Erg hoeft dit niet zijn: het doel van het model is immers niet beschrijven wat echte mensen doen, maar wat ze zouden moeten doen om rationeel te zijn (rekening houdend met bepaalde beperkingen). Wie weet beschrijft mijn model wel perfect de denkwijze van Spock en andere Vulcans…

Ook de informele gesprekken waren erg interessant. Rohit Parikh is een vermaard wiskundige, filosoof en logicus, van Indische afkomst, maar verbonden aan de Universiteit van New York. Hij was aanwezig op de lezingen van vrijdag: hij toonde veel belangstelling voor alle presentaties en zorgde voor amusante interrupties. In een gesprek op café probeerde hij me van het volgende te overtuigen: speltheorie en andere economische beslistheorieën gaan uit van een verkeerd idee. Ze nemen aan dat mensen steeds handelen uit eigenbelang. Maar mensen zijn geëvolueerd als een sociale soort. Samenwerking is de regel en eigenbelang de uitzondering. Jonge kinderen zijn al in staat in te zien dat iemand hulp nodig heeft en reageren coöperatief. Ik was niet meteen overtuigd, maar dit voorbeeld houdt wel steek: Stel dat iemand geld steelt van iemand anders, dan is dat een egoïstische daad, maar de diefstal is enkel mogelijk doordat er een maatschappij is die waarde toekent aan dat geld. Zonder de samenleving, geen dief. Als iedereen enkel egoïstisch zou zijn, zou het hele systeem vierkant draaien en zouden we het niet lang overleven. Toch bestuderen economische theorieën hoofdzakelijk egoïstische spelers, de storingen aan het oppervlak van een veel grotere onderstroom die in essentie coöperatief is.

Een mooie gedachte om aan terug te denken als je weer eens aan de kassa staat en je bankkaart bovenhaalt na een rondje winkelen zonder ook maar één directe vorm van menselijk contact. Zonder andere mensen zouden de rekken leeg zijn, het licht niet branden en de plastic kaart in je hand geen waarde hebben.

Beslissingen, spelletjes en logica

Het nemen van een beslissing onder onzekerheid vereist een rationeel omgaan met kansen.Afgelopen donderdag tot zaterdag werd er aan de Universiteit van Maastricht een congres gehouden: Decisions, Games & Logic (DGL). Het was al de vijfde keer dat deze bijeenkomst over beslis- en speltheorie en logica georganiseerd werd. Voor mij was het tweede keer, want vorig jaar in Parijs was ik er ook bij. Volgend jaar is de afspraak in München.

Het doel van deze interdisciplinaire workshop is het bij elkaar brengen van mensen die met verwante onderzoeksvragen bezig zijn, maar die toch zelden met elkaars werk in contact komen, omdat ze aan verschillende faculteiten verbonden zijn. Beslis- en speltheorie wordt typisch onderzocht binnen de economie en sociale wetenschappen. Logica kan bij het departement wiskunde horen of bij de faculteit filosofie; soms hebben beide een logica-afdeling en werken ze niet samen. De onderwerpen die op de agenda stonden zijn nauw verwant met kansrekening en ik heb dan ook veel interessante presentaties gezien.

Om elkaar beter te leren begrijpen, waren de voormiddagen voorbehouden voor telkens een mini-cursus over één van de drie vakgebieden.

Drie spelers en een aantal financiële interacties.Op donderdag gaf Andrés Perea van de Universiteit Maastricht een inleiding over speltheorie. Speltheorie gaat over situaties waarin er twee of meer spelers een beslissing moeten nemen, wetende dat de uitkomst niet enkel van hun eigen beslissing afhangt, maar ook van die van de andere spelers. (Als je de film “A beautiful mind” hebt gezien, dan weet je wellicht dat John Nash de Nobelprijs heeft gekregen voor zijn bijdragen op het gebied van speltheorie.) Elke speler probeert te redeneren over hoe de andere spelers zullen redeneren, inclusief over hoe zij redeneren over hemzelf, en zo verder… Je zou verwachten dat je al snel een onontwarbaar kluwen hebt, maar Andrés Perea wist het ons helder uit te leggen. Hij heeft net een boek geschreven over het onderwerp van epistemische speltheorie en slaagde er wonderwel in om ons de rode raad niet te doen verliezen.

Op vrijdag gaf Paul Égré van het Institut Nicod in Parijs een mini-cursus over beslissingen. Paul Égré heeft recent vooral gewerkt over vaagheid. Hij had het dan ook over hoe we beslissen bij randgevallen van vage begrippen (zoals ‘groot’ en ‘klein’). De klassieke logica werkt enkel voor scherpe begrippen, zoals “minstens 170 cm lang”, en niet voor vage uitdrukkingen, zoals “klein, maar groot voor een jockey”. Paul Égré legde ons uit hoe je de klassieke logica kunt aanpassen of een alternatieve logica kunt opstellen zodat ze ook op vage woorden toegepast kan worden. In de klassieke logica is iets waar of niet-waar, nooit beide en evenmin geen van beide. Voor een logica voor vaagheid zou je kunnen overwegen dat iets wél waar en niet-waar kan zijn, of geen beide. Ook kun je een derde waarheidswaarde introduceren (‘half waar’), of misschien wel veel meer nieuwe waarheidswaarden introduceren (fuzzy logic). Al deze suggesties moeten natuurlijk in detail worden uitgewerkt en er bestaan interessante verbanden tussen de verschillende logica’s. Van al deze aspecten en meer kregen we een degelijk overzicht.

Op zaterdag was Joseph (Joe) Halpern van de Amerikaanse Cornell University aan de beurt. De verwachtingen waren hooggespannen, want alle aanwezigen kenden zijn werk over logica en redeneren over kennis en onzekerheid: je mag gerust van een legende spreken. Geen computerpresentatie deze keer, maar een oerdegelijke uiteenzetting aan bord. Het begon heel elementair met het onderscheid tussen syntax en semantiek. Syntax is enkel de symbolische notatie zonder betekenis. “Chicken scratches” noemt Joseph Halpern dat; betekenisloze hanenpoten, zeg maar. Semantiek gaat over de betekenis die we toeschrijven aan de symbolen. Klassieke logica kan uitdrukken wat waar is en wat niet. Met behulp van modale logica kun je ook beschrijven wat iemand gelooft, wat iemand zou moeten doen, of hoe zaken veranderen in de tijd.

In de inleiding van Halpern ging het over Kripke semantiek, waarmee je kunt modelleren wat verschillende mensen wel en niet weten. Op dit punt komt de logica dicht bij speltheorie, waar het ook gaat om mensen die over gedeeltelijke informatie beschikken. Logica neemt echter een andere afslag en onderzoekt (onder meer) hoe je het beste kunt modelleren dat iemand iets (niet) weet. Dit wordt voorgesteld als een binaire relatie tussen toestanden (hoe de wereld is): het bestaan van zo’n relatie tussen twee mogelijke toestanden kun je interpreteren als dat de persoon in kwestie deze mogelijke toestanden niet kan onderscheiden. Stel de uitspraak “Het regent nu in Sjanghai” voor door het symbool p. Dan staat niet-p voor de uitspraak “Het regent nu niet in Sjanghai”. Maar ik weet helemaal niet of het nu regent in Shanghai of niet! Dit kun je voorstellen door twee mogelijke toestanden, p en niet-p, verbonden door een lijn met mijn naam erbij: die geeft aan dat ik deze toestanden niet van elkaar kan onderscheiden. Deze relatie kan verschillende wiskundige eigenschappen hebben (zo kan ze symmetrisch zijn, reflexief, transitief, of combinaties van deze). Dit wordt gemodelleerd door axioma’s toe te voegen aan de logica en de resulterende eigenschappen daarvan te onderzoeken. Ik was toch al van plan om iets meer van modale logica te leren deze zomer, dus deze inleiding kwam op een ideaal moment!

(Wordt vervolgd: volgende keer een korte samenvatting van mijn eigen praatje en een inspirerend cafégesprek.)

Vrouwen tellen mee

Ingrid Duabechies: befaamd wiskundige, vrouw en van Limburgse origine.Dit is mijn vierde en laatste post over de zomerschool van vorige week. Vorige keer doken we de geschiedenis in, maar de vraag van vandaag is: hoe staat de situatie er in onze tijd voor? Toen ik aan mijn opleiding Fysica begon, verbaasde het me helemaal niet dat meisjes een minderheid vormden in deze richting. Wat me wél verbaasde was dat de situatie bij Wiskunde omgekeerd was: er waren maar twee jongens in een groep van zo’n twintig eerstejaars. Nu kun je je met kleine aantallen aan grote fluctuaties verwachten, maar de daaropvolgende jaren herhaalde zich een vast patroon: 10% vrouwen bij Fysica, 10 à 20% mannen bij Wiskunde. Fysica mag dan een groter recruteringsprobleem hebben onder vrouwen, Wiskunde raakt ze onderweg kwijt. Dat ‘leaky pipeline‘-fenomeen is misschien nog erger: dan zit je daar met een lokaal vol vrouwen die graag wiskunde willen doen en dan lopen ze alsnog weg… Het kan natuurlijk best dat vele studentes aan een opleiding Wiskunde beginnen met het idee om in het onderwijs te gaan, maar dan nog zou je verwachten dat een aantal jaar aan de universiteit een groter aantal onder hen zou aansporen om in het onderzoek verder te gaan. Toch gebeurt dat zelden. En daarom zijn er organisaties zoals European Women in Mathematics (EWM) nodig om zich in te spannen hier wat aan te veranderen.

Overigens speelt het ‘leaky pipeline‘-fenomeen vrouwen in alle faculteiten parten: onderstaande grafiek, gebaseerd op het Nederlandse rapport ‘Monitor vrouwelijke hoogleraren 2009‘ (p. 8), gaat over alle universitaire richtingen, niet enkel de exacte vakken. Deze grafiek wordt ook wel een ‘schaardiagram’ genoemd: er studeren aanvankelijk ongeveer evenveel vrouwen als mannen af (scharnier van de schaar), maar in de verdere carrière lopen de percentages mannen en vrouwen steeds verder uiteen (messen van de schaar).

Schaardiagram

Deze grafiek toont het ‘leaky pipeline’-fenomeen: hoewel er iets meer vrouwen dan mannen afstuderen, daalt hun procentuele aanwezigheid bij elke volgende carrièrestap. De grafiek is gebaseerd op Nederlandse gegevens uit 2008.

Hoe verder je teruggaat in de tijd, hoe minder voorbeelden er te vinden zijn van bekende vrouwen in de harde wetenschappen. Lange tijd waren vrouwen niet welkom aan de universiteit (daarover méér in de vorige post), dus dan is het te begrijpen dat ze ook geen doorbraken konden forceren in universitaire disciplines. Tegenwoordig echter staat het iedereen vrij om te studeren wat hij of zij wil en toch zijn er verhoudingsgewijs nog steeds weinig uitblinkers in de exacte vakken. Ontstaat deze wanverhouding door een verschil in aangeboren mentale capaciteiten tussen mannen en vrouwen? Is er een glazen plafond? Of is er nog iets anders aan de hand?

(meer…)

Wiskundevrouwen in de achttiende eeuw

Émilie du Châtelet koos zelf voor wiskunde.Op de zomerschool van vorige week (zie eerder: 1 en 2) waren er lezingen over de geschiedenis van de wiskunde, waaruit bleek dat er ook vroeger meer vrouwen aan wiskunde deden dan je misschien zou verwachten. Vóór de negentiende eeuw was wiskunde nog niet geïnstitutionaliseerd (aan de universiteiten en academies) en het vakgebied was nog niet duidelijk onderverdeeld in deelgebieden (zoals we nu calculus, algebra en meetkunde hebben).

Jeanne Peiffer vertelde ons over situatie tijdens de de Verlichting. In de achtiende eeuw (jaren 1700) waren er twee manieren om als vrouw in de wiskunde te belanden. De eerste berustte op het humanistische ideaal van de ‘puella docta’ (geleerde maagd): meisjes uit rijke families werden onderwezen door hun vader of door privé-leraars. Als ze aanleg hadden voor wiskunde, werden ze extra gestimuleerd en als wonderkind opgevoerd: hier kwamen reizigers op af. Een voorbeeld is Maria Gaetana Agnesi. Er is een verslag van een bezoeker, Charles de Brosses, die het meisje een vraag mocht stellen. Hij stelde een vraag over wiskunde, waarop de negenjarige Maria dan een uitgesponnen antwoord gaf. Dit alles natuurlijk in het Latijn.

Ook de tweede manier om als vrouw aan wiskunde te doen was enkel weggelegd voor de hogere kringen. Veel van deze vrouwen deden aan handwerk, maar het stond hen vrij een ander tijdverdrijf te kiezen, ook wiskunde. Een voorbeeld hiervan is Émilie du Châtelet. Ze was een rijke aristocrate die zelf besliste dat ze wiskunde wilde leren en contact hield met heel wat bekende wiskundigen uit haar tijd: Maupertuis, König, één van de Bernouilli’s uit Basel en Voltaire (met wie ze een affaire had).

Wiskunde was een collectieve onderneming, waarin communicatie een belangrijke rol speelde. Hoewel dit nog steeds zo is, is dit niet altijd duidelijk van buitenaf. De manier waarop wiskunde en wetenschappen doorgaans worden onderwezen is erg gericht op de resultaten (stellingen en natuurwetten) en geeft nauwelijks inzicht in het proces waarmee die resultaten behaald zijn: het belang van samenwerking, of op zijn minst communicatie, wordt niet duidelijk. Het feit dat deze resultaten überhaupt door mensen werden ontwikkeld (die ook geregeld fouten maakten in hun zoektocht naar een wiskundig bewijs of een algemene natuurwet) blijft onderbelicht.

Vrouwen en astronomie is een prima combinatie.Dit collectieve aspect is ook bijzonder duidelijk in de achtiende eeuwse astronomie: vrouwen en dochters namen deel aan de waarnemingen en berekeningen, hetgeen duidelijk blijkt uit hun notities. Het gezin was (net als de maatschappij) een hiërarchische structuur, waarbij sociale klasse, leeftijd en geslacht iemands rang bepaalden. Rijke oudere mannen stonden helemaal bovenaan in die rangorde, maar hun vrouwen stonden slechts één stapje lager. Maria Margarethe Winckelmann had thuis een gedegen opleiding gekregen en leerde astronomie van een boer die ook astronomische waarnemingen deed. Ze werkte een tijdje bij hem en leerde vervolgens Gottfried Kirch kennen, wiskundige en astronoom, met wie ze later trouwde. Het gezin kwam aan de kost met de verkoop van kalenders. Het hele gezin was betrokken bij de waarnemingen en berekeningen die daarvoor nodig waren: Gottfried en Maria, maar ook hun zoon (Christfried) en beide dochters (Christine en Maria). Van een andere astronoom uit die tijd, Clairaut, is bekend dat hij zes maanden nodig had om de terugkeer van komeet Haley te berekenen en dat daarbij zelfs de kok en bezoekers gevraagd werd om een beetje mee te rekenen.

(meer…)

Witte raven bij de kapper

Ada Lovelace was wiskundige en ze ontwikkelde het eerste computerprogramma... in 1843.De zomerschool in Leiden waar ik deze week aan deelneem, is de vierde European Women in Mathematics zomerschool. Het is een week vol lezingen over wiskunde, waarbij een grote meerderheid van de sprekers en deelnemers vrouwen zijn. En ja, dit is binnen de wiskunde eerder ongewoon. Noem maar eens een bekende wiskundige (of fysicus, informaticus of ingenieur): de kans is groot dat je vooral mannelijke voorbeelden kent.

Beroemde wiskunde-vrouwen, ze bestaan natuurlijk wel. Op de affiche voor de zomerschool prijkt zo’n witte raaf, wiskundige Ada Lovelace, zoals ze werd geschilderd in 1838. Zij schreef het eerste computerprogramma: ze werkte samen met Babbage die in die tijd een analytische machine ontwikkelde, de voorloper van de moderne computer. De computertaal ADA is ook naar haar vernoemd. Leuk detail: Ada was de dochter van Lord Byron, die echter kort na Ada’s geboorte van haar moeder scheidde. Haar moeder zorgde ervoor dat Ada’s privéleraren haar vooral onderwezen in wiskunde en natuurwetenschappen, in de hoop zo te voorkomen dat Ada, net als haar vader, dichter werd.

Terug naar het heden. De lezingen op de zomerschool gaan over diverse thema’s: logica, geometrie en geschiedenis van de wiskunde. Er zijn ook sessies waarin we als deelnemers zelf aan de slag moeten. Omdat het bij de geschiedenissessie over de ontwikkeling van de calculus gaat (zeventiende eeuw), heb ik voor die sessie gekozen. Samen met een collega lezen we twee teksten van Newton. Terwijl bij Leibniz het concept ‘infinitesimaal‘ centraal staat, schrijft Newton vooral in termen van ‘fluxionen’: afgeleiden van veranderlijke grootheden naar de tijd. Het is nog best lastig om de originele teksten te lezen! (We lezen weliswaar de Engelse, niet de Latijnse versie.) Hoewel afgeleiden tegenwoordig worden genoteerd als \frac{dx(t)}{dt} , wordt er in de fysica ook nog vaak gebruik gemaakt van Newtons punt-notatie, dus \dot{x}. Om het Newton nu ook eens zelf te zien doen (bij wijze van spreken dan), is heel interessant voor een natuurkundige.

Wiskunde is geen populair onderwerp in de gemiddelde kapperszaak.Maar misschien wil je liever weten waarover er gepraat wordt tijdens de koffiepauze op een congres met hoofdzakelijk wiskunde-vrouwen? Over naar de kapper gaan! Dit bezorgt  wiskundigen blijkbaar -euhm- kopzorgen. Als de kapper vraagt “Wat doe je voor werk?”, dan volgt op het antwoord dat je wiskundige bent doorgaans een ongemakkelijk stilte. Creatieve oplossingen hiervoor zijn: doen alsof je de vraag niet verstaan hebt (door op een andere, niet gestelde, vraag te antwoorden), liegen, of een kapper zoeken die de taal niet goed spreekt.

(meer…)