Tag Archief: Doornroosje

Wolkenatlas en brieven aan Doornroosje

Boeken in het hoofd.Bij het begin van een nieuw jaar maken sommige mensen goede voornemens. Anderen kijken uit naar de boeken die ze in 2014 allemaal gaan lezen – Lilith van “Tussen droom en daad” is zo iemand. Zoals ik daar al vertelde in een reactie is het lezen bij mij de laatste jaren sterk afgenomen. (Of ja, ik lees natuurlijk veel voor mijn onderzoek, maar juist omdat ik overdag zo veel informatie moet verwerken, heb ik het moeilijk om ’s avonds rustig te lezen en helemaal op te gaan in een verhaal.)

Vroeger was het anders. Toen had ik een boekenwensboekje: een notitieschrift met daarin alle boeken die ik wou hebben. Ik plakte er recensies in uit tijdschriften of schreef titels op van boeken die ik juist wel al had. Dat was handig om bij me te hebben als ik aan het snuisteren ging in een winkel voor tweedehandsboeken (lees: in de zomer met de trein naar Antwerpen gaan en dan uren in De Slegte doorbrengen), want op den duur wist ik niet meer precies welke boeken van Asimov ik enkel uit de bibliotheek had geleend en welke ik al eens eerder voor een schijntje op de kop had kunnen tikken.

In mijn boekenwensboekje stond er een titel die ik nooit gevonden heb: “Skyscapes“, een salontafelboek met foto’s van de lucht, want wolken zijn inspirerend mooi. (Het is trouwens werk van de Duitse fotograaf Jean Odermatt en de Duitstalige versie van het boek heet “Himmelsland“.)

Cloud Atlas.Mede hierdoor sprak de titel “Cloud Atlas” me meteen aan en toen ik deze roman van David Mitchell (uit 2004) in de winkel opensloeg, leek het me een boek dat ik graag zou lezen. Ik kocht het en begon eraan, maar ik raakte slechts een paar pagina’s ver. Dat is niet erg: boeken zijn geduldig en staan probleemloos jaren op de plank.

Enkele jaren later zag ik “Wolkenatlas”, een vertaling van “Cloud Atlas“. Misschien zou het in het Nederlands beter vlotten, dacht ik. Het boek kopen deed ik wel, maar erin beginnen lezen niet.

Toen kwam de film uit (in 2012) en die hebben Danny en ik ergens midden 2013 bekeken. Daarna was ik er klaar voor: ik las “Wolkenatlas” (geen goede vertaling volgens mij, maar het lijkt me ook een moeilijk boek om goed te vertalen) en mijn lief las “Cloud Atlas“.

Ik wil de laatste twee zinnen met jullie delen (geen zorgen, het verpest niets als je het boek nog wil lezen of de film nog wil bekijken):

“‘[…] & only as you gasp your dying breath will you understand, your life amounted to no more than one drop in a limitless ocean!

Yet what is any ocean but a multitude of drops?

En in de Nederlandse vertaling wordt dit:

“[…] & pas bij het uitblazen van je laatste ademtocht zul je begrijpen dat je leven alles bijeen niet meer is geweest dan een druppel in een eindeloze oceaan!

Maar, wat is een oceaan anders dan een massa druppels?”

Eentje is nooit geentje, dat zei ik toch al! :-)

De eekhoorn schrijft een brief aan zijn vriend, de mier.Bij Lilith staat ook “Brieven aan Doornroosje” van Toon Tellegen op het literaire jaarmenu. Dat ik van het werk van Toon Tellegen hou, dat kon je al vermoeden. En dat ik Doornroosje een interessant personage vind, dat weet je ook. Het zal je dan wellicht niet verbazen dat “Brieven aan Doornroosje” mijn favoriete bundel van Tellegen is.

In 2007 had ik nog geen blog. Anders had ik dit zeker even gemeld: ik ben met mijn lief Danny naar een voordracht geweest van “Brieven aan Doornroosje”. De voorstelling vond plaats in Huis Vanstraelen in Hasselt. Doornroosje van dienst was Rebecca Stradiot: zij las enkele brieven voor (mijn dictie-hart jubelde) en wisselde af met accordeonintermezzo’s, die wonderwel bij de sfeer pasten van een prins die slechts tergend langzaam opschiet. Het zelfbeklag van de prins (uit de brief van “23 juli”) bleek een echte oorwurm: het “allerallerarmste ik” zit tot op heden – zeven jaar later dus, hè – nog vaak in mijn hoofd!

Daarna gaf Danny me “Brieven aan Doornroosje” cadeau en sindsdien verhuist deze bundel geregeld tussen de boekenkast en het nachtkastje. Ik vind het een heel origineel concept én perfect uitgevoerd, dus ik wil het eigenlijk nooit helemaal uitgelezen hebben en daarom lees ik er maar heel zuinig in.

Ook in 2008 had ik nog geen blog. Anders had ik dit toen wel verteld: op maandagavond 8 september 2008 gingen we naar een voorstelling op de universitaire campus in Enschede (waar Danny toen nog werkte). Op het programma stond “Het Wisselend Toonkwintet”, waarbij Toon Tellegen dierenverhalen en gedichten voorlas onder muzikale begeleiding. Hoewel de soundscape me soms eerder stoorde dan dat hij iets toevoegde, zaten er ook wel leuke vondsten in. Het was dus een heerlijke luisteravond in het Amphitheater van het Vrijhof.

Toon Tellegen en Het Wisselend Toonkwintet.

Toon Tellegen en Het Wisselend Toonkwintet in Enschede (september 2008).

Op het einde van mijn zwangerschap las ik ’s avonds soms een dierenverhaaltje voor uit “Misschien wisten zij alles”, in de hoop dat mijn zoontje mijn stem zo beter zou herkennen. Op dit moment heeft ons kleintje voorkeur voor prenten- en flapjesboeken, maar hopelijk kunnen de korte verhaaltjes van Tellegen snel weer in het repertoire opgenomen worden. ;-)

Optische illusie met de Schone Slaapster

Je hebt vast al voorbeelden gezien van onopzettelijke optische illusies. Op het internet doen dit soort afbeeldingen het altijd goed. Een bekend voorbeeld (dat begin 2012 de ronde deed) is onderstaande foto van een koppel dat samen de krant leest en waarvan het niet meteen duidelijk is wie zijn armen om wie heeft geslagen.

Onopzettelijke optische illusie.

Onopzettelijke optische illusie. (Bron afbeelding: op reddit en op imgur.)

Hier moest ik aan denken toen ik samen met mijn zoontje in een oude Disney-omnibus zat te bladeren: ik heb het laatste plaatje bij het sprookje van “De Schone Slaapster” altijd vreemd gevonden en nu zie ik pas waarom! Ik heb dat plaatje ingescand en er een Engelstalige beschrijving naast geplakt.

Optische illusie in Disney-versie van de Schone Slaapster.

Optische illusie in Disney-versie van het klassieke sprookje “De Schone Slaapster”. De koning kijkt verbaasd als zijn dochter, Doornroosje, haar moeder, de koningin, omarmt. (Op basis van een scan uit een Nederlandstalige Disney-omnibus uit 1973.)

Zo, deze oude tekening is helemaal klaar om het internet te veroveren. ;-)

Aanvulling (januari 2014):

Nog een illusie in dit genre.

De paradox van de Schone Slaapster (deel 3)

Doornroosje in de versie van Disney.In dit bericht schrijf ik verder aan mijn mini-serie over de paradox van de Schone Slaapster (deel 1, deel 2). In dit deel zet ik het verband met de doosjes-paradox van Bertrand in de verf.

Als opfrissing herhaal ik eerst de originele doosjes-paradox. Daarna introduceer ik twee varianten erop en leg ik uit hoe die samenhangen met de paradox van de Schone Slaapster.

 

De originele doosjes-paradox: drie doosjes

[important]

Er zijn drie doosjes met in elk ervan twee munten: eentje met twee zilveren munten, eentje met een gouden en een zilveren munt en eentje met twee gouden munten.

Je neemt een willekeurig doosje en daaruit neem je een willekeurige munt. Dit blijkt een gouden munt te zijn.

De vraag is: wat is nu de kans dat de andere munt ook goud is?

[/important]

Je kunt twee antwoorden beargumenteren (1/3 en 2/3), maar er is er maar eentje juist (2/3). Lees mijn eerdere bericht hierover als je de juiste redenering niet (meer) weet.

Dit lijkt al vaag op de paradox van de Schone Slaapster, maar om het verband nog duidelijker te maken, heb ik een variant van de doosjes-paradox bedacht.

Eerste variant van de doosjes-paradox: twee doosjes

[important]

Er zijn nu slechts twee doosjes met in elk ervan twee munten: eentje bevat twee gouden munten en eentje bevat een gouden en een zilveren munt.

Je neemt een willekeurig doosje en daaruit neem je een willekeurige munt. Dit blijkt een gouden munt te zijn.

De vraag is: wat is nu de kans dat de andere munt niet van goud is?

[/important]

Je kunt twee antwoorden beargumenteren (1/2 en 1/3), maar er is er maar eentje juist (1/3).

Hierbij zijn de concurrerende opties hetzelfde als bij de paradox van de Schone Slaapster en ook het juiste antwoord is hetzelfde.

Volgens sommige auteurs gaat de paradox van de Schone Slaapster essentieel om ‘de se‘ geloofsovertuigingen: graden van geloof die betrekking hebben op de persoon zelf. In mijn vorige post ging ik ook deze kant op, toen ik uitlegde dat de situatie voor de heks fundamenteel anders is dan die voor de Schone Slaapster. (De heks kan terecht zeggen “Doornroosje slaapt”, maar Doornroosje kan nooit naar waarheid zeggen “Ik slaap”.)

Aangezien de structuur van bovenstaande twee-doosjes-puzzel volledig analoog is aan die van de Schone Slaapster, zou je kunnen zeggen dat die laatste paradox toch niet essentieel over de se overtuigingen gaat.

Als Doornroosje maar beseft dat ze nooit kan vaststellen “Ik slaap”, dan heeft ze de sleutel tot de oplossing van haar paradox in handen. Stel dat we afspreken dat goud staat voor “Doornroosje is wakker” en dat zilver staat voor “Doornroosje slaapt”, dan verandert dat op zich niets aan de uitkomsten van de puzzel – zelfs niet als je Doornroosje heet. Ook als je weet dat het experiment vroegtijdig wordt afgebroken als de eerste munt een zilveren munt blijkt te zijn (en je deze dus nooit bij aanvang te zien kunt krijgen), verandert dat niets aan het antwoord op bovenstaande vraag, die immers enkel van toepassing is als de eerste munt goud is.

Tweede variant van de doosjes-paradox: de ontbrekende munt

[important]

Er zijn opnieuw twee doosjes: eentje met twee munten erin en eentje met slechts één munt erin.

Je neemt een willekeurig doosje en daaruit neem je een willekeurige munt.

De vraag is: wat is nu de kans dat er geen tweede munt in het doosje zit?

[/important]

Opnieuw kun je twee antwoorden beargumenteren (1/2 en 1/3), maar er is er maar eentje juist (1/2).

Deze puzzel lijkt analoog aan de paradox van de Schone Slaapster, maar is het niet.

Deze tweede variant zal koren op de molen zijn van mensen die nog steeds denken dat het antwoord op de Schone Slaapster paradox ook 1/2 is. Dus, oeps, waarom schrijf ik dit eigenlijk op?! Ah ja, om te proberen uitleggen waarom dit zowel plausibel lijkt als fout is. :-)

• Eerst waarom het zo plausibel lijkt:

De schijnbare analogie komt door de gelijkenis tussen de afwezigheid van een tweede munt enerzijds en de afwezigheid van zelfbewustzijn bij het slapende Doornroosje anderzijds.

• En nu waar het mis gaat:

Om deze tweede variant correct aan de paradox van de Schone Slaapster te linken, moet je echter een andere vraagstelling hebben: je hebt twee gouden munten en één zilveren munt, waarvan je een willekeurige munt neemt. Wat is dan de kans dat het een zilveren munt is? Het antwoord is dan opnieuw 1/3, net als bij de ‘paradox’ van de Schone Slaapster.

Waarom dit de juiste werkwijze is als je maar drie munten hebt: (her-)lees daarvoor de uitleg over de gereduceerde kansruimte in mijn vorige bericht (zie met name Figuur 1 en Figuur 3).

Zolang je vier munten hebt – drie gouden die overeenkomen met waken en één zilveren die overeenstemt met slapen – zit je niet in de gereduceerde kansruimte. Je kunt trouwens ook in beide doosjes 46 extra zilveren munten stoppen. De relevante kans – namelijk de kans dat er niet nog een gouden munt in het doosje zit, gegeven dat je er al één gouden uit hebt getrokken – blijft daarbij gelijk. De analogie met de niet-gereduceerde kansruimte (in Figuur 2 bij mijn vorige bericht) is daarmee compleet.

Dus, de moraal van dit verhaal is: slapen is zilver en waken is goud. Carpe noctem! :-)

Wordt verwacht: vierde en laatste deel van deze reeks, over de oorsprong van deze inspirerende paradox.

De paradox van de Schone Slaapster (deel 2)

Doornroosje in de versie van Disney.Een tijd geleden had ik het over de paradox van de Schone Slaapster, een probleem over rationele graden van geloof. Ik had toen beloofd om een vervolg te schrijven. Dat heeft even op zich laten wachten, maar hier is het dan toch!

Uit het eerste deel herhaal ik de opgave:

[important]

De Schone Slaapster zal weldra in slaap worden gebracht door een heks. Het meisje zal daarna twee dagen slapen. In die tijd zal de heks haar voor één of twee korte perioden wekken. Zodra Doornroosje slaapt, zal de heks namelijk een eerlijk muntstuk opgooien: als het kop is, wekt ze het meisje één keer; als het munt is, doet ze dit twee keer. Na zo’n wekmoment dient de heks een gif toe aan Doornroosje, waardoor die zich niet zal kunnen herinneren dat ze wakker is geweest. De Schone Slaapster is zelf ook op de hoogte van wat er gaat gebeuren.

Stel nu dat de Schone Slaapster juist gewekt is. Ze kan nergens uit afleiden of dit de eerste of de tweede maal is. Wat is nu de kans die de Schone Slaapster moet toekennen aan de mogelijkheid dat de muntworp in kop is geëindigd?

[/important]

Dit probleem wordt vaak uitgelegd aan de hand van een tabel (bijvoorbeeld hier en hier), waarvan ik in Figuur 1 mijn eigen versie weergeef. Deze tabel is zeker een nuttig geheugensteuntje: je ziet in één oogopslag dat Doornroosje twee keer gewekt zal worden als de muntworp in munt eindigt en één keer als het kop is.

De paradox van de Schone Slaapster.

Figuur 1: De paradox van de Schone Slaapster wordt vaak uitgelegd aan de hand van een 2×2 tabel.

Toch kun je je afvragen of deze voorstelling niet misleidend is: wiskundig gezien gebeurt kansrekening immers niet aan de hand van tabellen, maar door het opstellen van een kansruimte of uitkomstenruimte. (De puzzel gaat weliswaar over Doornroosjes graden van geloof, maar om rationeel te zijn, zo stellen Bayesianen voorop, moeten deze graden van geloof wél aan de wetten van de kansrekening voldoen. Een wiskundige aanpak is hier dus zeker op zijn plaats.)

Goed, laten we eens de volledige kansruimte opstellen en nagaan hoe die zich verhoudt tot de tabel in Figuur 1.

De muntworp kan kop of munt zijn en dit met gelijke (absolute) kansen: de kansruimte zal dus alvast uit deze twee delen bestaan.

In beide gevallen zal Doornroosje hoofdzakelijk slapen en slechts één of twee keer kort gewekt worden. Elke dag bestaat uit 24 uur. Laat ons aannemen (*) dat Doornroosje telkens als ze gewekt is precies een uur wakker is. Als het munt is, heeft Doornroosje dus een kans van 2/48 om wakker te zijn op een gegeven uur in de loop van de twee dagen dat haar toverslaap duurt. Als het munt is, is die kans 1/48. En globaal gesproken (los van de uitkomst van de muntworp) is de a priori kans om op een zeker uur wakker te zijn 3/96.

Toelichting bij (*): Hoewel ik een wiskundig model wil opstellen, betekent dit niet dat er maar één unieke manier is om dit te doen. Wel verwacht ik dat uit elk correct opgesteld model dezelfde conclusies volgen over wat de kans is die Doornroosje moet toekennen aan de mogelijkheid dat de muntworp kop was op het moment dat zij gewekt wordt. De bovenstaande keuze (dat de waakmomenten exact een uur duren), zal inderdaad van geen enkel belang blijken te zijn bij het berekenen van de uiteindelijke kans. (Ik had ook minuten kunnen kiezen, maar dan werden de vakjes in mijn figuur te klein.)

Dit leidt tot de kansruimte in Figuur 2: hierin zie je elke mogelijke combinatie van munt of kop, met elk uur van de twee dagen, waarin Doornroosje slaapt of wakker is.

De kansruimte voor het probleem van de Schone Slaapster.

Figuur 2: De volledige kansruimte voor het probleem van de Schone Slaapster. De exacte positie van de vakjes waarin Doornroosje wakker is, doet er niet toe – enkel dat het er links twee zijn en rechts één. Als je aanneemt dat de heks Doornroosje op welbepaald uur wekt, volstaat dit. Als je aanneemt dat de heks Doornroosje op een willekeurig moment wekt, moet je eigenlijk nog veel meer roosters toevoegen aan de kansruimte, om alle mogelijke wekmomenten voor te stellen, maar voor de uiteindelijke berekening maakt dat geen verschil.

Wanneer Doornroosje in de loop van die twee dagen wakker is, weet ze al dat ze niet slaapt. (Deze mededeling werd mede mogelijk gemaakt door Kapitein Overduidelijk.) Ze mag daarom al 95 vakjes uit de uitkomstenruimte schrappen: ze conditionaliseert daarmee op het feit dat ze wakker is. Dit leidt haar naar de gereduceerde kansruimte in Figuur 3.

De lege ruimte tussen de vakjes bevat nu geen mogelijke uitkomsten meer; die zijn geschrapt tijdens het conditionaliseren. Doornroosje kan dus in de plaats van Figuur 3 net zo goed Figuur 1 gebruiken om de gevraagde kans te bepalen. Het voordeel aan Figuur 3 is enkel dat het duidelijker is wat de link is met de grotere kansruimte in Figuur 2 (namelijk dat je via conditionaliseren van 2 naar 3 kunt overgaan).

Doornroosje weet niet of de muntworp munt of kop was en ook niet welke dag het is. Ze kan zich dus in eender welk van de drie mogelijkheden van de gereduceerde kansruimte bevinden en al deze mogelijkheden hebben bovendien dezelfde kans. (Dat moet je eigenlijk apart beargumenteren, want als deze stap niet klopt loop je het risico op een Bertrand-paradox, maar dat sla ik hier voor het gemak even over.) Binnen deze gereduceerde ruimte is de kans 1/3 dat de muntworp kop was.

Maar deze kans kun je ook rechtstreeks aflezen aan de hand van Figuur 2. Binnen de oorspronkelijke kansruimte is het bovendien gemakkelijker om in te zien dat de drie mogelijkheden waarbij Doornroosje wakker is, inderdaad elk een gelijke kans hebben.

Er is geen tegenspraak tussen een absolute kans P( kop ) = 1/2 en een voorwaardelijke kans van P( het was kop | Doornroosje is wakker) = 1/3 (waarbij je de verticale streep leest als “gegeven dat”). In de opgave wordt naar de tweede, voorwaardelijke kans gevraagd.

De kansruimte voor het probleem van de Schone Slaapster, gereduceerd.

Figuur 3: De kansruimte voor het probleem van de Schone Slaapster, gereduceerd tot de mogelijkheden waarbij Doornroosje wakker is.

Je kunt dit duidelijker maken door het oorspronkelijke probleem te vereenvoudigen: als het munt is wordt Doornroosje één keer gewekt, als het kop is helemaal niet. En je kunt dit nóg duidelijker maken door het scenario iets wreder te maken: als het munt is blijft Doornroosje leven, als het kop is doodt de heks haar. Het zou dan glashelder moeten zijn dat na de worp geldt dat P( het was munt | Doornroosje leeft) = 1 en P( het was kop | Doornroosje leeft) = 0, maar dat dit niet in tegenspraak is met P( munt ) = P( kop ) = 1/2.

De heks uit Doornroosje in de versie van Disney.Merk op dat de heks zich in een andere situatie bevindt dan Doornroosje: zij weet natuurlijk of de muntworp in kop of munt geëindigd is, maar zelfs als ze dit zou vergeten (bijvoorbeeld doordat ze per ongeluk een slokje van haar eigen toverdrank neemt) blijft de situatie voor haar overzichtelijker. Voor haar is de kansruimte van Figuur 2 het meest relevant. De heks kan Doornroosje immers altijd zien, zowal als het meisje slaapt als wanneer ze wakker is. Stel dat de heks op een willekeurig uur gaat kijken of het meisje wakker is. De kans is dan het grootste dat ze Doornroosje zal zien slapen (93/96 kans dat ze slaapt en slechts 3/96 dat ze wakker is), maar de kans dat ze slaapt is toch nog net iets groter als het kop was (47/48) dan als het munt was (46/48). De heks kan dus zelfs uit het slapen van Doornroosje (een klein beetje) informatie halen, hetgeen Doornroosje zelf niet kan.

Als de heks Doornroosje wakker aantreft, weet ze – aan de hand van Figuur 2 – dat de kans dat het kop was (1/96) / (3/96) = 1/3 is.

Daarom stel ik me voor dat de heks als volgt zou reageren op de verwarring, die in de filosofische literatuur nog steeds heerst omtrent deze puzzel:

Fools!

De heks Malafide roept: “Dwazen!’

Zo, en nu ben ik nog steeds niet helemaal uitverteld over deze paradox! Misschien komt er nog een derde deel (waarin ik de link met de Bertrand-paradox nader toelicht) en wie weet zelfs een vierde deel (over de oorsprong van de paradox), maar beloven durf ik het deze keer niet. Bepaal dus zelf welke graad van geloof je hieraan wenst te hechten. :-)

De paradox van de Schone Slaapster (deel 1)

Doornroosje in de versie van Disney.Jullie kennen vast het sprookje van de Schone Slaapster (“La belle au boi dormant” in de versie van Perrault), ook bekend als Doornroosje (“Dornröschen” in de versie van de gebroeders Grimm). Maar kennen jullie ook de paradox van de Schone Slaapster? De Sleeping Beauty paradox is een probleem uit de filosofie van de kansrekening. Ik heb nu twee jaar na elkaar een vak gegeven dat “Philosophy of Probability” heet. Studenten moeten hier elk vier essays voor schrijven. Ze krijgen een lijst met mogelijke essayvragen en daarnaast mogen ze ook zelf onderwerpen voorstellen. Vorige keer schreef ik al dat de studenten heel uiteenlopende onderwerpen kiezen. Op deze regel is er één uitzondering: bij de derde opdracht staat de paradox van de Schone Slaapster namelijk ook op de lijst en dat is veruit het populairste onderwerp. Hoog tijd dus voor een kennismaking.

[important]

De Schone Slaapster zal weldra in slaap worden gebracht door een heks. Het meisje zal daarna twee dagen slapen. In die tijd zal de heks haar voor één of twee korte perioden wekken. Zodra Doornroosje slaapt, zal de heks namelijk een eerlijk muntstuk opgooien: als het kop is, wekt ze het meisje één keer; als het munt is, doet ze dit twee keer. Na zo’n wekmoment dient de heks een gif toe aan Doornroosje, waardoor die zich niet zal kunnen herinneren dat ze wakker is geweest. De Schone Slaapster is zelf ook op de hoogte van wat er gaat gebeuren.

Stel nu dat de Schone Slaapster juist gewekt is. Ze kan nergens uit afleiden of dit de eerste of de tweede maal is. Wat is nu de kans die de Schone Slaapster moet toekennen aan de mogelijkheid dat de muntworp in kop is geëindigd?

[/important]

De heks uit Doornroosje in de versie van Disney.Laat me nog even toelichten dat deze puzzel van de Schone Slaapster optreedt in de context van een bepaalde interpretatie van kansen: namelijk kansen als “rationele graden van geloof”. De vraag komt dus hierop neer: in welke mate mag de Schone Slaapster – op het moment dat zij gewekt wordt – geloven dat de muntworp kop is geworden? Wat is er rationeel om te geloven voor iemand in haar situatie?

Denk gerust even na over je eigen antwoord en lees dan verder na de vouw.

 

(meer…)