Tag Archief: infinitesimaal

Vraag van Mark: over pi en infinitesimale kansen

In reactie op mijn eerste brief aan Daan dwarrelde er nog een fijne vraag mijn inbox binnen, van een zekere Mark Mark Iske, bewoner van deze wonderlijke blogplek, met daarop zowel poëzie als patafysica (!) [aangevuld op 18/09]. Met zijn toestemming plaats ik zijn vraag en mijn antwoord ook weer op mijn blog. (Sorry, Daan, jouw tweede brief komt er ook aan, hoor!)

Marks vraag komt hierop neer:

Als de kans op een cijferherhaling in pi gelijk is aan 1/10 dan is het in theorie mogelijk dat ergens in de decimale ontwikkeling van pi het cijfer 1 wordt gevolgd door nog een 1, en nog 1, en nog 1, en nog 1, en nog 1, enz en zo aftelbaar oneindig door. Als ik je concept van infinitisimale kansen goed begrijp, is de kans op die oneindige reeks enen niet nul maar infinitisimiaal klein, en dus niet onmogelijk.
Als de getallenreeks waar pi uit is opgebouwd oneindig is, zou je verwachten dat ergens in pi die oneindige reeks van 1-en te vinden is, die uiteraard ergens in pi een beginpunt heeft, maar geen eindpunt. Maar je zou dezelfde redenering kunnen opbouwen rond een oneindige reeks 2-en (en ook 3-en, 4-en, enzoverder). Maar waar bevinden die reeksen zich dan, als de reeks 1-enen al oneindig lang doorgaat?

Voor ik deze vraag kan beantwoorden, moet ik eerst wat van de impliciete aannames rechtzetten.

Over normale en rationale getallen

Pi.(1) Het is niet bewezen dat pi een zogenaamd “normaal getal” is. (Zie ook hier) Normale getallen zijn getallen waarvoor inderdaad geldt dat alle cijfers en combinaties ervan even vaak komen in de decimale voorstelling ervan (en idem voor binaire of andere voorstellingen van het getal!).

Er wordt algemeen weliswaar aangenomen dat pi ook een normaal getal is, maar hier is geen bewijs voor. Het zou in principe dus kunnen dat er vanaf een bepaald punt in de decimale expansie van pi bijvoorbeeld nooit meer het cijfer 8 voorkomt.

(2) Nu denk je misschien dat het dan ook mogelijk is dat er vanaf een bepaald moment enkel nog 1-en voorkomen in de expansie van pi, maar dat is niet zo. Het is namelijk wél bewezen dat pi een irrationaal getal is. (Zie ook hier) Een getal waarbij vanaf een zeker punt in de decimale expansie enkel nog dezelfde eindige rij getallen wordt herhaald (bijvoorbeeld 1111111…) kan geschreven worden als een breuk (volgens dit recept) en is dus geen irrationaal getal. Maar pi is wél een irrationaal getal, wat betekent dat de decimale expansie dus niet zo’n herhaling kan bevatten.

Nu kan ik komen tot wat Mark wellicht echt bedoelde met zijn vraag:

(meer…)

Interview – deel 1/3

Bij het Hoger Instituut voor Wijsbegeerte aan de KU Leuven is het gebruikelijk dat professoren in het jaar van hun aanstelling worden geïnterviewd. Dit interview wordt meestal afgenomen door een doctoraatsstudent uit de groep, in mijn geval door Pieter Thyssen. De tekst verschijnt in een intern tijdschrift (“Mededelingen”), maar ik laat jullie hier ook meelezen.

Omdat het een lange tekst is geworden, publiceer ik het interview in drie delen. Het eerste deel gaat over de herkomst van mijn interesse voor fysica en filosofie en over mijn onderzoek in de voorgaande jaren.

~

Dag Sylvia. Terwijl het grote merendeel van de studenten tegenwoordig rechten, industriële of handelswetenschappen gaat studeren, koos jij voor fysica. Wat trok je in deze richting aan?

Dag Pieter. Wel, mijn plan was eigenlijk om astrofysicus te worden en daarna sciencefiction te gaan schrijven. Dat bedacht ik rond mijn vijftiende – een naïef plan dus, maar op basis ervan koos ik op de middelbare school wel consequent voor de richting met het meeste uren wiskunde per week, terwijl ik voor taalvakken nochtans minder inspanning moest doen. Het hele plan was geïnspireerd door Isaac Asimov, mijn favoriete sciencefictionauteur in die tijd. Ik wist dat hij wetenschapper was, die naast fictie ook populariserende boeken schreef, onder meer over astrofysica. Het ironische is dat ik er pas veel later achterkwam dat Asimov zelf helemaal geen fysicus was, maar een chemicus. (Lacht)

Was je toen al geïnteresseerd in de filosofie?

O ja, zeker! Naast sciencefiction en populariserende boeken over wetenschap las ik ook filosofie. Concreet herinner ik me uit die periode “Les jeux sont faits” van Sartre (voor de Franse les) en de Kritiek van Kant (een vertaling waarvan ik delen las terwijl ik hevige tandpijn had en voortdurend rondjes rond de tafel stapte). Ik begreep niet alles, maar het fascinerende me. De grote vragen van de filosofie spraken me aan, maar ik had de indruk dat de wetenschap in een betere positie stond om minstens een deel van die vragen ook te beantwoorden. Waarschijnlijk geloofde ik zelfs dat in de fysica een theorie van alles – waar de Griekse natuurfilosofen al naar op zoek waren – nu binnen handbereik lag. (Zucht) Toch besefte ik ook dat er nog veel spannende vragen waren, in de kosmologie bijvoorbeeld. Dat is bij uitstek een terrein waar fysica en filosofie even relevant zijn.

(meer…)

Koordeprobleem

Op zondag kreeg ik een vraag in mijn mailbox van David Vandormael, die ik hier (met zijn toestemming) deel. Hij had onlangs het boekje “Mathematische denkspelletjes” van Robert Müller op de kop getikt. Daarin vond hij op pagina 81 een puzzel over kansrekening:

“Vanuit een punt P op de omtrek van een cirkel trekt men een willekeurige lijn PQ. Hoe groot is de waarschijnlijkheid dat een willekeurige andere lijn die vanuit P wordt getrokken, korter is dan PQ?

Koordeprobleem.

Figuur 1: Het koordeprobleem uit het boekje van Robert Müller: de opgave (links) en de constructie voor de oplossing (midden en rechts). (Gebaseerd op een scan die bij DV’s e-mail zat.)

In zijn e-mail, vermeldde David Vandormael ook de oplossing uit het boek:

“Men lost dat heel mooi op de volgend manier op: we trekken vanuit P een lijn PQ’, die even lang is als PQ. Het is dan eenvoudig in te zien dat een willekeurige lijn PZ langer is dan PQ, als Z tussen Q en Q’ op de omtrek van de cirkel ligt (groen op de tekening). Alle andere lijnen zoals PK, zijn korter dan PQ (rood op de tekening). Hieruit volgt dat de verhouding tussen de lengte van de cirkelboog die wordt begrensd door Q, P en Q’ en de omtrek van de cirkel de waarschijnlijkheid aangeeft.

Als bijvoorbeeld PQ gelijk is aan de straal van de aangegeven cirkelboog, dan is de waarschijnlijkheid dat een willekeurige koorde korter dan PQ is, 1/3. Men kan namelijk een straal van een cirkel precies zes maal afpassen op de omtrek van de cirkel (dat is de constructiemethode van de regelmatige zeshoek).”

Figuur 2 is een illustratie van dit speciale geval.

Koordeprobleem.

Figuur 2: Speciaal geval, waarbij de lengte van PQ gelijk is aan de straal van de cirkel (R).

Tot hiertoe was hem alles duidelijk. Maar toen bedacht hij zelf een andere vraag bij deze opgave, waar infinitesimale kansen bij komen kijken. Dit was ook de reden dat hij bij mij kwam aankloppen:

“[T]oen kwam bij mij de vraag op wat de kans is dat een willekeurige lijn getrokken vanuit P op de omtrek van die cirkel, precies even lang is als PQ (dus niet korter of langer). En dan bleek dat er maar precies 1 zo’n lijn is op oneindig veel lijnen (namelijk PQ’ is precies even lang als PQ) of als we het met lengtes doen: de kans is de verhouding van de lengte op de cirkelomtrek van 1 zo’n lijn op de totale omtrek van de cirkel: dus een oneindig kleine lengte/de lengte van de cirkelomtrek wat dus volgens mij overeenkomt met een oneindig kleine kans of anders gezegd: een kans nul (maar niet niks want er is wel 1 zo’n lijn en dus is er wel een heel kleine of infinitesimale kans). Is dit juist?

Joseph Bertrand.

~

In mijn antwoord vertelde ik eerst eerst iets over oorspronkelijke opgave en dan iets over zijn vraag rond infinitesimale kansen.

~

Eerst iets over de originele puzzel. Zo’n lijnstuk dat twee punten op een cirkel met elkaar verbindt, noemen wiskundigen een koorde en dit vraagstuk is verwant aan het koordeprobleem van Bertrand. (Dat is dezelfde Bertrand als die van het doosjesprobleem). Bij het koordeprobleem van Bertrand luidt de opgave als volgt:

Beschouw een gelijkzijdige driehoek en de omgeschreven cirkel. Veronderstel dat er een willekeurige koorde van de cirkel gekozen wordt. Wat is de kans dat de koorde langer is dan een zijde van de driehoek?

Hierbij is er discussie mogelijk over wat het juiste antwoord is. De ambiguïteit ontstaat doordat het niet helemaal duidelijk is hoe we “een willekeurige koorde van de cirkel” moeten interpreteren. Ik doceer dit vraagstuk in mijn les over de geometrische interpretatie van kansrekening en het indifferentieprincipe van Laplace. Drie verschillende redeneringen leiden tot drie verschillende resultaten: 1/2, 1/3, of 1/4. (De Nederlandstalige Wikipedia-pagina volstaat voor de illustraties; meer context op de Engelstalige Wikipedia-pagina).

Koordeprobleem.

Figuur 3: Het koordeprobleem van Bertrand.

Het vraagstuk uit het puzzelboekje, verschilt op drie punten van de Bertrands koordeprobleem:

  • het gaat om de kans dat een andere koorde korter is dan een gegeven koorde, terwijl in het vraagstuk van Bertrand naar de kans op een langere koorde wordt gevraagd;
  • de referentielengte (lengte van de eerste koorde) is er tussen 0 (nul) en 2 \times R (diameter van de cirkel), terwijl dit bij de koordeparadox \sqrt{3} \times R is (zijde van de ingeschreven gelijkzijdige driehoek);
  • er wordt één punt op de cirkel vast gekozen, terwijl bij de koordeparadox beide eindpunten vrij zijn.

Vooral deze laatste aanpassing is van belang om de ambiguïteit in het originele probleem weg te nemen. We moeten niet weten wat “een willekeurige koorde van de cirkel” is, maar enkel wat “een willekeurige andere lijn die vanuit P wordt getrokken” is. Daarbij lijkt het duidelijk dat we een tweede willekeurig gekozen punt van de cirkel moeten beschouwen. (Of een willekeurige hoek ten opzichte van de raaklijn aan de cirkel in punt P tussen 0 en pi, maar dat komt op hetzelfde neer.) Het antwoord kan dan worden bekomen zoals hoger aangegeven (dat wil zeggen: als de verhouding tussen de relevante booglengte en de omtrek van de cirkel). Voor het speciale geval waarbij de lengte van PQ R is (Figuur 2), is de kans dat een willekeurige andere koorde korter is dan PQ 1/3; de kans dat deze langer is, is dus 2/3. Voor het geval waarbij de lengte van PQ \sqrt{3} \times R is (Figuur 3), is de kans dat een willekeurige andere koorde langer is dan PQ 1/3. (Dus de “willekeurige eindpunten”-methode in de Wikipedia-pagina over de koordeparadox.)

~

Koordeprobleem.

Figuur 4: Een alternatieve vraag over koorden: de opgave (links) en de constructie voor de oplossing (rechts).

Dan iets over de bedenking rond infinitesimale kansen. Als we vragen naar de kans op een andere koorde die dezelfde lengte heeft als PQ, dan is er inderdaad één mogelijkheid op succes uit (overaftelbaar) oneindig veel mogelijkheden, waarbij al deze mogelijkheden een gelijke kans hebben. Met de klassieke kansrekening is deze kans nul. Er is ook een alternatieve kansrekening mogelijk (waar ik zelf aan werk: zie hier en hier), waarin deze kans een infinitesimaal strikt groter dan nul is. Terwijl de klassieke kansrekening met reële getallen werkt, werkt de alternatieve theorie met hyperreële getallen. Het reële getal nul is de dichtste benadering van alle mogelijke infinitesimale hyperreële getallen.

De term “infinitesimale kans” kan trouwens ook worden gebruikt in combinatie met de klassieke kansrekening: daarbij duidt deze term gebeurtenissen aan die (1) kans nul hebben, maar die (2) niet logisch onmogelijk zijn. (Bij dit vraagstuk zou een voorbeeld van een logisch onmogelijke gebeurtenis zijn: een koorde die zowel strikt kleiner is dan PQ en strikt groter is dan PQ; dit kan natuurlijk niet.) En dit komt dan precies overeen met de gevallen waarin de alternatieve kansrekening een strikt positieve, infinitesimale kans aan de gebeurtenis toekent. (Iets dat logisch onmogelijk is, krijgt ook in de alternatieve theorie kans nul.)

~

Kortom, de vraag die David Vandormael bedacht, is inderdaad een voorbeeld van een infinitesimale kans.

Tellen tot oneindig

Tellen tot oneindig - twee keer.Gisteren gaf ik in Groningen een lezing. Om kansen toe te kennen aan oneindige verzamelingen, zou het handig zijn als je de mogelijkheden kunt tellen, ook al zijn dit er oneindig veel. Daarom maak ik in mijn werk gebruik van numerosities, een manier om oneindige verzamelingen te “tellen” (in zekere zin dan). De theorie over numerosities werd ongeveer tien jaar geleden voorgesteld door professor Vieri Benci en is dus nog niet erg bekend. Na mij gaf professor Paolo Mancosu een lezing. Hij heeft in 2009 een artikel geschreven over numerosities, dus precies rond de tijd dat ik over infinitesimale kansen begon na te denken: ik heb zijn artikel toen gelezen en het heeft mijn werk sterk beïnvloed.

In een ideale wereld zou ik hier een uitgebreide samenvatting van de lezingen uitschrijven. Helaas heb ik in de echte wereld iets te veel ander werk. Gelukkig heeft Catarina Dutilh Novaes, mijn collega uit Groningen die de dubbellezing georganiseerd heeft, er al een blogpost over geschreven: “Counting infinities” (in het Engels dus). Het is een goede inleiding over dit onderwerp en er is ook een discussie op gang gekomen (waar ik met plezier aan deelneem), dus neem er zeker een kijkje als je geïnteresseerd bent in een recente theorie over oneindigheid!

Aankondigingen: lezing en debat

Oneindig kleine kansen.Deze week geef ik op donderdag een lezing in Groningen in een Grolog-sessie (waar de Groningse logici uit het wiskunde- en filosofie-departement elkaar treffen). Het zal gaan over oneindig grote verzamelingen en infinitesimale kansen; de lezing heet dan ook “On numerosities and infinitesimal probabilities“. Ik kijk er vooral naar uit omdat professor Paolo Mancosu (filosoof van de wiskunde) ook een lezing komt geven. Zijn lezing heeft als titel “In good company? On Hume’s principle and the assignment of numbers to infinite concepts“. Details vind je hier. Het is gratis en zal in het Engels zijn. (Laat me gerust iets weten als je er naartoe wil komen.)

Feest van de Filosofie.

Op zaterdag 5 april doe ik mee aan een debat tijdens het  Feest van de Filosofie in Leuven. Dit is de website van het Feest van de Filosofie. Details over het debat staan hier. Het debat zal gaan over de technologische singulariteit. De inleiding wordt gegeven door professor Philip Dutré (computerwetenschapper). Ik ben geen techniekfilosoof of futuroloog, dus ik ga gewoon aandachtig luisteren en dan mijn best doen om relevante bedenkingen te formuleren. Supporters zijn altijd welkom. :-) (Helaas kan ik geen vrijkaarten regelen.)

Wolkenatlas en brieven aan Doornroosje

Boeken in het hoofd.Bij het begin van een nieuw jaar maken sommige mensen goede voornemens. Anderen kijken uit naar de boeken die ze in 2014 allemaal gaan lezen – Lilith van “Tussen droom en daad” is zo iemand. Zoals ik daar al vertelde in een reactie is het lezen bij mij de laatste jaren sterk afgenomen. (Of ja, ik lees natuurlijk veel voor mijn onderzoek, maar juist omdat ik overdag zo veel informatie moet verwerken, heb ik het moeilijk om ’s avonds rustig te lezen en helemaal op te gaan in een verhaal.)

Vroeger was het anders. Toen had ik een boekenwensboekje: een notitieschrift met daarin alle boeken die ik wou hebben. Ik plakte er recensies in uit tijdschriften of schreef titels op van boeken die ik juist wel al had. Dat was handig om bij me te hebben als ik aan het snuisteren ging in een winkel voor tweedehandsboeken (lees: in de zomer met de trein naar Antwerpen gaan en dan uren in De Slegte doorbrengen), want op den duur wist ik niet meer precies welke boeken van Asimov ik enkel uit de bibliotheek had geleend en welke ik al eens eerder voor een schijntje op de kop had kunnen tikken.

In mijn boekenwensboekje stond er een titel die ik nooit gevonden heb: “Skyscapes“, een salontafelboek met foto’s van de lucht, want wolken zijn inspirerend mooi. (Het is trouwens werk van de Duitse fotograaf Jean Odermatt en de Duitstalige versie van het boek heet “Himmelsland“.)

Cloud Atlas.Mede hierdoor sprak de titel “Cloud Atlas” me meteen aan en toen ik deze roman van David Mitchell (uit 2004) in de winkel opensloeg, leek het me een boek dat ik graag zou lezen. Ik kocht het en begon eraan, maar ik raakte slechts een paar pagina’s ver. Dat is niet erg: boeken zijn geduldig en staan probleemloos jaren op de plank.

Enkele jaren later zag ik “Wolkenatlas”, een vertaling van “Cloud Atlas“. Misschien zou het in het Nederlands beter vlotten, dacht ik. Het boek kopen deed ik wel, maar erin beginnen lezen niet.

Toen kwam de film uit (in 2012) en die hebben Danny en ik ergens midden 2013 bekeken. Daarna was ik er klaar voor: ik las “Wolkenatlas” (geen goede vertaling volgens mij, maar het lijkt me ook een moeilijk boek om goed te vertalen) en mijn lief las “Cloud Atlas“.

Ik wil de laatste twee zinnen met jullie delen (geen zorgen, het verpest niets als je het boek nog wil lezen of de film nog wil bekijken):

“‘[…] & only as you gasp your dying breath will you understand, your life amounted to no more than one drop in a limitless ocean!

Yet what is any ocean but a multitude of drops?

En in de Nederlandse vertaling wordt dit:

“[…] & pas bij het uitblazen van je laatste ademtocht zul je begrijpen dat je leven alles bijeen niet meer is geweest dan een druppel in een eindeloze oceaan!

Maar, wat is een oceaan anders dan een massa druppels?”

Eentje is nooit geentje, dat zei ik toch al! :-)

De eekhoorn schrijft een brief aan zijn vriend, de mier.Bij Lilith staat ook “Brieven aan Doornroosje” van Toon Tellegen op het literaire jaarmenu. Dat ik van het werk van Toon Tellegen hou, dat kon je al vermoeden. En dat ik Doornroosje een interessant personage vind, dat weet je ook. Het zal je dan wellicht niet verbazen dat “Brieven aan Doornroosje” mijn favoriete bundel van Tellegen is.

In 2007 had ik nog geen blog. Anders had ik dit zeker even gemeld: ik ben met mijn lief Danny naar een voordracht geweest van “Brieven aan Doornroosje”. De voorstelling vond plaats in Huis Vanstraelen in Hasselt. Doornroosje van dienst was Rebecca Stradiot: zij las enkele brieven voor (mijn dictie-hart jubelde) en wisselde af met accordeonintermezzo’s, die wonderwel bij de sfeer pasten van een prins die slechts tergend langzaam opschiet. Het zelfbeklag van de prins (uit de brief van “23 juli”) bleek een echte oorwurm: het “allerallerarmste ik” zit tot op heden – zeven jaar later dus, hè – nog vaak in mijn hoofd!

Daarna gaf Danny me “Brieven aan Doornroosje” cadeau en sindsdien verhuist deze bundel geregeld tussen de boekenkast en het nachtkastje. Ik vind het een heel origineel concept én perfect uitgevoerd, dus ik wil het eigenlijk nooit helemaal uitgelezen hebben en daarom lees ik er maar heel zuinig in.

Ook in 2008 had ik nog geen blog. Anders had ik dit toen wel verteld: op maandagavond 8 september 2008 gingen we naar een voorstelling op de universitaire campus in Enschede (waar Danny toen nog werkte). Op het programma stond “Het Wisselend Toonkwintet”, waarbij Toon Tellegen dierenverhalen en gedichten voorlas onder muzikale begeleiding. Hoewel de soundscape me soms eerder stoorde dan dat hij iets toevoegde, zaten er ook wel leuke vondsten in. Het was dus een heerlijke luisteravond in het Amphitheater van het Vrijhof.

Toon Tellegen en Het Wisselend Toonkwintet.

Toon Tellegen en Het Wisselend Toonkwintet in Enschede (september 2008).

Op het einde van mijn zwangerschap las ik ’s avonds soms een dierenverhaaltje voor uit “Misschien wisten zij alles”, in de hoop dat mijn zoontje mijn stem zo beter zou herkennen. Op dit moment heeft ons kleintje voorkeur voor prenten- en flapjesboeken, maar hopelijk kunnen de korte verhaaltjes van Tellegen snel weer in het repertoire opgenomen worden. ;-)

Het probleem van de oneindige loterij

Een loterij op de natuurlijke getallen heeft oneindig veel ballen. Toch zit er geen enkele bal bij waar 'oneindig' op staat.Eind vorige maand schreef ik over hoe een onderzoeksvraag mijn leven een andere wending gaf. Over wat dit probleem precies was, bleef ik eerder op vlakte. Daarom is deze post volledig gewijd aan het probleem van de oneindige loterij – de onderzoeksvraag die mijn leven veranderde.

[important]

De axioma’s van de klassieke kansrekening laten je niet toe om aan elk lot in een aftelbaar oneindige verzameling dezelfde kans toe te kennen.

[/important]

Dit vereist enige toelichting.

Het standaard voorbeeld van een aftelbaar oneindige verzameling is de verzameling van alle natuurlijke getallen, \mathbb{N}. Er zijn ook verzamelingen die overaftelbaar zijn en dus van een grotere orde oneindigheid: de verzameling van alle reële getallen, \mathbb{R}, is een voorbeeld van zo’n overaftelbaar oneindige verzameling.

Dan die axioma’s waarvan sprake is: de klassieke kansrekening berust op fundamentele aannames, uitgedrukt in vier axioma’s. De axioma’s heten: Normering, Positiviteit, Som en Continuïteit.

  1. Normering zegt dat de kans van de unie van alle loten samen precies één moet zijn, 100% dus.
  2. Positiveit zegt dat eender welke combinatie van loten een kans heeft die niet negatief kan zijn.
  3. Som zegt dat als twee verzamelingen loten geen loten gemeenschappelijk hebben, dat dan de kans van
  4. Continuïteit vertelt iets over het limietgedrag van oneindige deelverzamelingen van loten. Voor ons is van belang dat Som en Continuïteit samen aanleiding geven tot het principe van Aftelbare additiviteit.

Aftelbare additiviteit zegt dat de som van de kansen van aftelbaar veel loten apart gelijk moet zijn aan de kans van de unie van al deze loten samen. Omdat er in een aftelbaar oneindige loterij, in tegenstelling tot een overaftelbare, maar aftelbaar oneindig veel loten zijn, impliceert dit principe in dit geval dat de som van de kansen van alle loten apart gelijk moet zijn aan de kans van de verzameling van alle loten. En volgens het eerder genoemde axioma van de normering is die laatste kans gelijk aan één.

Stel nu dat je een gelijke kans wil toekennen aan alle loten in loterij op de natuurlijke getallen. Wat je ook probeert, je overtreedt altijd minstens één van de axioma’s:

  • Als je nul toekent aan ieder lot, sommeert de kans van alle loten samen tot nul. Dit is echter in strijd met de combinatie van Normering en Aftelbare additiviteit, die samen impliceren dat deze som gelijk moet zijn aan één.
  • Als je een kans groter dan nul toekent aan ieder lot, sommeert de kans van alle loten samen tot oneindig. (Anders gezegd: de som van deze kansen divergeert.) Dit is opnieuw in strijd met de combinatie van Normering en Aftelbare additiviteit, die vereisen dat deze som gelijk moet zijn aan één.

Het komt er dus op neer dat nul te klein is, terwijl iedere andere kans meteen te groot is. (Voor de wiskundigen onder jullie: het probleem komt er in feite op neer dat som en limiet niet commuteren.) Het lijkt of je iets tussen nul en de ‘eerstvolgende’ waarde zou willen hebben en dat als kans aan zo’n loterij hangen. Zoiets als één op oneindig, een infinitesimaal. De klassieke kansrekening werkt echter met reële getallen en er is niet zoiets als “het eerstvolgende getal groter dan nul”: tussen iedere twee reële getallen zitten er immers oneindig veel andere reële getallen. Je hebt dus oneindig veel reële getallen tussen nul en eender welk klein positief getal en toch zijn ze allemaal te groot.

Het lijkt onbegonnen werk daar een nog kleiner getal tussen te wringen dat de kans van één lot in loterij op een aftelbaar oneindige verzameling kan uitdrukken. En toch is dit in feite waar mijn oplossing op neer komt: door hyperreële getallen te gebruiken om kansen uit te drukken, krijg je beschikking over infinitesimalen. Infinitesimalen zijn kleiner dan eender welk positief reëel getal en toch groter dan nul.

Deze infinitesimalen zijn essentieel in de niet-Archimedische waarschijnlijkheidstheorie waar ik met collega’s aan werk. Met onze theorie kun je duidelijk het verschil aangeven tussen de situatie waarin je een waterkans hebt (bijvoorbeeld: je hebt één lot in een oneindige loterij) of die waarin je helemaal kansloos bent (bijvoorbeeld: je hebt geen enkel lot in eender welke loterij).

Lijstjes van leuke zoekopdrachten (1/2)

Een zoekmachine is een handig hulpmiddel, maar kan nog steeds geen zinnen interpreteren.Soms zie ik grappige, onthutsende, of ronduit bizarre zoekopdrachten passeren op mijn blog. Verdwalen op internet kan fijn zijn en ik vind het natuurlijk leuk dat er ook op mijn blog geregeld louter toevallige passanten langskomen. Toch zie ik vaak slecht gekozen zoekopdrachten en dan vind ik het jammer dat ik die mensen niet wat beter op weg heb kunnen helpen. Op 12 oktober 2011 plaatste ik al eens een bericht met opvallende zoektermen, met daarbij 7 tips over zoeken op internet. Vandaag, precies een jaar later, maak ik nog eens zo’n overzicht.

Eén van de aspecten die opvallen bij het bekijken van zoekopdrachten op dit blog is dat je er duidelijke seizoensgebonden fenomenen in ziet. Een voorbeeld: er wordt duidelijk meer op ‘aggregatietoestanden‘ gezocht wanneer dit onderwerp in de middelbare school op het programma staat. Verder zijn er ook eenmalige pieken. In november 2011 kwamen er plots nieuwe zoekopdrachten binnen op mijn blog voor Robbert Dijkgraaf, terwijl ik zijn naam enkel in juni 2011 vermeld had (in deze stukjes: 1 en 2). Hierdoor wist ik dat er iets aan de hand was en inderdaad: even later hoorde ik het nieuws dat de Nederlandse president van de KNAW naar Princeton zou overkassen om daar het Institute for Advanced Study te gaan leiden – een positie die hij sinds juli 2012 inderdaad vervult.

Dit zijn de lijstjes van mijn favoriete zoekopdrachten van het voorbije jaar, gesorteerd in vier categorieën (met  tussen haakjes de maand) [en soms tussen vierkante haakjes mijn reactie erbij].

Over fysica:

  • wie onderzoekt dat de lucht blauw is (januari 2012) [Natuurkundigen. Wie anders?!]
  • fysica is alles (april 2012) [Een zoekopdracht naar mijn hart.]
  • alles is fysica (april 2012) [Ook dat is waar, kijk maar naar dit filmpje.]
  • fysica is leuk (augustus 2012)
  • fysica moeilijkst (augustus 2012)
  • invloed van alcohol op zeepbellen (september 2012) [Ze gaan zwalpen? ;-) Oja, en de oppervlaktespanning verlaagt, maar die neemt vervolgens weer geleidelijk toe naarmate de alcohol verdampt.]

Over logica:

  • randgeval logica (november 2011)
  • kunstlogica de logica van kunst (januari 2012)
  • logica kan je leren (juni 2012) [Voorwaar, een optimist!]

Over wiskunde:

  • hoe belangrijk is mijn opleiding wiskunde (november 2011) [Ik heb me laten vertellen dat het aantal uur wiskundeles tijdens de middelbare school de beste barometer is voor succes in de verdere opleiding, ongeacht de richting (dus ook voor talen bijvoorbeeld) – laat dit een tip zijn.]
  • welke wiskunde kom je tegen in kappersopleiding (december 2011) [Dat weet ik niet, maar een beetje wiskunde komt altijd handig van pas als je je boekhouding op punt moet houden.]

Alternatieve spellingsvormen voor ‘infinitesimaal’ [helaas geen enkele zo mooi als de winnaar van vorig jaar: ‘infanticimaal’]:

  • infiniet decimaal calculus (november 2011)
  • infinetisemaal (januari 2012)
  • infinitdecimaal klein oppervlak (juni 2012)

 

Morgen deel 2 met meer thematische lijstjes!

Video’s van lezingen in München

Tijdens mijn presentatie in München.In juni vertelde ik al over de Formal Epistemology Workshop (FEW) in München, waar toen heel wat mensen uit de formele kenleer samenkwamen om hun recentste onderzoek te bespreken en waar ik zelf twee tutorials gaf over hyperreële getallen en hun toepassingen.

Inmiddels staan alle video’s van de daar gehouden presentaties online: je kunt ze downloaden via het (gratis) iTunes-kanaal van het Münchense Centrum voor Wiskundige Filosofie (MCMP). Het overzichtelijkste is echter via het schema van het congres op de website van Branden Fitelson, waarbij er nu ook links zijn naar alle video’s.

Het is natuurlijk altijd zeer confronterend om jezelf op video terug te zien, maar ik heb beslist om de filmpjes hier toch te plaatsen – al was het maar om later aan mijn kind te kunnen zeggen: “Kijk, daar was jij bij en dat wist toen helemaal niemand!” :-)

Vooruitspoelen zal pas lukken als de video al zo ver geladen is; het is hier YouTube niet, hè. ;-) [Aanvulling 2016: Ik heb de video’s ein-de-lijk ook op mijn eigen YouTube-kanaal gezet.] Eerste deel:

Om de hele video te downloaden en achteraf te bekijken (in groter scherm), klik rechts op volgende link en kies opslaan: Download mp4 van deel 1.

Tweede deel:

Om de hele video te downloaden, klik rechts op volgende link en kies opslaan: Download mp4 van deel 2.

Het filmpje van Vi Hart, dat ik integraal liet spelen tijdens mijn eerste presentatie, kun je beter vanuit mijn vorige post herbekijken.

Klinkende munt in New York

Mijn artikel over de loterijparadox bracht me tot in New York.De Columbia Universiteit ligt in New York, vlakbij Central Park. Hier werd er de voorbije twee dagen een congres gehouden met als naam Progic – een samentrekking van “probability” en “logic”. Deze samenkomst over de raakvlakken tussen waarschijnlijkheid en logica wordt om de twee jaar georganiseerd; volgende keer is het iets dichter bij huis: in München.

Elke editie van Progic heeft een specifiek thema; deze editie eerde het werk van Haim Gaifman, professor emiritus aan de Columbia Universiteit. Hij gaf zelf de laatste lezing van de bijeenkomst, waarin hij de diverse thema’s overliep waaraan hij in de loop der jaren heeft gewerkt, zoals het onderscheid en de overeenkomsten tussen objectieve en subjectieve waarschijnlijkheid. Hij besprak ook een aantal probabilistische puzzels. Een leuk voorbeeld dat hij gebruikte: “Alice schoot een pijl af. De pijlpunt landde in het midden van deze cirkel.” Dan volgde een tekening van een cirkel met precies in het midden inderdaad een pijl. De vraag is: wat is de kans dat dit gebeurde? Het antwoord is: dat hangt ervan af! Je weet immers niet of eerst de cirkel getekend werd en Alice dan moest schieten, of dat de cirkel achteraf getekend is, bijvoorbeeld om de landingsplaats aan te duiden. Dit lijkt misschien een flauw grapje, maar er zijn meer complexe situaties waar precies dit soort onduidelijkheid ervoor zorgt dat verschillende mensen tot verschillende kansbepalingen komen.

Om professor Gaifman te eren, werden er gerenommeerde sprekers uitgenodigd: zaterdag waren er lezingen van Dana Scott en Rohit Parikh (wie ik recent in Maastricht ontmoette) en zondag van Jeff Paris. Oorspronkelijk was voorzien dat ook Horacio Arló Costa een lezing zou geven op Progic, maar hij is twee maand geleden onverwacht overleden. Daarom was er zaterdag na de gewone lezingen een herdenkingssessie, waarbij bevriende collega’s herinneringen aan hem uitwisselden. Een doctoraatsstudent van Horacio Arló Costa presenteerde gezamenlijk werk, zodat zijn ideeën toch vertegenwoordigd waren op Progic.

Naast de uitgenodigde sprekers waren er ook een aantal ingezonden bijdragen. Mijn eigen bijdrage (waarvan de slides hier staan) ging over de loterijparadox. In mijn proefschrift heb ik een analyse van deze paradox voorgesteld in termen van “relatieve analyse” – een vorm van niet-standaard analyse ontwikkeld door Karel Hrbacek. Het formalisme is gebaseerd op het idee dat er op een gegeven ogenblik slechts eindig veel reële getallen een unieke naam hebben gekregen; naar de rest kun je enkel op een indirecte manier verwijzen. (Zo is “een getal groter dan een miljard” een indirecte verwijzing, waarvan “een triljard” een uniek benoemd voorbeeld is.) De getallen die zo groot zijn dat ze geen unieke naam hebben, worden ultragrote getallen genoemd; ze zijn relatief oneindig. Het inverse van een ultragroot getal is een ultraklein getal, of een relatieve infinitesimaal. Ik pas het idee van ultrakleine getallen toe op kansen: hiermee beschrijf ik kansen die – door een bepaalde persoon en in een bepaalde context – niet van nul worden onderscheiden, hoewel ze toch niet helemaal nul zijn.

Het punt met infinitesimalen is dat ze individueel verwaarloosbaar zijn, maar collectief heel substantieel kunnen zijn. Om dit uit te leggen gebruik ik volgende cartoon (naar een idee van Dr. Lachowska).

Het collectieve belang van relatieve infinitesimalen.

We moeten op de kleintjes letten.

Na afloop van elke lezing is er gelegenheid tot vragen stellen. Rohit Parikh stak zijn hand op, maar in plaats van met een vraag kwam hij met een verhaal voor de dag. “Jouw infinitesimalen doen me denken aan een sufi-verhaal”, zei hij en begon te vertellen:

Er was eens een verkoper van geroosterde walnoten. Een arme man kwam bij zijn kraam en genoot zichtbaar van de geur van de noten. ‘Heb je de walnoten geroken?’ vroeg de verkoper. ‘Ja,’ zei de man. ‘Dan moet je me daarvoor betalen,’ eiste de verkoper.
De man knikte instemmend, nam twee munten uit zijn zak en liet ze rinkelen tussen zijn gesloten handen. De verkoper strekte zijn arm uit om de munten in ontvangst te nemen. ‘Heb je de munten gehoord?’ vroeg de man. ‘Ja,’ zei de verkoper. ‘Goed, dan heb ik je betaald,’ zei de man.

Een kleine zoektocht op internet leverde een tiental varianten op van dit verhaal. Blijkbaar is het in alle werelddelen bekend. De aard van het eten varieert, maar het gaat altijd om geroosterd of gebakken voedsel. Het is ook niet altijd het geluid van munten dat als betaalmiddel wordt gebruikt, maar soms ook muziek (tromgeroffel).

Dit verhaal is wetenschappelijk te verantwoorden: het feit dat je eten kunt ruiken, wijst erop dat er moleculen van de etenswaren in je neus terecht zijn gekomen. De hoeveelheid moleculen die nodig is om iets te ruiken is relatief infinitesimaal ten op zichte van de hoeveelheid moleculen die je binnenkrijgt als je eet. Het geluid van geld echter brengt zelfs geen infinitesimaal van een cent in het laatje.