Tag Archief: infinitesimaal

Klinkende munt in New York

Mijn artikel over de loterijparadox bracht me tot in New York.De Columbia Universiteit ligt in New York, vlakbij Central Park. Hier werd er de voorbije twee dagen een congres gehouden met als naam Progic – een samentrekking van “probability” en “logic”. Deze samenkomst over de raakvlakken tussen waarschijnlijkheid en logica wordt om de twee jaar georganiseerd; volgende keer is het iets dichter bij huis: in München.

Elke editie van Progic heeft een specifiek thema; deze editie eerde het werk van Haim Gaifman, professor emiritus aan de Columbia Universiteit. Hij gaf zelf de laatste lezing van de bijeenkomst, waarin hij de diverse thema’s overliep waaraan hij in de loop der jaren heeft gewerkt, zoals het onderscheid en de overeenkomsten tussen objectieve en subjectieve waarschijnlijkheid. Hij besprak ook een aantal probabilistische puzzels. Een leuk voorbeeld dat hij gebruikte: “Alice schoot een pijl af. De pijlpunt landde in het midden van deze cirkel.” Dan volgde een tekening van een cirkel met precies in het midden inderdaad een pijl. De vraag is: wat is de kans dat dit gebeurde? Het antwoord is: dat hangt ervan af! Je weet immers niet of eerst de cirkel getekend werd en Alice dan moest schieten, of dat de cirkel achteraf getekend is, bijvoorbeeld om de landingsplaats aan te duiden. Dit lijkt misschien een flauw grapje, maar er zijn meer complexe situaties waar precies dit soort onduidelijkheid ervoor zorgt dat verschillende mensen tot verschillende kansbepalingen komen.

Om professor Gaifman te eren, werden er gerenommeerde sprekers uitgenodigd: zaterdag waren er lezingen van Dana Scott en Rohit Parikh (wie ik recent in Maastricht ontmoette) en zondag van Jeff Paris. Oorspronkelijk was voorzien dat ook Horacio Arló Costa een lezing zou geven op Progic, maar hij is twee maand geleden onverwacht overleden. Daarom was er zaterdag na de gewone lezingen een herdenkingssessie, waarbij bevriende collega’s herinneringen aan hem uitwisselden. Een doctoraatsstudent van Horacio Arló Costa presenteerde gezamenlijk werk, zodat zijn ideeën toch vertegenwoordigd waren op Progic.

Naast de uitgenodigde sprekers waren er ook een aantal ingezonden bijdragen. Mijn eigen bijdrage (waarvan de slides hier staan) ging over de loterijparadox. In mijn proefschrift heb ik een analyse van deze paradox voorgesteld in termen van “relatieve analyse” – een vorm van niet-standaard analyse ontwikkeld door Karel Hrbacek. Het formalisme is gebaseerd op het idee dat er op een gegeven ogenblik slechts eindig veel reële getallen een unieke naam hebben gekregen; naar de rest kun je enkel op een indirecte manier verwijzen. (Zo is “een getal groter dan een miljard” een indirecte verwijzing, waarvan “een triljard” een uniek benoemd voorbeeld is.) De getallen die zo groot zijn dat ze geen unieke naam hebben, worden ultragrote getallen genoemd; ze zijn relatief oneindig. Het inverse van een ultragroot getal is een ultraklein getal, of een relatieve infinitesimaal. Ik pas het idee van ultrakleine getallen toe op kansen: hiermee beschrijf ik kansen die – door een bepaalde persoon en in een bepaalde context – niet van nul worden onderscheiden, hoewel ze toch niet helemaal nul zijn.

Het punt met infinitesimalen is dat ze individueel verwaarloosbaar zijn, maar collectief heel substantieel kunnen zijn. Om dit uit te leggen gebruik ik volgende cartoon (naar een idee van Dr. Lachowska).

Het collectieve belang van relatieve infinitesimalen.

We moeten op de kleintjes letten.

Na afloop van elke lezing is er gelegenheid tot vragen stellen. Rohit Parikh stak zijn hand op, maar in plaats van met een vraag kwam hij met een verhaal voor de dag. “Jouw infinitesimalen doen me denken aan een sufi-verhaal”, zei hij en begon te vertellen:

Er was eens een verkoper van geroosterde walnoten. Een arme man kwam bij zijn kraam en genoot zichtbaar van de geur van de noten. ‘Heb je de walnoten geroken?’ vroeg de verkoper. ‘Ja,’ zei de man. ‘Dan moet je me daarvoor betalen,’ eiste de verkoper.
De man knikte instemmend, nam twee munten uit zijn zak en liet ze rinkelen tussen zijn gesloten handen. De verkoper strekte zijn arm uit om de munten in ontvangst te nemen. ‘Heb je de munten gehoord?’ vroeg de man. ‘Ja,’ zei de verkoper. ‘Goed, dan heb ik je betaald,’ zei de man.

Een kleine zoektocht op internet leverde een tiental varianten op van dit verhaal. Blijkbaar is het in alle werelddelen bekend. De aard van het eten varieert, maar het gaat altijd om geroosterd of gebakken voedsel. Het is ook niet altijd het geluid van munten dat als betaalmiddel wordt gebruikt, maar soms ook muziek (tromgeroffel).

Dit verhaal is wetenschappelijk te verantwoorden: het feit dat je eten kunt ruiken, wijst erop dat er moleculen van de etenswaren in je neus terecht zijn gekomen. De hoeveelheid moleculen die nodig is om iets te ruiken is relatief infinitesimaal ten op zichte van de hoeveelheid moleculen die je binnenkrijgt als je eet. Het geluid van geld echter brengt zelfs geen infinitesimaal van een cent in het laatje.

Waterkans of kansloos?

Dit sterrenschip wordt aangedreven door een motor die op onwaarschijnlijkheid draait, in Douglas Adams' sciencefiction reeks 'The Hitchhikers guide to the galaxy'.In mijn exemplaar van “The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy” van Douglas Adams zit er een treinticket naar Denemarken  uit 2003: ik kocht dit dikke boek toen ik voor de zomerschool ‘Hairy interfaces and stringy molecules’ in Odense was. Hoe onwaarschijnlijk dit misschien ook klinkt, in “The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy” (of “Het transgalactisch liftershandboek”) gebeuren er heel wat zaken die nog veel onwaarschijnlijker zijn. Een potvis en een pot petunia’s die uit het niets ontstaan op enkele kilometers hoogte boven een planeet, bijvoorbeeld. In theorie zou zoiets spontaan kunnen gebeuren, maar het is enorm onwaarschijnlijk; in de praktijk kan zoiets haast geen toeval zijn. In het verhaal worden deze onwaarschijnlijke gebeurtenissen uitgelokt door een sterrenschip dat als motor een improbability drive gebruikt. Onwaarschijnlijkheid als aandrijving gebruiken kan enkel in sciencefiction en levert dit soort leuke nonsens op:

De kans dat dit gebeurt is erg klein!“Waterkans” is een mooi Vlaams woord voor een uiterst kleine kans. Of ze er in Nederland een even mooi synoniem voor hebben weet ik niet, maar in het Engels spreken ze van “a snowball’s chance in hell“: zoveel kans als een sneeuwbal in de hel – niet veel dus. Kansloos wil echter zeggen dat de mogelijkheid helemaal onbestaande is: er is dan zelfs geen waterkansje.

De klassieke kansrekening is gebaseerd op gewone reële getallen in het interval van nul tot één. Wanneer je daarmee een proces wil beschrijven waarbij er oneindig veel mogelijke uitkomsten zijn, kan het gebeuren dat je noodgedwongen kans nul moet toekennen aan sommige van die uitkomsten, terwijl deze toch kunnen gebeuren. Deze waterkansjes zijn daarmee niet te onderscheiden van volstrekt kansloze, onmogelijke uitkomsten. Dit probleem kun je oplossen door de kansfunctie waarden te laten aannemen in het interval van nul tot één van de hyperreële getallen, in plaats van het nul-één interval van de reële getallen. Elke mogelijke uitkomst heeft dan een kans verschillend van nul (dit kan een infinitesimaal zijn) en is dus duidelijk te onderscheiden van een onmogelijke gebeurtenis, die wel kans nul krijgt toegekend.

Het idee is eenvoudig, maar de wiskundige finesses zijn nog best ingewikkeld. Vandaar dat ik er samen met twee collega’s een artikel over heb geschreven. Professor Vieri Benci (Universiteit van Pisa, Italië) is een wiskundige die gespecialiseerd is in niet-standaard analyse, maar hij is ook geïnteresseerd in filosofie. Professor Leon Horsten (Universiteit van Bristol, UK) is een logicus die gespecialiseerd is in wetenschapsfilosofie, maar ook veel over  de grondslagen van de wiskunde kent.

De afkorting van 'Non-Archimedean Probability' is NAP. Na al dat nadenken over infinitesimale kansen hebben we toch wel een dutje verdiend?De titel van ons artikel is “Non-Archimedean Probability” of “niet-Archimedische waarschijnlijkheid”. De reële getallen zijn Archimedisch, hetgeen betekent dat er geen infinitesimalen in voorkomen. Door middel van de techniek van Robinson kunnen we de reële getallen uitbreiden tot de hyperreële getallen, waarin er wel oneindig grote getallen en oneindig kleine getallen (infinitesimalen) bestaan; deze hyperreële getallen zijn dus niet-Archimedisch.

Oneindig grote verzamelingen worden meestal beschreven met de kardinaalgetallen van Cantor. De grootte van de verzameling natuurlijke getallen wordt bijvoorbeeld aleph-nul genoemd. Elke oneindige deelverzameling van de natuurlijke getallen, bijvoorbeeld de verzameling van even getallen, heeft ook aleph-nul als kardinaliteit. Als je zou willen zeggen dat de verzameling even getallen maar half zo groot is die van alle natuurlijke getallen, kun je dit niet doen in termen van kardinaliteit. Vieri Benci heeft een manier ontwikkeld om aan oneindig grote verzamelingen een maat te koppelen die wel zo werkt dat een strikte deelverzameling een strikt kleinere maat krijgt toegewezen. Dit is dan niet de kardinaliteit maar de “numerositeit” (numerosity) van de verzameling. Kardinaliteit en numerositeit zijn twee verschillende manieren van tellen die voor eindige verzamelingen hetzelfde antwoord opleveren, maar die voor oneindige verzamelingen een verschillend resultaat geven. Onze kansmaat werkt als een soort genormeerde numerositeitsfunctie.

Om te laten zien hoe onze nieuwe theorie werkt, hebben we haar ook toegepast: in ons artikel we bespreken onder meer een eerlijke loterij op de natuurlijk getallen en een oneindig lange rij worpen met een eerlijke munt. In beide gevallen is het zeer onwaarschijnlijk om de uitkomst precies te voorspellen, maar niet strikt onmogelijk. Vandaar dat we er een infinitesimale kans aan koppelen: een kans die oneindig klein is, maar niet nul. Met deze methode is het mogelijk om deze zeer kleine kansen met elkaar te vergelijken. Binnen de klassieke kansrekening zijn de kans om een loterij te winnen op de natuurlijke loterij en de kans om de uitkomst van een oneindige reeks muntworpen te voorspellen beide nul. Met onze niet-Archimedische kansrekening zijn de kansen niet nul en is het mogelijk om aan te tonen dat de tweede kans (met de muntworpen) nog veel kleiner is dan de eerste (bij de oneindige loterij).

Op arXiv.org verschijnen preprints van wetenschappelijke artikelen.Sinds kort staat ons nieuwe artikel over kansrekening en infinitesimalen online. Het staat op arXiv.org, een website waar artikels over wiskunde, fysica en andere wetenschappen geplaatst kunnen worden vóór ze in een wetenschappelijk tijdschrift verschijnen (zogenaamde preprints). Bij zo’n tijdschrift kijken ze niet enkel na of het artikel bij hun onderwerp en standaarden past, maar wordt ook het principe van ‘peer review‘ toegepast: ze sturen het nieuwe artikel naar één of meerdere experts op dit gebied, dus eigenlijk collega’s (peers) van de auteurs van het artikel. Deze bekijken de inhoud kritisch en geven op anonieme wijze commentaar: ze moeten argumenten geven waarom het artikel al dan niet geschikt is voor publicatie. In sommige gevallen leiden hun suggesties tot grote verbeteringen in het werk.

Dit alles betekent dat er geen garantie is dat de artikels die je op arXiv aantreft ooit geplaatst zullen worden in een wetenschappelijk tijdschrift. Het is best mogelijk dat er iets schort aan het niveau van sommige artikels of dat er fouten in staan. Natuurlijk is het wel leuk om er op zoek te gaan naar nieuwe ideeën: het is net zo goed mogelijk dat je één van de eersten bent die hier de laatste nieuwe doorbraak leest. Ons artikel zal hopelijk binnenkort aanvaard worden in een regulier tijdschrift, maar tot die tijd kunnen collega’s en andere geïnteresseerden het hier alvast downloaden.

Intussen zijn we met dezelfde drie mensen aan een volgend artikel aan het werken: daarin willen we onze wiskundige theorie uitleggen op een manier die ook voor filosofen toegankelijk is. Het helpt dat we een interdisciplinair team vormen. Zelf probeer ik een bruggenbouwer te zijn tussen de verschillende domeinen (wiskunde en filosofie). Een bescheiden rol misschien, maar mijn ambitie is groot. Het is immers mijn bedoeling om de grondslagen van de kansrekening fundamenteel te veranderen – niet meer of niet minder. Ons team is daar precies geknipt voor; we zijn dus niet kansloos.

Infinitesimaal

In geel en groen twee benaderingen voor een integraal (oppervlakte onder de kromme). Bron: Wikimedia Commons, auteur: KSmrq.In mijn proefschrift maak ik gebruik van infinitesimale kansen. Wellicht ga ik in een volgend bericht hier iets meer over vertellen, maar vandaag zou ik graag even stilstaan bij het woordinfinitesimaal‘. Klinkt dat als Latijn? Dat treft, want dat is ook!

‘Infinitesimaal’ betekent ‘oneindig klein’. Lang woord, hè, voor ‘bijna niets’? Het woord werd bedacht door Leibniz. Als je één deelt door duizend dan krijg je een duizendste. De uitgang -ste geeft in het Nederlands dus aan dat je de stambreuk neemt (zelfde vorm als een rangtelwoord). In het Latijn gebruik je daarvoor de uitgang -esimus of (vanaf de Middeleeuwen) -esimalis. Bijvoorbeeld: duizend is ‘mille’ en duizendste is ‘millesimus’ of ‘millesimalis’. Leibniz plakte deze uitgang aan het Latijnse woord voor oneindig (infinitus) en verkreeg zo: ‘infinitesimalis’. In diverse talen werd dit woord overgenomen, met een lichtjes aangepaste uitgang. In het Nederlands werd het infinitesimaal. (Vergelijk met ons woord decimaal: dit komt van het Latijnse woord voor tiende, ‘decimus’ of ‘decimalis’.) Een ‘infinitesimaal’ is dus letterlijk een ‘oneindigste’.

(meer…)