Tag Archief: kansrekening

Tweede kans voor wiskunde

Dit opiniestuk is op 2 mei 2018 verschenen op knack.be, naar aanleiding van mijn college voor Universiteit van Vlaanderen.

‘Ik zou in een wereld willen leven waarin volwassenen avondlessen wiskunde volgen’

Professor wetenschapsfilosofie Sylvia Wenmackers wil in een wereld leven waarin avondles wiskunde voor volwassenen even populair is als Engels of Italiaans. Maar daarvoor moet de manier waarop wiskunde onderwezen wordt veranderen…

Wiskunde.

Foto van Allef Vinicius (via Unsplash).

Stel je een school voor waar het volgende gebeurt:

Elke ochtend moeten leerlingen hun spiegelbeeld vergelijken met de Instagram-feed van een internationaal modellenbureau. De modellen zijn geselecteerd uit de hele wereldbevolking. Ze worden gemaquilleerd, gekleed en gefotografeerd door professionelen. Van elke shoot wordt minder dan 1% van de beelden bewaard en die selectie wordt stevig nabewerkt. Uit de bewerkte foto’s kiest een curator welke vrijgegeven worden. Maar dat hele proces wordt niet uitgelegd aan de leerlingen.

Dit scenario is gelukkig fictief, maar het lijkt verrassend veel op de manier waarop wiskunde vandaag onderwezen wordt.

Wiskunde wordt namelijk zeer ahistorisch gedoceerd. Dat is eigen aan het vakgebied: mislukte pogingen worden in latere samenvattingen niet meer opgenomen, waardoor de wiskunde in handboeken een lange triomftocht lijkt. Stelling – bewijs, stelling – bewijs, stelling – bewijs. Bij sommige stellingen hoort een naam; sommige namen komen opvallend vaak voor (zoals Euler, Gauss en Fermat). Het is even gemakkelijk om je een mislukking te voelen in vergelijking met die fictieve geschiedenis, als om je een lelijk eendje te voelen op onze fictieve school. Uit zelfbescherming haken veel leerlingen dan ook af: ‘Ik heb geen wiskundeknobbel, geef mij maar talen’.

Als leerlingen aan een oefening beginnen, lukt het hen vaak niet om die meteen op te lossen. Het is zo jammer dat we hen niet tonen dat dat perfect normaal is. Wiskundigen en wetenschappelijke onderzoekers zitten ook vaak vast. Het grootste verschil tussen onderzoekers en anderen is dat die eersten hiertegen bestand zijn. Ze vertrouwen op hun eigen kunnen, hebben een netwerk om raad aan te vragen en weten uit ervaring dat de aanhouder vaak wint.

De leerlingen op de fictieve school zouden veel baat hebben bij uitleg over hoe de fotoreeks tot stand komt. Dit zou hun zelfbeeld ten goede komen. Om dezelfde reden zouden we leerlingen veel beter moeten uitleggen hoe wiskunde en wetenschap tot stand komen.

Blunderboek

Mijn eigen onderzoek gaat over filosofie van de kansrekening. In de geschiedenis hebben opvallend veel wiskundigen geblunderd op het vlak van kansen. Terwijl meetkunde al bij de Oude Grieken ontwikkeld werd, heeft het tot de zeventiende eeuw geduurd voor wiskundigen tot een theorie over kansen kwamen. Dit gebeurde op vraag van een Franse schrijver, die zich Chevalier de Méré liet noemen – een fervent gokker. Pascal en Fermat probeerden in een briefwisseling zijn vragen over kansspelen op te lossen. In hun correspondentie zien we vooral Pascal worstelen om grip te krijgen op het concept kans. Het is ook in deze context dat de beroemde driehoek van Pascal voor het eerst opduikt. Precies dit soort voorbeelden bieden een waardevolle aanvulling op het wiskundecurriculum.

Stel nu eens dat de twee hoofddoelen van wiskunde op school zouden zijn: leerlingen wiskundige basisvaardigheden meegeven (zoals nu) én hen een realistische en waarderende houding ten aanzien van wiskunde bijbrengen. Dat tweede doel zou ervoor zorgen dat ex-leerlingen in hun latere leven open blijven staan om zich wiskundige denkpatronen eigen te maken, ten minste te proberen een vraag met wiskundige middelen te analyseren en als dat niet lukt erover te praten of doelgericht hulp te zoeken. Als dit tweede doel verwaarloosd wordt, leren wiskundelessen vooral hulpeloosheid aan: de leerkracht weet het antwoord al, dus als leerling moet je gewoon afwachten tot het enige juiste antwoord aan bord komt. Zelfs een rekenmachine kan het antwoord geven, als je maar zou weten hoe het vervloekte bakje werkt. Wat er ontbreekt is plantrekkerij, samenwerking en waardering daarvoor. Ondertussen blijven er antwoorden komen op vragen die je je nooit hebt gesteld.

Ik zou in een wereld willen leven waarin volwassenen avondlessen wiskunde kunnen volgen, net zoals ze nu een extra taal kunnen leren. Dat wil zeggen: een wereld waar daar vraag naar is. Een wereld waarin wiskunde gezien wordt voor wat het is: een integraal deel van de menselijke cultuur.

Wiskundehaat?

Op de middelbare school is wiskunde een groot vak, net zoals Nederlands. Bij Nederlands krijgen leerlingen allerlei opdrachten: een boek lezen van een bekroond auteur, een groepswerk maken, zelf een gedicht schrijven, de grammatica van een zin analyseren en de herkomst van de eigen voor- en familienaam opzoeken in de bibliotheek. Vaak is het handboek thematisch, zodat het voor leerlingen lijkt alsof het bij Nederlands over eender wat kan gaan. Ondertussen worden woordenschat, grammatica en geschiedenis aangeleerd. Soms wordt er ook geoefend op direct toepasbare vaardigheden, zoals het schrijven van een sollicitatiebrief.

Wiskunde is anders. De werkvormen zijn minder gevarieerd. Er is weinig aandacht voor topwiskunde of de wiskundige cultuur van een tijd. Er zijn nauwelijks open opdrachten, waarbij meerdere oplossingen mogelijk zijn. Stelling – bewijs, stelling – bewijs, stelling – bewijs. Door het monotone lespatroon blijft er van het aangeleerde op lange termijn weinig hangen. Het emotionele register is hoofdzakelijk negatief georiënteerd. Terwijl de wiskunde zelf – als vakgebied, maar niet als schoolvak – ruimte laat voor zo veel meer emoties: nieuwsgierigheid, verwondering en verbondenheid.

Wiskundeleerkracht Larry Martinek uit Los Angeles in de Verenigde Staten verwoordt het als volgt: ‘Kinderen haten geen wiskunde. Wat ze haten is verward, geïntimideerd en in verlegenheid gebracht worden door wiskunde. Met begrip komt passie, en met passie komt groei – een schat wordt ontgrendeld.’

Wiskunde heeft een rijke geschiedenis en laat ruimte genoeg voor exploratieve opdrachten naast de repetitieve, die ook nodig zijn om vaardigheden in te oefenen. Ik vind het inspirerend dat wiskundeleerkrachten wereldwijd ideeën uitwisselen over hoe ze hun eigen passie voor het vak kunnen overdragen aan de nieuwe generatie. Op Twitter kan ik de volgende mensen van harte aanraden: Eugenia Cheng (@DrEugeniaCheng, auteur van How to bake π en Beyond Infinity), Matt Enlow (@CmonMattTHINK) en Dave Richeson (@divbyzero). Twee inspirerende hashtags zijn #MathArt en #tmwyk (talk math with your kids).

TegenSTEM

Met projecten over STEM wordt geprobeerd om de verbanden tussen vakken als wiskunde, fysica, chemie en informatica duidelijker te maken. Dat is een lovenswaardig doel, maar helaas werkt het in de praktijk polarisering in de hand tussen ‘talenmensen’ en ‘cijferaars’. De huidige campagnes lijken STEM namelijk boven andere vakken te verheffen. Terwijl er net over die grenzen heen nog zo veel inspiratie en leerwinst valt te halen.

Mijn eigen fascinatie voor fysica ontstond bijvoorbeeld door te lezen: eerst sciencefiction en daardoor steeds meer populairwetenschappelijke boeken. Zij gaven mij voor het eerst een beeld van het leven als onderzoeker: de interacties tussen mensen, het proberen, het falen en het sporadische succes. Daar ligt niet alleen de bron voor mijn studiekeuze (fysica), maar het gaf me ook de extra dosis moed om door te zetten op momenten dat ik een triviale oplossing niet zag: ‘Wiskunde is nu eenmaal moeilijk, maar moeilijk gaat ook’.

Het is mijn hoop dat er taalleerkrachten zijn die op hun leeslijst enkele boeken willen opnemen die relevant zijn voor STEM: denk aan Flatland bij Engels, of waarom geen non-fictie? Er zijn prachtige biografieën over wetenschappers. Het is hoog tijd dat taalleerkrachten en STEM-leerkrachten meer samenwerken.

Wie speelt er mee?

Deze column is in licht gewijzigde vorm verschenen in het novembernummer van Eos (2016).

Geen omgekeerde verzekering

Reclame voor tabaksproducten is in België al enige jaren verboden. Daardoor vallen de affiches me des te sterker op wanneer ik in Duitsland kom. Wat kansspelen betreft zijn de Duitse reclamewetten juist iets strikter: het is er namelijk verplicht om onder het grote jackpotbedrag de zeer kleine winstkans te vermelden. Maar met of zonder die maatregel blijft reclame voor kansspelen in mijn ogen even bizar als tabaksreclame.

De laatste keer dat ik in Duitsland was doceerde ik er op een zomerschool met als thema ‘rationaliteit’. Filosofen stellen rationaliteit traditioneel voor als een ideale norm, maar in de praktijk moeten mensen beslissingen nemen onder tijdsdruk en op basis van onvolledige informatie. Psycholoog Herbert Simon heeft daarom het begrip ‘begrensde rationaliteit’ ingevoerd: wat is rationeel gegeven deze realistische beperkingen? Ik wil die vraag hier eens stellen over loterijen. Wat is rationeel om te doen: meespelen of niet?

(meer…)

Video van lezing: ‘Dat kan geen toeval zijn!’

Vóór de zomer gaf ik een lezing in de reeks “Lessen voor de 21ste eeuw” aan de KU Leuven. De titel was: ‘Dat kan geen toeval zijn!’ Over waarschijnlijkheid: van objectieve kansen tot subjectieve graden van geloof. (Dat kondigde ik toen ook aan op mijn blog.) Daarin had ik het onder andere over de wet van de waterkans. En mijn belangrijkste les voor de 21ste eeuw was dat alle waarschijnlijkheden voorwaardelijk zijn – al blijft het een hele klus om dat goed te communiceren.

Over mijn college schreef ik een Nederlandstalig hoofdstuk voor het bijbehorende boek, maar daarvoor moest ik het copyright overdragen en daarom kan ik het niet legaal online plaatsen.

Er werd een opname gemaakt van de lezing, die ik hier wel mag delen.

De video laat niet alle dia’s goed zien, maar die kan je hier als pdf downloaden. Ook de handout staat online.

Reaction to “Believing the unlikely”

Over on OUPBlog, Martin Smith wrote a blog post, related to his book “Between Probability and Certainty: What Justifies Belief” (that I haven’t read yet). He presents an example in which, he claims, it is rational to believe the unlikely. Please read his blog post first, then return here to read my reaction below. :-)

Laplace quote.

TL;DR: I’m still a Laplacian on this matter. ;-)

(meer…)

Kans op chocoladetaart

Zopas verscheen mijn artikel (samen met Jan-Willem Romeijn) “New theory about old evidence” in de papieren versie van het filosofische vaktijdschrift Synthese. Het is open-access, dus je kan het artikel integraal online lezen. Naar aanleiding van dit artikel schreef ik vorig jaar een column voor Eos, die ik nu ook online plaats.

Op = op!

Deze column is in licht gewijzigde vorm verschenen in het januarinummer van Eos (2016).

Waarschijnlijkheid is als een chocoladetaart: je hebt er maar honderd procent van en eens die verdeeld is, is het op. Als je een muntstuk opgooit zijn er twee mogelijke uitkomsten: kop of munt. Als je vijftig procent kans toekent aan de ene mogelijkheid, dan blijft er automatisch vijftig procent over voor de andere.

Wetenschappers kennen niet alleen waarschijnlijkheden toe aan mogelijke uitkomsten, maar ook aan hypotheses. Biologen doen bijvoorbeeld onderzoek naar de vraag hoe plantenwortels reageren op de aanwezigheid van voedingsstoffen of zware metalen in de bodem. Stel dat ze aanvankelijk acht hypotheses hebben, die ze ongeveer even plausibel achten. Elke hypothese krijgt waarschijnlijkheid één achtste. Het is als een feest met acht gasten: je deelt de taart in acht gelijke stukken en iedereen is tevreden.

Uiteraard kunnen wetenschappers hierover van mening verschillen: als de hypotheses opgesteld zijn door acht teams van biologen, dan is het best mogelijk dat elk team de eigen hypothese het meest waarschijnlijk vindt. Ieder team wil als het ware het grootste stuk taart voor zichzelf. Dat klinkt erg subjectief, maar dat hoeft geen groot probleem te zijn, zolang ze maar overgaan tot de volgende stap: het doen van experimenten, hun resultaten delen en op basis daarvan hun oordeel herzien.

De stelling van Bayes zegt precies wat we moeten doen als we nieuwe informatie krijgen: op basis van onze oorspronkelijke waarschijnlijkheidsverdeling en de experimentele evidentie bekomen we de nieuwe waarschijnlijkheid van alle hypotheses. Als sommige hypotheses minder waarschijnlijk worden, worden de andere automatisch meer waarschijnlijk. De som blijft immers honderd procent. Je kan het je ongeveer zo voorstellen: je hebt de taart eerlijk verdeeld, maar dan blijken enkele gasten op dieet te zijn en schuiven ze de anderen extra stukjes toe.

Waarschijnlijkheid is als een chocoladetaart.

De kansrekening gaat ervan uit dat we op voorhand alle opties kennen, maar als je waarschijnlijkheden wil toekennen aan wetenschappelijke hypotheses is die aanname niet realistisch. Wetenschappers bedenken namelijk gaandeweg nieuwe hypotheses. De teams van biologen zien bijvoorbeeld dat geen enkele van de vooraf bedachte hypotheses de experimenten goed kan verklaren en gaan op zoek naar een alternatief.

De stelling van Bayes, die ons leert hoe we de waarschijnlijkheid moeten herverdelen tussen de hypotheses die van meet af aan meededen, zegt niet wat er gebeurt als er een nieuwe hypothese op de proppen komt. Als wetenschapsfilosoof buig ik me over die vraag: hoe moeten we nu waarschijnlijkheden toekennen aan de huidge hypotheses als we weten dat er later nog alternatieve opties kunnen worden bedacht?

Stel je het volgende scenario voor: je geeft een verjaardagsfeest en je hebt de taart net aangesneden en uitgedeeld onder de genodigden. Dan gaat de bel: er staat een onverwachte gast aan de deur. Wat nu gedaan? Er zit niets anders op dan blozend de taart te herverdelen.

Als je veel familie en vrienden hebt die graag spontaan langskomen, dan leer je op den duur een stuk taart opzij te zetten in de koelkast. Ook als je nog niet weet wie het dit jaar zullen zijn, toch kan je je voorbereiden op die eventuele laatkomers. Als je het slim aanpakt, geef je bijvoorbeeld telkens de helft van de hoeveelheid taart die je nog hebt. Als er dan meer mensen opdagen dan verwacht, kan je ze altijd nog een stuk aanbieden. En anders heb je zelf nog een stukje de dag nadien.

Kan je zoiets ook doen voor toekomstige wetenschappelijke theorieën? Het antwoord is “ja”: één mogelijkheid is om een catch-all-hypothese te maken. Dat is een hypothese die zegt: “Geen van bovenstaande”. Een soort rommellade waar je later specifieke hypotheses uit kan opvissen. Zo kan je alvast enige waarschijnlijkheid reserveren voor het geval er een nieuwe hypothese wordt bedacht. De catch-all-hypothese zegt dat wellicht nog niet alle hypotheses zijn aangekomen en de waarschijnlijkheid die we vooraf aan die mogelijkheid toekennen, kunnen we achteraf herverdelen.

De kans dat de wetenschap ooit af is lijkt me zeer klein. En als het tegen de verwachting in toch gebeurt, heb ik nog een stuk chocoladetaart in de koelkast.

Aankondiging: Lezing over waarschijnlijkheid (21/3)

Morgenavond (maandag 21 maart om 19u30) geef ik een lezing over waarschijnlijkheid in de Pieter De Somer-aula van de KU Leuven. Dit is een “Les voor de 21ste eeuw”, de laatste van dit academiejaar. Het is een grote aula, dus er is vast plaats voor extra geïnteresseerden. ;-) Ik geef er een soort best of van mijn vak over filosofie van de waarschijnlijkheid: het gaat over geschiedenis, wiskunde, filosofie en psychologie van waarschijnlijkheid.

De volledige titel is: ‘Dat kan geen toeval zijn!’ Waarschijnlijkheid: van objectieve kansen tot subjectieve graden van geloof.

Hier alvast de handout van mijn lezing, die een samenvatting is van het hoofdstuk dat ik schreef voor het boek bij de lezingenreeks (dat ook morgen verschijnt).

Aanvulling 22 maart 2016:

Ook de dia’s staan online, trouwens van (bijna) alle lezingen uit de reeks.

Erratum bij mijn hoofdstuk in het boek (p. 286): het publicatiejaar bij Kolmogorov is 1933, er staat 1956, maar dit is de datum van de Engelstalige vertaling.

Onmogelijke fysica

Onderstaand kortverhaal stuurde ik in voor de Quantum Shorts 2015: “A contest for quantum-inspired flash fiction”. Het haalde niet de shortlist, maar het was erg leuk om nog eens een poging tot fictie te doen. Met dank aan Maureen Voestermans voor de tip. :-)

Impossible physics

“Tell me something new, Maya,” my grandfather says as he opens the door.

It has become his standard greeting since I started studying physics. Some say that he is becoming a grumpy old philosopher, but to me he is kind and bright as ever. He is always eager to hear about my experiences at the university.

“This semester we started a course on quantum mechanics, grandpa.”

He sighs almost inaudibly. During his career, he spent quite some time at the lab checking out experiments by Otto and Walther, his physicist friends. He was particularly interested in the measurements of the spin of silver atoms. Many of the physicists tried to explain why these measurements always end up at one end of the measurement axis, in the so-called plus state. Unlike them, my grandfather expected at least some measurements to result in the highly speculative minus state, but he never witnessed it. Nobody ever did.

To lift his spirit, I start telling him about some of my own speculations.

“Let’s try a thought experiment, grandpa. For the sake of the argument, suppose that there is another world, much like ours, except that when Otto and Walther made the first spin experiment with silver atoms, all the spins resulted in the minus state.”

“Poor people,” he replies, “they would be in the same predicament as our physicists!”

“Sure, but now image yet another world, in which about half of the measurements came up plus and the other half minus.”

He starts to look more interested. “Well, Maya, there could be many such worlds, each only different in which experimental runs showed the plus result and which the minus result.”

I go on. “In each of those worlds, people would be trying to explain the particular pattern they found, rather than the old question of why they all end up at the plus-hand side.”
Well done, Maya. Now, I am just reminding him of his frustrations rather than diverting him. But he doesn’t seem to mind.

“Or,” grandpa says, “maybe some researchers would suspect that the outcomes are unpredictable.”

He started playing the “or” game, in which we entertain alternative hypotheses just for the fun of it. I gladly play along.

“Or,” I say, “some of them would start believing in parallel worlds. They would start speculating about other worlds, with similar statistics as their own, but different patterns in individual outcomes.”

”Or,” he says, “if they believed that all possible outcomes are realized in some world, they would realize that there are also many worlds with slightly different statistics, and some in which the statistics are way off, and then two in which there appears to be no unpredictability at all.” He pauses and waves his hand as if he is seeing a ghost. “They would have no way to contact us, of course.”

As he speaks these words, I feel a chill along my spine. He continues.

“At least they would imagine us to be possible, whereas all the physicists in this world deem them impossible.”

“We are being exceptionally silly tonight, right, grandpa?”

He starts laughing: a contagious belly laugh. My favorite sound in this Universe, and possibly beyond.

He nods, but I notice a sparkle in his eyes – a new sense of hope.

Elkaar eerlijk houden

Dit stukje is een reflectie over slodderwetenschap en de vraag of er iets aan te doen is. Hierbij komt een contrast tussen twee types van doelen naar voren. Even overwoog ik om stoute onderzoekers in de hoek te zetten, maar uiteindelijk komt mijn voorstel hierop neer: wetenschappers kunnen in teamverband helpen om “elkaar eerlijk te houden”.

~

Ariely over oneerlijkheid

Dit is natuurlijk een thema waar ik al eerder over geschreven heb (zie “Opgebrande wetenschap“), maar de directe aanleiding voor dit stukje is tweevoudig:

  • Recent had ik een gesprek met enkele collega’s over het thema slodderwetenschap. Hierin kwamen thema’s aan bod gebaseerd op deze lezing door Gerrit Storms (1 uur) over fraude in de wetenschap.
  • Kort daarna zag ik toevallig een filmpje (11 minuten) waarin Dan Ariely aan het woord is over een algemener verschijnsel, dat van oneerlijkheid.

Uit het tweede filmpje onthou ik deze vier punten:

(i) Blijkbaar zijn er in alle domeinen pathologische leugenaars zijn. In de wetenschap moeten we daar uiteraard ook waakzaam voor zijn (en klokkenluiders beschermen etc.), maar aangezien het collectieve effect van kleinere foutjes doorgaans groter is, moeten we vooral daar kijken hoe we die grote aantallen kunnen verminderen.

(ii) De afstand vergroten tussen gedrag en de impact ervan maakt oneerlijkheid gemakkelijker. Ook in de wetenschappen hebben er zich heel wat lagen administratie opgestapeld. Zo wordt het effect van een slordig uitgevoerd experiment of zelfs een frauduleus rapport op “de wetenschap” subjectief als steeds indirecter ervaren.

(iii) Mensen rationaliseren wat ze doen (en ik speculeer dat academici daar bovengemiddeld goed in zijn) en eens ze daarin slagen kunnen ze dezelfde fouten blijven maken en erin doorschieten.

Dit leidt tot het volgende punt: (iv) de nood om een soort reset-optie in te bouwen. In andere domeinen zijn er strategieën om mensen een nieuwe start maken (zoals in de katholieke traditie het biechten).

Vooral over punt (iv) wil ik in dit stukje graag wat verder doordenken.

~

Stoute wetenschappers in de hoek?

Bij Ariely’s voorbeeld van de biecht moest ik denken aan een seculiere variant, namelijk de procedure om een kind in de hoek zetten: (meer…)

Wat is de kans dat jij geboren bent?

Over mijn deelname aan FameLab eerder dit jaar heb ik verschillende blogposts geschreven. Ook de opnames van de Belgische finale staan al enige tijd online. Maar blijkbaar ben ik vergeten de opname van mijn pitch ook hier te plaatsen.

Terwijl ik tijdens de voorrondes uitlegde hoe zeepbellen aan hun kleuren komen, deed ik in de finale een poging om in drie minuten antwoord te geven op volgende vraag:

“Wat is waarschijnlijkheid?”

Geen sinecure, gezien ik vorig jaar een heel vak heb gegeven over deze en aanverwante vragen uit de filosofie van de kansrekening. ;-)

Het was in het Engels, maar er staan Nederlandse ondertitels bij. Bij deze dus, mijn drie minuten over kansrekening:

[error]Opgelet, de ondertitels zijn niet door mij gemaakt en er zit een cruciale fout in. Ik zeg “70 trillion“, maar ik gebruik short scale. In het Nederlands correspondeert dat niet met “70 triljoen”, maar ‘slechts’ met “70 biljoen” (70*10^12)![/error]

Transcriptie van de Engelstalige versie: na de vouw.

(meer…)