Tag Archief: kansrekening

Goochelen met deuren en kansen

Ik blog al bijna vier jaar en daarbij gaat het regelmatig over kansrekening. Toch heb ik het hier nog niet gehad over het drie-deuren-probleem – ook bekend als het probleem van Monty Hall. Bij de paradox van de Schone Slaapster kwamen de drie deuren wel zijdelings ter sprake, maar daar bleef het bij. Tot nu althans. Naar aanleiding van een blogbericht van Jean Paul Van Bendegem – over de vraag hoe we de oplossing voor het drie-deuren-probleem het beste kunnen uitleggen (zonder wiskunde) – schrijf ik met alle plezier mijn driehonderste bericht precies hierover. :-)

Of een lama!

Als je verkeerd kiest, win je niets. Of een geit. Of een lama. Zonk!

Het probleem

[important]Stel je voor dat je mee doet aan een ouderwetse spelshow op TV. Je maakt kans op een hoofdprijs (bijvoorbeeld een auto), maar als je pech hebt win je niets (of een geit).

Je staat naast de presentator (Monty Hall) voor drie gesloten deuren. Je mag een deur kiezen en de prijs erachter straks mee naar huis nemen.

Nadat je je keuze bekend hebt gemaakt, opent een assistent die weet waar de hoofdprijs staat één van de twee andere deuren, zodat je kan zien dat daar alvast niet de hoofdprijs staat.

Nu geeft de presentator je de mogelijkheid om nogmaals te kiezen: blijf je bij de deur die je in het begin gekozen had, of kies je de andere deur?[/important]

Wat denk je:

  • Bij je eerst keuze blijven geeft je de grootste kans om te winnen.
  • Van deur veranderen geeft je de grootste kans om te winnen.
  • Het maakt niet uit.

De oplossing

[spoiler]Als je verandert van deur heb je meer kans om de prijs te winnen. Voor veel mensen is dit tegen-intuïtief: lees voor de uitleg verder na de vouw.[/spoiler]

(meer…)

Nationale WetenschapsQuiz 2014

Binnenkort wordt de NWQ 2014 uitgezonden: namelijk op zondagavond 28 december om 22u35 op NPO 2. De vragen vind je hier. De deadline om mee te doen is inmiddels verstreken, maar je kan ook live meespelen op de avond zelf.

Wij hebben gisteravond thuis eens ons hoofd gebroken over de opgaven. En nu zijn we vooral benieuwd naar het officiële antwoord op de volgende vier vragen.

 

Vraag 4

De ruimtesonde New Horizons beweegt met een snelheid van 15 kilometer per seconde naar de rand van ons zonnestelsel. Stel dat hij in de richting van de Sombrero-nevel gaat, die zich op 50 miljoen lichtjaar afstand van de aarde bevindt, wanneer komt hij daar dan aan?

  • A. Over ongeveer 1000 miljard jaar
  • B. Over ongeveer 50 miljoen jaar
  • C. Nooit

Als je de opgave domweg invult, enkel rekening houdend met de gegevens in de opgave en de lichtsnelheid, dan bekom je antwoord A.

Maar wat als je rekening houdt met de expansie van het universum? De Hubble-constante geeft de snelheid waarmee verafgelegen gebieden zich van de aarde afbewegen. Deze constante bedraagt ongeveer 68 km/s per Megaparsec (Mpc). Volgens de opgave bevindt de Sombrero-nevel zich op 50 miljoen lichtjaar afstand van de aarde, dit is op ongeveer 15 MPc (want 1 Mpc is ongeveer 3,26 miljoen lichtjaar). Gebruik makend van de Hubble-constante beweegt de nevel zich dus met ongeveer 100 km/s van de aarde. Kortom, met een snelheid van 15 km/s zal de sonde de nevel nooit bereiken.

Daarom kiezen wij voor antwoord C.

 

Vraag 15

In een grote bak water van 4°C leg je een blok ijs. Wat gebeurt er met het waterniveau terwijl het ijs smelt?

  • A. Het stijgt
  • B. Het blijft gelijk
  • C. Het daalt

Trouwe kijkers van de Nationale WetenschapsQuiz herkennen hierin de obligate Archimedesvraag.

Het antwoord bij dit type vraag is – als mijn geheugen me niet bedriegt – in voorgaande edities bijna altijd geweest dat het gelijk blijft. Ook deze keer lijkt dit zo: het gewicht van het (drijvende) ijs is precies gelijk aan het gewicht van het verplaatste water. Als het ijs smelt kan het dus precies het volume innemen van het ijs dat aanvankelijk onder water zat. Het waterniveau blijft dan gelijk.

Maar dan kwam Danny met de opmerking dat water van 4°C de grootste dichtheid heeft. Als het ijs smelt, zal het water geen water van 4°C zijn, maar iets kouder. Dit water heeft dan een lagere dichtheid en dus een groter volume: het waterniveau stijgt.

Ons antwoord is dus A.

Tenzij we ons moeten voorstellen dat het water continu op 4°C wordt gehouden door een extern warmtebad, maar dan lijkt er geen reden te zijn om specifiek te vermelden dat het om water van 4°C gaat. Toch?

 

Vraag 11

Een stel heeft twee kinderen. Moeder vindt spruitjes niet bitter, vader wel. Het proeven van bitter is een dominante eigenschap van één gen. De werkzame en de niet-werkzame versie van dit gen komen even vaak voor. Wat is de kans dat beide kinderen de spruitjes niet bitter vinden smaken?

  • A. Een vierde
  • B. Een zesde
  • C. Een negende

Voor deze vraag over kansrekening denk ik dat het antwoord B is. Korte uitleg: in 2/3 van de gevallen heeft de vader precies één recessief gen, waarbij er telkens 1/2 kans is om het niet door te geven: 2/3 * 1/2 * 1/2 = 1/6.

Het enige dat me wat ongerust maakt is dat ik in dit geval de andere opties niet kan verklaren via voor de hand liggende fouten. Via een opzettelijk foute redenering kwam ik bij 1/8 uit, maar die optie staat er niet tussen. Daardoor twijfel ik nu of ik toch zelf niets over het hoofd zie. Spannend!

 

Vraag 7

Als je een oneindig grote vloer aaneengesloten zou betegelen met deze strikjes- en bootjestegels, wat is dan de verhouding tussen strikjes en bootjes?

  • A. 1 strikjestegel op 2 bootjestegels
  • B. Minder dan 1 strikjestegel op 2 bootjestegels
  • C. Meer dan 1 strikjestegel op 2 bootjestegels

De strikjes en tegels zie je links in de figuur hieronder. Op een zijde met uitstulping (driehoekjes in het origineel; cirkels bij mij) moet een zijde zonder uitstulping aansluiten.

Strikjes en bootjes.

Strikjes en bootjes.

Hierbij zijn we niet tot een antwoord gekomen. We berekenden wat hoeken, maar het probleem waren vooral de uitstulpingen, waardoor niet alle zijden op elkaar passen. Enig tekenwerk op papier leverde al snel op dat eenvoudige periodieke patronen niet kloppend te maken zijn. Om een beetje te kunnen puzzelen maakte ik bovenstaande oefening in Powerpoint. Daar liep ik vast.

Zou het hier om werkelijk om niet-periodieke (Penrose-) betegeling kunnen gaan? (En is dat misschien de reden voor de eerder vage opties B en C?)

Ha, Arnout Jaspers van KennisLink denkt alvast van wel!

 

Aanvulling:

De vragen die aansluiten bij ruimtevaart (vragen 4 en 8) worden hier bediscussieerd en wat vraag 4 betreft lijken ze hier ook tot optie C te besluiten. :-)

Er is ook een Reddit met discussie over alle vragen. Daar twijfelen ze ook nog over vraag 15, om precies dezelfde redenen als wij. En voor de kansrekeningvraag bekomt er iemand 1/4 en iemand anders 1/9, waardoor ik er iets geruster in ben dat mijn redenering toch juist is. :-P

Herfst-symposium in zes beelden

Hé, jullie hebben nog een verslag te goed! Namelijk van het herfst-symposium “Determinisme & Indeterminisme in de Fysica” dat ik organiseerde op woensdag 26 november 2014 in Groningen. Dit doe ik aan de hand van zes foto’s.

Zes foto's van het symposium.

Deze foto’s werden tijdens het symposium gemaakt door onze voorzitter Fred Muller.

Foto (1) – De middag werd geopend door Fred Muller (U Utrecht; voorzitter NVWF) en door mij (in de hoedanigheid van secretaris van de NVWF en projectleider Veni).

~

Voor de pauze: twee presentaties over (in-)determinisme in de klassieke fysica.

Foto (2)Dennis Dieks (U Utrecht) gaf een presentatie over “Determinisme en Wetmatigheid”. Eerst legde hij uit dat hij met determinisme (in de natuurwetenschap) een eigenschap van de theorie bedoelt. Over de wereld kan eventueel enkel iets gezegd worden via zo’n theorie. Bovendien houdt determinisme niet noodzakelijk voorspelbaarheid in.

Vervolgens stelde Dieks zich de vraag of Newtoniaanse mechanica deterministisch is. Dit lijkt misschien een vreemde vraag: de klassieke mechanica van Newton is immers het schoolvoorbeeld van een deterministische theorie! Recent is in de wetenschapsfilosofie (met name door John Norton) echter aangevoerd dat dit folkore is: er zijn differentiaalvergelijkingen die fysisch geïnterpreteerd kunnen worden maar die (voor welbepaalde beginvoorwaarden) geen unieke oplossing hebben. Dieks is echter van mening dat de randvoorwaarden even belangrijk zijn als de ‘wetten’ en dat men zich enkel van het geheel (theorie plus randvoorwaarden) moet afvragen of het deterministisch is. Op deze manier tracht hij te voorkomen dat de notie van determinisme trivialiseert.
Hij sloot af met verdere bedenkingen over de notie van natuurwetten.

*** Meer details vind je in de slides van de presentatie van Dennis Dieks. ***

DeWet.

Als de wet het zegt…

~

Foto (4)Marij van Strien (Max Planck Institute for the History of Science, Berlijn) presenteerde enkele “Discussies over (in-)determinisme in de tijd van Laplace”. Zij besprak dus de ideeën over metafysica en continuïteit bij auteurs uit de achttiende en negentiende eeuw.

In zijn beroemde Essai bespreekt Laplace een intellect (later de ‘demon van Laplace’ genoemd) dat in staat zou zijn om de toestand van de wereld in het volgende moment (en eender welk toekomstig of verleden ogenblik) te bepalen op basis van een volledige kennis van de huidige toestand. Van Strien plaatst een aantal kanttekeningen bij deze passage: andere auteurs hebben eerder en preciezer over dit idee van gedetermineerdheid geschreven. Dat de passage vrij slordig geformuleerd is en dat het idee erin niet origineel is, hoeft ons niet te verbazen als we in rekening brengen dat hij afkomstig is uit het Essai: een populariserende tekst over kansrekening. Bovendien merkt Van Strien op dat de visie van Laplace beïnvloed is door de Leibniziaanse metafysica, met name waar hij een beroep doet op het principe van voldoende grond.

Émilie du Châtelet.Du Châtelet ging op zoek naar extra voorwaarden, naast de bewegingsvergelijkingen, waaraan de beweging moet voldoen opdat gedetermineerdheid van de volgende toestand uit de vorige wordt bekomen. Ze nam aan dat alle natuurlijke processen continu verlopen en dat dit determinisme verzekert. Deze continuïteitswet sluit bijvoorbeeld botsingen tussen (perfect) harde lichamen uit. Bij zo’n botsing treedt er immers een instantane omkering op van de richting van de snelheden, wat samengaat met een discontinuïteit van de versnelling.

Boscovich gaf in 1758 een definitie van gedetermineerdheid – preciezer dan de informele verwoording van Laplace en zonder beroep te doen op Leibniziaanse metafysica. Ook hij stelde een strenge continuïteitseis voor om determinisme te verzekeren: zijn voorstel sluit botsingen tussen perfect harde lichamen uit (net als bij Du Châtelet), maar heeft bijvoorbeeld ook problemen met de situatie waarin iets recht omhoog gegooid wordt.

*** Meer details vind je in de slides van de presentatie van Marij van Strien. ***

~

Na de pauze: twee presentaties over (in-)determinisme in de kwantumfysica.

Foto (5)Ronnie Hermens (Ru Groningen) gaf een presentatie met als titel “Indeterminisme en waarschijnlijkheid in de quantamechanica” (zijn alternatieve benaming voor ‘kwantummechanica’: zie ook dit bericht). Hij begon zijn presentatie eerst met een verkenning van mogelijke invalshoeken voor het onderwerp.

In de rest van de presentatie stonden de Bell-ongelijkheden centraal. Het artikel van Bell is in 1964 verschenen, precies 50 jaar geleden dus, en het wordt per vijf jaar steeds meer geciteerd. Zoals bij elk theoretisch resultaat hangt ook de afleiding van de Bell-ongelijkheden af van een aantal aannames. Diverse auteurs hebben echter een andere analyse gemaakt van wat die aannames in dit geval zijn. Hermens besprak eerst de analyse van Earman (1986) en dan twee recentere publicaties: van Cator en Landsman (2014) en van Maudlin (2014).

Hermens komt tot de conclusie dat er in feite verschillende varianten zijn van ‘de stelling van Bell’. Wat betreft de determinisme-kwestie (het onderwerp van het symposium) is de analyse van Cator en Landsman (die determinisme als één van de aannames opnemen) informatief, wat niet geldt voor de analyse van Maudlin.

*** Meer details vind je in de slides van de presentatie van Ronnie Hermens. ***

~

Foto (3)Gerard ’t Hooft (U Utrecht) gaf een lezing over “Kwantummechanica en Cellulaire Automaten: de CA interpretatie”. Hij begint met de observatie dat determinisme een kwestie is van alles of niets. Een deterministische theorie kan alsnog onvoorspelbaar zijn: dat is het geval bij deterministische chaos. Het idee van ’t Hooft is nu dat de onvoorspelbaarheid van de kwantummechanica van dezelfde vorm zou kunnen zijn: dat wil zeggen dat er een onderliggende theorie is die het universum op een nog kleinere schaal beschrijft en dit op een discrete, lokaal deterministische manier. De variabelen in deze theorie zijn ontologisch en commuteren altijd; in het Engels noemt t’Hooft ze ‘beables’ (naar Bell). Op die kleine schaal werkt het universum dan als een cellulaire automaat (CA), terwijl het op een grotere schaal nog steeds beschreven kan worden met kwantumtheorie.

Met enkel kennis op de schaal van de kwantummechanica is het echter niet mogelijk om de juiste CA-theorie te selecteren. We kennen daarmee namelijk onvoldoende details om de ontologische basis te bepalen. Hierdoor kan de theorie enkel worden uitgeschreven in termen van ‘sjablonen’ (superposities van de – tot op heden onbekende – ontologische toestanden).
Het beschrijven van macroscopische toestanden wordt in deze aanpak een kwestie van statistiek in plaats van het gebruikelijke verhaal van decoherentie.

Aangezien dit een deterministische theorie is, ligt op voorhand vast welke experimenten er gedaan zullen worden. Dit wordt ook wel superdeterminisme genoemd, hoewel het eigenlijk geen bijkomende aanname betreft: alles voldoet aan dezelfde wetten. Dit blijft echter praktisch onvoorspelbaar.

*** Meer details vind je in de slides van de presentatie van Ronnie Hermens. ***

Over de aanpak van ’t Hooft verscheen er eerder bovendien een toegankelijk stuk bij Kennislink.

~

Foto (6) – Om de middag af te sluiten werd er een forum georganiseerd, waarbij de sprekers over gemeenschappelijke thema’s discussieerden aan de hand van vragen uit het publiek.

Persoonlijke noot: het voelde die hele dag alsof ik jarig was. Ik had namelijk een aantal mensen uitgenodigd, ze brachten allemaal een cadeau mee (in de vorm van een mooi verhaal) en achteraf gingen we rustig iets eten en napraten. Zo ging het forum dus verder na het officiële programma. En, nee, hier zijn geen foto’s van. ;-)

Dankbetuiging: Ik ben het NWO dankbaar voor financiële steun.

Aanvulling (22 december 2014):

Het verslag staat nu ook in pdf-vorm op de NVWF-website: link.

Koordeprobleem

Op zondag kreeg ik een vraag in mijn mailbox van David Vandormael, die ik hier (met zijn toestemming) deel. Hij had onlangs het boekje “Mathematische denkspelletjes” van Robert Müller op de kop getikt. Daarin vond hij op pagina 81 een puzzel over kansrekening:

“Vanuit een punt P op de omtrek van een cirkel trekt men een willekeurige lijn PQ. Hoe groot is de waarschijnlijkheid dat een willekeurige andere lijn die vanuit P wordt getrokken, korter is dan PQ?

Koordeprobleem.

Figuur 1: Het koordeprobleem uit het boekje van Robert Müller: de opgave (links) en de constructie voor de oplossing (midden en rechts). (Gebaseerd op een scan die bij DV’s e-mail zat.)

In zijn e-mail, vermeldde David Vandormael ook de oplossing uit het boek:

“Men lost dat heel mooi op de volgend manier op: we trekken vanuit P een lijn PQ’, die even lang is als PQ. Het is dan eenvoudig in te zien dat een willekeurige lijn PZ langer is dan PQ, als Z tussen Q en Q’ op de omtrek van de cirkel ligt (groen op de tekening). Alle andere lijnen zoals PK, zijn korter dan PQ (rood op de tekening). Hieruit volgt dat de verhouding tussen de lengte van de cirkelboog die wordt begrensd door Q, P en Q’ en de omtrek van de cirkel de waarschijnlijkheid aangeeft.

Als bijvoorbeeld PQ gelijk is aan de straal van de aangegeven cirkelboog, dan is de waarschijnlijkheid dat een willekeurige koorde korter dan PQ is, 1/3. Men kan namelijk een straal van een cirkel precies zes maal afpassen op de omtrek van de cirkel (dat is de constructiemethode van de regelmatige zeshoek).”

Figuur 2 is een illustratie van dit speciale geval.

Koordeprobleem.

Figuur 2: Speciaal geval, waarbij de lengte van PQ gelijk is aan de straal van de cirkel (R).

Tot hiertoe was hem alles duidelijk. Maar toen bedacht hij zelf een andere vraag bij deze opgave, waar infinitesimale kansen bij komen kijken. Dit was ook de reden dat hij bij mij kwam aankloppen:

“[T]oen kwam bij mij de vraag op wat de kans is dat een willekeurige lijn getrokken vanuit P op de omtrek van die cirkel, precies even lang is als PQ (dus niet korter of langer). En dan bleek dat er maar precies 1 zo’n lijn is op oneindig veel lijnen (namelijk PQ’ is precies even lang als PQ) of als we het met lengtes doen: de kans is de verhouding van de lengte op de cirkelomtrek van 1 zo’n lijn op de totale omtrek van de cirkel: dus een oneindig kleine lengte/de lengte van de cirkelomtrek wat dus volgens mij overeenkomt met een oneindig kleine kans of anders gezegd: een kans nul (maar niet niks want er is wel 1 zo’n lijn en dus is er wel een heel kleine of infinitesimale kans). Is dit juist?

Joseph Bertrand.

~

In mijn antwoord vertelde ik eerst eerst iets over oorspronkelijke opgave en dan iets over zijn vraag rond infinitesimale kansen.

~

Eerst iets over de originele puzzel. Zo’n lijnstuk dat twee punten op een cirkel met elkaar verbindt, noemen wiskundigen een koorde en dit vraagstuk is verwant aan het koordeprobleem van Bertrand. (Dat is dezelfde Bertrand als die van het doosjesprobleem). Bij het koordeprobleem van Bertrand luidt de opgave als volgt:

Beschouw een gelijkzijdige driehoek en de omgeschreven cirkel. Veronderstel dat er een willekeurige koorde van de cirkel gekozen wordt. Wat is de kans dat de koorde langer is dan een zijde van de driehoek?

Hierbij is er discussie mogelijk over wat het juiste antwoord is. De ambiguïteit ontstaat doordat het niet helemaal duidelijk is hoe we “een willekeurige koorde van de cirkel” moeten interpreteren. Ik doceer dit vraagstuk in mijn les over de geometrische interpretatie van kansrekening en het indifferentieprincipe van Laplace. Drie verschillende redeneringen leiden tot drie verschillende resultaten: 1/2, 1/3, of 1/4. (De Nederlandstalige Wikipedia-pagina volstaat voor de illustraties; meer context op de Engelstalige Wikipedia-pagina).

Koordeprobleem.

Figuur 3: Het koordeprobleem van Bertrand.

Het vraagstuk uit het puzzelboekje, verschilt op drie punten van de Bertrands koordeprobleem:

  • het gaat om de kans dat een andere koorde korter is dan een gegeven koorde, terwijl in het vraagstuk van Bertrand naar de kans op een langere koorde wordt gevraagd;
  • de referentielengte (lengte van de eerste koorde) is er tussen 0 (nul) en 2 \times R (diameter van de cirkel), terwijl dit bij de koordeparadox \sqrt{3} \times R is (zijde van de ingeschreven gelijkzijdige driehoek);
  • er wordt één punt op de cirkel vast gekozen, terwijl bij de koordeparadox beide eindpunten vrij zijn.

Vooral deze laatste aanpassing is van belang om de ambiguïteit in het originele probleem weg te nemen. We moeten niet weten wat “een willekeurige koorde van de cirkel” is, maar enkel wat “een willekeurige andere lijn die vanuit P wordt getrokken” is. Daarbij lijkt het duidelijk dat we een tweede willekeurig gekozen punt van de cirkel moeten beschouwen. (Of een willekeurige hoek ten opzichte van de raaklijn aan de cirkel in punt P tussen 0 en pi, maar dat komt op hetzelfde neer.) Het antwoord kan dan worden bekomen zoals hoger aangegeven (dat wil zeggen: als de verhouding tussen de relevante booglengte en de omtrek van de cirkel). Voor het speciale geval waarbij de lengte van PQ R is (Figuur 2), is de kans dat een willekeurige andere koorde korter is dan PQ 1/3; de kans dat deze langer is, is dus 2/3. Voor het geval waarbij de lengte van PQ \sqrt{3} \times R is (Figuur 3), is de kans dat een willekeurige andere koorde langer is dan PQ 1/3. (Dus de “willekeurige eindpunten”-methode in de Wikipedia-pagina over de koordeparadox.)

~

Koordeprobleem.

Figuur 4: Een alternatieve vraag over koorden: de opgave (links) en de constructie voor de oplossing (rechts).

Dan iets over de bedenking rond infinitesimale kansen. Als we vragen naar de kans op een andere koorde die dezelfde lengte heeft als PQ, dan is er inderdaad één mogelijkheid op succes uit (overaftelbaar) oneindig veel mogelijkheden, waarbij al deze mogelijkheden een gelijke kans hebben. Met de klassieke kansrekening is deze kans nul. Er is ook een alternatieve kansrekening mogelijk (waar ik zelf aan werk: zie hier en hier), waarin deze kans een infinitesimaal strikt groter dan nul is. Terwijl de klassieke kansrekening met reële getallen werkt, werkt de alternatieve theorie met hyperreële getallen. Het reële getal nul is de dichtste benadering van alle mogelijke infinitesimale hyperreële getallen.

De term “infinitesimale kans” kan trouwens ook worden gebruikt in combinatie met de klassieke kansrekening: daarbij duidt deze term gebeurtenissen aan die (1) kans nul hebben, maar die (2) niet logisch onmogelijk zijn. (Bij dit vraagstuk zou een voorbeeld van een logisch onmogelijke gebeurtenis zijn: een koorde die zowel strikt kleiner is dan PQ en strikt groter is dan PQ; dit kan natuurlijk niet.) En dit komt dan precies overeen met de gevallen waarin de alternatieve kansrekening een strikt positieve, infinitesimale kans aan de gebeurtenis toekent. (Iets dat logisch onmogelijk is, krijgt ook in de alternatieve theorie kans nul.)

~

Kortom, de vraag die David Vandormael bedacht, is inderdaad een voorbeeld van een infinitesimale kans.

Universalisme

Arnold Zuboff.Ik ben ik.

En jij?

Jij kan – terecht – hetzelfde zeggen: “Ik ben ik.”

Bovendien ben ik altijd hier en is het voor mij altijd nu.

Volgens sommige filosofen zegt dit iets essentieels over de aard van subjectieve ervaring: dat ze direct is.

Eerder deze week schreef (en presenteerde) ik over de de oorsprong van de paradox van de Schone Slaapster in het werk van Arnold Zuboff. Het bericht van vandaag is een toegift bij mijn vierdelige reeks over die paradox (begin hier), want hierin kom ik terug op Zuboffs theorie van het universalisme.

Zuboffs universalisme

Arnold Zuboff staat universalisme voor. In “One self: the logic of experience” opent hij als volgt:

I believe that we are all the same person.

Zuboff gelooft dus dat we allen dezelfde persoon zijn. Die openingszin maakt meteen duidelijk dat het hier om een heel ander soort filosofie gaat dan die ik doorgaans lees (van auteurs à la Elga & co). Volgens mij zitten er gaten in zijn argumenten, vooral waar hij zich op loterijen en kansrekening beroept, maar het is wél een theorie waar een hart in zit. Het gebeurt niet vaak, maar zijn verhaal ontroerde me.

Afgaande op de informatie uit “One Self“, ontstond zijn theorie uit de volgende cocktail:

  • interesse voor sciencefiction en met name Clarkes verhaal van “The other tiger” (de mogelijkheid van nagenoeg identieke kopieën van mensen op andere planeten in een oneindig universum),
  • Sovjet-experimenten met hersentransplantaties tussen honden,
  • angst voor de dood en een daaruit voortvloeiende zoektocht naar een mogelijkheid tot onsterfelijkheid.

Op een zeker moment herinnert hij zich een oorlogsfilm die hij zag als tiener, waarin de ene na de andere soldaat werd omgelegd met machinegeweren:

I was thinking what my own life was for me – a whole rich world in its own right. But each time a soldier fell to that machine gun’s fire such a life turned to nothing – eternally.

Klaprozen als symbool voor vele gesneuvelde soldaten in de Eerste Wereldoorlog.(“Ik dacht aan wat mijn eigen leven voor mij was – een heel rijke wereld op zichzelf. Maar elke keer dat een soldaat viel door het geschut van machinegeweren veranderde zo’n leven in niets – voor eeuwig.”)

De jonge Zuboff vraagt zich af: hoe zou het zijn om dood te zijn? Het is niet alsof het een ervaring is van eeuwig niets, omdat er geen ervaring zal zijn. Zuboff kreeg kop nog staart aan zijn eigen eeuwige toekomst.

Hij bespreekt sciencefiction-achtige gedachte-experimenten van gedeeltelijke en hele breintransplantaties in de stijl van menselijke fusie- en fissie-experimenten, die nog steeds gangbaar zijn in sommige takken van de filosofie; in Oxford woonde ik zo’n lezing bij (zie einde van dit stukje). Hij schreef trouwens ook “The Story of a Brain” dat als hoofdstuk 12 verscheen in het boek “The Mind’s I” van Hofstadter en Dennett. Ik wil hier niet te diep ingaan op dit aspect, dus we gaan verder.

Als opstapje naar zijn “logica van de ervaring” presenteert Zuboff eerst een soort “logica van de roman”. Als één exemplaar van een boek vernietigd wordt (hij neemt Huckleberry Finn als voorbeeld), dan blijven de personages en diens avonturen verder bestaan in de andere exemplaren van het boek. (Dit vind ik al niet helemaal sluitend: personages komen maar ‘tot leven’ in onze verbeelding en de relatie met het boek waarin de roman is afgedrukt is dus gecompliceerder dan ze hier voorgesteld wordt.)

Zuboffs universalisme zegt dat wij in zekere zin net zoals romanfiguren zijn: zolang er iemand leeft, wordt de binnenwereld van de ervaring nooit echt dichtgeslagen. Zolang er nog een ‘ik’ is, ben ik dat.

Anthropisch principe

Een volgend ingrediënt in dit verhaal is het anthropisch principe, dat al eens aan bod kwam in een eerder blogbericht over fine-tuning.

De kans dat de fundamentele natuurconstanten zo zijn dat er daarmee een heelal ontstaat dat vatbaar is voor leven wordt zeer klein geacht. Het “anthropische principe” uit (de filosofie van) de fysica probeert dit enorme toeval te verklaren door op te merken dat alle waarnemingen bewuste waarnemers veronderstellen. Enkel als het heelal inderdaad zo is dat er leven in kan ontstaan, kan iemand zich daarin verwonderen over hoe klein die kans wel is.

Ik vind dit principe niet bevredigend. Het is inderdaad geen toeval dat wij in een universum leven dat levensvatbaar is: gegeven dat wij bestaan (en dit dus kunnen opmerken) is het zeker (niet alleen “met kans 1”, maar ook logisch zeker: je hebt er al op geconditionaliseerd) dat we in een levensvatbaar universum leven. Dit zegt echter niets over de kans dat zo’n universum – en daarmee wijzelf – überhaupt zou kunnen ontstaan.

Anderzijds vind ik het ook misleidend om stellig te zeggen dat de kans dat de parameters exact zo zouden zijn a priori heel klein was. Onze natuurkundige theorieën zelf zijn al permanent in ontwikkeling en om over deze kansen iets definitiefs te zeggen, zouden we een geconsolideerde metatheorie nodig hebben, maar die is er gewoon niet. Op dat niveau zijn er enkel speculaties en hoewel wilde ideeën de wetenschap kunnen voeden, zijn ze op zich nog lang geen wetenschap…

Zuboffs eerste poging tot een statistische oplossing

In een appendix bij “One self” schrijft Zuboff hoe hij als student voor het eerst in contact kwam met het probleem van het anthropisch toeval: via een stuk van F. R. Tennant, die een religieuze oplossing verdedigde. Volgens Tennant konden de natuurwetten niet toevallig precies zo zijn dat ze tot ons bestaan hebben geleid, maar moest een opperwezen dit doelbewust zo hebben afgesteld.

Terwijl Zuboff zijn gedachten over de dood ordende, zag hij een derde weg – naast onverklaarbaar toeval en religie – en dat was de statistiek.

Stel je voor dat er meerdere universa bestaan (of eventueel vele cycli van één universum) met onderling zeer uiteenlopende natuurwetten. (Zie ook dit blogstukje met een overzicht van multiversum-theorieën.) Als het maar enkele universa (of cylci) zijn, is de kans dat ze leven bevatten klein. Stel je echter zeer veel universa voor: de meerderheid heeft wetten die geen leven toelaten, maar het zou nu waarschijnlijk kunnen zijn (door het grote aantal universa) dat minstens één universum inderdaad leven bevat. Het feit dat het enige universum dat waargenomen wordt, datgene is met de natuurwetten die leven toelaten is in de context van zo’n multiversum geen toeval meer, maar veeleer een tautologie.

Russische Roulette.Toen Zuboff bovenstaand multiversum-argument (waar – zo wist hij inmiddels – ook door natuurkundigen als Hawking, Carr en Rees over nagedacht werd) presenteerde, kreeg hij tegenwind van Robert Stalnaker. Stel dat je meermaals Russiche roulette hebt gespeeld en dit steeds heb overleefd, zei Stalnaker, dan hoef je nog niet te concluderen dat er vele andere spelletjes gespeeld moeten zijn om jouw winst te verklaren (hoewel het spelen van meer en meer spelletjes het uiteraard wel meer en meer waarschijnlijk maakt dat iemand zal winnen).

Zuboff zag in dat zijn oplossing niet werkte. Later voegde hij nog een ingrediënt toe aan zijn multiversum-argument om het kosmische toeval te verklaren dat het universum levensvatbaar is.

Is elk individu hetzelfde?

Voor iedere bewuste waarnemer zijn al zijn eigen ervaringen ‘direct’, dit wil zeggen van de vorm: ‘ik/mijn’, ‘hier’ en ‘nu’. (Ik ben nooit daar; voor mij is het nooit morgen of gisteren.) Zuboff gaat echter een stap verder en zegt dat er geen zinvol onderscheid is tussen individuen (althans niet van binnenuit). Volgens hem doet het ‘token‘ (de identiteit van de waarnemer) er niet toe.

Als je akkoord gaat met die stap, dan:

  • is het roulette-probleem alvast opgelost. Als er genoeg Russissche roulette gespeeld wordt, zal er iemand winnen, en dat is automatisch een ‘ik’ – en bij Zuboff ben ik dat dus. (Of eigenlijk Zuboff zelf, maar dat maakt niet meer, zodra we de token-identiteit hebben losgelaten.)
  • is het anthropisch toeval geen toeval meer. In een voldoende groot multiversum, zal iemand vaststellen dat hij in een universum met levensvatbare natuurwetten leeft, en dat is automatisch een ‘ik’ – en dat ben ik dus (althans binnen de aanname van token-vrijheid).
  • is Sleeping Beauty altijd wakker, want ze kan alleen maar vaststellen ‘ik, nu, hier, wakker’. En is de kans die ze moet toekennen aan de mogelijkheid dat de muntworp kop was 1/3. (Je herinnert je misschien dat ik ook van mening ben dat kans 1/3 de enige oplossing is. Maar het is niet omdat een oplossing juist is, dat je geen alternatieve redenering kunt opstellen die ook tot dit antwoord leidt, hè.) En uiteraard ben ik die Schone Slaapster, maar dat is hier niet de beoogde conclusie, geloof ik. ;-)

Zuboff draait zijn oplossing voor het anthropische toeval nu om, om deze in stelling te brengen als argument voor universalisme: je bevindt je in een universum dat natuurwetten heeft die leven toelaten. Er zijn twee theorieën om deze vaststelling te verklaren: één die deze vaststelling duizelingwekkend onwaarschijnlijk maakt (zonder token-vrijheid) en één die het zeer natuurlijk maakt (een multiversum met token-vrijheid).

You must then accept the overwhelming likelihood of the theory favourable to your existence and your presence in a world that provides for it.

Kijk, zegt Zuboff, mijn theorie van token-vrijheid zorgt ervoor dat jij er automatisch bent in elke wereld waar er iemand is. En jij bent er. Kies dus voor de theorie die jouw aanwezigheid zo waarschijnlijk mogelijk maakt, en dat is het universalisme.

Universalisme op de trein

Ik schreef dinsdag al dat ik het artikel “One self: the logic of experience” vorig jaar per e-mail van Zuboff had gekregen. Nu moet je weten dat ik dit bestaan meteen heb afgedrukt in Groningen en gelezen op de trein terug naar Gent. Voor het laatste stuk, van Antwerpen naar Gent, zat ik in een treinstel zonder binnenverlichting. Telkens als we door een tunnel reden, moest ik dus even stoppen met lezen – en noodgedwongen zelf nadenken. (Nee toch, een filosoof die zit na te denken op de trein. Bel de krant!) Het was een heel drukke trein en de mensen rond me bleven in het donker natuurlijk wel verderpraten. Ik hoorde dus iets van wat zij dachten, maar zij hadden geen idee dat ik even – heel even – geloofde in universalisme. Heel even geloofde ik dat we allemaal dezelfde persoon zijn.

Sheeple.

Zuboffs universalisme is een zeer menslievende theorie. Zuboff gebruikt het universalisme als motivatie voor moreel gedrag. Hij start van de vraag: waarom zou ik iets doen voor een ander; waarom zou ik iets doen waar ik zelf niet beter van word? Zo bekeken lijkt moreel gedrag en solidariteit moeilijk te verklaren, maar in combinatie met universalisme is het duidelijk waarom je goed moet zijn voor anderen, want die ander dat ben jij ook. Het geeft je een warm gevoel als je jezelf toelaat de mogelijkheid even te overwegen. Helaas overtuigen zijn probabilistische argumenten me niet van de correctheid van zijn theorie.

Dit sluit uiteraard nog niet uit dat er andere argumenten kunnen zijn om tot (een soort van) universalisme te komen. In dit essay oppert Stephen T. Asma dat “het individu” wel eens een eigenaardige abstractie zou kunnen zijn en dat indivualisme dus geen goede basis is voor metafysica. Als we ander zien lijden, voelen we (mede door de werking van spiegelneuronen) zelf iets van de pijn van die persoon. (Westerse) filosofen vertrekken vaak van de schijnbare zekerheid dat de enige pijn die ik kan voelen mijn eigen pijn is. Maar als ik pijn voel omdat ik iemand anders zie vallen, is dat dan mijn pijn of niet?

Meer kijken, lezen en luisteren

De paradox van de Schone Slaapster (deel 4)

Zoals aangekondigd is dit het vierde deel in mijn reeks over de Sleeping Beauty paradox, een probleem uit de filosofie van de kansrekening. (Hier vind je de eerdere delen: 1, 2 en 3.)

Op zoek naar de bron

Doornroosje in de versie van Disney.Filosofen citeren als bron voor de paradox van de Schone Slaapster doorgaans een artikel van Adam Elga uit 2000 in het filosofietijdschrift Analysis, met als titel “Self-locating belief and the Sleeping Beauty problem” (“Zelf-lokaliserend geloof en het probleem van de Schone Slaapster”). Het artikel bevindt zich achter een betaalmuur, maar je kunt deze postprint vrij raadplegen. In de eerste voetnoot signaleert Elga dat de puzzel afkomstig is uit ongepubliceerd werk van Arnold Zuboff en dat de naam van de puzzel afkomstig is van Robert Stalnaker. In dezelfde voetnoot verwijst Elga ook naar het werk van Michele Piccione en Ariel Rubenstein uit 1997, waarbij het gaat om een verstrooide autobestuurder die niet meer zeker weet aan welke afslag hij al zit. Hun artikel staat online, of zie bijvoorbeeld deze Engelstalige blogpost hierover.

Tijdens de cursus “Philosophy of Probability” van vorig jaar vermeldde één van mijn studenten een artikel van Arnold Zuboff uit 1990 als bron (toch ruim vóór Elga’s publicatie uit 2000): “One self: the logic of experience” (“Eén zelf: de logica van de ervaring”). De student had deze bronvermelding waarschijnlijk van Wikipedia overgenomen en het artikel zelf niet geraadpleegd, want het bleek moeilijk te vinden. De link op Wikipedia verwijst naar een pdf die achter een betaalmuur zit en waar onze universiteit geen toegang toe heeft (waarschijnlijk omdat publicaties uit 1990 niet digitaal bewaard zijn en gescand moeten worden). Elders op het web vond ik ook geen kopie, maar mijn nieuwsgierigheid was gewekt.

Contact met Zuboff

Arnold Zuboff.Ik schreef een e-mail aan Arnold Zuboff en die stuurde een heel vriendelijk bericht terug, waaruit blijkt dat hij inmiddels op pensioen is. (Ik heb blijkbaar geluk gehad: hij werkte aan het University College London en zijn UCL-personeelspagina met e-mailadres stond vorig jaar nog online, maar inmiddels niet meer.) Hij stuurde me niet enkel de gevraagde pdf van “One self: the logic of experience” (inderdaad een scan), maar ook een neerslag van zijn afscheidsspeech getiteld “My eight big ideas” en een ander artikel “Time, Self and Sleeping Beauty“, dat trouwens wel online beschikbaar is (als doc-bestand). (Deze titel staat opgelijst als een Princeton-dissertatie uit 2009 en maakt dus wellicht deel uit van een langer manuscript.)

In “Time, Self and Sleeping Beauty” licht Zuboff de oorsprong van de puzzel als volgt toe:

Adam Elga introduced philosophers to the Sleeping Beauty problem, so identified, in a paper published in Analysis seven years ago (Elga 2000). In the first footnote of that paper he credited Robert Stalnaker with naming the problem. He also mentioned that Stalnaker first learned of examples that illustrate the problem in unpublished work by me.

 I’d like to add something to this history: In 1986 I sent to Peter Unger my then unpublished paper “One Self: The Logic of Experience”. Unger sent a copy of this to Stalnaker, who, in his response, remarked that he was intrigued by certain examples Zuboff had used in making points about probability. The paper was published some four years later (Zuboff 1990).

 I hope to show here that a solution to the Sleeping Beauty problem must take us into the metaphysical view that is argued for in that paper.

Kortom, toen Stalnaker voor het eerst van Zuboffs werk hoorde (via Peter Unger in 1986), was het inderdaad ongepubliceerd. (Bovendien blijkt uit pagina 65 van “One self” dat Stalnaker ook aanwezig was bij een lezing van Zuboff in 1974, waarin die een vroege versie van zijn ideeën presenteerde.) Ik vind nog steeds dat Elga zijn huiswerk beter had kunnen doen, maar ik geef hem het voordeel van de twijfel: misschien was het in 2000 toch nog een tikje gecompliceerder om iemands publicaties op te snorren dan vandaag de dag.

Bovendien vraagt Arnold Zuboff hier aandacht voor de context waarin hij de puzzel oorspronkelijk geformuleerd heeft. Deze metafysische achtergrond heb ik in mijn blogbespreking tot nu toe niet aan bod laten komen. Om Zuboffs ontwikkeling van deze ideeën (die hij token-vrijheid en universalisme noemt) iets beter uit te leggen, schrijf ik daar later deze week nog een aparte blogpost over.

De rest van dit bericht wijd ik liever aan de puzzel uit “One self: the logic of experience” die aan de basis ligt van wat later het probleem van de Schone Slaapster is gaan heten.

De puzzel van de Schone Slaapster.

De puzzel van de Schone Slaapster ontstond naar aanleiding van vragen over persoonlijke identiteit. (Plaatje op basis van een afbeelding van Disney.)

Het hotel met de vele slapers

Lange gang in een groot hotel.In het derde deel van “One self: the logic of experience” gaat Zuboff in op het schijnbare enorme toeval van jouw en mijn bestaan. De puzzel van de Schone Slaapster als dusdanig komt niet in het stuk voor, maar wel een voorbeeld dat er sterk op lijkt.

Het speelt zich af in een hotel met kolossaal veel kamers. (Zuboff specifieert niet hoeveel het er zijn, maar uit de context blijkt dat het om meer dan 275 kamers moet gaan.) In elke kamer ligt iemand verdoofd te slapen. Voor elke slaper wordt 75 keer met een eerlijke munt gegooid en enkel als het resultaat exact overeenkomt met een vooraf gekozen patroon van kop en munt (bijvoorbeeld 75 keer kop) wordt die slaper gewekt. Als het patroon niet overeenkomt, blijft die persoon voor altijd slapen. Voor elke slaper is het dus zeer onwaarschijnlijk dat hij gewekt zal worden, maar doordat het zo veel slapers zijn is het zeer waarschijnlijk dat er wel enkelen gewekt worden.

Stel nu dat je gewekt wordt en dat iemand je op de hoogte brengt van het hele scenario. Dan moet je (als je niet van universalisme uitgaat) wel besluiten dat het een enorm toeval betreft dat je wakker bent.

Vervolgens beweert iemand anders (die je even geloofwaardig acht als de eerste informant) dat in feite iedereen wakker is gemaakt, ongeacht het resultaat van de muntworpen. Nu heb je twee hypothesen – eentje waarbij het bij voorbaat heel onwaarschijnlijk was dat je gewekt zou worden en eentje waarbij het zeker was dat je gewekt zou worden -, en als evidentie heb je dat je gewekt bent. Op basis van die evidentie moet je aan de tweede hypothese een kans toekennen die 275 keer groter is dan de kans die je toekent aan de eerste hypothese.

Een waarnemer in het hotel

Vervolgens introduceert Zuboff een externe waarnemer die (na afloop van de muntworpen en het wekken van de ‘winnaars’) naar een kamer wordt geleid. Hij wordt naar een willekeurige kamer geleid (of hij mag er zelf één kiezen) alwaar hij vaststelt dat de persoon in die kamer wakker is. Op basis hiervan moet hij een zeer grote kans toekennen aan de hypothese dat alle hotelgasten gewekt zijn en een zeer kleine kans dat wekkans per persoon slechts één op 275 was.

Anderzijds is het ook mogelijk dat de externe waarnemer, ongeacht welk van de twee hypothesen het geval was, naar een kamer wordt geleid van iemand die gewekt was. Als de waarnemer vaststelt dat de persoon in de kamer die hij te zien krijgt wakker is, kan hij daar niets uit af leiden over welk van beide scenario’s het geval was.

De heks uit Doornroosje in de versie van Disney.Sinds de publicatie van Elga zijn er heel wat varianten van het probleem van de Schone Slaapster bedacht en in publicaties verwerkt. Het zou boeiend zijn om hier eens een volledige inventaris van te zien, maar het gaat om zo veel artikels, dat het een hele klus zou zijn om alles op te lijsten.

Zuboff zelf vertelt het probleem van de Schone Slaapster (dat hij in “Time, Self and Sleeping Beautythe awakening game noemt) liefst in de volgende variant: als het kop is wordt de gehypnotiseerde slaper één keer gewekt (zoals in de versie van Elga), maar als het kop is wordt de slaper een triljoen keer gewekt waarna telkens het geheugen wordt gewist (terwijl Elga daar twee keer voor neemt).

Voor mij was het erg interessant om de originele versie en Zuboffs latere hervertelling van het probleem te lezen, omdat die kenmerken hebben van variaties die andere auteurs ook (her-)bedacht hebben: meer dan twee keer gewekt kunnen worden, meerdere slapers of herhaling van het scenario om lange-termijn frequenties te kunnen bepalen. Mijn eerste reflex was het introduceren van een externe waarnemer (in mijn geval de heks of een prins; zie eerste bericht in de reeks al), dus het was een aangename verrassing om erachter te komen dat ook Zuboff dit in zijn artikel uit 1990 al deed. ;-)

Tot hiertoe heb ik overigens niets aan te merken op de aanpak van Zuboff, maar wel met wat hij in de volgende stap doet.

Twee hypothesen over identiteit

Zuboff gebruikt het hotel met de vele slapers als analogie voor ons eigen bestaan en introduceert ook hierbij twee hypothesen.

  • De eerste hypothese is de standaardvisie dat als enige andere zaadcel de eicel waar je uit bent ontstaan had bevrucht, niet jij maar een ander persoon was ontstaan. (En als je één of meerdere generaties terugdenkt, wordt de initiële kans dat jij uiteindelijk zou ontstaan als maar kleiner.)
  • De tweede hypothese is Zuboffs universalisme, dat zegt dat zolang enige zaadcel die eicel had bevrucht en er een persoon uit was ontstaan, jij dat was geweest.

De evidentie die je hebt is dat je bestaat. Volgens de eerste visie was de kans dat je zou ontstaan en dus deze evidentie zou krijgen initieel (op een moment voor de bevruchting) heel klein, terwijl die kans veel groter is volgens de tweede hypothese. Het feit dat je bestaat, against all odds, maakt volgens Zuboff dat er aan zijn universalisme-hypothese (waarbij jij jij bent, ongeacht hoe je bent ontstaan) een veel grotere kans moet worden gehecht dan aan de gebruikelijke visie op wat een persoon is.

DNA sequenties.Het universalisme kijkt enkel naar de innerlijke beleving van een persoon. Maar als biologisch wezen hang ik ook af van een lichaam. Eén van de problemen die het universalisme volgens mij niet oplost, is dat ik een welbepaalde DNA-code heb die afhangt van het precieze patroon van mijn afstamming (en van mutaties onderweg). Gegeven dat ik een mens ben, staat het vast dat ik een DNA-code heb, maar nog niet welke. Dat er iemand is ontstaan met precies deze DNA-code is en blijft iets dat bij voorbaat zeer onwaarschijnlijk was.

Kortom, ik ben dol op sprookjes, wat niet wil zeggen dat ik ze ook geloof.

Aankondiging lezing (en blogbericht)

Doornroosje in de versie van Disney.Deze week woensdag (7 mei 2014) geef ik in Groningen een Brown Bag Lecture (lezing tijdens de lunch) over het probleem van de Schone Slaapster. Het is in het Engels, om 12u30. Als je erbij wil zijn, laat het me dan even weten, dan zoek ik op in welk lokaal het is.

Hierbij de inhoud in het kort:

Sleeping Beauty puzzle
The Sleeping Beauty problem is a topic in the philosophy of probability. It combines objective and subjective probabilities in a puzzling way.
In the first part of this Brown Bag lecture, I will trace the origins of the puzzle. The core idea stems from Arnold Zuboff, who developed it in the context of his Universalism (the position that we are all the same person). The puzzle gained a wider audience due to an article in Analysis by Adam Elga in 2000.
In the second part of the talk, I decompose the puzzle into two parts: one about objective probabilities (which gives us a puzzle akin to Bertrand’s boxes paradox) and one about subjective probabilities (which I call the Snow White puzzle). By solving these separate problems, we arrive at a solution for the Sleeping Beauty puzzle.

Titeldia voor mijn presentatie.

Titeldia voor mijn presentatie over de puzzel van de Schone Slaapster.

Deze lezing is meteen een goede aanleiding om nog eens te bloggen over dit onderwerp. Daarom beloof ik voor morgen een nieuw blogbericht in mijn reeks over de paradox van de Schone Slaapster. (Je kan alvast de eerdere delen hier herlezen: 1, 2 en 3.)

Blogfile.Een groot deel van het bericht voor morgen heb ik trouwens vorig jaar al geschreven, maar om dit goed te kunnen vertellen, moest ik eerst iets over “The other tiger” schrijven – of dat heb ik mezelf toen toch wijsgemaakt. Maar om dat goed te kunnen doen, moest ik eerst “The Lady, or the Tiger?” ten tonele voeren (en dan natuurlijk ook “The Discourager of Hesitancy“). Kortom, er ontstond een blogfile.

Ik tikte ook naarstig aan de besprekingen van die andere verhalen, maar die stukken werden zo lang dat ze niet meer behapbaar zijn in korte blogsessies. Ook de oplossing van het vraagstuk met de magische boom laat op zich wachten, ik weet het. Mijn blog telt dus nog heel wat losse draadjes, maar ik hoop al deze concepten nog een keer tot toonbare stukjes om te toveren.

Maar morgen dus een nieuw stuk, dat is bij deze plechtig beloofd. En geef gerust een teken in de commentaren als je mijn blogfile-probleem herkent!

Aankondigingen: lezing en debat

Oneindig kleine kansen.Deze week geef ik op donderdag een lezing in Groningen in een Grolog-sessie (waar de Groningse logici uit het wiskunde- en filosofie-departement elkaar treffen). Het zal gaan over oneindig grote verzamelingen en infinitesimale kansen; de lezing heet dan ook “On numerosities and infinitesimal probabilities“. Ik kijk er vooral naar uit omdat professor Paolo Mancosu (filosoof van de wiskunde) ook een lezing komt geven. Zijn lezing heeft als titel “In good company? On Hume’s principle and the assignment of numbers to infinite concepts“. Details vind je hier. Het is gratis en zal in het Engels zijn. (Laat me gerust iets weten als je er naartoe wil komen.)

Feest van de Filosofie.

Op zaterdag 5 april doe ik mee aan een debat tijdens het  Feest van de Filosofie in Leuven. Dit is de website van het Feest van de Filosofie. Details over het debat staan hier. Het debat zal gaan over de technologische singulariteit. De inleiding wordt gegeven door professor Philip Dutré (computerwetenschapper). Ik ben geen techniekfilosoof of futuroloog, dus ik ga gewoon aandachtig luisteren en dan mijn best doen om relevante bedenkingen te formuleren. Supporters zijn altijd welkom. :-) (Helaas kan ik geen vrijkaarten regelen.)

Oneindige regressie

Oneindige regressie met het woord 'Editorial'.Gisteren is het maart-nummer van filosofietijdschrift Synthese verschenen. Dit themanummer over oneindige regressies was een initiatief van Professor Jeanne Peijnenburg, die me vroeg om mee te werken als gastsamensteller. Onze rol was die van spelverdeler: eerst een openbare oproep doen aan filosofen om een artikel in te sturen en ook specifieke mensen uitnodigen om dit te doen, dan de inzendingen filteren en referenten aanschrijven om de eventueel bruikbare artikels te beoordelen en uiteindelijk de knoop doorhakken over wat er wel en niet gepubliceerd wordt.

Het resultaat is een themanummer dat vijf artikels bevat alsook een redactionele inleiding van Jeanne Peijnenburg en mezelf. Ik had een regressie-achtig plaatje gemaakt voor deze ‘editorial‘, maar omdat dit de uiteindelijke publicatie niet gehaald heeft, plaats ik het bij dit bericht.

Hieronder zie je de cover van het themanummer. Ook de inhoudsopgave staat online (al is zonder toegang via een universiteitsbibliotheek enkel de inleiding vrij toegankelijk).

Speciaal nummer van Synthese.

Speciaal nummer van Synthese (volume 191, nummer 4) over het regressieprobleem.

Het thema van ons nummer is het regressieprobleem. Een regressie duikt op als je iets wil verklaren, maar de gegeven verklaring zelf ook weer een verklaring lijkt te vereisen. In sommige gevallen leidt dit tot een oneindige keten van verklaringen. Daarbij wordt het troebel of het geheel nu wel of niet verklaard is, omdat er geen duidelijk startpunt is, geen zekere grond waar de hele keten van kan vertrekken. Om die reden hebben oneindige regressies een slechte naam, maar recente publicaties – onder andere van Jeanne Peijnenburg en David Atkinson – hebben aangetoond dat sommige vormen van oneindige regressies weldegelijk gestaafd kunnen worden.

Hun resultaat heeft te maken met oneindige regressies in de probabilistische kenleer. Stel dat een uitspraak op een oneindige keten van rechtvaardigingen berust, die elk een waarschijnlijkheid kleiner dan één hebben. Traditioneel wordt aangenomen dat de waarschijnlijkheid van de uitspraak als geheel dan ofwel onbepaald is, ofwel nul. Peijnenburg en Atkinson hebben echter aangetoond dat het – althans in sommige gevallen – mogelijk is om aan de uitspraak een welbepaalde waarschijnlijkheid groter dan nul toe te schrijven.

Terwijl het regressieprobleem meestal in de context van argumentatietheorie besproken wordt, gaan de artikels in dit nummer over oneindige regressies in de beslistheorie, de wetenschapsfilosofie en de formele epistemologie.

Oneindige regressie met schildpadden.Om het regressieprobleem aanschouwelijk te maken, kunnen we gebruik maken van een frivool voorbeeld: in een oud mythologisch wereldbeeld rust de (platte) aarde op de rug van een gigantische schildpad (soms ook een olifant). Dan kun je je de vraag stellen waar die schildpad dan op rust: andere schildpadden misschien? Als je hier “ja” op antwoordt, dreig je in een oneindige regressie te belanden, omdat je dan voor elke volgende schildpad hetzelfde kunt beweren. Uiteindelijk is de conclusie: “It’s turtles all the way down“. Dit idee heb ik ook gebruikt om een plaatje te maken bij onze oproep voor inzendingen voor het speciale nummer van Synthese.

Beide regressieplaatjes zijn handmatig gemaakt. Ik heb overwogen om een programmaatje te schrijven om automatisch regressieplaatjes mee te genereren, maar uit tijdsgebrek is dat er uiteindelijk niet van gekomen. Moest iemand hier interesse in hebben, kan ik dat natuurlijk alsnog doen.

De andere tijger

Verzameling korte sciencefictionverhalen Arthur C. Clarke.Arthur C. Clarke schreef sciencefiction. Natuurlijk ken je zijn boek “2001: A Space Odyssey” (uit 1968), of toch minstens de gelijknamige film van regisseur Stanley Kubrick (uit hetzelfde jaar). Net als veel andere auteurs uit het Gouden Tijdperk van de sciencefiction schreef Clarke vooral korte verhalen voor magazines. “2001: A Space Odyssey” is trouwens geïnspireerd op een ouder kort verhaal van hem uit 1948, “The sentinel” (“De wachtpost”).

Vandaag wil ik je een ander kort verhaal van Arthur C. Clarke laten lezen. Aanvankelijk gaf Clarke zijn verhaal de titel “Refutation” (“Tegenbewijs”), maar de redacteur van Fantastic Universe, Sam Merwin, stelde “The other tiger” voor. Dat is een verwijzing naar “The lady or the tiger” van Frank R. Stockton uit 1882 (lees het hier). “The other tiger” verscheen voor het eerst in 1953, maar het werd herdrukt in enkele boeken, waaronder “The collected stories of Arthur C. Clarke“. Die verzamelbundel staat bij ons op de plank, maar je kunt het boek ook online lezen.

Hieronder heb ik “The other tiger” vertaald. Geniet ervan!

De andere tijger
(Origineel van Arthur C. Clarke)

“Het is een interessante theorie,” zei Arnold, “maar ik zie niet in hoe je die ooit kunt bewijzen.” Ze waren bij het steilste stuk van de helling aangekomen en voor het moment was Webb te zwaar buiten adem om te antwoorden.

“Dat probeer ik ook niet,” zei hij, toen hij zijn tweede adem gevonden had. “Ik verken alleen maar de consequenties ervan.”

“Zoals?”

“Wel, laten we perfect logisch zijn en zien waar het ons brengt. Onthoud dat onze enige aanname is dat het universum oneindig is.”

“Oké. Persoonlijk zie ik niet wat het anders kan zijn.”

“Zeer goed. Dat betekent dat er oneindig veel sterren en planeten zijn. Dus moet, volgens de wetten van de kans, elke mogelijke gebeurtenis niet slechts één keer maar oneindig vaak optreden. Correct?”

“Ik neem aan van wel.”

“Dan moeten er oneindig veel werelden zijn net zoals de Aarde, elk met een Arnold en een Webb erop, die deze heuvel opwandelen zoals wij dat doen en die dezelfde woorden zeggen.”

“Dat is best moeilijk te aanvaarden.”

“Ik weet dat het een onthutsende gedachte is – maar dat is oneindigheid óók. Maar hetgene dat me fascineert, is de gedachte aan al die andere Aardes die niet exact hetzelfde zijn als deze. De Aardes waar Hitler de Oorlog gewonnen heeft en er swastikavlaggen boven Buckingham Palace wapperen; de Aardes waar Columbus nooit Amerika heeft ontdekt; de Aardes waar het Romeinse Rijk tot op de dag van vandaag voortleeft. De Aardes, in feite, waar alle grote wat-als-vragen van de geschiedenis een ander antwoord hebben gekregen.”

“Het gaat terug tot helemaal in het begin, neem ik aan, naar die waar de aapmens die de papa van iedereen zou zijn, zijn nek heeft gebroken vóór hij kinderen kon verwekken?”

“Dat is het idee. Maar laten we het houden bij de werelden die we kennen – werelden waarin wij er zijn en we deze heuvel beklimmen op deze lentenamiddag. Denk aan al onze evenbeelden op die miljoenen andere planeten. Sommige zijn exact hetzelfde, maar elke mogelijke variatie die niet in strijd is met de wetten van de logica moet ook bestaan.
We kunnen – we moeten – elke denkbare soort kleren dragen – en helemaal geen kleren. De Zon schijnt hier, maar op ontelbare miljarden van die andere Aardes schijnt ze niet. Op vele is het winter of zomer hier in plaats van lente. Maar laten we ook meer fundamentele veranderingen in beschouwing nemen.
We zijn van plan om de heuvel hier op te wandelen en af te dalen aan de andere kant. Maar denk eens aan alle dingen die mogelijk met ons zouden kunnen gebeuren tijdens de volgende minuten. Hoe onwaarschijnlijk ze ook mogen zijn, zolang ze mogelijk zijn, moeten ze ergens wel gebeuren.”

(meer…)