Tag Archief: Laplace

Wie speelt er mee?

Deze column is in licht gewijzigde vorm verschenen in het novembernummer van Eos (2016).

Geen omgekeerde verzekering

Reclame voor tabaksproducten is in België al enige jaren verboden. Daardoor vallen de affiches me des te sterker op wanneer ik in Duitsland kom. Wat kansspelen betreft zijn de Duitse reclamewetten juist iets strikter: het is er namelijk verplicht om onder het grote jackpotbedrag de zeer kleine winstkans te vermelden. Maar met of zonder die maatregel blijft reclame voor kansspelen in mijn ogen even bizar als tabaksreclame.

De laatste keer dat ik in Duitsland was doceerde ik er op een zomerschool met als thema ‘rationaliteit’. Filosofen stellen rationaliteit traditioneel voor als een ideale norm, maar in de praktijk moeten mensen beslissingen nemen onder tijdsdruk en op basis van onvolledige informatie. Psycholoog Herbert Simon heeft daarom het begrip ‘begrensde rationaliteit’ ingevoerd: wat is rationeel gegeven deze realistische beperkingen? Ik wil die vraag hier eens stellen over loterijen. Wat is rationeel om te doen: meespelen of niet?

(meer…)

Reaction to “Believing the unlikely”

Over on OUPBlog, Martin Smith wrote a blog post, related to his book “Between Probability and Certainty: What Justifies Belief” (that I haven’t read yet). He presents an example in which, he claims, it is rational to believe the unlikely. Please read his blog post first, then return here to read my reaction below. :-)

Laplace quote.

TL;DR: I’m still a Laplacian on this matter. ;-)

(meer…)

Herfst-symposium in zes beelden

Hé, jullie hebben nog een verslag te goed! Namelijk van het herfst-symposium “Determinisme & Indeterminisme in de Fysica” dat ik organiseerde op woensdag 26 november 2014 in Groningen. Dit doe ik aan de hand van zes foto’s.

Zes foto's van het symposium.

Deze foto’s werden tijdens het symposium gemaakt door onze voorzitter Fred Muller.

Foto (1) – De middag werd geopend door Fred Muller (U Utrecht; voorzitter NVWF) en door mij (in de hoedanigheid van secretaris van de NVWF en projectleider Veni).

~

Voor de pauze: twee presentaties over (in-)determinisme in de klassieke fysica.

Foto (2)Dennis Dieks (U Utrecht) gaf een presentatie over “Determinisme en Wetmatigheid”. Eerst legde hij uit dat hij met determinisme (in de natuurwetenschap) een eigenschap van de theorie bedoelt. Over de wereld kan eventueel enkel iets gezegd worden via zo’n theorie. Bovendien houdt determinisme niet noodzakelijk voorspelbaarheid in.

Vervolgens stelde Dieks zich de vraag of Newtoniaanse mechanica deterministisch is. Dit lijkt misschien een vreemde vraag: de klassieke mechanica van Newton is immers het schoolvoorbeeld van een deterministische theorie! Recent is in de wetenschapsfilosofie (met name door John Norton) echter aangevoerd dat dit folkore is: er zijn differentiaalvergelijkingen die fysisch geïnterpreteerd kunnen worden maar die (voor welbepaalde beginvoorwaarden) geen unieke oplossing hebben. Dieks is echter van mening dat de randvoorwaarden even belangrijk zijn als de ‘wetten’ en dat men zich enkel van het geheel (theorie plus randvoorwaarden) moet afvragen of het deterministisch is. Op deze manier tracht hij te voorkomen dat de notie van determinisme trivialiseert.
Hij sloot af met verdere bedenkingen over de notie van natuurwetten.

*** Meer details vind je in de slides van de presentatie van Dennis Dieks. ***

DeWet.

Als de wet het zegt…

~

Foto (4)Marij van Strien (Max Planck Institute for the History of Science, Berlijn) presenteerde enkele “Discussies over (in-)determinisme in de tijd van Laplace”. Zij besprak dus de ideeën over metafysica en continuïteit bij auteurs uit de achttiende en negentiende eeuw.

In zijn beroemde Essai bespreekt Laplace een intellect (later de ‘demon van Laplace’ genoemd) dat in staat zou zijn om de toestand van de wereld in het volgende moment (en eender welk toekomstig of verleden ogenblik) te bepalen op basis van een volledige kennis van de huidige toestand. Van Strien plaatst een aantal kanttekeningen bij deze passage: andere auteurs hebben eerder en preciezer over dit idee van gedetermineerdheid geschreven. Dat de passage vrij slordig geformuleerd is en dat het idee erin niet origineel is, hoeft ons niet te verbazen als we in rekening brengen dat hij afkomstig is uit het Essai: een populariserende tekst over kansrekening. Bovendien merkt Van Strien op dat de visie van Laplace beïnvloed is door de Leibniziaanse metafysica, met name waar hij een beroep doet op het principe van voldoende grond.

Émilie du Châtelet.Du Châtelet ging op zoek naar extra voorwaarden, naast de bewegingsvergelijkingen, waaraan de beweging moet voldoen opdat gedetermineerdheid van de volgende toestand uit de vorige wordt bekomen. Ze nam aan dat alle natuurlijke processen continu verlopen en dat dit determinisme verzekert. Deze continuïteitswet sluit bijvoorbeeld botsingen tussen (perfect) harde lichamen uit. Bij zo’n botsing treedt er immers een instantane omkering op van de richting van de snelheden, wat samengaat met een discontinuïteit van de versnelling.

Boscovich gaf in 1758 een definitie van gedetermineerdheid – preciezer dan de informele verwoording van Laplace en zonder beroep te doen op Leibniziaanse metafysica. Ook hij stelde een strenge continuïteitseis voor om determinisme te verzekeren: zijn voorstel sluit botsingen tussen perfect harde lichamen uit (net als bij Du Châtelet), maar heeft bijvoorbeeld ook problemen met de situatie waarin iets recht omhoog gegooid wordt.

*** Meer details vind je in de slides van de presentatie van Marij van Strien. ***

~

Na de pauze: twee presentaties over (in-)determinisme in de kwantumfysica.

Foto (5)Ronnie Hermens (Ru Groningen) gaf een presentatie met als titel “Indeterminisme en waarschijnlijkheid in de quantamechanica” (zijn alternatieve benaming voor ‘kwantummechanica’: zie ook dit bericht). Hij begon zijn presentatie eerst met een verkenning van mogelijke invalshoeken voor het onderwerp.

In de rest van de presentatie stonden de Bell-ongelijkheden centraal. Het artikel van Bell is in 1964 verschenen, precies 50 jaar geleden dus, en het wordt per vijf jaar steeds meer geciteerd. Zoals bij elk theoretisch resultaat hangt ook de afleiding van de Bell-ongelijkheden af van een aantal aannames. Diverse auteurs hebben echter een andere analyse gemaakt van wat die aannames in dit geval zijn. Hermens besprak eerst de analyse van Earman (1986) en dan twee recentere publicaties: van Cator en Landsman (2014) en van Maudlin (2014).

Hermens komt tot de conclusie dat er in feite verschillende varianten zijn van ‘de stelling van Bell’. Wat betreft de determinisme-kwestie (het onderwerp van het symposium) is de analyse van Cator en Landsman (die determinisme als één van de aannames opnemen) informatief, wat niet geldt voor de analyse van Maudlin.

*** Meer details vind je in de slides van de presentatie van Ronnie Hermens. ***

~

Foto (3)Gerard ’t Hooft (U Utrecht) gaf een lezing over “Kwantummechanica en Cellulaire Automaten: de CA interpretatie”. Hij begint met de observatie dat determinisme een kwestie is van alles of niets. Een deterministische theorie kan alsnog onvoorspelbaar zijn: dat is het geval bij deterministische chaos. Het idee van ’t Hooft is nu dat de onvoorspelbaarheid van de kwantummechanica van dezelfde vorm zou kunnen zijn: dat wil zeggen dat er een onderliggende theorie is die het universum op een nog kleinere schaal beschrijft en dit op een discrete, lokaal deterministische manier. De variabelen in deze theorie zijn ontologisch en commuteren altijd; in het Engels noemt t’Hooft ze ‘beables’ (naar Bell). Op die kleine schaal werkt het universum dan als een cellulaire automaat (CA), terwijl het op een grotere schaal nog steeds beschreven kan worden met kwantumtheorie.

Met enkel kennis op de schaal van de kwantummechanica is het echter niet mogelijk om de juiste CA-theorie te selecteren. We kennen daarmee namelijk onvoldoende details om de ontologische basis te bepalen. Hierdoor kan de theorie enkel worden uitgeschreven in termen van ‘sjablonen’ (superposities van de – tot op heden onbekende – ontologische toestanden).
Het beschrijven van macroscopische toestanden wordt in deze aanpak een kwestie van statistiek in plaats van het gebruikelijke verhaal van decoherentie.

Aangezien dit een deterministische theorie is, ligt op voorhand vast welke experimenten er gedaan zullen worden. Dit wordt ook wel superdeterminisme genoemd, hoewel het eigenlijk geen bijkomende aanname betreft: alles voldoet aan dezelfde wetten. Dit blijft echter praktisch onvoorspelbaar.

*** Meer details vind je in de slides van de presentatie van Ronnie Hermens. ***

Over de aanpak van ’t Hooft verscheen er eerder bovendien een toegankelijk stuk bij Kennislink.

~

Foto (6) – Om de middag af te sluiten werd er een forum georganiseerd, waarbij de sprekers over gemeenschappelijke thema’s discussieerden aan de hand van vragen uit het publiek.

Persoonlijke noot: het voelde die hele dag alsof ik jarig was. Ik had namelijk een aantal mensen uitgenodigd, ze brachten allemaal een cadeau mee (in de vorm van een mooi verhaal) en achteraf gingen we rustig iets eten en napraten. Zo ging het forum dus verder na het officiële programma. En, nee, hier zijn geen foto’s van. ;-)

Dankbetuiging: Ik ben het NWO dankbaar voor financiële steun.

Aanvulling (22 december 2014):

Het verslag staat nu ook in pdf-vorm op de NVWF-website: link.

Koordeprobleem

Op zondag kreeg ik een vraag in mijn mailbox van David Vandormael, die ik hier (met zijn toestemming) deel. Hij had onlangs het boekje “Mathematische denkspelletjes” van Robert Müller op de kop getikt. Daarin vond hij op pagina 81 een puzzel over kansrekening:

“Vanuit een punt P op de omtrek van een cirkel trekt men een willekeurige lijn PQ. Hoe groot is de waarschijnlijkheid dat een willekeurige andere lijn die vanuit P wordt getrokken, korter is dan PQ?

Koordeprobleem.

Figuur 1: Het koordeprobleem uit het boekje van Robert Müller: de opgave (links) en de constructie voor de oplossing (midden en rechts). (Gebaseerd op een scan die bij DV’s e-mail zat.)

In zijn e-mail, vermeldde David Vandormael ook de oplossing uit het boek:

“Men lost dat heel mooi op de volgend manier op: we trekken vanuit P een lijn PQ’, die even lang is als PQ. Het is dan eenvoudig in te zien dat een willekeurige lijn PZ langer is dan PQ, als Z tussen Q en Q’ op de omtrek van de cirkel ligt (groen op de tekening). Alle andere lijnen zoals PK, zijn korter dan PQ (rood op de tekening). Hieruit volgt dat de verhouding tussen de lengte van de cirkelboog die wordt begrensd door Q, P en Q’ en de omtrek van de cirkel de waarschijnlijkheid aangeeft.

Als bijvoorbeeld PQ gelijk is aan de straal van de aangegeven cirkelboog, dan is de waarschijnlijkheid dat een willekeurige koorde korter dan PQ is, 1/3. Men kan namelijk een straal van een cirkel precies zes maal afpassen op de omtrek van de cirkel (dat is de constructiemethode van de regelmatige zeshoek).”

Figuur 2 is een illustratie van dit speciale geval.

Koordeprobleem.

Figuur 2: Speciaal geval, waarbij de lengte van PQ gelijk is aan de straal van de cirkel (R).

Tot hiertoe was hem alles duidelijk. Maar toen bedacht hij zelf een andere vraag bij deze opgave, waar infinitesimale kansen bij komen kijken. Dit was ook de reden dat hij bij mij kwam aankloppen:

“[T]oen kwam bij mij de vraag op wat de kans is dat een willekeurige lijn getrokken vanuit P op de omtrek van die cirkel, precies even lang is als PQ (dus niet korter of langer). En dan bleek dat er maar precies 1 zo’n lijn is op oneindig veel lijnen (namelijk PQ’ is precies even lang als PQ) of als we het met lengtes doen: de kans is de verhouding van de lengte op de cirkelomtrek van 1 zo’n lijn op de totale omtrek van de cirkel: dus een oneindig kleine lengte/de lengte van de cirkelomtrek wat dus volgens mij overeenkomt met een oneindig kleine kans of anders gezegd: een kans nul (maar niet niks want er is wel 1 zo’n lijn en dus is er wel een heel kleine of infinitesimale kans). Is dit juist?

Joseph Bertrand.

~

In mijn antwoord vertelde ik eerst eerst iets over oorspronkelijke opgave en dan iets over zijn vraag rond infinitesimale kansen.

~

Eerst iets over de originele puzzel. Zo’n lijnstuk dat twee punten op een cirkel met elkaar verbindt, noemen wiskundigen een koorde en dit vraagstuk is verwant aan het koordeprobleem van Bertrand. (Dat is dezelfde Bertrand als die van het doosjesprobleem). Bij het koordeprobleem van Bertrand luidt de opgave als volgt:

Beschouw een gelijkzijdige driehoek en de omgeschreven cirkel. Veronderstel dat er een willekeurige koorde van de cirkel gekozen wordt. Wat is de kans dat de koorde langer is dan een zijde van de driehoek?

Hierbij is er discussie mogelijk over wat het juiste antwoord is. De ambiguïteit ontstaat doordat het niet helemaal duidelijk is hoe we “een willekeurige koorde van de cirkel” moeten interpreteren. Ik doceer dit vraagstuk in mijn les over de geometrische interpretatie van kansrekening en het indifferentieprincipe van Laplace. Drie verschillende redeneringen leiden tot drie verschillende resultaten: 1/2, 1/3, of 1/4. (De Nederlandstalige Wikipedia-pagina volstaat voor de illustraties; meer context op de Engelstalige Wikipedia-pagina).

Koordeprobleem.

Figuur 3: Het koordeprobleem van Bertrand.

Het vraagstuk uit het puzzelboekje, verschilt op drie punten van de Bertrands koordeprobleem:

  • het gaat om de kans dat een andere koorde korter is dan een gegeven koorde, terwijl in het vraagstuk van Bertrand naar de kans op een langere koorde wordt gevraagd;
  • de referentielengte (lengte van de eerste koorde) is er tussen 0 (nul) en 2 \times R (diameter van de cirkel), terwijl dit bij de koordeparadox \sqrt{3} \times R is (zijde van de ingeschreven gelijkzijdige driehoek);
  • er wordt één punt op de cirkel vast gekozen, terwijl bij de koordeparadox beide eindpunten vrij zijn.

Vooral deze laatste aanpassing is van belang om de ambiguïteit in het originele probleem weg te nemen. We moeten niet weten wat “een willekeurige koorde van de cirkel” is, maar enkel wat “een willekeurige andere lijn die vanuit P wordt getrokken” is. Daarbij lijkt het duidelijk dat we een tweede willekeurig gekozen punt van de cirkel moeten beschouwen. (Of een willekeurige hoek ten opzichte van de raaklijn aan de cirkel in punt P tussen 0 en pi, maar dat komt op hetzelfde neer.) Het antwoord kan dan worden bekomen zoals hoger aangegeven (dat wil zeggen: als de verhouding tussen de relevante booglengte en de omtrek van de cirkel). Voor het speciale geval waarbij de lengte van PQ R is (Figuur 2), is de kans dat een willekeurige andere koorde korter is dan PQ 1/3; de kans dat deze langer is, is dus 2/3. Voor het geval waarbij de lengte van PQ \sqrt{3} \times R is (Figuur 3), is de kans dat een willekeurige andere koorde langer is dan PQ 1/3. (Dus de “willekeurige eindpunten”-methode in de Wikipedia-pagina over de koordeparadox.)

~

Koordeprobleem.

Figuur 4: Een alternatieve vraag over koorden: de opgave (links) en de constructie voor de oplossing (rechts).

Dan iets over de bedenking rond infinitesimale kansen. Als we vragen naar de kans op een andere koorde die dezelfde lengte heeft als PQ, dan is er inderdaad één mogelijkheid op succes uit (overaftelbaar) oneindig veel mogelijkheden, waarbij al deze mogelijkheden een gelijke kans hebben. Met de klassieke kansrekening is deze kans nul. Er is ook een alternatieve kansrekening mogelijk (waar ik zelf aan werk: zie hier en hier), waarin deze kans een infinitesimaal strikt groter dan nul is. Terwijl de klassieke kansrekening met reële getallen werkt, werkt de alternatieve theorie met hyperreële getallen. Het reële getal nul is de dichtste benadering van alle mogelijke infinitesimale hyperreële getallen.

De term “infinitesimale kans” kan trouwens ook worden gebruikt in combinatie met de klassieke kansrekening: daarbij duidt deze term gebeurtenissen aan die (1) kans nul hebben, maar die (2) niet logisch onmogelijk zijn. (Bij dit vraagstuk zou een voorbeeld van een logisch onmogelijke gebeurtenis zijn: een koorde die zowel strikt kleiner is dan PQ en strikt groter is dan PQ; dit kan natuurlijk niet.) En dit komt dan precies overeen met de gevallen waarin de alternatieve kansrekening een strikt positieve, infinitesimale kans aan de gebeurtenis toekent. (Iets dat logisch onmogelijk is, krijgt ook in de alternatieve theorie kans nul.)

~

Kortom, de vraag die David Vandormael bedacht, is inderdaad een voorbeeld van een infinitesimale kans.

Demon van Laplace en doosjes van Bertrand

Pierre-Simon Laplace.Mijn cursus voor Master-studenten over filosofie van de waarschijnlijkheid is volop bezig. We hebben vorige week onder andere de klassieke interpretatie van de kansrekening besproken. Elementen van deze interpretatie zijn terug te vinden bij vele vroege beoefenaars van de kansrekening, zoals Blaise Pascal, Daniël Bernouilli, Christiaan Huygens en Gottfried Leibniz. De interpretatie wordt echter het sterkst geassocieerd met Pierre-Simon Laplace. Laplace schreef in 1812 een wiskundig boek over kansrekening (“Théorie analytiques des probabilités“) en twee jaar later kwam zijn inleiding voor een breder publiek uit (“Essai philosophique sur les probabilités“). De Engelse vertaling hiervan, “A philosophical essay on probabilities“, is nog steeds vlot verkrijgbaar: ik kocht vorig jaar een goedkope facsimile van een uitgave uit 1902 in de New Yorkse boekenwinkel The Strand. Laplace verwerkte oudere resultaten op het vlak van de wiskundige behandeling van kansen en herontdekte de stelling van Bayes. Bovendien kwam hij met volledig origineel onderzoek over de toepassing van kansen op meetfouten in de astronomie en fysica. Hij geeft bijvoorbeeld als eerste een wiskundig bewijs voor de kleinste-kwadratenmethode, die eerder al door Gauss en Legendre was gebruikt, waardoor hij de hele foutentheorie een rigoureuze onderbouwing geeft.

Bij het lezen van Laplaces essay merk je duidelijk dat Laplace eerst en vooral een fysicus is. De grote successen van de klassieke mechanica bij het voorspellen van de beweging van hemellichamen stemden hem zeer optimistisch. Hij twijfelde er niet aan dat met het voortschrijden van de wetenschap weldra ook alle andere verschijnselen even voorspelbaar zouden zijn. Hij stelde zich een intelligentie voor die, moest zij precieze informatie hebben over alle posities en krachten van alle onderdelen in de natuur op één moment, de bewegingen van het grootste hemellichaam tot het kleinste atoom zou kunnen analyseren. Ja, intelligentie is een zij: zowel in het Frans als in het Nederlands is het een vrouwelijk woord. Later werd deze intelligentie ook wel de demon van Laplace genoemd – dat woord is dan weer mannelijk. Voor de demon van Laplace zou er geen onzekerheid zijn, niet over het verleden en niet over de toekomst. Laplace had dus een volstrekt deterministisch wereldbeeld, waarin er geen plaats was voor kansen. Is het dan niet vreemd dat Laplace zich met kansrekening bezighield, als hij dacht dat kansen helemaal niet bestonden? Nee, want we weten nu eenmaal niet alles over het heden en we zijn niet in staat, zelfs als moesten we alles over het heden weten, om al deze informatie te verwerken – aldus Laplace.

Laplace's demon makez kitty sad.

Kat die zojuist gehoord heeft over de demon van Laplace. (Bron afbeelding: http://philosophicatz.wordpress.com/2008/05/01/laplaces-demon-makez-kitty-sad/)

Het is amusant om te zien hoeveel tekst Laplace nodig heeft om wiskundige vergelijkingen in woorden te beschrijven – een euvel waar populariserende boeken over wetenschap nog steeds mee worstelen. Zo wordt het lezen van het boekje voor de eigentijdse lezer een spel: herken de vergelijking.

Voor deze blogpost heb ik geen cryptische omschrijving van een wiskundige vergelijking geselecteerd, maar wel een korte opgave, waaruit je kunt zien dat kansberekeningen, zelfs zeer eenvoudige, ooit voor grote verwarring zorgden, zelfs bij bekende wiskundigen! Hier is het vraagstuk:

Stel, je gooit een munt op. Dan is de kans op kop 1/2 en ook de kans op munt 1/2. Nu ga je de munt twee keer na elkaar opgooien. Wat is daarbij de kans op minstens één keer kop?

Laplace was van mening dat het er bij het kansrekenen op aankomt om alle “even mogelijke” uitkomsten te bepalen. (Later werd dit het indifferentieprincipe genoemd.) De kans op een gebeurtenis zou volgens hem dan de breuk zijn van het aantal van deze mogelijkheden waarbij deze gebeurtenis gerealiseerd wordt, gedeeld door het totale aantal mogelijkheden. Het toepassen van dit principe lijkt hier eenvoudig genoeg. Er zijn vier mogelijke combinaties: kop+kop, kop+munt, munt+kop en munt+munt. De eerste drie combinaties bevatten minstens één keer kop; enkel de laatste combinatie heeft geen kop. De kans op minstens één keer kop in twee worpen is dus 3/4 of 75%.

Jean le Rond d'Alembert.Het lijkt alsof je hier nauwelijks kansrekening voor nodig hebt: iemand met een beetje gevoel voor wiskunde had dit ook vóór de tijd van Laplace toch ook wel kunnen beredeneren? Neem nu d’Alembert: deze wiskundige werd 32 jaar vóór Laplace geboren en was zeker niet de minste: zijn convergentietest voor reeksen duikt nog steeds op in eigentijdse wiskundelessen. Toch beweert Laplace dat d’Alembert grote moeilijkheden had met de opgave over de twee muntworpen.

d’Alembert onderscheidde drie mogelijke uitkomsten: als het kop is bij de eerste worp is er al minstens één keer kop, dus daar moeten we verder niet naar kijken. Als het munt is bij de eerste worp hangt alles af van de tweede worp: als die kop is, is het ook goed, als die munt is niet. Zo kwam hij tot het antwoord 2/3.

Bij zijn redenering houdt d’Alembert er echter geen rekening mee dat de mogelijkheden die hij opsomt zelf niet “even mogelijk” zijn, maar ongelijke kansen hebben: kop bij de eerste worp is dubbel zo waarschijnlijk is als een uitkomst waarbij zowel de eerste als de tweede worp worden gespecifieerd. Hij had dus niet 1/3 + 1/3 moeten nemen, maar wel 2/4 + 1/4, hetgeen hem ook 3/4 had opgeleverd.

Bij de doosjesparadox van Bertrand moet je de kans berekenen dat een tweede munt ook van goud is.Hoewel de redenering van d’Alembert snel te weerleggen is, hebben latere auteurs toch geprobeerd om aan te tonen dat het vertrekpunt van Laplace (zijn indifferentieprincipe) bij andere vraagstukken tot verschillende uitkomsten kan leiden en dus niet helemaal deugt. Joseph Bertrand publiceerde in zijn boek “Calcul des probabilités” uit 1889 een aantal voorbeelden, die nu bekend zijn als de paradoxen van Bertrand. In de les bespraken we zijn bekende paradox van de koorde, maar vandaag hou ik liever bij de eenvoudigere doosjesparadox:

Er zijn drie doosjes met daarin telkens twee munten. In één doosje zitten twee gouden munten, in één doosje zitten twee zilveren munten en in één doosje zitten één gouden en één zilveren munt. Je pakt een willekeurig doosje en neemt daaruit een willekeurige munt. Het blijkt een gouden munt te zijn. Wat is nu de kans dat de andere munt in het doosje ook van goud is?

Je zou als volgt kunnen redeneren: “Er zijn twee doosjes met minstens één gouden munt erin en bij die doosjes zit er in één geval nog een gouden munt in; de kans is dus 1/2.” Mis poes! Als je dat dacht, maak je dezelfde fout als d’Alembert bij de muntworpen: je houdt er namelijk geen rekening mee dat de kans dat de eerste gouden munt uit het doosje met de twee gouden munten komt groter is dan dat deze uit het gemengde doosje komt.

Elk van de zes munten heeft een gelijke kans om als eerste getrokken te worden (namelijk elk 1/6). We weten echter al dat de eerste munt van goud is, hetgeen in drie van de zes gevallen gebeurt. Van deze drie mogelijkheden om een gouden munt te trekken, komt de munt in twee gevallen uit het doosje met de twee gouden munten. Zo zie je dat de kans dat de eerste munt uit het doosje met de twee gouden munten komt 2/3 is. De kans dat de tweede munt ook van goud is, is dan ook 2/3 (en niet 1/2).

Komt de opgave met de drie doosjes je bekend voor? Dat kan kloppen: een variant met witte en donkere pralines dook vorig jaar nog op bij de Nationale Wetenschapsquiz en zorgde voor hevige discussies op internetfora. De geest van d’Alemberts misrekening waart dus nog steeds rond en komt als een duivel uit de doosjes van Bertrand. Als remedie stel ik voor om allemaal Laplace te gaan (her-)lezen – kwestie van de ene demon met de andere te bestrijden. ;-)