Tag Archief: logica

Vorige week was ik op het congres Decisions, Games & Logic. Zoals je al weet, ging het daar over beslis- en speltheorie en over logica. Leuk toeval: de wiskundemeisjes hebben deze week ook net een column over speltheorie.

Mijn eigen praatje ging over een model voor rationaliteit dat ik ‘stratified belief’ of ‘gelaagd geloof’ noem. Stel dat je naar de andere kant van de stad moet en je hebt keuze tussen met de fiets gaan of met de bus. Stel dat je gedetailleerde informatie hebt over kansen: de kans dat het gaat regenen, de kans dat de bussen staken, de kans dat er file staat, en zo verder. Dan nog moet je een eenvoudige beslissing nemen: met de fiets gaan of niet (en dus met de bus gaan). De vraag is hoe je, uitgaande van precieze kansen, deze beslissing op een rationele manier kunt nemen. Deze beslissing heeft ook met geloof te maken: welk van beide optie geloof je dat de betere is? Je moet op voorhand kiezen, dus zekerheid heb je niet.

Filosofen hebben het volgende voorgesteld: het is rationeel om een bewering te geloven als de kans dat die bewering waar is voldoende dicht is bij 1. Hoewel dit idee niet van Locke zelf afstamt, noemt men het wel de Lockeaanse stelling. Stel dat er enige waarheid zit in deze Lockeaans stelling, hoe moeten we dit “voldoende dicht bij 1” zijn dan begrijpen? Meestal wordt er vanuit gegaan dat er een drempelwaarde bestaat, bijvoorbeeld 90% of 99%. Als de kans dat de bewering waar is minstens gelijk is aan die drempelwaarde, dan is het rationeel om de bewering te bewaren. Mij lijkt dit echter geen natuurlijke aanpak: wat er wel of niet “voldoende dicht bij 1” is, hangt af van de context en zelfs als de context vastligt, blijft het een vage uitdrukking, die geen scherpe grens suggereert. Mijn voorstel is om “voldoende dicht bij 1” te interpreteren als “niet te onderscheiden van 1” (in een gegeven context). Als je dit op een wiskundige manier doet krijg je een vage relatie, die lijkt op het afronden van kleine getallen.

Maar wacht eens even: we zijn op zoek naar een model voor rationaliteit en dan gaan we afronden… Dat is toch fout en zeker niet rationeel? Dat ligt eraan hoe je het bekijkt. Als je er rekening mee houdt dat mensen maar een eindig brein hebben, met eindige cognitieve capaciteiten, en dat ze hun beslissingen in een eindige tijd moeten nemen, vaak zelfs binnen de seconde, dan kan afronden juist wel rationeel zijn. Als er veel op het spel staat, kan het raadzaam zijn om toch iets genuanceerder te zijn en langer na te denken. Vandaar het context-afhankelijke aspect in mijn voorstel. Het staat de persoon toe om als het ware naar een fijner denkniveau over te stappen, waarin de kansen minder sterk afgerond zijn en er dus meer onderscheid gemaakt kan worden. Een kans die op een ruw niveau afgerond wordt naar 1, kan op een fijner niveau toch strikt kleiner blijken. Vandaar de naam ‘gelaagd geloof’.

Hoewel mijn model voor rationaliteit uitgaat van een realistisch element (“mensen hebben eindige cognitieve capaciteiten”), maakt dat het model nog niet volledig realistisch. Zo houdt het er geen rekening mee dat ook emoties een rol kunnen spelen bij het nemen van beslissingen, of dat mensen vatbaar zijn voor typische denkfouten als het om kansrekening gaat. Erg hoeft dit niet zijn: het doel van het model is immers niet beschrijven wat echte mensen doen, maar wat ze zouden moeten doen om rationeel te zijn (rekening houdend met bepaalde beperkingen). Wie weet beschrijft mijn model wel perfect de denkwijze van Spock en andere Vulcans…

Ook de informele gesprekken waren erg interessant. Rohit Parikh is een vermaard wiskundige, filosoof en logicus, van Indische afkomst, maar verbonden aan de Universiteit van New York. Hij was aanwezig op de lezingen van vrijdag: hij toonde veel belangstelling voor alle presentaties en zorgde voor amusante interrupties. In een gesprek op café probeerde hij me van het volgende te overtuigen: speltheorie en andere economische beslistheorieën gaan uit van een verkeerd idee. Ze nemen aan dat mensen steeds handelen uit eigenbelang. Maar mensen zijn geëvolueerd als een sociale soort. Samenwerking is de regel en eigenbelang de uitzondering. Jonge kinderen zijn al in staat in te zien dat iemand hulp nodig heeft en reageren coöperatief. Ik was niet meteen overtuigd, maar dit voorbeeld houdt wel steek: Stel dat iemand geld steelt van iemand anders, dan is dat een egoïstische daad, maar de diefstal is enkel mogelijk doordat er een maatschappij is die waarde toekent aan dat geld. Zonder de samenleving, geen dief. Als iedereen enkel egoïstisch zou zijn, zou het hele systeem vierkant draaien en zouden we het niet lang overleven. Toch bestuderen economische theorieën hoofdzakelijk egoïstische spelers, de storingen aan het oppervlak van een veel grotere onderstroom die in essentie coöperatief is.

Een mooie gedachte om aan terug te denken als je weer eens aan de kassa staat en je bankkaart bovenhaalt na een rondje winkelen zonder ook maar één directe vorm van menselijk contact. Zonder andere mensen zouden de rekken leeg zijn, het licht niet branden en de plastic kaart in je hand geen waarde hebben.

Afgelopen donderdag tot zaterdag werd er aan de Universiteit van Maastricht een congres gehouden: Decisions, Games & Logic (DGL). Het was al de vijfde keer dat deze bijeenkomst over beslis- en speltheorie en logica georganiseerd werd. Voor mij was het tweede keer, want vorig jaar in Parijs was ik er ook bij. Volgend jaar is de afspraak in München.

Het doel van deze interdisciplinaire workshop is het bij elkaar brengen van mensen die met verwante onderzoeksvragen bezig zijn, maar die toch zelden met elkaars werk in contact komen, omdat ze aan verschillende faculteiten verbonden zijn. Beslis- en speltheorie wordt typisch onderzocht binnen de economie en sociale wetenschappen. Logica kan bij het departement wiskunde horen of bij de faculteit filosofie; soms hebben beide een logica-afdeling en werken ze niet samen. De onderwerpen die op de agenda stonden zijn nauw verwant met kansrekening en ik heb dan ook veel interessante presentaties gezien.

Om elkaar beter te leren begrijpen, waren de voormiddagen voorbehouden voor telkens een mini-cursus over één van de drie vakgebieden.

Op donderdag gaf Andrés Perea van de Universiteit Maastricht een inleiding over speltheorie. Speltheorie gaat over situaties waarin er twee of meer spelers een beslissing moeten nemen, wetende dat de uitkomst niet enkel van hun eigen beslissing afhangt, maar ook van die van de andere spelers. (Als je de film “A beautiful mind” hebt gezien, dan weet je wellicht dat John Nash de Nobelprijs heeft gekregen voor zijn bijdragen op het gebied van speltheorie.) Elke speler probeert te redeneren over hoe de andere spelers zullen redeneren, inclusief over hoe zij redeneren over hemzelf, en zo verder… Je zou verwachten dat je al snel een onontwarbaar kluwen hebt, maar Andrés Perea wist het ons helder uit te leggen. Hij heeft net een boek geschreven over het onderwerp van epistemische speltheorie en slaagde er wonderwel in om ons de rode raad niet te doen verliezen.

Op vrijdag gaf Paul Égré van het Institut Nicod in Parijs een mini-cursus over beslissingen. Paul Égré heeft recent vooral gewerkt over vaagheid. Hij had het dan ook over hoe we beslissen bij randgevallen van vage begrippen (zoals ‘groot’ en ‘klein’). De klassieke logica werkt enkel voor scherpe begrippen, zoals “minstens 170 cm lang”, en niet voor vage uitdrukkingen, zoals “klein, maar groot voor een jockey”. Paul Égré legde ons uit hoe je de klassieke logica kunt aanpassen of een alternatieve logica kunt opstellen zodat ze ook op vage woorden toegepast kan worden. In de klassieke logica is iets waar of niet-waar, nooit beide en evenmin geen van beide. Voor een logica voor vaagheid zou je kunnen overwegen dat iets wél waar en niet-waar kan zijn, of geen beide. Ook kun je een derde waarheidswaarde introduceren (‘half waar’), of misschien wel veel meer nieuwe waarheidswaarden introduceren (fuzzy logic). Al deze suggesties moeten natuurlijk in detail worden uitgewerkt en er bestaan interessante verbanden tussen de verschillende logica’s. Van al deze aspecten en meer kregen we een degelijk overzicht.

Op zaterdag was Joseph (Joe) Halpern van de Amerikaanse Cornell University aan de beurt. De verwachtingen waren hooggespannen, want alle aanwezigen kenden zijn werk over logica en redeneren over kennis en onzekerheid: je mag gerust van een legende spreken. Geen computerpresentatie deze keer, maar een oerdegelijke uiteenzetting aan bord. Het begon heel elementair met het onderscheid tussen syntax en semantiek. Syntax is enkel de symbolische notatie zonder betekenis. “Chicken scratches” noemt Joseph Halpern dat; betekenisloze hanenpoten, zeg maar. Semantiek gaat over de betekenis die we toeschrijven aan de symbolen. Klassieke logica kan uitdrukken wat waar is en wat niet. Met behulp van modale logica kun je ook beschrijven wat iemand gelooft, wat iemand zou moeten doen, of hoe zaken veranderen in de tijd.

In de inleiding van Halpern ging het over Kripke semantiek, waarmee je kunt modelleren wat verschillende mensen wel en niet weten. Op dit punt komt de logica dicht bij speltheorie, waar het ook gaat om mensen die over gedeeltelijke informatie beschikken. Logica neemt echter een andere afslag en onderzoekt (onder meer) hoe je het beste kunt modelleren dat iemand iets (niet) weet. Dit wordt voorgesteld als een binaire relatie tussen toestanden (hoe de wereld is): het bestaan van zo’n relatie tussen twee mogelijke toestanden kun je interpreteren als dat de persoon in kwestie deze mogelijke toestanden niet kan onderscheiden. Stel de uitspraak “Het regent nu in Sjanghai” voor door het symbool p. Dan staat niet-p voor de uitspraak “Het regent nu niet in Sjanghai”. Maar ik weet helemaal niet of het nu regent in Shanghai of niet! Dit kun je voorstellen door twee mogelijke toestanden, p en niet-p, verbonden door een lijn met mijn naam erbij: die geeft aan dat ik deze toestanden niet van elkaar kan onderscheiden. Deze relatie kan verschillende wiskundige eigenschappen hebben (zo kan ze symmetrisch zijn, reflexief, transitief, of combinaties van deze). Dit wordt gemodelleerd door axioma’s toe te voegen aan de logica en de resulterende eigenschappen daarvan te onderzoeken. Ik was toch al van plan om iets meer van modale logica te leren deze zomer, dus deze inleiding kwam op een ideaal moment!

(Wordt vervolgd: volgende keer een korte samenvatting van mijn eigen praatje en een inspirerend cafégesprek.)