Tag Archief: meetkunde

Kermisgeld

3D-penIk verdien al meer dan tien jaar mijn eigen kost. Toch krijg ik van mijn ouders soms nog snoepgeld, zoals deze week voor mijn verjaardag. Op de kermis die KickStarter heet, gaf ik alles uit bij het kraam van LIX, een pen waarmee je in drie dimensies kunt schrijven! Klinkt dat te mooi om waar te zijn? Dat zullen we over een paar maanden zien.

De pen werkt zoals de kop van een 3D-printer. De pen wordt gevoed via een USB-aansluiting en verwarmt een buisje plastic, waardoor die vloeibaar wordt en je ermee kunt “schrijven”.

Het KickStarter-project heeft zijn financieringsdoel al gehaald, dus kan ik er vrij zeker van zijn dat er een pakketje mijn kant op komt. Tenzij er nog onverwachte problemen opduiken, doordat er nu een grote productie vereist is en de makers zelf het project annuleren. (Er zijn trouwens nog twee weken om het project te steunen en dus ook een pen te krijgen, maar de goedkope opties zijn er wel tussenuit.)

Ik verwacht geen wonderen van dit ding, maar hoop toch op enkele leuke experimentjes. De tetraëder in deze demonstratie werkt bijvoorbeeld inspirerend, want ik ben nog steeds bezig met een project over viervlakken (waarover binnenkort meer). En waarschijnlijk kan mama zo’n pen ook wel gebruiken voor een creatief project bij haar handwerkclub.

Als ik de pen inderdaad in handen krijg, komen de resultaten uiteraard op mijn blog.

Wat zou jij maken met zo’n pen?

Stromae en de onmogelijke vierkantswortel

Onmogelijke vierkantswortel.Stromae maakt dansbare muziek met slimme teksten. De man achter de artiestennaam Stromae (verlan voor Maestro) is Paul van Haver. Hij heeft zijn nieuwe album √ genoemd, of Racine carrée – Frans voor vierkantswortel. Niet toevallig koos hij voor dit album ook wiskundige patronen voor zijn kleding, in zijn clips en natuurlijk op zijn website. Er is duidelijk over nagedacht – dus niet alleen zijn muziek is meesterlijk.

Stromae schakelde het Brusselse reclamebureau Bold in om voor elk liedje een ander patroon te ontwerpen. Deze patronen zijn geïnspireerd op Afrikaanse motieven, waar ook Stromaes roots liggen (zijn vader was Rwandees). Ze horen ook bij de teksten: het patroon voor de eerste single Papaoutai (Papa, waar ben je?) beeldt een ouderfiguur af met een kind aan de hand (of in de nek, afhankelijk van hoe je het bekijkt). Je ziet het zelf op de figuur hieronder. Knap werk!

Papaoutai.

Vader-zoon-motief bij de single Papaoutai van Stromae. (Bron afbeelding.)

Op SciLogs bekijkt Dirk Huylebrouck deze patronen vanuit een wiskundig perspectief: hij bespreekt de onderliggende symmetriegroepen en licht een verband toe met de Möbiusring.

Stromae vroeg aan de mensen van Bold ook om een lettertype te ontwerpen, gebaseerd op het lettertype Century Gothic (dat hij voorheen gebruikte), maar dan ingevuld als onmogelijke figuren: ambigue figuren, die een perspectiefwisseling uitlokken (zoals het onmogelijke viervlak waar ik het onlangs over had). De letters worden onder meer gebruikt voor de betiteling van Papaoutai (hierboven) en van Formidable (lager op deze pagina).

De letter T op Stromaes welkomstpagina behoort niet tot het voorgaande alfabet. Huylebrouck ging te rade bij de Servische wiskundige Slavik Jablan, die bij deze T meteen dacht aan het grafische werk van de Japanse kunstenaar Tsuneo Taniuchi. (Zie hier de letters van Taniuchi’s “Alphabet RendeZvous“.)

Zeshoeken spelen een belangrijke rol op de website van Stromae. Een kubus die op één hoekpunt staat, lijkt van bovenaf bekeken ook een zeshoekige omtrek te hebben. Bovendien kun je hier een ambigue figuur van maken. Als het een transparante kubus is, wordt het een soort ontaarde Necker-kubus (ontaard omdat de twee centrale hoekpunten samenvallen). Maar ook bij een ondoorschijndende kubus treedt er een illusie op: het perspectief kan dan wisselen tussen hol en bol. Omdat de (schijnbare) omtrek zeshoekig is en regelmatige zeshoeken een regelmatige vlakvulling toelaten (honingraat-patroon), kun je zo dus een vlakvulling maken van ambigue kubussen.

Het idee om een vlakvulling te maken van ambigue kubussen inspireerde vele kunstenaars. Ik geef drie voorbeelden:

Kubus-illusie.

Kubus-illusie van gebruiker terforpova op Deviant Art. (Bron afbeelding.)

Op de cover van Stromaes tweede single Formidable, die je hieronder ziet, staan verhuisdozen met opschrift Fragile en het symbool van een gebroken glas, weerom in een zeshoek. De verhuisdozen passen uiteraard bij de tekst van het nummer. Stromae zingt aan het begin immers: “Je suis célibataire et depuis hier, putain. Je [ne] peux pas faire l’enfant, mais bon.” Het wordt dus gezongen vanuit het perspectief van iemand die gisteren is buitengezet door zijn ex. (Naar verluidt is het lied gebaseerd op zijn relatiebreuk met Tatjana Silva.) De kubusvormige verhuisdozen zorgen voor dezelfde optische illusie als die waar we het net over hadden: het is niet helemaal duidelijk of we het deksel of de bodem van de dozen zien.

Het is mij trouwens niet voor 100% duidelijk of deze ambiguïteit opzettelijk is of niet. Door de plakband die doorloopt op de zijde met ‘Fragile‘ lijkt het om het deksel te moeten gaan; ook dit logootje ondersteunt deze visie. Maar doordat Stromae zelf op de grond ligt, wordt de suggestie gewekt dat we de dozen van onderaf zien, en dan is het toch de bodem. Verwarrend! :-)

De illusie van diepte is in elk geval heel sterk. Dit motief doet Huylebrouck dan weer denken aan de op-art van de Frans-Hongaarse kunstenaar Victor Vasarely.

Formidable.

Patroon van ambigue verhuisdozen (kubussen) bij de single Formidable van Stromae. (Bron afbeelding.)

Stromaes afbeelding van de onmogelijke vierkantswortel is zelf een onderdeel van een soort onmogelijke kubus (in het blauw aangeduid op zijn trui in de foto hieronder; meer foto’s vind je hier). Zoals je kunt zien in de achtergrond bij de grote foto hieronder zijn de kubussen in dit geval in één richting een beetje uit elkaar geschoven zijn. Hierdoor is deze vlakvulling niet gebaseerd op een zeshoekig honingraat-patroon.

Stromae - Racine Carrée.

De look van Stromae voor zijn album Racine Carrée. (Bron afbeelding, fotograaf Dati Bendo.)

Mij doen al deze kubussen denken aan Danny’s werk dat eerder dit jaar de cover haalde van een vaktijdschrift. Als cadeautje voor zijn tweede doctoraat vorig jaar heb ik onderstaande figuren – die ook op de cover van zijn scriptie stonden – op een T-shirt gezet. Ons zoontje is erdoor gefascineerd en geeft er telkens een hele uitleg bij – in zijn eigen éénjarigentaal uiteraard. (Ik was zwanger toen ik naar Danny’s doctoraatsverdediging ging. Zou het daaraan liggen?)

Kwantumchemische Vasarly-kubussen.

Deze Vasarely-achtige kubussen zijn het resultaat van kwantumchemische berekeningen. Lukt het jou om ze als driedimensionale figuren te zien?

Zoek je wat afleiding, dan kun je online dit Vasarely-achtige patroon inkleuren. En ondertussen naar een liedje van Stromae luisteren (zoals Papaoutai of Formidable), natuurlijk!

Onmogelijk viervlak

Onmogelijk viervlak.Een tetraëder is een ruimtelijke figuur: een viervlak waarvan de zijvlakken vier driehoeken zijn. Meestal bedoelt men met ‘tetraëder’ trouwens het regelmatige viervlak: een Platonisch lichaam dat bestaat uit vier gelijkzijdige driehoeken. In één van mijn huidige onderzoeksprojecten spelen regelmatige tetraëders een centrale rol, maar dat werk is nog niet rijp om hier onthuld te worden. Wel zul je begrijpen dat ik op dit moment nadenk over verschillende manieren om een driedimensionale tetraëder zo duidelijk mogelijk op een tweedimensionaal blad te tekenen.

In meetkundige plaatjes kunnen extra constructielijnen (zoals een hoogtelijn) helpen om een illusie van diepte te creëren. Op een webpagina kan een bewegend plaatje van een draaiende tetraëder uitkomst bieden. Op de Engelstalige Wikipedia-pagina over Platonische lichamen hebben ze ervoor gekozen om bij elk plaatje van een regelmatig lichaam een link naar zo’n animatie plaatsen. In het geval van de tetraëder blijkt deze animatie aanleiding te kunnen geven tot een optische illusie. Het plaatje werd – zonder veel uitleg – geplaatst op “Mightly Optical Illusions. Daar liet ik al een reactie achter, maar het leek me leuk om er zelf ook een blogstukje over te schrijven.

Regelmatig viervlak.

Regelmatig viervlak. Door afwisselend links en rechts naast de onderste hoek te kijken, kan het lijken of de figuur van draairichting verandert. (Bron afbeelding.)

Als we een driedimensionale figuur op een tweedimensionaal vlak weergeven, verliezen we diepte-informatie. Hierdoor kan er een optische illusie ontstaan, die lijkt op andere ambigue (of reversibele) figuren, zoals de Necker-kubus. Een tekening van een tetraëder kan een gelijkaardige ambiguïteit veroorzaken, waarbij het van één van de vertices (hoeken) niet duidelijk is of die in of uit het scherm wijst.

Om ons te helpen om de lijntekening als een driedimensionale figuur te interpreteren, zijn de zijvlakken van de tetraëder halftransparant ingekleurd. Toch laat de kleuring op zich nog steeds twee interpretaties toe: als je een bepaalde hoek als naar voren gericht interpreteert, draait de figuur de ene kant op; als je de hoek interpreteert als naar achter gericht, draait de figuur de andere kant op.

Op die manier lijkt de animatie dus sterk op illusie van de draaiende danseres, waarbij de schijnbare draairichting ook kan omkeren. Toch is er een verschil: omdat we hier niet met een lijntekening of silhouet te maken hebben, is er bij het draaiende viervlak weldegelijk een juiste zienswijze.

Het viervlak draait van rechts naar links. Dit kun je zien doordat de zijvlakken halftransparant ingekleurd zijn, waardoor een ribbe minder donker is wanneer die zich achteraan bevindt. Bovendien draaien alle andere Platonische lichamen op Wikipedia ook in diezelfde richting.

Het halftransparant inkleuren en het laten draaien van de figuur zijn bedoeld om de tetraëder zo correct mogelijk weer te geven. De optische illusie treedt hier dus onbedoeld op. Wel kun je deze onopzettelijke illusie gebruiken als inspiratie voor een andere illusie: een onmogelijk viervlak – een soort kruising tussen een onmogelijk driehoek (of Penrose-driehoek) en een onmogelijke kubus. Vreemd genoeg vond ik daarvan slechts één schets online (hier). Daarom heb ik geprobeerd om zelf wat onmogelijke tetraëders te creëren: zie het kleine plaatje bovenaan en de grotere afbeelding hieronder.

Het is maar spielerei; zo heb ik de schetslijnen met opzet laten staan. Ook heb ik de balken bij het kleine plaatje bovenaan wel een dikte gegeven (net zoals bij een onmogelijke kubus), maar bij de grotere tekening onderaan niet. Welke vind jij het duidelijkst?

Onmogelijk viervlak.

Eigen tekening van een onmogelijk viervlak.

Tot slot nog een weetje over de tetraëder. Wij associëren de firmanaam “Tetra-Pak” tegenwoordig vooral met hun balkvormige brikken, maar wist je dat hun eerste verpakking voor melk tetraëdrisch was? Vandaar dus de naam! :-) Haribo, Jelly Belly en andere snoepfirma’s verkopen soms nog kleine snoepverpakkingen die zo’n viervlak vormen; klik hier voor een voorbeeld.

Laatste-schooldag-gevoel

Wij muizen ervandoor.Ik heb al heel de dag het gevoel dat iemand in mijn maag heeft gestompt. Melancholie, omdat we gaan verhuizen en ik vandaag allerlei dingen voor het laatst doe, hier, in onze vertrouwde omgeving.

Precies zo voelde ik me altijd op de laatste schooldag. Er was toen nog geen internet, dus wist ik niet dat er zoiets was als Last Day of School Sadness. Ik begreep nauwelijks waarom er een steen op mijn hart drukte: een vaag gevoel van spijt dat het voorbij was en het gevoel dat ik er niet genoeg van had genoten. Mijn laatste laatste-schooldag-blues is zo lang geleden! Door deze herhinnering versterkt de melancholie van vandaag zich nog.

Zo is het vandaag de laatste dag dat ons kindje naar deze opvang gaat, vanaf maandag gaat hij ergens anders. Ik twijfel er niet aan dat hij daar ook goed verzorgd gaat worden (anders brachten we hem daar niet, uiteraard). En toch is er dat knagende besef dat er iets wordt afgesloten: het was zo gewoon met de verzorgsters zijn dag te overlopen, kleine gesprekken te hebben met andere ouders, dezelfde kindjes te zien, … Gelukkig is ons kindje nog te klein om te beseffen dat hij voor het laatst in deze opvang is. Hopelijk voelt hij dan ook geen steen van melancholie in de maag, maar is het voor hem vooral een heel gewone dag – de dagelijkse routine van eten en slapen, spelen en ontdekken tussen de inmiddels zo vertrouwde gezichten.

Ik heb iets geknutseld om uit te delen als afscheidscadeautje: voor iedereen een muis (omdat we ervandoor muizen) met een wafeltje erin. Het idee komt van deze webpagina, maar omdat onze printer de verhuis niet goed doorstaan heeft, heb ik een eigen variant van het ontwerp gemaakt, met passer en lineaal op ruitjespapier. Ja, een passer – nog zoiets dat ik de voorbije tien jaar niet heb nodig gehad. Het voordeel was dat ik het ontwerp heb kunnen optimaliseren om zoveel mogelijk te kunnen gebruiken van mijn gekleurd karton, dat net iets groter was en andere verhoudingen had dan A4-formaat.

Om de half-cirkelvormige oortjes mooi op het lijfje te laten aansluiten, moet je de vaste punt van de passer in de bissectrice van de betreffende kant van het lijfje plaatsen (en het Wikipedia-artikel toont hoe je dat met passer en lineaal kunt doen). De details in de afwerking zijn ook zo veel mogelijk met cirkels gedaan:

  • twee halve cirkels voor de oortjes,
  • één halve cirkel voor de neus (lijkt kleiner op de foto omdat het gevouwen is)
  • en kwartcirkels voor de ogen.

Geometrisch gezien passen er zes muizen in een cirkel als ze met de neuzen naar elkaar staan, maar omdat ik maar vijf verschillende kleuren had, poseren ze hier met vijf. Om ze te vervoeren kun je ze in elkaar schuiven (met het wafeltje er al in); leg ze dan best op een zijkant in een doos.

Melancholie en meetkunde grijpen wonderwel in elkaar, maar deze congruentie kende Albrecht Dürer al (en dat was in de zestiende eeuw).

Een muis met een wafeltje erin, om het afscheid te verzachten.

Nog zo’n laatste: fruit kopen bij het winkeltje in onze straat in Gent. De man doet me aan mijn moeder denken: altijd opgewekt en bereid tot een praatje. Ik vertelde hem vandaag over onze verhuis en bleef iets langer babbelen dan gewoonlijk. Hij vertelde dat hij enkele jaren geleden een appartement heeft gekocht, maar dat hij geen schotelantenne mag plaatsen van de syndicus. Hij komt uit Pakistan en zou natuurlijk graag het nieuws uit zijn thuisland ontvangen. Er wonen ook Turkse mensen in het gebouw. Volgens de syndicus mogen ze wel één grote antenne zetten en vandaaruit draden trekken naar de verschillende appartementen. Maar de richting om Pakistaanse zenders te ontvangen is anders dan voor Belgische of voor Turkse zenders. Grr, syndicuskantoren