Tag Archief: NWQ

Mijn cursus voor Master-studenten over filosofie van de waarschijnlijkheid is volop bezig. We hebben vorige week onder andere de klassieke interpretatie van de kansrekening besproken. Elementen van deze interpretatie zijn terug te vinden bij vele vroege beoefenaars van de kansrekening, zoals Blaise Pascal, Daniël Bernouilli, Christiaan Huygens en Gottfried Leibniz. De interpretatie wordt echter het sterkst geassocieerd met Pierre-Simon Laplace. Laplace schreef in 1812 een wiskundig boek over kansrekening (“Théorie analytiques des probabilités“) en twee jaar later kwam zijn inleiding voor een breder publiek uit (“Essai philosophique sur les probabilités“). De Engelse vertaling hiervan, “A philosophical essay on probabilities“, is nog steeds vlot verkrijgbaar: ik kocht vorig jaar een goedkope facsimile van een uitgave uit 1902 in de New Yorkse boekenwinkel The Strand. Laplace verwerkte oudere resultaten op het vlak van de wiskundige behandeling van kansen en herontdekte de stelling van Bayes. Bovendien kwam hij met volledig origineel onderzoek over de toepassing van kansen op meetfouten in de astronomie en fysica. Hij geeft bijvoorbeeld als eerste een wiskundig bewijs voor de kleinste-kwadratenmethode, die eerder al door Gauss en Legendre was gebruikt, waardoor hij de hele foutentheorie een rigoureuze onderbouwing geeft.

Bij het lezen van Laplaces essay merk je duidelijk dat Laplace eerst en vooral een fysicus is. De grote successen van de klassieke mechanica bij het voorspellen van de beweging van hemellichamen stemden hem zeer optimistisch. Hij twijfelde er niet aan dat met het voortschrijden van de wetenschap weldra ook alle andere verschijnselen even voorspelbaar zouden zijn. Hij stelde zich een intelligentie voor die, moest zij precieze informatie hebben over alle posities en krachten van alle onderdelen in de natuur op één moment, de bewegingen van het grootste hemellichaam tot het kleinste atoom zou kunnen analyseren. Ja, intelligentie is een zij: zowel in het Frans als in het Nederlands is het een vrouwelijk woord. Later werd deze intelligentie ook wel de demon van Laplace genoemd – dat woord is dan weer mannelijk. Voor de demon van Laplace zou er geen onzekerheid zijn, niet over het verleden en niet over de toekomst. Laplace had dus een volstrekt deterministisch wereldbeeld, waarin er geen plaats was voor kansen. Is het dan niet vreemd dat Laplace zich met kansrekening bezighield, als hij dacht dat kansen helemaal niet bestonden? Nee, want we weten nu eenmaal niet alles over het heden en we zijn niet in staat, zelfs als moesten we alles over het heden weten, om al deze informatie te verwerken – aldus Laplace.

Kat die zojuist gehoord heeft over de demon van Laplace. (Bron afbeelding: http://philosophicatz.wordpress.com/2008/05/01/laplaces-demon-makez-kitty-sad/)

Het is amusant om te zien hoeveel tekst Laplace nodig heeft om wiskundige vergelijkingen in woorden te beschrijven – een euvel waar populariserende boeken over wetenschap nog steeds mee worstelen. Zo wordt het lezen van het boekje voor de eigentijdse lezer een spel: herken de vergelijking.

Voor deze blogpost heb ik geen cryptische omschrijving van een wiskundige vergelijking geselecteerd, maar wel een korte opgave, waaruit je kunt zien dat kansberekeningen, zelfs zeer eenvoudige, ooit voor grote verwarring zorgden, zelfs bij bekende wiskundigen! Hier is het vraagstuk:

Stel, je gooit een munt op. Dan is de kans op kop 1/2 en ook de kans op munt 1/2. Nu ga je de munt twee keer na elkaar opgooien. Wat is daarbij de kans op minstens één keer kop?

Laplace was van mening dat het er bij het kansrekenen op aankomt om alle “even mogelijke” uitkomsten te bepalen. (Later werd dit het indifferentieprincipe genoemd.) De kans op een gebeurtenis zou volgens hem dan de breuk zijn van het aantal van deze mogelijkheden waarbij deze gebeurtenis gerealiseerd wordt, gedeeld door het totale aantal mogelijkheden. Het toepassen van dit principe lijkt hier eenvoudig genoeg. Er zijn vier mogelijke combinaties: kop+kop, kop+munt, munt+kop en munt+munt. De eerste drie combinaties bevatten minstens één keer kop; enkel de laatste combinatie heeft geen kop. De kans op minstens één keer kop in twee worpen is dus 3/4 of 75%.

Het lijkt alsof je hier nauwelijks kansrekening voor nodig hebt: iemand met een beetje gevoel voor wiskunde had dit ook vóór de tijd van Laplace toch ook wel kunnen beredeneren? Neem nu d’Alembert: deze wiskundige werd 32 jaar vóór Laplace geboren en was zeker niet de minste: zijn convergentietest voor reeksen duikt nog steeds op in eigentijdse wiskundelessen. Toch beweert Laplace dat d’Alembert grote moeilijkheden had met de opgave over de twee muntworpen.

d’Alembert onderscheidde drie mogelijke uitkomsten: als het kop is bij de eerste worp is er al minstens één keer kop, dus daar moeten we verder niet naar kijken. Als het munt is bij de eerste worp hangt alles af van de tweede worp: als die kop is, is het ook goed, als die munt is niet. Zo kwam hij tot het antwoord 2/3.

Bij zijn redenering houdt d’Alembert er echter geen rekening mee dat de mogelijkheden die hij opsomt zelf niet “even mogelijk” zijn, maar ongelijke kansen hebben: kop bij de eerste worp is dubbel zo waarschijnlijk is als een uitkomst waarbij zowel de eerste als de tweede worp worden gespecifieerd. Hij had dus niet 1/3 + 1/3 moeten nemen, maar wel 2/4 + 1/4, hetgeen hem ook 3/4 had opgeleverd.

Hoewel de redenering van d’Alembert snel te weerleggen is, hebben latere auteurs toch geprobeerd om aan te tonen dat het vertrekpunt van Laplace (zijn indifferentieprincipe) bij andere vraagstukken tot verschillende uitkomsten kan leiden en dus niet helemaal deugt. Joseph Bertrand publiceerde in zijn boek “Calcul des probabilités” uit 1889 een aantal voorbeelden, die nu bekend zijn als de paradoxen van Bertrand. In de les bespraken we zijn bekende paradox van de koorde, maar vandaag hou ik liever bij de eenvoudigere doosjesparadox:

Er zijn drie doosjes met daarin telkens twee munten. In één doosje zitten twee gouden munten, in één doosje zitten twee zilveren munten en in één doosje zitten één gouden en één zilveren munt. Je pakt een willekeurig doosje en neemt daaruit een willekeurige munt. Het blijkt een gouden munt te zijn. Wat is nu de kans dat de andere munt in het doosje ook van goud is?

Je zou als volgt kunnen redeneren: “Er zijn twee doosjes met minstens één gouden munt erin en bij die doosjes zit er in één geval nog een gouden munt in; de kans is dus 1/2.” Mis poes! Als je dat dacht, maak je dezelfde fout als d’Alembert bij de muntworpen: je houdt er namelijk geen rekening mee dat de kans dat de eerste gouden munt uit het doosje met de twee gouden munten komt groter is dan dat deze uit het gemengde doosje komt.

Elk van de zes munten heeft een gelijke kans om als eerste getrokken te worden (namelijk elk 1/6). We weten echter al dat de eerste munt van goud is, hetgeen in drie van de zes gevallen gebeurt. Van deze drie mogelijkheden om een gouden munt te trekken, komt de munt in twee gevallen uit het doosje met de twee gouden munten. Zo zie je dat de kans dat de eerste munt uit het doosje met de twee gouden munten komt 2/3 is. De kans dat de tweede munt ook van goud is, is dan ook 2/3 (en niet 1/2).

Komt de opgave met de drie doosjes je bekend voor? Dat kan kloppen: een variant met witte en donkere pralines dook vorig jaar nog op bij de Nationale Wetenschapsquiz en zorgde voor hevige discussies op internetfora. De geest van d’Alemberts misrekening waart dus nog steeds rond en komt als een duivel uit de doosjes van Bertrand. Als remedie stel ik voor om allemaal Laplace te gaan (her-)lezen – kwestie van de ene demon met de andere te bestrijden. ;-)