Een leerling van een middelbare school vroeg me of ik haar wat meer informatie kon bezorgen over Vieri Benci. Samen met twee andere leerlingen maakt ze namelijk een opdracht (‘onderzoekscompetentie’) over het oneindige. Fantastisch onderwerp, natuurlijk, en de voorlopige versie die bij de e-mail zat zag er ook al heel goed uit.
Via haar leerkracht waren ze op mijn blog terechtgekomen en daar lazen ze over Benci (hier en in dit filmpje), maar ze konden online weinig informatie over hem vinden, zeker niet in het Nederlands. (Zijn eigen website is grotendeels in het Italiaans.) In de taak waren er al stukjes over Galileo en Cantor opgenomen, maar de biografische informatie over Benci ontbrak nog. Door haar vraag besefte ik dat Vieri Benci nog geen Wikipedia-pagina heeft. Dat is jammer. Het zou fijn zijn als de eerste pagina over hem niet in het Italiaans of het Engels maar in het Nederlands zou zijn. Ja, dit is een oproep. ;-) Daarom deel ik hier de informatie die ik haar stuurde.
~
Professor Vieri Benci is een Italiaanse wiskundige die gespecialiseerd is in partiële differentiaalvergelijkingen. Zijn meest geciteerde artikels gaan over die tak van de wiskunde. Hij werkte bijvoorbeeld over vergelijkingen waarvan de oplossingen solitonen zijn. Zijn academische CV in het Engels vind je hier.
Hij is geboren en opgegroeid in Firenze en heeft wiskunde gestudeerd in Pisa. Hij studeerde af als ‘laurea’ in 1972. Vanaf dat moment mocht hij zich ‘doctor in de wiskunde’ noemen. (Op dat moment was er in Italië nog geen echte doctoraatsopleiding zoals wij die kennen: dat werd pas meer dan tien jaar later ingevoerd.) Vervolgens heeft hij in Parijs en in de Verenigde Staten gewerkt (aan drie verschillende universiteiten) en in die periode heeft hij zijn Amerikaanse vrouw leren kennen. Ze verhuisde met hem mee naar Italië (eerst Bari, dan Pisa) en ze kregen twee zonen, die inmiddels volwassen zijn. Vieri en zijn vrouw wonen en werken in Pisa: zij is lerares Engels en, ja, Vieri spreekt ook zeer goed Engels. Sinds 1984 is hij professor in het wiskunde-departement in Pisa. Hij heeft de graad van gewoon hoogleraar: dat is de hoogste academische graad.
In 1995 presenteerde hij op een congres over een nieuw idee om oneindige verzamelingen te ’tellen’. Dit publiceerde hij in de ‘proceedings’ van dat congres in het Italiaans. Hij was op dat moment een ervaren wiskundige en is dus een levend tegenvoorbeeld van de stelling dat enkel jonge wiskundigen vernieuwende ideeën kunnen hebben! Dat idee heeft hij later uitgewerkt met Mauro Di Nasso in een Engelstalig artikel. Daarna heeft hij er nog verder over gewerkt. Paolo Mancosu schreef er een overzichtsartikel over en dat heb ik toevallig gevonden toen ik aan een doctoraat bezig was over een alternatieve theorie voor waarschijnlijkheidsrekening. Daarna ben ik de artikels van Vieri Benci zelf gaan lezen en heb ik hem een keer ontmoet toen hij in Brussel was voor een congres. We zaten meteen op dezelfde golflengte en sindsdien hebben we (samen met nog een derde collega) twee artikels gepubliceerd.
Vooraf gingen we op bezoek op de afdeling waar Vieri werkt. Daar is goed zichtbaar dat het economisch niet zo goed gaat in Italië: er staan veel kantoren leeg, dus er zijn niet zo veel jonge doctoraatsstudenten als in een vergelijkbaar departement in België bijvoorbeeld. Er werken wel zeer goede wiskundigen. Vieri werkt vooral samen met twee lokale specialisten in de logica (Mauro Di Nasso en Marco Forti) en met voormalige doctoraatsstudenten.
Vieri is ook erg geïnteresseerd in geschiedenis van de wiskunde en wetenschapsfilosofie. Over dat laatste schreef hij samen met Paolo Freguglia een boek, dat enkel in het Italiaans verschenen is (“Modelli e realtà. Una riflessione sulle nozioni di spazio e tempo“). Hij heeft circa 175 onderzoeksartikels over wiskunde geschreven en is nog steeds actief: vorige maand heeft hij me nog een nieuw artikel bezorgd om na te lezen. Over zijn alternatieve theorie om het oneindige te tellen staat er een Engelstalig boek gepland, dat hij samen met Mauro Di Nasso aan het schrijven is.
Als het heelal oneindig is, hoe kan het dan nog uitdijen?
Hoe kunnen er verschillende soorten oneindig zijn?
Vorig jaar plaatste ik mijn antwoord op de laatste vraag. Er kwamen wat andere dingen tussen, maar vandaag schrijf ik alsnog mijn tweede brief aan Daan met het antwoord op zijn vraag over het heelal.
Cluster van sterrenstelsels (MACS J0416) gefotografeerd door de Hubble-ruimtetelescoop. (Bron afbeelding: NASA/ESA.)
~
Beste Daan,
In mijn vorige brief heb ik proberen uitleggen waarom wiskundigen tegenwoordig denken dat er inderdaad meerdere soorten oneindigheid bestaan (je tweede vraag). Een belangrijk onderdeel van mijn antwoord was de theorie van Cantor over de ‘cardinaliteit’ van verzamelingen. Deze uitleg komt me nu goed van pas bij het beantwoorden van je eerste vraag.
Eerst even ter herinnering: twee verzamelingen hebben dezelfde cardinaliteit wanneer er een één-op-één relatie tussen bestaat. Met andere woorden, als er manier bestaat om aan elk element van de ene verzameling precies één element van de andere verzameling te koppelen zodanig dat ook alle elementen van de tweede verzameling aan bod komen. Als dit kan, dan zijn de verzamelingen “even groot” – in de specifieke betekenis van ze hebben “dezelfde cardinaliteit”. Dit is in feite hoe we eindige verzamelingen tellen, dus het is geen gek idee om het ook in het oneindige geval zo te proberen.
Hotel van Hilbert
Toch heeft deze manier van ’tellen’ wat vreemde gevolgen in het oneindige geval. Die worden geillustreerd door het Hotel van Hilbert. (Hilbert is de naam van een belangrijke wiskundige: David Hilbert.)
Een extra gast
Stel je een hotel voor waarin de kamers genummerd zijn met alle natuurlijke getallen. Er zijn dus aftelbaar oneindig veel kamers in dit fictieve hotel. Bovendien zijn alle kamers in het hotel bezet. Op dat moment komt er een nieuwe gast aan. Wat nu?
Wel, de receptionist beveelt alle gasten naar de kamer te gaan waarvan het kamernummer één hoger is dan waar ze nu zijn. De gast in kamer 1 verhuist naar kamer 2; de gast in kamer 2 verhuist naar kamer 3; enzoverder. Zo hebben alle gasten die er al waren nog steeds een kamer en is kamer 1 vrijgemaakt voor de nieuwe gast.
Dit verhaal illustreert de volgende eigenschap van cardinaliteit: 1 + aftelbaar oneindig = aftelbaar oneindig.
Geen enkel eindig getal is gelijk aan één plus zichzelf. Het is dus wel duidelijk dat de gewone rekenregels voor eindige getallen niet gelden voor oneindige cardinaliteiten.
Als er meerdere extra gasten tegelijk op de stoep staan, kunnen we een soortgelijke oplossing bedenken. (Als er bijvoorbeeld 100 extra gasten zijn, dan laten we de gast uit kamer 1 verhuizen naar kamer 101, de gast uit kamer 2 naar kamer 102, enzoverder.)
Oneindig veel extra gasten
Goed, een eindig aantal extra gasten kan dit hotel duidelijk wel aan. Maar wat als er een nabijgelegen hotel, ook met aftelbaar oneindig veel bezette kamers, ontruimd moet worden en er dus nog eens aftelbaar oneindig veel extra gasten bij moeten?
Ook daarvoor is er een oplossing: laat elke gast verhuizen naar de kamer met als nummer het dubbel van zijn of haar huidige kamernummer. Na de verhuis zitten er enkel nog gasten in de kamers met even nummers en kunnen er dus aftelbaar oneindig veel nieuwe gasten inchecken in de kamers met oneven nummers.
Dit verhaal illustreert de volgende eigenschap van cardinaliteit: 2 x aftelbaar oneindig = aftelbaar oneindig. Of nog: de verzameling van alle even getallen heeft dezelfde cardinaliteit als de verzameling van alle natuurlijke getallen.
Bekijk ook onderstaand filmpje van TED-Ed over het hotel van Hilbert (6 minuten):
Uitdijend heelal
Uit metingen blijkt dat nagenoeg alle sterrenstelsels van ons en van elkaar weg bewegen. Deze waarneming is één van de peilers van de oerknaltheorie: de wetenschappelijke theorie die zegt dat ons heelal ooit veel heter en dichter was dan het nu is. Je kan je de uitdijing van het heelal het beste voorstellen als extra ruimte die erbij komt tussen de sterrenstelsels. Hiervoor worden soms de volgende beelden gebruikt:
Stel je de sterrenstelsels in onze omgeving voor als rozijnen in brooddeeg. Terwijl het deeg rijst, bewegen alle rozijnen uit elkaar doordat het deeg ertussen uitzet.
Of stel je ons sterrenstelsel voor als een mier die op een elastiekje loopt. Terwijl de mier stapt, wordt het elastiekje telkens verder uitgerokken.
De reden dat ik dit erbij schrijf is dat het woord oerknal (of Big Bang) de meeste mensen – heel begrijpelijk – aan een ontploffing doet denken, waarbij alle brokstukken vanaf de bron van de explosie uit elkaar door de ruimte vliegen. In het geval van het heelal is dit echter een zeer misleidend beeld! Het is namelijk niet zo dat er oneindig veel lege ruimte klaarligt waarin de sterrenstelsels aan ‘de rand van het heelal’ uitzwermen. (Er is geen rand van het heelal.) Bovendien is het niet zo dat er in het heelal één bijzondere plaats is waar de oerknal ooit heeft plaatsgevonden: de oerknal vond overal tegelijk plaats. Dat is – hopelijk – beter te begrijpen met het beeld van ruimte die erbij komt tussen de sterrenstelsel.
Hoe een oneindig heelal kan uitdijen
Nu hebben we -eindelijk!- alles wat we nodig hebben om je vraag over het heelal te beantwoorden. Als het heelal al oneindig is, hoe kan het dan nog groter worden? Stel dat we het volume van het heelal op twee momenten vergelijken (bijvoorbeeld nu en over een uur).
Voor en na het uitdijen kunnen we het heelal ‘oneindig’ noemen, maar dit betekent niet dat het niet groter is geworden: oneindig is geen getal. Zoals ik vorige keer al schreef, betekent dit woord enkel ‘niet eindig’. (Dit werkt zoals het woord ‘veel’: ik heb al veel boeken in huis en ik koop er nog een paar, dan zijn het er nog steeds ‘veel’ – en toch zijn het er nu meer dan voorheen.)
Stel dat we het volume van het heelal uitdrukken in kubieke meter. Als het heelal oneindig is, kunnen we het aantal kubieke meter uitdrukken met een cardinaliteit. Net zoals er in het Hilbert hotel altijd oneindig veel extra plaats gemaakt kan worden tussen de gasten, kan dit ook in een oneindig uitdijend heelal. Er komt extra ruimte bij tussen de ‘gasten’ van het heelal, namelijk tussen de sterrenstelsels. Vreemd genoeg wordt de cardinaliteit van het aantal kubieke meter in het heelal hierbij niet noodzakelijk groter, maar dit betekent niet dat het niet groter is geworden: cardinaliteiten zijn geen gewone getal. Cardinaliteit drukt een soort grootte-orde van oneindigheid uit. (Stel dat ik moet schatten hoeveel boeken ik in huis heb. Ik heb ze niet precies geteld, maar ik schat ‘duizenden’. Als ik er twee bij koop, of zelfs enkele honderden, dan zijn het er nog steeds “duizenden”. Toch heb ik achteraf meer boeken dan voordien en op een bepaald moment moet ik een kast bijkopen.)
Als het heelal oneindig is, kunnen we het aantal kubieke meter ook anders uitdrukken, namelijk met een numerositeit. De numerositeit van het volume van het heelal wordt wél groter terwijl het heelal uitdijt. Hieraan kunnen we dus wel, net als bij gewone getallen, zien dat het groter is geworden. (Eerst had ik bijvoorbeeld 2540 boeken, daarna 2612.)
Ik stelde je vraag op Twitter aan Sean Carroll (theoretisch fysicus bij Caltech) en hij antwoordde als volgt:
“Space expands between galaxies. Think of the integers, and multiply them all by 2. Still infinitely many, but further apart.”
Carroll schrijft trouwens blogposts en heel boeiende boeken waarin hij complexe ideeën uit de fysica glashelder uitlegt en vaak ook verbindt met filosofische vragen – een aanrader, dus!
Is het heelal inderdaad oneindig?
Ik heb je vraag geïnterpreteerd als “Indien het heelal oneindig is, hoe kan het dan nog uitdijen?” Over de aanname wil ik wel nog een belangrijke opmerking maken: het is namelijk helemaal niet zeker of het heelal oneindig is! De snelheid van licht in vacuüm is ongeveer 300 duizend km/s. Dat is naar onze maatstaven is een zeer grote snelheid, maar het is wel een eindig getal. Doordat de lichtsnelheid eindig is en alle signalen in het heelal (voor zo ver we weten) zich maximaal met deze snelheid kunnen voortplanten, is er een grens aan hoe ver we kunnen kijken. (De signalen moeten ons tijdens de leeftijd van het heelal bereikt kunnen hebben.) We weten niet hoe groot het heelal is buiten het voor ons waarneembare deel, waardoor er ruimte blijft voor verschillende theorieën en speculaties.
Sommige fysische modellen gaan ervan uit dat het heelal oneindig groot is, of dat wat wij het heelal noemen eigenlijk maar een klein deel is (een soort bubbel) van een veel grotere structuur. Hoewel we niet buiten het voor ons waarneembare deel van het heelal kunnen kijken, kunnen we wel proberen indirecte aanwijzingen te vinden in onze omgeving over hoe het heelal als geheel eruit ziet. Uit nauwkeurige WMAP-metingen van NASA maken we op dat het heelal in elk geval veel groter is dan het deel dat we kunnen zien. Zo proberen kosmologen loutere speculaties te scheiden van onderbouwde theorieën en toch een tipje van de sluier op te lichten over de structuur van het heelal als geheel.
Zoals eerder aangekondigd heb ik op 17 februari meegedaan aan de “YouReCa Challenge 2016”, een Science Slam georganiseerd door de KU Leuven in het Depot. Er waren vijf presentaties in het Engels over wetenschappelijke onderwerpen, maar op zo’n manier gebracht dat het ook voor niet-wetenschappers te volgen was. Het was tegelijk ook een wedstrijd, met een vier-koppige jury en een publieksprijs. Beide hoofdprijzen werden gewonnen door Pieter Thyssen, met zijn presentatie over tijdreizen.
Op deze website vind je foto’s van de avond en onderstaande video geeft een sfeerverslag met fragmenten van alle presentaties.
Opnames van alle presentaties staan nu ook online:
Mijn bijdrage was een presentatie van 8 minuten over de vraag of we oneindig kunnen tellen. Ik heb de videoregistratie van mijn presentatie aangevuld met de slides. Aangezien mijn Engelse dictie te wensen overlaat, heb ik er op YouTube nu ook Engelstalige ondertitels aan toegevoegd. ;-) (Die moet je wel nog zelf aanzetten door onderaan rechts in de video op het rechthoekige symbool voor Subtitles/Ondertitels te klikken.)
Onder de vouw vind je de Engelstalige transcriptie met aanvullende informatie in voetnoten.
Morgen doe ik mee aan de YouReCa Challenge van de KU Leuven. Jonge onderzoekers leggen een wetenschappelijk concept uit in 6 minuten (in het Engels). Mijn titel is “1 2 3… Infinity!” Deze Science Slam begint om 19u in het Depot, vlak aan het station in Leuven. Het is gratis, wel even inschrijven (hier).
Achteraf plaats ik een filmpje online.
~
Aanvulling (24 februari 2016):
Het was een leuke namiddag (technische repetitie / doorloop) en avond (de voorstelling zelf). Pieter Thyssen heeft de publieks- én de juryprijs gewonnen met zijn grappige uitleg over tijdreisparadoxen. Valérie Augustyns en Daniel Perez kregen de tweede prijs voor hun heldere uitleg over supergeleiders met demo’s van een in stikstok bevroren roos én een zwevend modeltreintje. Mijn verhaal over oneindigheid kreeg de derde prijs. (We kregen een cartoon, die ik achteraf nog vergeten ben omdat ik zoveel bagage mee had, maar intussen is de kader terecht en staat op mijn kantoor.)
Tijdens de PechaKucha Night lichtte ik mijn ideeën over kunst en wetenschap toe aan de hand van twintig lichtbeelden. Mijn thema was “begrijpend tekenen“.
De presentatie was in het Engels, maar ik heb Nederlandse ondertitels gemaakt bij deze opname:
Hieronder de transcriptie met weblinks. (De Engelstalige versie staat hier.) (meer…)
Van Daan Maes kreeg ik per e-mail twee vragen over het heelal en oneindigheid. (Daan is een jaar jonger dan ik en we zaten vroeger op dezelfde lagere school.) Misschien heeft er nog iemand anders iets aan, dus vroeg ik toestemming om de vragen en antwoorden ook hier te plaatsen.
Zijn vragen (in het kort):
Als het heelal oneindig is, hoe kan het dan nog uitdijen?
Hoe kunnen er verschillende soorten oneindig zijn?
Hieronder mijn eerste brief aan Daan waarin ik zijn tweede vraag beantwoord.
~
Beste Daan,
Wat een leuke vragen om te krijgen! Dit zijn allebei zaken die iets met mijn eigen onderzoek en interesses te maken hebben en het gebeurt niet vaak dat er iemand daar vragen over stelt (tenzij collega’s dan).
Voor mij is het het handigste om je tweede vraag eerst te beantwoorden. Mijn tijd is helaas beperkt, dus ik stel het antwoord op de eerste vraag (over het heelal) even uit tot een volgend bericht.
Je tweede vraag heeft alles te maken met de grootte van oneindig. Voor ik het antwoord kan geven, moet ik eerst iets uitleggen over oneindig.
Over oneindig
Letterlijk betekent oneindig enkel ‘niet-eindig’. Om daar in de wiskunde iets mee te kunnen doen, zullen we iets specifieker moeten zijn. Er wordt in verschillende contexten met oneindig gewerkt in de wiskunde, die niet allemaal exact hetzelfde betekenen. Om op jouw vraag te beantwoorden volstaat het om te kijken naar oneindig grote verzamelingen.
Het eenvoudigste en tegelijk belangrijkste voorbeeld van een oneindig grote verzameling is de verzameling van alle natuurlijke getallen, genoteerd als ℕ. Ik zal eerst zeggen wat dit zijn en dan een definitie geven.
Natuurlijke getallen zijn de gehele getallen die we gebruiken om te tellen: 1, 2, 3, … De drie puntjes op het einde betekenen ‘enzoverder’ en in dit geval kunnen we eindeloos doorgaan: er is geen grootste natuurlijk getal.
We kunnen de verzameling van alle natuurlijke getallen, ℕ dus, als volgt definiëren (maar om het helemaal correct te doen moeten we de axioma’s van de rekenkunde van Peano volgen):
Het getal 1 zit in ℕ
Voor elk getal n dat in ℕ zit, zit ook n+1 in ℕ
Verder zitten er geen andere getallen in ℕ
Dit volstaat om te zien dat er geen grootste getal in de verzameling ℕ zit. Kijk maar: stel dat iemand beweert dat er wel een grootste getal in ℕ zit. Laten we dit kandidaat grootste getal M noemen. Dan zit volgens de tweede regel van de definitie ook het getal M+1 in ℕ, maar dat getal is groter dan M en dus was de veronderstelling dat M het grootste was niet juist. Maar deze redenering gaat op voor elk element van ℕ! De opsomming van elementen van ℕ is dus eindeloos, of anders gezegd: ℕ is een oneindig grote verzameling.
ℕ heeft uiteraard wel eindige deelverzamelingen. Kijk bijvoorbeeld eens naar de eerst tien elementen. Dat is de verzameling {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. We zullen een verzameling van deze vorm (alle elementen van ℕ van 1 tot en met een bepaald ander getal) een beginstuk van ℕ (‘initieel deel’) noemen.
Elke eindige verzameling kan in een zogenaamde één-op-één relatie gelegd worden met een beginstuk van ℕ. Stel, je neemt de kleuren van de Belgische vlag, dan kan je de volgende koppels maken: (rood,1), (geel,2) en (zwart,3). Dit is een symbolische manier van weergeven hoe we tellen: we wijzen dingen één voor één aan en noemen beginnend bij 1 telkens het eerstvolgende natuurlijke getal.
Dit kunnen we nu als definitie gebruiken voor een eindige verzameling: alle verzamelingen die in één-op-één relatie gebracht kunnen worden met een beginstuk van ℕ noemen we eindig.
Aangezien oneindig hetzelfde is als niet-eindig hebben we daarmee óók een definitie voor oneindige verzamelingen, namelijk die verzamelingen waarvoor er geen één-op-één relatie bestaat met een beginstuk van ℕ.
Nu kunnen we echt beginnen nadenken over je vraag: bestaan er verschillende soorten oneindig? Je bent hier in goed gezelschap, want hier hebben al verschillende generaties wetenschappers, wiskundigen en filosofen over nagedacht. Het antwoord is in de loop van de tijd wel veranderd.
Bij het Hoger Instituut voor Wijsbegeerte aan de KU Leuven is het gebruikelijk dat professoren in het jaar van hun aanstelling worden geïnterviewd. Dit interview wordt meestal afgenomen door een doctoraatsstudent uit de groep, in mijn geval door Pieter Thyssen. De tekst verschijnt in een intern tijdschrift (“Mededelingen”), maar ik laat jullie hier ook meelezen.
Omdat het een lange tekst is geworden, publiceer ik het interview in drie delen. Het eerste deel gaat over de herkomst van mijn interesse voor fysica en filosofie en over mijn onderzoek in de voorgaande jaren.
~
Dag Sylvia. Terwijl het grote merendeel van de studenten tegenwoordig rechten, industriële of handelswetenschappen gaat studeren, koos jij voor fysica. Wat trok je in deze richting aan?
Dag Pieter. Wel, mijn plan was eigenlijk om astrofysicus te worden en daarna sciencefiction te gaan schrijven. Dat bedacht ik rond mijn vijftiende – een naïef plan dus, maar op basis ervan koos ik op de middelbare school wel consequent voor de richting met het meeste uren wiskunde per week, terwijl ik voor taalvakken nochtans minder inspanning moest doen. Het hele plan was geïnspireerd door Isaac Asimov, mijn favoriete sciencefictionauteur in die tijd. Ik wist dat hij wetenschapper was, die naast fictie ook populariserende boeken schreef, onder meer over astrofysica. Het ironische is dat ik er pas veel later achterkwam dat Asimov zelf helemaal geen fysicus was, maar een chemicus. (Lacht)
Was je toen al geïnteresseerd in de filosofie?
O ja, zeker! Naast sciencefiction en populariserende boeken over wetenschap las ik ook filosofie. Concreet herinner ik me uit die periode “Les jeux sont faits” van Sartre (voor de Franse les) en de Kritiek van Kant (een vertaling waarvan ik delen las terwijl ik hevige tandpijn had en voortdurend rondjes rond de tafel stapte). Ik begreep niet alles, maar het fascinerende me. De grote vragen van de filosofie spraken me aan, maar ik had de indruk dat de wetenschap in een betere positie stond om minstens een deel van die vragen ook te beantwoorden. Waarschijnlijk geloofde ik zelfs dat in de fysica een theorie van alles – waar de Griekse natuurfilosofen al naar op zoek waren – nu binnen handbereik lag. (Zucht) Toch besefte ik ook dat er nog veel spannende vragen waren, in de kosmologie bijvoorbeeld. Dat is bij uitstek een terrein waar fysica en filosofie even relevant zijn.
Neem een zeer smalle strook papier en schrijf op de voorkant in één regel een lange wiskundige formule met limieten, sommen en integralen erin. Als je aan het einde van de strook gekomen bent, draai dan de strook om, zodanig dat de tekst op de achterkant nu ondersteboven staat, en ga verder met schrijven tot aan het einde van die regel.
Plak de smalle uiteinden van de strook papier zodanig aan elkaar dat de bovenkant van het ene uiteinde aan de onderkant van het andere uiteinde komt en de formule netjes verderloopt. Er ontstaat dan een lus met een draaiing van 180° erin. Dit stelt een Möbiusband voor: een niet-oriënteerbaar oppervlak met maar één oppervlak en één zijde.
Geef de papieren lus in haar geheel nog eens een draaiing van 180°mee, waardoor er een soort acht ontstaat. Laat de acht schrikken zodat hij flauwvalt. Dan heb je een lemniscaat: het symbool voor oneindig.
Voeg nog een jachthond* toe die eindeloos achter een konijntje aan holt over die Möbiusband (of is het andersom?) en geef de verdwaasde jager het nakijken.
Ik vond het plaatje toevallig op internet en het hangt nu op op mijn kantoor. Of het werk een titel heeft, weet ik niet. Zelf zou ik het “Jagen op oneindig” noemen. Er is nog een mooi werk van hem met een soortgelijk thema dat “hortus mathematicus” heet.
* Het moeten niet altijd mieren zijn, zoals bij Escher. Welk soort jachthond mag je zelf kiezen. Er zijn minstens twee verschillende versies van dit werk: terwijl er op de kaft van het vademecum een witte hond met bruine staat, staat er op de versie van de portfolio van de kunstenaar een zwarte hond.
“Infinity isn’t like you or me: it behaves in strange ways.”
In eerste instantie las ik ‘isn’t‘ als ‘is‘ en dat klopte ook! :)
Dit korte berichtje heb ik geschreven in april, maar in alle drukte ben ik het toen vergeten online te zetten. Intussen houdt onze peuter meer van in de buggy zitten dan van gaan slapen. Later deze week schrijf ik nog een update over de vorderingen van zijn gebabbel.
Gisteren gaf ik in Groningen een lezing. Om kansen toe te kennen aan oneindige verzamelingen, zou het handig zijn als je de mogelijkheden kunt tellen, ook al zijn dit er oneindig veel. Daarom maak ik in mijn werk gebruik van numerosities, een manier om oneindige verzamelingen te “tellen” (in zekere zin dan). De theorie over numerosities werd ongeveer tien jaar geleden voorgesteld door professor Vieri Benci en is dus nog niet erg bekend. Na mij gaf professor Paolo Mancosu een lezing. Hij heeft in 2009 een artikel geschreven over numerosities, dus precies rond de tijd dat ik over infinitesimale kansen begon na te denken: ik heb zijn artikel toen gelezen en het heeft mijn werk sterk beïnvloed.
In een ideale wereld zou ik hier een uitgebreide samenvatting van de lezingen uitschrijven. Helaas heb ik in de echte wereld iets te veel ander werk. Gelukkig heeft Catarina Dutilh Novaes, mijn collega uit Groningen die de dubbellezing georganiseerd heeft, er al een blogpost over geschreven: “Counting infinities” (in het Engels dus). Het is een goede inleiding over dit onderwerp en er is ook een discussie op gang gekomen (waar ik met plezier aan deelneem), dus neem er zeker een kijkje als je geïnteresseerd bent in een recente theorie over oneindigheid!
Gisteren gaf ik in Groningen