Tag Archief: optische illusie

Windmolenillusie uit 1937

Vandaag wou ik iets opzoeken in Minnaerts “De natuurkunde van ’t vrije veld” (waar ik in het vorige bericht nog over had), toen mijn oog plots viel op “Gezichtsbedrog bij het beoordelen van de draaiingszin”. Dat is de titel van paragraaf 104 en daarin beschrijft Minnaert de observatie van een optische illusie, die me wel heel bekend voorkwam. De illusie is nauw verwant aan degene die ik beschreef in het stukje Windmolenillusie en in het filmpje Millusion. Er staat zelfs een plaatje bij van een traditionele windmolen. Toen ik online naar eventuele eerdere meldingen van de illusie zocht, deed ik dat wellicht enkel met Engelstalige zoektermen en zo zag ik onze eigen Minnaert over het hoofd. Mijn waarneming gaat over minstens twee molens die verschillend lijken te draaien, maar het onderliggende principe is hetzelfde als de illusie bij één molen die Minnaert dus al beschreef.

Hier is de hele passage (overgenomen van dbnl):

104. Gezichtsbedrog bij het beoordelen van de draaiingszin.

Een windmolen draait in de avondschemering. We kijken van uit een richting, schuin op het vlak der wieken, en zien in de verte hun donker silhouet (fig. 97a). U kunt u voorstellen dat de wieken rechtsom draaien, maar evengoed dat ze linksom gaan (fig. 97b). Het overgaan van de éne voorstelling op de andere vereist een ogenblik concentratie van de aandacht; meestal is het ook voldoende, rustig te blijven kijken, dan slaat het beeld ‘vanzelf’ om. – Meteorologische stations hebben meestal een windmeter van Robinson: het is een molentje, dat om een vertikale as draait, en gebruikt wordt om de windsterkte te meten. Als ik het van op afstand rustig blijf aankijken, schijnt de draaiingszin telkens na ongeveer 25 of 30 sekunden om te slaan, zonder dat mijn wil daar bewust aan meewerkt. Ook een windvaan die heen en weer zwaait kan ons aan het twijfelen brengen, vooral indien hij niet te hoog geplaatst is (fig. 97c).

In al deze gevallen hangt ons oordeel over de draaiingszin ervan af, welke delen van de baan we dichter bij ons, en welke we verder van ons af achten. Die waarop toevallig onze aandacht het meest gevestigd is, lijken ons in ’t algemeen dichterbij. Het omslaan van de schijnbare draaiingszin is dus aan een verspringen van de aandacht toe te schrijven.”

Groene lucht.

Onderschrift bij de figuur zoals bij Minnaert: “Fig. 97. Het silhouet van de molen in de avond: a. wat de waarnemer ziet; b. welke voorstelling hij ermee verbinden kan. c. Andere bedriegelijke silhouetten.”

“Voor zo ver ik weet is deze illusie nog niet eerder gedocumenteerd” schreef ik in maart van dit jaar voorzichtig. Inmiddels weet ik beter: het boek van Marcel Minnaert verscheen in 1937. Zotjes!

Nieuwsflits: Millusion

Van mijn column over de windmolenillusie (verschenen in het aprilnummer van Eos) met animaties door Pieter Torrez maakte ik een video van exact één minuut.

Korte omschrijving (voor wie de column nog niet las):

Een nieuwe illusie ontdekken stond op mijn bucket list, omdat ik graag illusies gebruik in mijn inleidende colleges (bijvoorbeeld over Descartes). Mijn illusie kan je zelf ervaren als je voorbij een windmolenpark rijdt: soms lijkt één molen in tegenwijzerzin te draaien, terwijl de andere in wijzerzin draaien (of vice versa). De illusie treedt op wanneer je enkel de contouren van de windmolens kan zien, bijvoorbeeld op een mistige dag of ’s avonds (afgetekend tegen oplichtende wolken in de achtergrond). De situatie doet denken aan de bekende illusie van de draaiende danseres. Tenzij je je in het oog van een storm bevindt, is het onwaarschijnlijk dat de molens écht in tegengestelde richting draaien. Een veel plausibelere verklaring is dat je tegen de voorkant van de meeste turbines aankijkt en tegen de achterkant van de tegendraadse (of vice versa). Ik vroeg aan wetenschappelijk illustrator Pieter Torrez (Scigrades.be) om een 3D-animatie te maken van de situatie, om de illusie te recreëren en om de voorgestelde verklaring te toetsen. Met succes! De resulterende animatie heet ‘Millusion‘.

Ik meldde het “Millusion” filmpje aan bij de Best Illusion of the Year wedstrijd. Dit is een jaarlijkse verkiezing van de beste nieuwe illusie, waaraan onderzoekers van over de hele wereld deelnemen. Hoewel illusies in meerdere vakgebieden relevant zijn, doen vooral psychologen en neurowetenschappers er onderzoek naar. Als filosoof ben ik dus een vreemde eend in de bijt, maar toch heeft mijn inzending de preselectie gehaald! Een vakjury heeft 10 inzendingen geselecteerd, waaronder mijn Millusion en nog twee andere uit België (beide ook vanuit de KU Leuven). De lijst staat aangekondigd op de blog van Scientific American.

Pas op woensdag 29 juni (omgerekend naar onze tijdzone) 22:00 23:00 zullen alle inzendingen te zien zijn op de website van Illusion of the Year . Dan begint namelijk een stemming via internet die zal duren tot donderdag 30 juni 22:00 23:00 . Op die manier worden er drie winnaars gekozen, maar ik vind het vooral erg leuk dat op die manier heel veel mensen bovenstaand filmpje zullen kunnen bekijken. :-D

Vorig jaar deed ik zelf niet mee aan de wedstrijd, maar ik vond het toch erg leuk om nieuwe illusies te leren kennen. Zeker een aanrader dus! (Voor wie op deze pagina terechtkomt na 30 juni 2016: geen nood, de illusies blijven ook na afloop van de wedstrijd te bekijken op de website.)

PS: Vorige maand heb ik op Twitter ook nog deze accidentele illusie gedeeld. (Tekening door Danny.)

Update 8 juli 2016:

Nee, ik heb niet gewonnen, maar de lijst met winnaars vind je hier. Mijn favoriet was degene die tweede is geëindigd. Een beetje toelichting bij alle illusies.

Windmolenillusie

Kijk eens naar de animatie en vraag je af of je iets vreemds ziet.

Lees dan de column met de oplossing eronder.

Windmolenillusie.

Windmolenillusie. Klik op de afbeelding voor groter. (Animatie: idee S. Wenmackers; uitvoering P. Torrez – Scigrades.)

Deze column is verschenen in het aprilnummer van Eos.

We reden ’s avonds naar huis via de autosnelweg, ruim na zonsondergang. Het was op de E314 bij het windmolenpark ter hoogte van Diest. De silhouetten van de windmolens tekenden zich duidelijk af tegen de verlichte wolken erachter. De wieken draaiden allemaal met dezelfde snelheid, maar vreemd genoeg draaide er één molen de andere kant op. Even dacht ik dat deze windmolen zich misschien 180 graden gedraaid had, maar dat kon de verklaring niet zijn: het profiel van de vleugels is zo dat de molen maar één kant op kán draaien. Was de windrichting dan anders bij die molen? Dat leek me ook stug. Niets wees erop dat het weer zo veranderlijk of onstuimig was.

Ik knipperde eens met mijn ogen, maar het was toch echt zo: alle molens draaiden in wijzerzin, behalve die ene, die in tegenwijzerzin draaide. De situatie is schematisch aangegeven op het plaatje hieronder.

Toen begon me iets te dagen. Doordat we enkel de silhouetten van de molens zagen, was het niet duidelijk of we tegen de voor- of de achterkant aankeken. Bij daglicht zou deze illusie vast niet optreden. Ik kon het natuurlijk niet 100% zeker weten, daarvoor zou ik dezelfde situatie eens bij daglicht moeten kunnen bekijken. Maar de volgende keer dat we er passeerden was de wind gedraaid en wezen de assen van alle molens een andere kant op.

Waar echte experimenten niet haalbaar blijken, doen wetenschappers steeds vaker een beroep op computersimulaties. Ook in dit geval leek een simulatie in een 3D-tekenprogramma me een goede manier om mijn hypothese te testen. Daarom riep ik de hulp in van Pieter Torrez, een marien bioloog die na zijn opleiding Scigrades heeft opgericht, een bedrijfje voor wetenschapsvisualisatie. (De animaties die Pieter maakte staan boven- en onderaan dit bericht.)

De hypothese werd getest en afdoende bevonden. Als het licht zo is dat we enkel het profiel van de windmolens kunnen zien, lijken de molens verschillend te draaien. Bij daglicht krijgen we echter meer informatie: we zien of we tegen de voor- of achterkant van de gondel aankijken en door licht en schaduw zien we meer diepte. Zo treedt de illusie niet meer op. Als we de diepte-informatie correct interpreteren kunnen we trouwens ook bij slechte lichtomstandigheden inzien dat de molens wél dezelfde kant op draaien: interpreteer de rode pijlen niet als “tegenwijzerzin” en “wijzerzin” (verschillend), maar als “naar ons toe” (hetzelfde).

Windmolenillusie.

Windmolens: je kan de illusie opheffen door de rode pijlen te interpreteren als “naar ons toe”.

Voor zo ver ik weet is deze illusie nog niet eerder gedocumenteerd. Wel zijn er minstens twee andere optische illusies met windmolens bekend. De eerste illusie is dat windmolens in werkelijkheid groter zijn dan we doorgaans inschatten. Dit komt door gebrek aan referentiepunten in de hoogte en door perspectiefwerking. Zelfs als je bij het plaatsen van nieuwe windmolens met eigen ogen hebt kunnen zien dat de rotorbladen meer dan 80 meter lang zijn, is het moeilijk om dit besef vast te houden. Hierdoor lijken de molens zelfs bij sterke wind relatief rustig te draaien. Als je in rekening brengt hoe groot de wieken zijn, zie je dat de uiteinden ervan toch grote snelheden halen.

De tweede illusie heeft opnieuw met de draaibeweging te maken. Let maar eens op een rotorblad dat net de mast passeert: daar lijkt die ene wiek even iets sneller voorbij te zwiepen, terwijl de wieken in werkelijkheid natuurlijk allemaal even snel draaien.

Windmolens bij daglicht.

Dezelfde windmolens als bovenaan, nu bij daglicht. Klik op de afbeelding voor groter. (Animatie: idee S. Wenmackers; uitvoering P. Torrez – Scigrades.)

Inleidend college filosofie: over waarheid (kenleer)

Onze faculteit organiseert een Junior College Filosofie. Daarbij gaan er verschillende klassen middelbare scholieren aan de slag met lesmateriaal en filmpjes over een bepaald thema. Per thema worden er ook twee bijeenkomsten georganiseerd in een aula aan de KU Leuven. Op 24 september gaf ik zo’n inleidend college over het thema Waarheid. Het was een introductie over een aantal thema’s uit de filosofie en de kenleer in het bijzonder.

Om het een beetje origineel aan te pakken, gebruikte ik verwijzingen naar een aantal films; natuurlijk komt ook Inception ter sprake. ;-) Verder waren er enkele demonstraties van optische illusies en één auditieve illusie.

Het college vond plaats in een aula met videoregistratie, zodat de klassen die niet aanwezig konden zijn het achteraf konden nabekijken. De opname van dit college plaats ik nu ook hieronder.

Wat mensen met enige achtergrond in de kenleer wellicht zal opvallen is dat ik in dit college erg onzorgvuldig omspring met de termen ‘kennis’, ‘zekerheid’ en ‘waarheid’: ik gebruik ze door elkaar, terwijl deze woorden natuurlijk niet hetzelfde betekenen. Voor dit inleidende college leek enige slordigheid op dit vlak me echter een verdedigbare keuze, omdat het me toeliet om in een relatief korte tijd (van twee keer vijftig minuten) heel wat grond te bestrijken.

Wat mij dan weer vooral opvalt is een nieuw stopwoord, waarvan ik me nog niet bewust was. Oeps! (Ik ga niet zeggen welk het is, want dan gaat het al van het begin af aan storen.) Er zitten ook stukjes in waar ik achteraf gezien niet zo blij mee ben, maar dat is altijd zo. Volgend jaar beter. :-)

Met de respons van de leerlingen was ik trouwens wel heel tevreden: ze kwamen met relevante en vaak originele antwoorden. Deze interactie is precies wat doceren zo boeiend maakt (al blijft juist van dat aspect weinig over in een videoregistratie).

Jagen op oneindig

Recept voor een kunstwerk:

  • Neem een zeer smalle strook papier en schrijf op de voorkant in één regel een lange wiskundige formule met limieten, sommen en integralen erin. Als je aan het einde van de strook gekomen bent, draai dan de strook om, zodanig dat de tekst op de achterkant nu ondersteboven staat, en ga verder met schrijven tot aan het einde van die regel.
  • Plak de smalle uiteinden van de strook papier zodanig aan elkaar dat de bovenkant van het ene uiteinde aan de onderkant van het andere uiteinde komt en de formule netjes verderloopt. Er ontstaat dan een lus met een draaiing van 180° erin. Dit stelt een Möbiusband voor: een niet-oriënteerbaar oppervlak met maar één oppervlak en één zijde.
  • Geef de papieren lus in haar geheel nog eens een draaiing van 180°mee, waardoor er een soort acht ontstaat. Laat de acht schrikken zodat hij flauwvalt. Dan heb je een lemniscaat: het symbool voor oneindig.
  • Voeg nog een jachthond* toe die eindeloos achter een konijntje aan holt over die Möbiusband (of is het andersom?) en geef de verdwaasde jager het nakijken.

Dit recept is afgekeken van de Poolse grafisch kunstenaar Adam Pekaslki (of Kapitan Kamikaze), die net zo’n werk maakte dat de kaft van een wiskundig vademecum uit 2010 siert.

Jagen op oneindig.

Illustratie door Adam Pekaslki.

Ik vond het plaatje toevallig op internet en het hangt nu op op mijn kantoor. Of het werk een titel heeft, weet ik niet. Zelf zou ik het “Jagen op oneindig” noemen. Er is nog een mooi werk van hem met een soortgelijk thema dat “hortus mathematicus” heet.

* Het moeten niet altijd mieren zijn, zoals bij Escher. Welk soort jachthond mag je zelf kiezen. Er zijn minstens twee verschillende versies van dit werk: terwijl er op de kaft van het vademecum een witte hond met bruine staat, staat er op de versie van de portfolio van de kunstenaar een zwarte hond.

Stralend blauwe hemel

Dit stukje is in licht gewijzigde vorm als een column verschenen in Eos.
(Jaargang 31, nummer 7/8.)

Stralend blauwe hemel.Als je deze zomer op een terras zit, doe dan eens die zonnebril af en kijk naar een punt in de blauwe lucht. Richt je aandacht op wat je rond dit punt ziet. Na een tijdje merk je waarschijnlijk heldere puntjes op, die even oplichten en weer verdwijnen. Net vuurvliegjes, maar dan overdag. Dat is het fenomeen van Scheerer.

Sommige mensen zien de stipjes spontaan. In het liedje “I see you” uit 1992 vraagt Juliana Hatfield zich af wat ze in haar ooghoek ziet wegschieten als ze naar de hemel kijkt. In het Engels heten de stipjes ‘sprites’, wat suggereert dat het een spiritueel verschijnsel is. Wetenschappers hebben echter aangetoond dat het hier om een entoptisch verschijnsel gaat: daarbij zie je iets dat zich in je eigen oog bevindt. Daarom worden de stipjes ook wel het entoptisch fenomeen van het blauwe veld genoemd. Als je corrigerende brilglazen of lenzen hebt, zul je merken dat je de stipjes even duidelijk ziet met of zonder deze hulpmiddelen.

Het gaat hier niet om de donkere, draadachtige vormen, die je vast wel eens gezien hebt als je naar een egaal oppervlak kijkt. Deze glasvochttroebelingen worden in het Engels ‘floaters’ genoemd, omdat ze traag met je oogbewegingen meedrijven. Net als de stipjes zijn ook floaters een entoptisch fenomeen: het gaat om eiwitten en cellen die zich in de geleiachtige massa van je oogbol bevinden. In feite zijn het kleine onzuiverheden, maar doordat ze zich pal voor je netvlies bevinden nemen ze toch een groot deel van je blikveld in. Je ziet de zwevers nog duidelijker als je op je rug in het gras gaat liggen en zo naar de lucht kijkt: niet omdat ze beter zichtbaar zouden zijn tegen een blauwe hemel, maar simpelweg omdat de structuren dan naar je netvlies zakken.

Wat zijn nu die heldere stipjes die je tegen een blauwe achtergrond ziet? Dat zijn witte bloedlichaampjes op je eigen netvlies! Als je één witte bloedcel op een schaaltje voor je neus zou krijgen, zou je die cel niet kunnen zien liggen, want de diameter ervan is zo’n tien micrometer (ongeveer tien keer kleiner dan de breedte van een haar). Maar in ons oog kunnen we deze cellen wel zien, omdat ze groter zijn dan de lichtgevoelige kegeltjes waar ze zich vlakbij bevinden.

Vóór de lichtgevoelige cellen van ons oog lopen er bloedvaten, die een schaduwpatroon op het netvlies veroorzaken. We zijn ons hier meestal niet van bewust, omdat onze ogen en hersenen dit patroon wegfilteren. (Hetzelfde geldt voor onze blinde vlek, die ook pal in ons gezichtveld zit.) De haarvaten op ons netvlies zijn grotendeels gevuld met rode bloedcellen, die vooral blauw licht absorberen. De witte bloedcellen zijn minder talrijk en grotendeels transparant voor blauw licht. Wanneer er een witte bloedcel door een haarvat passeert, valt daar tijdelijk minder schaduw op het netvlies. De achterliggende cellen, die aan de schaduw aangepast waren, worden dan tijdelijk overbelicht. Dit zorgt ervoor dat we de witte bloedcellen zien als helder oplichtende puntjes.

Ik zie, ik zie wat jij niet ziet.Om de stipjes te leren zien, kan het helpen om eerst je hartslag op te jagen, bijvoorbeeld door een stukje te rennen: zo neemt het geflits van de stipjes toe. Als het je dan nog niet lukt om de puntjes te zien, kan je eens naar een wetenschapsmuseum gaan. De opstelling is eenvoudig: een buisje om in te kijken, met achteraan een witte lamp en vooraan een blauwe smalbandfilter. Die filter laat precies dat deel van het spectrum door (rond 430 nanometer) waarbij het contrast tussen de rode en de witte bloedcellen optimaal is. Als het je één keer gelukt is om de krioelende puntjes te zien, lukt het je daarna vast ook in minder ideale omstandigheden.

Zelf zag ik het fenomeen van Scheerer voor het eerst tijdens een bezoek aan het Exploratorium in San Francisco, één van de leukste wetenschapsmusea ter wereld. Er staat ook een opstelling dichter bij huis: in het Palais de la Découverte in Parijs. In het Illuseum in Gent zijn er plannen voor een opstelling. In elk geval kan je daar advies vragen om de stipjes te zien en kan je er je eigen ogen op nog heel wat andere manieren bedotten.

Fenomeen van Scheerer.

Simulatie van het fenomeen van Scheerer of het entopisch fenomeen van het blauwe veld. (Bron afbeelding.)

Aanvullende links:

Wetenschapsmusea die mogelijk een opstelling hebben over het fenomeen van Scheerer:

  • Het Exploratorium in San Francisco (VS, Californië): wij waren er in 2009 en de opstelling staat nog steeds op de website. (In 2009 stond er nog op de website dat je met deze opstelling de rode bloedcellen kunt zien, maar deze fout is gelukkig rechtgezet.)
  • Het Palais de la Découverte in Parijs (Frankrijk): wij waren er in 2011, maar de opstelling wordt niet expliciet vermeld op de website en ik heb van de persdienst geen reactie gekregen op mijn vraag of die er nog steeds staat. :-( (In 2011 stond ook hier vermeld dat het de rode bloedcellen zouden zijn; vermoedelijk hebben ze het concept van de opstelling overgenomen van het Exploratorium.)
  • Het Technorama in Winterthur (Zwitserland): zelf ben ik er nooit geweest, maar de opstelling staat vermeld op de website. (Ook hier weer dezelfde fout: “a view of the pulsing red blood cells on your own retina”.)
  • Het Experimentarium in Kopenhagen (Denemarken): hoewel ik al in Kopenhagen ben geweest, heb ik het museum helaas nog niet bezocht. Volgens deze website was er wel een opstelling voor het fenomeen van Scheerer. Ik schrijf ‘was’ want de informatie is acht jaar oud en op dit moment is het museum tijdelijk verhuisd. Het is dus onduidelijk of de opstelling er nog staat.
  • Het Illuseum in Gent (België): wij waren er enkele jaren geleden (wanneer weet ik niet meer exact). Zij hebben vooralsnog geen opstelling over dit fenomeen, maar ze reageerden meteen enthousiast op mijn vraag. Misschien knutselen ze iets in elkaar. :-) In elk geval kun je daar terecht voor heel veel optische illusies en ze geven graag een woordje uitleg.

Voeren je vakantieplannen je in de richting van één van deze musea, laat me dan eens weten of de demonstratie er al dan niet staat. De naam van de opstelling is waarschijnlijk (een vertaling van) “Corpusculen in het menselijk oog”.

Stromae en de onmogelijke vierkantswortel

Onmogelijke vierkantswortel.Stromae maakt dansbare muziek met slimme teksten. De man achter de artiestennaam Stromae (verlan voor Maestro) is Paul van Haver. Hij heeft zijn nieuwe album √ genoemd, of Racine carrée – Frans voor vierkantswortel. Niet toevallig koos hij voor dit album ook wiskundige patronen voor zijn kleding, in zijn clips en natuurlijk op zijn website. Er is duidelijk over nagedacht – dus niet alleen zijn muziek is meesterlijk.

Stromae schakelde het Brusselse reclamebureau Bold in om voor elk liedje een ander patroon te ontwerpen. Deze patronen zijn geïnspireerd op Afrikaanse motieven, waar ook Stromaes roots liggen (zijn vader was Rwandees). Ze horen ook bij de teksten: het patroon voor de eerste single Papaoutai (Papa, waar ben je?) beeldt een ouderfiguur af met een kind aan de hand (of in de nek, afhankelijk van hoe je het bekijkt). Je ziet het zelf op de figuur hieronder. Knap werk!

Papaoutai.

Vader-zoon-motief bij de single Papaoutai van Stromae. (Bron afbeelding.)

Op SciLogs bekijkt Dirk Huylebrouck deze patronen vanuit een wiskundig perspectief: hij bespreekt de onderliggende symmetriegroepen en licht een verband toe met de Möbiusring.

Stromae vroeg aan de mensen van Bold ook om een lettertype te ontwerpen, gebaseerd op het lettertype Century Gothic (dat hij voorheen gebruikte), maar dan ingevuld als onmogelijke figuren: ambigue figuren, die een perspectiefwisseling uitlokken (zoals het onmogelijke viervlak waar ik het onlangs over had). De letters worden onder meer gebruikt voor de betiteling van Papaoutai (hierboven) en van Formidable (lager op deze pagina).

De letter T op Stromaes welkomstpagina behoort niet tot het voorgaande alfabet. Huylebrouck ging te rade bij de Servische wiskundige Slavik Jablan, die bij deze T meteen dacht aan het grafische werk van de Japanse kunstenaar Tsuneo Taniuchi. (Zie hier de letters van Taniuchi’s “Alphabet RendeZvous“.)

Zeshoeken spelen een belangrijke rol op de website van Stromae. Een kubus die op één hoekpunt staat, lijkt van bovenaf bekeken ook een zeshoekige omtrek te hebben. Bovendien kun je hier een ambigue figuur van maken. Als het een transparante kubus is, wordt het een soort ontaarde Necker-kubus (ontaard omdat de twee centrale hoekpunten samenvallen). Maar ook bij een ondoorschijndende kubus treedt er een illusie op: het perspectief kan dan wisselen tussen hol en bol. Omdat de (schijnbare) omtrek zeshoekig is en regelmatige zeshoeken een regelmatige vlakvulling toelaten (honingraat-patroon), kun je zo dus een vlakvulling maken van ambigue kubussen.

Het idee om een vlakvulling te maken van ambigue kubussen inspireerde vele kunstenaars. Ik geef drie voorbeelden:

Kubus-illusie.

Kubus-illusie van gebruiker terforpova op Deviant Art. (Bron afbeelding.)

Op de cover van Stromaes tweede single Formidable, die je hieronder ziet, staan verhuisdozen met opschrift Fragile en het symbool van een gebroken glas, weerom in een zeshoek. De verhuisdozen passen uiteraard bij de tekst van het nummer. Stromae zingt aan het begin immers: “Je suis célibataire et depuis hier, putain. Je [ne] peux pas faire l’enfant, mais bon.” Het wordt dus gezongen vanuit het perspectief van iemand die gisteren is buitengezet door zijn ex. (Naar verluidt is het lied gebaseerd op zijn relatiebreuk met Tatjana Silva.) De kubusvormige verhuisdozen zorgen voor dezelfde optische illusie als die waar we het net over hadden: het is niet helemaal duidelijk of we het deksel of de bodem van de dozen zien.

Het is mij trouwens niet voor 100% duidelijk of deze ambiguïteit opzettelijk is of niet. Door de plakband die doorloopt op de zijde met ‘Fragile‘ lijkt het om het deksel te moeten gaan; ook dit logootje ondersteunt deze visie. Maar doordat Stromae zelf op de grond ligt, wordt de suggestie gewekt dat we de dozen van onderaf zien, en dan is het toch de bodem. Verwarrend! :-)

De illusie van diepte is in elk geval heel sterk. Dit motief doet Huylebrouck dan weer denken aan de op-art van de Frans-Hongaarse kunstenaar Victor Vasarely.

Formidable.

Patroon van ambigue verhuisdozen (kubussen) bij de single Formidable van Stromae. (Bron afbeelding.)

Stromaes afbeelding van de onmogelijke vierkantswortel is zelf een onderdeel van een soort onmogelijke kubus (in het blauw aangeduid op zijn trui in de foto hieronder; meer foto’s vind je hier). Zoals je kunt zien in de achtergrond bij de grote foto hieronder zijn de kubussen in dit geval in één richting een beetje uit elkaar geschoven zijn. Hierdoor is deze vlakvulling niet gebaseerd op een zeshoekig honingraat-patroon.

Stromae - Racine Carrée.

De look van Stromae voor zijn album Racine Carrée. (Bron afbeelding, fotograaf Dati Bendo.)

Mij doen al deze kubussen denken aan Danny’s werk dat eerder dit jaar de cover haalde van een vaktijdschrift. Als cadeautje voor zijn tweede doctoraat vorig jaar heb ik onderstaande figuren – die ook op de cover van zijn scriptie stonden – op een T-shirt gezet. Ons zoontje is erdoor gefascineerd en geeft er telkens een hele uitleg bij – in zijn eigen éénjarigentaal uiteraard. (Ik was zwanger toen ik naar Danny’s doctoraatsverdediging ging. Zou het daaraan liggen?)

Kwantumchemische Vasarly-kubussen.

Deze Vasarely-achtige kubussen zijn het resultaat van kwantumchemische berekeningen. Lukt het jou om ze als driedimensionale figuren te zien?

Zoek je wat afleiding, dan kun je online dit Vasarely-achtige patroon inkleuren. En ondertussen naar een liedje van Stromae luisteren (zoals Papaoutai of Formidable), natuurlijk!

Optische illusie met de Schone Slaapster

Je hebt vast al voorbeelden gezien van onopzettelijke optische illusies. Op het internet doen dit soort afbeeldingen het altijd goed. Een bekend voorbeeld (dat begin 2012 de ronde deed) is onderstaande foto van een koppel dat samen de krant leest en waarvan het niet meteen duidelijk is wie zijn armen om wie heeft geslagen.

Onopzettelijke optische illusie.

Onopzettelijke optische illusie. (Bron afbeelding: op reddit en op imgur.)

Hier moest ik aan denken toen ik samen met mijn zoontje in een oude Disney-omnibus zat te bladeren: ik heb het laatste plaatje bij het sprookje van “De Schone Slaapster” altijd vreemd gevonden en nu zie ik pas waarom! Ik heb dat plaatje ingescand en er een Engelstalige beschrijving naast geplakt.

Optische illusie in Disney-versie van de Schone Slaapster.

Optische illusie in Disney-versie van het klassieke sprookje “De Schone Slaapster”. De koning kijkt verbaasd als zijn dochter, Doornroosje, haar moeder, de koningin, omarmt. (Op basis van een scan uit een Nederlandstalige Disney-omnibus uit 1973.)

Zo, deze oude tekening is helemaal klaar om het internet te veroveren. ;-)

Aanvulling (januari 2014):

Nog een illusie in dit genre.

Onmogelijk viervlak

Onmogelijk viervlak.Een tetraëder is een ruimtelijke figuur: een viervlak waarvan de zijvlakken vier driehoeken zijn. Meestal bedoelt men met ‘tetraëder’ trouwens het regelmatige viervlak: een Platonisch lichaam dat bestaat uit vier gelijkzijdige driehoeken. In één van mijn huidige onderzoeksprojecten spelen regelmatige tetraëders een centrale rol, maar dat werk is nog niet rijp om hier onthuld te worden. Wel zul je begrijpen dat ik op dit moment nadenk over verschillende manieren om een driedimensionale tetraëder zo duidelijk mogelijk op een tweedimensionaal blad te tekenen.

In meetkundige plaatjes kunnen extra constructielijnen (zoals een hoogtelijn) helpen om een illusie van diepte te creëren. Op een webpagina kan een bewegend plaatje van een draaiende tetraëder uitkomst bieden. Op de Engelstalige Wikipedia-pagina over Platonische lichamen hebben ze ervoor gekozen om bij elk plaatje van een regelmatig lichaam een link naar zo’n animatie plaatsen. In het geval van de tetraëder blijkt deze animatie aanleiding te kunnen geven tot een optische illusie. Het plaatje werd – zonder veel uitleg – geplaatst op “Mightly Optical Illusions. Daar liet ik al een reactie achter, maar het leek me leuk om er zelf ook een blogstukje over te schrijven.

Regelmatig viervlak.

Regelmatig viervlak. Door afwisselend links en rechts naast de onderste hoek te kijken, kan het lijken of de figuur van draairichting verandert. (Bron afbeelding.)

Als we een driedimensionale figuur op een tweedimensionaal vlak weergeven, verliezen we diepte-informatie. Hierdoor kan er een optische illusie ontstaan, die lijkt op andere ambigue (of reversibele) figuren, zoals de Necker-kubus. Een tekening van een tetraëder kan een gelijkaardige ambiguïteit veroorzaken, waarbij het van één van de vertices (hoeken) niet duidelijk is of die in of uit het scherm wijst.

Om ons te helpen om de lijntekening als een driedimensionale figuur te interpreteren, zijn de zijvlakken van de tetraëder halftransparant ingekleurd. Toch laat de kleuring op zich nog steeds twee interpretaties toe: als je een bepaalde hoek als naar voren gericht interpreteert, draait de figuur de ene kant op; als je de hoek interpreteert als naar achter gericht, draait de figuur de andere kant op.

Op die manier lijkt de animatie dus sterk op illusie van de draaiende danseres, waarbij de schijnbare draairichting ook kan omkeren. Toch is er een verschil: omdat we hier niet met een lijntekening of silhouet te maken hebben, is er bij het draaiende viervlak weldegelijk een juiste zienswijze.

Het viervlak draait van rechts naar links. Dit kun je zien doordat de zijvlakken halftransparant ingekleurd zijn, waardoor een ribbe minder donker is wanneer die zich achteraan bevindt. Bovendien draaien alle andere Platonische lichamen op Wikipedia ook in diezelfde richting.

Het halftransparant inkleuren en het laten draaien van de figuur zijn bedoeld om de tetraëder zo correct mogelijk weer te geven. De optische illusie treedt hier dus onbedoeld op. Wel kun je deze onopzettelijke illusie gebruiken als inspiratie voor een andere illusie: een onmogelijk viervlak – een soort kruising tussen een onmogelijk driehoek (of Penrose-driehoek) en een onmogelijke kubus. Vreemd genoeg vond ik daarvan slechts één schets online (hier). Daarom heb ik geprobeerd om zelf wat onmogelijke tetraëders te creëren: zie het kleine plaatje bovenaan en de grotere afbeelding hieronder.

Het is maar spielerei; zo heb ik de schetslijnen met opzet laten staan. Ook heb ik de balken bij het kleine plaatje bovenaan wel een dikte gegeven (net zoals bij een onmogelijke kubus), maar bij de grotere tekening onderaan niet. Welke vind jij het duidelijkst?

Onmogelijk viervlak.

Eigen tekening van een onmogelijk viervlak.

Tot slot nog een weetje over de tetraëder. Wij associëren de firmanaam “Tetra-Pak” tegenwoordig vooral met hun balkvormige brikken, maar wist je dat hun eerste verpakking voor melk tetraëdrisch was? Vandaar dus de naam! :-) Haribo, Jelly Belly en andere snoepfirma’s verkopen soms nog kleine snoepverpakkingen die zo’n viervlak vormen; klik hier voor een voorbeeld.

Is het rationeel om altijd dezelfde hotelkamer te boeken?

Boeken in de lift.De voorbije maanden was ik vaak onderweg met de trein, onder andere om les te geven in Groningen. Meestal bleef ik dan ook overnachten.

In Groningen heb ik al diverse hotels uitgeprobeerd, inclusief de jeugdherberg en het guesthouse van de universiteit. Het is een moeilijke oefening, want enerzijds wil ik graag een kamer die op wandelafstand ligt van zowel het station als de faculteit (dus pal in het centrum), maar anderzijds wil ik ook graag een rustige kamer (wat in het centrum niet evident is).

Eerst verbleef ik in de legendarische Bed & Breakfast van de familie Bleker. Legendarisch omwille van de steile, krakende trap, de huiselijke sfeer en omdat je er aan de ontbijttafel een wonderlijk gezelschap aantrof van danseressen en academici. De oude heer Bleker maakte op verzoek eitjes bij het ontbijt en op rustige momenten gaf hij vanuit zijn zetel commentaar bij wat hij in de krant las. Helaas kreeg ik ongeveer twee jaar geleden te horen dat de B&B zou sluiten. (Nu ik even op internet zoek, vind ik een website die me nieuw lijkt (blijkbaar uit 2012). Er is ook sprake van gratis WiFi, wat in de tijd dat ik er verbleef alleszins nog niet beschikbaar was. Ik moet dus bij een volgende gelegenheid eens informeren of ze opnieuw kamers verhuren.)

Daarna doolde ik weer van het ene gastenverblijf naar het andere. Zo verbleef ik onder meer in een kamer met papiervisjes – dat was ook geen oplossing.

Tijdens mijn voorbije lessenreeksen heb ik gelukkig weer een goed hotel gevonden. Hotel “De Doelen” ligt pal aan de Grote Markt, maar met een kamer achteraan is het toch relatief rustig ’s nachts. (Zeker als je er aan het begin van de week overnacht; vanaf donderdagavond worden in de zaak ernaast vanaf middernacht de bassen flink opengezet.) In de lift is er een leuke trompe-l’oeil: het lijkt net of er wand met boeken in staat.

Valse boekenwand in de lift op hotel.

Valse boekenwand in de lift van hotel “De Doelen” in Groningen.

Aangezien de eerste nacht goed meegevallen was, heb ik sindsdien steeds om dezelfde kamer gevraagd. De beroepsmisvorming sloeg weer toe, waardoor ik deze keuze beslistheoretisch heb proberen analyseren. Op het eerste zicht lijkt het niet rationeel om steeds voor dezelfde kamer te gaan:

  • De kans dat ze aan een onbekende gast – wat ik aanvankelijk was – hun beste kamer geven is niet bijzonder groot.
  • Bovendien was de kamer in kwestie niet rechtstreeks met de lift te bereiken, maar moest het laatste stuk alsnog via een steile trap. Er zijn kamers die dit nadeel niet hebben, waarschijnlijk zelfs een meerderheid.
  • Verder is het onduidelijk wat de voor- en nadelen van de kamer zijn (op vlak van grootte, indeling, hardheid van de matras, enzoverder) zo lang je er maar één gezien hebt.

De kans dat ik om hun beste kamer vraag, als ik steeds dezelfde boek, is dus quasi nul.

Toch valt er iets te zeggen voor mijn standvastigheid. Zolang ik geen andere kamer gezien heb, kan ik de eventuele grotere luxe daarvan ook niet missen. Het is trouwens prettig om de kamer te kennen, ongeacht of het de beste is: als je aankomt moet je je kamerdeur niet zoeken an als je wakker wordt ben je minder gedesoriënteerd. En verder is het leuk dat de mensen aan de receptie meteen weten welke sleutel ze je moeten geven. Zo wordt het hotel bijna een tweede thuis.

De klassieke besliskunde gaat ervan uit dat de persoon die een beslissing moet nemen alle alternatieven kent en ook de kosten en baten die erbij horen. Binnen die aannames is het rationeel om een beslissing te nemen in functie van het grootste verwachte nut (of ‘utility‘): de geraamde baten min de kosten moeten zo hoog mogelijk zijn. De hotelbezoeker heeft echter niet al deze informatie. Misschien heeft niet alle alternatieven kennen (en de ingewikkelde afweging van hoogste verwachte nut dus niet kunnen maken) ook wel nut. Deze zalige onwetendheid is bovendien voor geen geld te koop.

Knowledge is power“, maar wat hotelkamers betreft geldt voor mijn part: “Ignorance is bliss“.