Tag Archief: paradox van de Schone Slaapster

De paradox van de Schone Slaapster (deel 4)

Zoals aangekondigd is dit het vierde deel in mijn reeks over de Sleeping Beauty paradox, een probleem uit de filosofie van de kansrekening. (Hier vind je de eerdere delen: 1, 2 en 3.)

Op zoek naar de bron

Doornroosje in de versie van Disney.Filosofen citeren als bron voor de paradox van de Schone Slaapster doorgaans een artikel van Adam Elga uit 2000 in het filosofietijdschrift Analysis, met als titel “Self-locating belief and the Sleeping Beauty problem” (“Zelf-lokaliserend geloof en het probleem van de Schone Slaapster”). Het artikel bevindt zich achter een betaalmuur, maar je kunt deze postprint vrij raadplegen. In de eerste voetnoot signaleert Elga dat de puzzel afkomstig is uit ongepubliceerd werk van Arnold Zuboff en dat de naam van de puzzel afkomstig is van Robert Stalnaker. In dezelfde voetnoot verwijst Elga ook naar het werk van Michele Piccione en Ariel Rubenstein uit 1997, waarbij het gaat om een verstrooide autobestuurder die niet meer zeker weet aan welke afslag hij al zit. Hun artikel staat online, of zie bijvoorbeeld deze Engelstalige blogpost hierover.

Tijdens de cursus “Philosophy of Probability” van vorig jaar vermeldde één van mijn studenten een artikel van Arnold Zuboff uit 1990 als bron (toch ruim vóór Elga’s publicatie uit 2000): “One self: the logic of experience” (“Eén zelf: de logica van de ervaring”). De student had deze bronvermelding waarschijnlijk van Wikipedia overgenomen en het artikel zelf niet geraadpleegd, want het bleek moeilijk te vinden. De link op Wikipedia verwijst naar een pdf die achter een betaalmuur zit en waar onze universiteit geen toegang toe heeft (waarschijnlijk omdat publicaties uit 1990 niet digitaal bewaard zijn en gescand moeten worden). Elders op het web vond ik ook geen kopie, maar mijn nieuwsgierigheid was gewekt.

Contact met Zuboff

Arnold Zuboff.Ik schreef een e-mail aan Arnold Zuboff en die stuurde een heel vriendelijk bericht terug, waaruit blijkt dat hij inmiddels op pensioen is. (Ik heb blijkbaar geluk gehad: hij werkte aan het University College London en zijn UCL-personeelspagina met e-mailadres stond vorig jaar nog online, maar inmiddels niet meer.) Hij stuurde me niet enkel de gevraagde pdf van “One self: the logic of experience” (inderdaad een scan), maar ook een neerslag van zijn afscheidsspeech getiteld “My eight big ideas” en een ander artikel “Time, Self and Sleeping Beauty“, dat trouwens wel online beschikbaar is (als doc-bestand). (Deze titel staat opgelijst als een Princeton-dissertatie uit 2009 en maakt dus wellicht deel uit van een langer manuscript.)

In “Time, Self and Sleeping Beauty” licht Zuboff de oorsprong van de puzzel als volgt toe:

Adam Elga introduced philosophers to the Sleeping Beauty problem, so identified, in a paper published in Analysis seven years ago (Elga 2000). In the first footnote of that paper he credited Robert Stalnaker with naming the problem. He also mentioned that Stalnaker first learned of examples that illustrate the problem in unpublished work by me.

 I’d like to add something to this history: In 1986 I sent to Peter Unger my then unpublished paper “One Self: The Logic of Experience”. Unger sent a copy of this to Stalnaker, who, in his response, remarked that he was intrigued by certain examples Zuboff had used in making points about probability. The paper was published some four years later (Zuboff 1990).

 I hope to show here that a solution to the Sleeping Beauty problem must take us into the metaphysical view that is argued for in that paper.

Kortom, toen Stalnaker voor het eerst van Zuboffs werk hoorde (via Peter Unger in 1986), was het inderdaad ongepubliceerd. (Bovendien blijkt uit pagina 65 van “One self” dat Stalnaker ook aanwezig was bij een lezing van Zuboff in 1974, waarin die een vroege versie van zijn ideeën presenteerde.) Ik vind nog steeds dat Elga zijn huiswerk beter had kunnen doen, maar ik geef hem het voordeel van de twijfel: misschien was het in 2000 toch nog een tikje gecompliceerder om iemands publicaties op te snorren dan vandaag de dag.

Bovendien vraagt Arnold Zuboff hier aandacht voor de context waarin hij de puzzel oorspronkelijk geformuleerd heeft. Deze metafysische achtergrond heb ik in mijn blogbespreking tot nu toe niet aan bod laten komen. Om Zuboffs ontwikkeling van deze ideeën (die hij token-vrijheid en universalisme noemt) iets beter uit te leggen, schrijf ik daar later deze week nog een aparte blogpost over.

De rest van dit bericht wijd ik liever aan de puzzel uit “One self: the logic of experience” die aan de basis ligt van wat later het probleem van de Schone Slaapster is gaan heten.

De puzzel van de Schone Slaapster.

De puzzel van de Schone Slaapster ontstond naar aanleiding van vragen over persoonlijke identiteit. (Plaatje op basis van een afbeelding van Disney.)

Het hotel met de vele slapers

Lange gang in een groot hotel.In het derde deel van “One self: the logic of experience” gaat Zuboff in op het schijnbare enorme toeval van jouw en mijn bestaan. De puzzel van de Schone Slaapster als dusdanig komt niet in het stuk voor, maar wel een voorbeeld dat er sterk op lijkt.

Het speelt zich af in een hotel met kolossaal veel kamers. (Zuboff specifieert niet hoeveel het er zijn, maar uit de context blijkt dat het om meer dan 275 kamers moet gaan.) In elke kamer ligt iemand verdoofd te slapen. Voor elke slaper wordt 75 keer met een eerlijke munt gegooid en enkel als het resultaat exact overeenkomt met een vooraf gekozen patroon van kop en munt (bijvoorbeeld 75 keer kop) wordt die slaper gewekt. Als het patroon niet overeenkomt, blijft die persoon voor altijd slapen. Voor elke slaper is het dus zeer onwaarschijnlijk dat hij gewekt zal worden, maar doordat het zo veel slapers zijn is het zeer waarschijnlijk dat er wel enkelen gewekt worden.

Stel nu dat je gewekt wordt en dat iemand je op de hoogte brengt van het hele scenario. Dan moet je (als je niet van universalisme uitgaat) wel besluiten dat het een enorm toeval betreft dat je wakker bent.

Vervolgens beweert iemand anders (die je even geloofwaardig acht als de eerste informant) dat in feite iedereen wakker is gemaakt, ongeacht het resultaat van de muntworpen. Nu heb je twee hypothesen – eentje waarbij het bij voorbaat heel onwaarschijnlijk was dat je gewekt zou worden en eentje waarbij het zeker was dat je gewekt zou worden -, en als evidentie heb je dat je gewekt bent. Op basis van die evidentie moet je aan de tweede hypothese een kans toekennen die 275 keer groter is dan de kans die je toekent aan de eerste hypothese.

Een waarnemer in het hotel

Vervolgens introduceert Zuboff een externe waarnemer die (na afloop van de muntworpen en het wekken van de ‘winnaars’) naar een kamer wordt geleid. Hij wordt naar een willekeurige kamer geleid (of hij mag er zelf één kiezen) alwaar hij vaststelt dat de persoon in die kamer wakker is. Op basis hiervan moet hij een zeer grote kans toekennen aan de hypothese dat alle hotelgasten gewekt zijn en een zeer kleine kans dat wekkans per persoon slechts één op 275 was.

Anderzijds is het ook mogelijk dat de externe waarnemer, ongeacht welk van de twee hypothesen het geval was, naar een kamer wordt geleid van iemand die gewekt was. Als de waarnemer vaststelt dat de persoon in de kamer die hij te zien krijgt wakker is, kan hij daar niets uit af leiden over welk van beide scenario’s het geval was.

De heks uit Doornroosje in de versie van Disney.Sinds de publicatie van Elga zijn er heel wat varianten van het probleem van de Schone Slaapster bedacht en in publicaties verwerkt. Het zou boeiend zijn om hier eens een volledige inventaris van te zien, maar het gaat om zo veel artikels, dat het een hele klus zou zijn om alles op te lijsten.

Zuboff zelf vertelt het probleem van de Schone Slaapster (dat hij in “Time, Self and Sleeping Beautythe awakening game noemt) liefst in de volgende variant: als het kop is wordt de gehypnotiseerde slaper één keer gewekt (zoals in de versie van Elga), maar als het kop is wordt de slaper een triljoen keer gewekt waarna telkens het geheugen wordt gewist (terwijl Elga daar twee keer voor neemt).

Voor mij was het erg interessant om de originele versie en Zuboffs latere hervertelling van het probleem te lezen, omdat die kenmerken hebben van variaties die andere auteurs ook (her-)bedacht hebben: meer dan twee keer gewekt kunnen worden, meerdere slapers of herhaling van het scenario om lange-termijn frequenties te kunnen bepalen. Mijn eerste reflex was het introduceren van een externe waarnemer (in mijn geval de heks of een prins; zie eerste bericht in de reeks al), dus het was een aangename verrassing om erachter te komen dat ook Zuboff dit in zijn artikel uit 1990 al deed. ;-)

Tot hiertoe heb ik overigens niets aan te merken op de aanpak van Zuboff, maar wel met wat hij in de volgende stap doet.

Twee hypothesen over identiteit

Zuboff gebruikt het hotel met de vele slapers als analogie voor ons eigen bestaan en introduceert ook hierbij twee hypothesen.

  • De eerste hypothese is de standaardvisie dat als enige andere zaadcel de eicel waar je uit bent ontstaan had bevrucht, niet jij maar een ander persoon was ontstaan. (En als je één of meerdere generaties terugdenkt, wordt de initiële kans dat jij uiteindelijk zou ontstaan als maar kleiner.)
  • De tweede hypothese is Zuboffs universalisme, dat zegt dat zolang enige zaadcel die eicel had bevrucht en er een persoon uit was ontstaan, jij dat was geweest.

De evidentie die je hebt is dat je bestaat. Volgens de eerste visie was de kans dat je zou ontstaan en dus deze evidentie zou krijgen initieel (op een moment voor de bevruchting) heel klein, terwijl die kans veel groter is volgens de tweede hypothese. Het feit dat je bestaat, against all odds, maakt volgens Zuboff dat er aan zijn universalisme-hypothese (waarbij jij jij bent, ongeacht hoe je bent ontstaan) een veel grotere kans moet worden gehecht dan aan de gebruikelijke visie op wat een persoon is.

DNA sequenties.Het universalisme kijkt enkel naar de innerlijke beleving van een persoon. Maar als biologisch wezen hang ik ook af van een lichaam. Eén van de problemen die het universalisme volgens mij niet oplost, is dat ik een welbepaalde DNA-code heb die afhangt van het precieze patroon van mijn afstamming (en van mutaties onderweg). Gegeven dat ik een mens ben, staat het vast dat ik een DNA-code heb, maar nog niet welke. Dat er iemand is ontstaan met precies deze DNA-code is en blijft iets dat bij voorbaat zeer onwaarschijnlijk was.

Kortom, ik ben dol op sprookjes, wat niet wil zeggen dat ik ze ook geloof.

De paradox van de Schone Slaapster (deel 3)

Doornroosje in de versie van Disney.In dit bericht schrijf ik verder aan mijn mini-serie over de paradox van de Schone Slaapster (deel 1, deel 2). In dit deel zet ik het verband met de doosjes-paradox van Bertrand in de verf.

Als opfrissing herhaal ik eerst de originele doosjes-paradox. Daarna introduceer ik twee varianten erop en leg ik uit hoe die samenhangen met de paradox van de Schone Slaapster.

 

De originele doosjes-paradox: drie doosjes

[important]

Er zijn drie doosjes met in elk ervan twee munten: eentje met twee zilveren munten, eentje met een gouden en een zilveren munt en eentje met twee gouden munten.

Je neemt een willekeurig doosje en daaruit neem je een willekeurige munt. Dit blijkt een gouden munt te zijn.

De vraag is: wat is nu de kans dat de andere munt ook goud is?

[/important]

Je kunt twee antwoorden beargumenteren (1/3 en 2/3), maar er is er maar eentje juist (2/3). Lees mijn eerdere bericht hierover als je de juiste redenering niet (meer) weet.

Dit lijkt al vaag op de paradox van de Schone Slaapster, maar om het verband nog duidelijker te maken, heb ik een variant van de doosjes-paradox bedacht.

Eerste variant van de doosjes-paradox: twee doosjes

[important]

Er zijn nu slechts twee doosjes met in elk ervan twee munten: eentje bevat twee gouden munten en eentje bevat een gouden en een zilveren munt.

Je neemt een willekeurig doosje en daaruit neem je een willekeurige munt. Dit blijkt een gouden munt te zijn.

De vraag is: wat is nu de kans dat de andere munt niet van goud is?

[/important]

Je kunt twee antwoorden beargumenteren (1/2 en 1/3), maar er is er maar eentje juist (1/3).

Hierbij zijn de concurrerende opties hetzelfde als bij de paradox van de Schone Slaapster en ook het juiste antwoord is hetzelfde.

Volgens sommige auteurs gaat de paradox van de Schone Slaapster essentieel om ‘de se‘ geloofsovertuigingen: graden van geloof die betrekking hebben op de persoon zelf. In mijn vorige post ging ik ook deze kant op, toen ik uitlegde dat de situatie voor de heks fundamenteel anders is dan die voor de Schone Slaapster. (De heks kan terecht zeggen “Doornroosje slaapt”, maar Doornroosje kan nooit naar waarheid zeggen “Ik slaap”.)

Aangezien de structuur van bovenstaande twee-doosjes-puzzel volledig analoog is aan die van de Schone Slaapster, zou je kunnen zeggen dat die laatste paradox toch niet essentieel over de se overtuigingen gaat.

Als Doornroosje maar beseft dat ze nooit kan vaststellen “Ik slaap”, dan heeft ze de sleutel tot de oplossing van haar paradox in handen. Stel dat we afspreken dat goud staat voor “Doornroosje is wakker” en dat zilver staat voor “Doornroosje slaapt”, dan verandert dat op zich niets aan de uitkomsten van de puzzel – zelfs niet als je Doornroosje heet. Ook als je weet dat het experiment vroegtijdig wordt afgebroken als de eerste munt een zilveren munt blijkt te zijn (en je deze dus nooit bij aanvang te zien kunt krijgen), verandert dat niets aan het antwoord op bovenstaande vraag, die immers enkel van toepassing is als de eerste munt goud is.

Tweede variant van de doosjes-paradox: de ontbrekende munt

[important]

Er zijn opnieuw twee doosjes: eentje met twee munten erin en eentje met slechts één munt erin.

Je neemt een willekeurig doosje en daaruit neem je een willekeurige munt.

De vraag is: wat is nu de kans dat er geen tweede munt in het doosje zit?

[/important]

Opnieuw kun je twee antwoorden beargumenteren (1/2 en 1/3), maar er is er maar eentje juist (1/2).

Deze puzzel lijkt analoog aan de paradox van de Schone Slaapster, maar is het niet.

Deze tweede variant zal koren op de molen zijn van mensen die nog steeds denken dat het antwoord op de Schone Slaapster paradox ook 1/2 is. Dus, oeps, waarom schrijf ik dit eigenlijk op?! Ah ja, om te proberen uitleggen waarom dit zowel plausibel lijkt als fout is. :-)

• Eerst waarom het zo plausibel lijkt:

De schijnbare analogie komt door de gelijkenis tussen de afwezigheid van een tweede munt enerzijds en de afwezigheid van zelfbewustzijn bij het slapende Doornroosje anderzijds.

• En nu waar het mis gaat:

Om deze tweede variant correct aan de paradox van de Schone Slaapster te linken, moet je echter een andere vraagstelling hebben: je hebt twee gouden munten en één zilveren munt, waarvan je een willekeurige munt neemt. Wat is dan de kans dat het een zilveren munt is? Het antwoord is dan opnieuw 1/3, net als bij de ‘paradox’ van de Schone Slaapster.

Waarom dit de juiste werkwijze is als je maar drie munten hebt: (her-)lees daarvoor de uitleg over de gereduceerde kansruimte in mijn vorige bericht (zie met name Figuur 1 en Figuur 3).

Zolang je vier munten hebt – drie gouden die overeenkomen met waken en één zilveren die overeenstemt met slapen – zit je niet in de gereduceerde kansruimte. Je kunt trouwens ook in beide doosjes 46 extra zilveren munten stoppen. De relevante kans – namelijk de kans dat er niet nog een gouden munt in het doosje zit, gegeven dat je er al één gouden uit hebt getrokken – blijft daarbij gelijk. De analogie met de niet-gereduceerde kansruimte (in Figuur 2 bij mijn vorige bericht) is daarmee compleet.

Dus, de moraal van dit verhaal is: slapen is zilver en waken is goud. Carpe noctem! :-)

Wordt verwacht: vierde en laatste deel van deze reeks, over de oorsprong van deze inspirerende paradox.

De paradox van de Schone Slaapster (deel 2)

Doornroosje in de versie van Disney.Een tijd geleden had ik het over de paradox van de Schone Slaapster, een probleem over rationele graden van geloof. Ik had toen beloofd om een vervolg te schrijven. Dat heeft even op zich laten wachten, maar hier is het dan toch!

Uit het eerste deel herhaal ik de opgave:

[important]

De Schone Slaapster zal weldra in slaap worden gebracht door een heks. Het meisje zal daarna twee dagen slapen. In die tijd zal de heks haar voor één of twee korte perioden wekken. Zodra Doornroosje slaapt, zal de heks namelijk een eerlijk muntstuk opgooien: als het kop is, wekt ze het meisje één keer; als het munt is, doet ze dit twee keer. Na zo’n wekmoment dient de heks een gif toe aan Doornroosje, waardoor die zich niet zal kunnen herinneren dat ze wakker is geweest. De Schone Slaapster is zelf ook op de hoogte van wat er gaat gebeuren.

Stel nu dat de Schone Slaapster juist gewekt is. Ze kan nergens uit afleiden of dit de eerste of de tweede maal is. Wat is nu de kans die de Schone Slaapster moet toekennen aan de mogelijkheid dat de muntworp in kop is geëindigd?

[/important]

Dit probleem wordt vaak uitgelegd aan de hand van een tabel (bijvoorbeeld hier en hier), waarvan ik in Figuur 1 mijn eigen versie weergeef. Deze tabel is zeker een nuttig geheugensteuntje: je ziet in één oogopslag dat Doornroosje twee keer gewekt zal worden als de muntworp in munt eindigt en één keer als het kop is.

De paradox van de Schone Slaapster.

Figuur 1: De paradox van de Schone Slaapster wordt vaak uitgelegd aan de hand van een 2×2 tabel.

Toch kun je je afvragen of deze voorstelling niet misleidend is: wiskundig gezien gebeurt kansrekening immers niet aan de hand van tabellen, maar door het opstellen van een kansruimte of uitkomstenruimte. (De puzzel gaat weliswaar over Doornroosjes graden van geloof, maar om rationeel te zijn, zo stellen Bayesianen voorop, moeten deze graden van geloof wél aan de wetten van de kansrekening voldoen. Een wiskundige aanpak is hier dus zeker op zijn plaats.)

Goed, laten we eens de volledige kansruimte opstellen en nagaan hoe die zich verhoudt tot de tabel in Figuur 1.

De muntworp kan kop of munt zijn en dit met gelijke (absolute) kansen: de kansruimte zal dus alvast uit deze twee delen bestaan.

In beide gevallen zal Doornroosje hoofdzakelijk slapen en slechts één of twee keer kort gewekt worden. Elke dag bestaat uit 24 uur. Laat ons aannemen (*) dat Doornroosje telkens als ze gewekt is precies een uur wakker is. Als het munt is, heeft Doornroosje dus een kans van 2/48 om wakker te zijn op een gegeven uur in de loop van de twee dagen dat haar toverslaap duurt. Als het munt is, is die kans 1/48. En globaal gesproken (los van de uitkomst van de muntworp) is de a priori kans om op een zeker uur wakker te zijn 3/96.

Toelichting bij (*): Hoewel ik een wiskundig model wil opstellen, betekent dit niet dat er maar één unieke manier is om dit te doen. Wel verwacht ik dat uit elk correct opgesteld model dezelfde conclusies volgen over wat de kans is die Doornroosje moet toekennen aan de mogelijkheid dat de muntworp kop was op het moment dat zij gewekt wordt. De bovenstaande keuze (dat de waakmomenten exact een uur duren), zal inderdaad van geen enkel belang blijken te zijn bij het berekenen van de uiteindelijke kans. (Ik had ook minuten kunnen kiezen, maar dan werden de vakjes in mijn figuur te klein.)

Dit leidt tot de kansruimte in Figuur 2: hierin zie je elke mogelijke combinatie van munt of kop, met elk uur van de twee dagen, waarin Doornroosje slaapt of wakker is.

De kansruimte voor het probleem van de Schone Slaapster.

Figuur 2: De volledige kansruimte voor het probleem van de Schone Slaapster. De exacte positie van de vakjes waarin Doornroosje wakker is, doet er niet toe – enkel dat het er links twee zijn en rechts één. Als je aanneemt dat de heks Doornroosje op welbepaald uur wekt, volstaat dit. Als je aanneemt dat de heks Doornroosje op een willekeurig moment wekt, moet je eigenlijk nog veel meer roosters toevoegen aan de kansruimte, om alle mogelijke wekmomenten voor te stellen, maar voor de uiteindelijke berekening maakt dat geen verschil.

Wanneer Doornroosje in de loop van die twee dagen wakker is, weet ze al dat ze niet slaapt. (Deze mededeling werd mede mogelijk gemaakt door Kapitein Overduidelijk.) Ze mag daarom al 95 vakjes uit de uitkomstenruimte schrappen: ze conditionaliseert daarmee op het feit dat ze wakker is. Dit leidt haar naar de gereduceerde kansruimte in Figuur 3.

De lege ruimte tussen de vakjes bevat nu geen mogelijke uitkomsten meer; die zijn geschrapt tijdens het conditionaliseren. Doornroosje kan dus in de plaats van Figuur 3 net zo goed Figuur 1 gebruiken om de gevraagde kans te bepalen. Het voordeel aan Figuur 3 is enkel dat het duidelijker is wat de link is met de grotere kansruimte in Figuur 2 (namelijk dat je via conditionaliseren van 2 naar 3 kunt overgaan).

Doornroosje weet niet of de muntworp munt of kop was en ook niet welke dag het is. Ze kan zich dus in eender welk van de drie mogelijkheden van de gereduceerde kansruimte bevinden en al deze mogelijkheden hebben bovendien dezelfde kans. (Dat moet je eigenlijk apart beargumenteren, want als deze stap niet klopt loop je het risico op een Bertrand-paradox, maar dat sla ik hier voor het gemak even over.) Binnen deze gereduceerde ruimte is de kans 1/3 dat de muntworp kop was.

Maar deze kans kun je ook rechtstreeks aflezen aan de hand van Figuur 2. Binnen de oorspronkelijke kansruimte is het bovendien gemakkelijker om in te zien dat de drie mogelijkheden waarbij Doornroosje wakker is, inderdaad elk een gelijke kans hebben.

Er is geen tegenspraak tussen een absolute kans P( kop ) = 1/2 en een voorwaardelijke kans van P( het was kop | Doornroosje is wakker) = 1/3 (waarbij je de verticale streep leest als “gegeven dat”). In de opgave wordt naar de tweede, voorwaardelijke kans gevraagd.

De kansruimte voor het probleem van de Schone Slaapster, gereduceerd.

Figuur 3: De kansruimte voor het probleem van de Schone Slaapster, gereduceerd tot de mogelijkheden waarbij Doornroosje wakker is.

Je kunt dit duidelijker maken door het oorspronkelijke probleem te vereenvoudigen: als het munt is wordt Doornroosje één keer gewekt, als het kop is helemaal niet. En je kunt dit nóg duidelijker maken door het scenario iets wreder te maken: als het munt is blijft Doornroosje leven, als het kop is doodt de heks haar. Het zou dan glashelder moeten zijn dat na de worp geldt dat P( het was munt | Doornroosje leeft) = 1 en P( het was kop | Doornroosje leeft) = 0, maar dat dit niet in tegenspraak is met P( munt ) = P( kop ) = 1/2.

De heks uit Doornroosje in de versie van Disney.Merk op dat de heks zich in een andere situatie bevindt dan Doornroosje: zij weet natuurlijk of de muntworp in kop of munt geëindigd is, maar zelfs als ze dit zou vergeten (bijvoorbeeld doordat ze per ongeluk een slokje van haar eigen toverdrank neemt) blijft de situatie voor haar overzichtelijker. Voor haar is de kansruimte van Figuur 2 het meest relevant. De heks kan Doornroosje immers altijd zien, zowal als het meisje slaapt als wanneer ze wakker is. Stel dat de heks op een willekeurig uur gaat kijken of het meisje wakker is. De kans is dan het grootste dat ze Doornroosje zal zien slapen (93/96 kans dat ze slaapt en slechts 3/96 dat ze wakker is), maar de kans dat ze slaapt is toch nog net iets groter als het kop was (47/48) dan als het munt was (46/48). De heks kan dus zelfs uit het slapen van Doornroosje (een klein beetje) informatie halen, hetgeen Doornroosje zelf niet kan.

Als de heks Doornroosje wakker aantreft, weet ze – aan de hand van Figuur 2 – dat de kans dat het kop was (1/96) / (3/96) = 1/3 is.

Daarom stel ik me voor dat de heks als volgt zou reageren op de verwarring, die in de filosofische literatuur nog steeds heerst omtrent deze puzzel:

Fools!

De heks Malafide roept: “Dwazen!’

Zo, en nu ben ik nog steeds niet helemaal uitverteld over deze paradox! Misschien komt er nog een derde deel (waarin ik de link met de Bertrand-paradox nader toelicht) en wie weet zelfs een vierde deel (over de oorsprong van de paradox), maar beloven durf ik het deze keer niet. Bepaal dus zelf welke graad van geloof je hieraan wenst te hechten. :-)

De paradox van de Schone Slaapster (deel 1)

Doornroosje in de versie van Disney.Jullie kennen vast het sprookje van de Schone Slaapster (“La belle au boi dormant” in de versie van Perrault), ook bekend als Doornroosje (“Dornröschen” in de versie van de gebroeders Grimm). Maar kennen jullie ook de paradox van de Schone Slaapster? De Sleeping Beauty paradox is een probleem uit de filosofie van de kansrekening. Ik heb nu twee jaar na elkaar een vak gegeven dat “Philosophy of Probability” heet. Studenten moeten hier elk vier essays voor schrijven. Ze krijgen een lijst met mogelijke essayvragen en daarnaast mogen ze ook zelf onderwerpen voorstellen. Vorige keer schreef ik al dat de studenten heel uiteenlopende onderwerpen kiezen. Op deze regel is er één uitzondering: bij de derde opdracht staat de paradox van de Schone Slaapster namelijk ook op de lijst en dat is veruit het populairste onderwerp. Hoog tijd dus voor een kennismaking.

[important]

De Schone Slaapster zal weldra in slaap worden gebracht door een heks. Het meisje zal daarna twee dagen slapen. In die tijd zal de heks haar voor één of twee korte perioden wekken. Zodra Doornroosje slaapt, zal de heks namelijk een eerlijk muntstuk opgooien: als het kop is, wekt ze het meisje één keer; als het munt is, doet ze dit twee keer. Na zo’n wekmoment dient de heks een gif toe aan Doornroosje, waardoor die zich niet zal kunnen herinneren dat ze wakker is geweest. De Schone Slaapster is zelf ook op de hoogte van wat er gaat gebeuren.

Stel nu dat de Schone Slaapster juist gewekt is. Ze kan nergens uit afleiden of dit de eerste of de tweede maal is. Wat is nu de kans die de Schone Slaapster moet toekennen aan de mogelijkheid dat de muntworp in kop is geëindigd?

[/important]

De heks uit Doornroosje in de versie van Disney.Laat me nog even toelichten dat deze puzzel van de Schone Slaapster optreedt in de context van een bepaalde interpretatie van kansen: namelijk kansen als “rationele graden van geloof”. De vraag komt dus hierop neer: in welke mate mag de Schone Slaapster – op het moment dat zij gewekt wordt – geloven dat de muntworp kop is geworden? Wat is er rationeel om te geloven voor iemand in haar situatie?

Denk gerust even na over je eigen antwoord en lees dan verder na de vouw.

 

(meer…)