Tag Archief: paradox

De paradox van de Schone Slaapster (deel 3)

Doornroosje in de versie van Disney.In dit bericht schrijf ik verder aan mijn mini-serie over de paradox van de Schone Slaapster (deel 1, deel 2). In dit deel zet ik het verband met de doosjes-paradox van Bertrand in de verf.

Als opfrissing herhaal ik eerst de originele doosjes-paradox. Daarna introduceer ik twee varianten erop en leg ik uit hoe die samenhangen met de paradox van de Schone Slaapster.

 

De originele doosjes-paradox: drie doosjes

[important]

Er zijn drie doosjes met in elk ervan twee munten: eentje met twee zilveren munten, eentje met een gouden en een zilveren munt en eentje met twee gouden munten.

Je neemt een willekeurig doosje en daaruit neem je een willekeurige munt. Dit blijkt een gouden munt te zijn.

De vraag is: wat is nu de kans dat de andere munt ook goud is?

[/important]

Je kunt twee antwoorden beargumenteren (1/3 en 2/3), maar er is er maar eentje juist (2/3). Lees mijn eerdere bericht hierover als je de juiste redenering niet (meer) weet.

Dit lijkt al vaag op de paradox van de Schone Slaapster, maar om het verband nog duidelijker te maken, heb ik een variant van de doosjes-paradox bedacht.

Eerste variant van de doosjes-paradox: twee doosjes

[important]

Er zijn nu slechts twee doosjes met in elk ervan twee munten: eentje bevat twee gouden munten en eentje bevat een gouden en een zilveren munt.

Je neemt een willekeurig doosje en daaruit neem je een willekeurige munt. Dit blijkt een gouden munt te zijn.

De vraag is: wat is nu de kans dat de andere munt niet van goud is?

[/important]

Je kunt twee antwoorden beargumenteren (1/2 en 1/3), maar er is er maar eentje juist (1/3).

Hierbij zijn de concurrerende opties hetzelfde als bij de paradox van de Schone Slaapster en ook het juiste antwoord is hetzelfde.

Volgens sommige auteurs gaat de paradox van de Schone Slaapster essentieel om ‘de se‘ geloofsovertuigingen: graden van geloof die betrekking hebben op de persoon zelf. In mijn vorige post ging ik ook deze kant op, toen ik uitlegde dat de situatie voor de heks fundamenteel anders is dan die voor de Schone Slaapster. (De heks kan terecht zeggen “Doornroosje slaapt”, maar Doornroosje kan nooit naar waarheid zeggen “Ik slaap”.)

Aangezien de structuur van bovenstaande twee-doosjes-puzzel volledig analoog is aan die van de Schone Slaapster, zou je kunnen zeggen dat die laatste paradox toch niet essentieel over de se overtuigingen gaat.

Als Doornroosje maar beseft dat ze nooit kan vaststellen “Ik slaap”, dan heeft ze de sleutel tot de oplossing van haar paradox in handen. Stel dat we afspreken dat goud staat voor “Doornroosje is wakker” en dat zilver staat voor “Doornroosje slaapt”, dan verandert dat op zich niets aan de uitkomsten van de puzzel – zelfs niet als je Doornroosje heet. Ook als je weet dat het experiment vroegtijdig wordt afgebroken als de eerste munt een zilveren munt blijkt te zijn (en je deze dus nooit bij aanvang te zien kunt krijgen), verandert dat niets aan het antwoord op bovenstaande vraag, die immers enkel van toepassing is als de eerste munt goud is.

Tweede variant van de doosjes-paradox: de ontbrekende munt

[important]

Er zijn opnieuw twee doosjes: eentje met twee munten erin en eentje met slechts één munt erin.

Je neemt een willekeurig doosje en daaruit neem je een willekeurige munt.

De vraag is: wat is nu de kans dat er geen tweede munt in het doosje zit?

[/important]

Opnieuw kun je twee antwoorden beargumenteren (1/2 en 1/3), maar er is er maar eentje juist (1/2).

Deze puzzel lijkt analoog aan de paradox van de Schone Slaapster, maar is het niet.

Deze tweede variant zal koren op de molen zijn van mensen die nog steeds denken dat het antwoord op de Schone Slaapster paradox ook 1/2 is. Dus, oeps, waarom schrijf ik dit eigenlijk op?! Ah ja, om te proberen uitleggen waarom dit zowel plausibel lijkt als fout is. :-)

• Eerst waarom het zo plausibel lijkt:

De schijnbare analogie komt door de gelijkenis tussen de afwezigheid van een tweede munt enerzijds en de afwezigheid van zelfbewustzijn bij het slapende Doornroosje anderzijds.

• En nu waar het mis gaat:

Om deze tweede variant correct aan de paradox van de Schone Slaapster te linken, moet je echter een andere vraagstelling hebben: je hebt twee gouden munten en één zilveren munt, waarvan je een willekeurige munt neemt. Wat is dan de kans dat het een zilveren munt is? Het antwoord is dan opnieuw 1/3, net als bij de ‘paradox’ van de Schone Slaapster.

Waarom dit de juiste werkwijze is als je maar drie munten hebt: (her-)lees daarvoor de uitleg over de gereduceerde kansruimte in mijn vorige bericht (zie met name Figuur 1 en Figuur 3).

Zolang je vier munten hebt – drie gouden die overeenkomen met waken en één zilveren die overeenstemt met slapen – zit je niet in de gereduceerde kansruimte. Je kunt trouwens ook in beide doosjes 46 extra zilveren munten stoppen. De relevante kans – namelijk de kans dat er niet nog een gouden munt in het doosje zit, gegeven dat je er al één gouden uit hebt getrokken – blijft daarbij gelijk. De analogie met de niet-gereduceerde kansruimte (in Figuur 2 bij mijn vorige bericht) is daarmee compleet.

Dus, de moraal van dit verhaal is: slapen is zilver en waken is goud. Carpe noctem! :-)

Wordt verwacht: vierde en laatste deel van deze reeks, over de oorsprong van deze inspirerende paradox.

De paradox van de Schone Slaapster (deel 2)

Doornroosje in de versie van Disney.Een tijd geleden had ik het over de paradox van de Schone Slaapster, een probleem over rationele graden van geloof. Ik had toen beloofd om een vervolg te schrijven. Dat heeft even op zich laten wachten, maar hier is het dan toch!

Uit het eerste deel herhaal ik de opgave:

[important]

De Schone Slaapster zal weldra in slaap worden gebracht door een heks. Het meisje zal daarna twee dagen slapen. In die tijd zal de heks haar voor één of twee korte perioden wekken. Zodra Doornroosje slaapt, zal de heks namelijk een eerlijk muntstuk opgooien: als het kop is, wekt ze het meisje één keer; als het munt is, doet ze dit twee keer. Na zo’n wekmoment dient de heks een gif toe aan Doornroosje, waardoor die zich niet zal kunnen herinneren dat ze wakker is geweest. De Schone Slaapster is zelf ook op de hoogte van wat er gaat gebeuren.

Stel nu dat de Schone Slaapster juist gewekt is. Ze kan nergens uit afleiden of dit de eerste of de tweede maal is. Wat is nu de kans die de Schone Slaapster moet toekennen aan de mogelijkheid dat de muntworp in kop is geëindigd?

[/important]

Dit probleem wordt vaak uitgelegd aan de hand van een tabel (bijvoorbeeld hier en hier), waarvan ik in Figuur 1 mijn eigen versie weergeef. Deze tabel is zeker een nuttig geheugensteuntje: je ziet in één oogopslag dat Doornroosje twee keer gewekt zal worden als de muntworp in munt eindigt en één keer als het kop is.

De paradox van de Schone Slaapster.

Figuur 1: De paradox van de Schone Slaapster wordt vaak uitgelegd aan de hand van een 2×2 tabel.

Toch kun je je afvragen of deze voorstelling niet misleidend is: wiskundig gezien gebeurt kansrekening immers niet aan de hand van tabellen, maar door het opstellen van een kansruimte of uitkomstenruimte. (De puzzel gaat weliswaar over Doornroosjes graden van geloof, maar om rationeel te zijn, zo stellen Bayesianen voorop, moeten deze graden van geloof wél aan de wetten van de kansrekening voldoen. Een wiskundige aanpak is hier dus zeker op zijn plaats.)

Goed, laten we eens de volledige kansruimte opstellen en nagaan hoe die zich verhoudt tot de tabel in Figuur 1.

De muntworp kan kop of munt zijn en dit met gelijke (absolute) kansen: de kansruimte zal dus alvast uit deze twee delen bestaan.

In beide gevallen zal Doornroosje hoofdzakelijk slapen en slechts één of twee keer kort gewekt worden. Elke dag bestaat uit 24 uur. Laat ons aannemen (*) dat Doornroosje telkens als ze gewekt is precies een uur wakker is. Als het munt is, heeft Doornroosje dus een kans van 2/48 om wakker te zijn op een gegeven uur in de loop van de twee dagen dat haar toverslaap duurt. Als het munt is, is die kans 1/48. En globaal gesproken (los van de uitkomst van de muntworp) is de a priori kans om op een zeker uur wakker te zijn 3/96.

Toelichting bij (*): Hoewel ik een wiskundig model wil opstellen, betekent dit niet dat er maar één unieke manier is om dit te doen. Wel verwacht ik dat uit elk correct opgesteld model dezelfde conclusies volgen over wat de kans is die Doornroosje moet toekennen aan de mogelijkheid dat de muntworp kop was op het moment dat zij gewekt wordt. De bovenstaande keuze (dat de waakmomenten exact een uur duren), zal inderdaad van geen enkel belang blijken te zijn bij het berekenen van de uiteindelijke kans. (Ik had ook minuten kunnen kiezen, maar dan werden de vakjes in mijn figuur te klein.)

Dit leidt tot de kansruimte in Figuur 2: hierin zie je elke mogelijke combinatie van munt of kop, met elk uur van de twee dagen, waarin Doornroosje slaapt of wakker is.

De kansruimte voor het probleem van de Schone Slaapster.

Figuur 2: De volledige kansruimte voor het probleem van de Schone Slaapster. De exacte positie van de vakjes waarin Doornroosje wakker is, doet er niet toe – enkel dat het er links twee zijn en rechts één. Als je aanneemt dat de heks Doornroosje op welbepaald uur wekt, volstaat dit. Als je aanneemt dat de heks Doornroosje op een willekeurig moment wekt, moet je eigenlijk nog veel meer roosters toevoegen aan de kansruimte, om alle mogelijke wekmomenten voor te stellen, maar voor de uiteindelijke berekening maakt dat geen verschil.

Wanneer Doornroosje in de loop van die twee dagen wakker is, weet ze al dat ze niet slaapt. (Deze mededeling werd mede mogelijk gemaakt door Kapitein Overduidelijk.) Ze mag daarom al 95 vakjes uit de uitkomstenruimte schrappen: ze conditionaliseert daarmee op het feit dat ze wakker is. Dit leidt haar naar de gereduceerde kansruimte in Figuur 3.

De lege ruimte tussen de vakjes bevat nu geen mogelijke uitkomsten meer; die zijn geschrapt tijdens het conditionaliseren. Doornroosje kan dus in de plaats van Figuur 3 net zo goed Figuur 1 gebruiken om de gevraagde kans te bepalen. Het voordeel aan Figuur 3 is enkel dat het duidelijker is wat de link is met de grotere kansruimte in Figuur 2 (namelijk dat je via conditionaliseren van 2 naar 3 kunt overgaan).

Doornroosje weet niet of de muntworp munt of kop was en ook niet welke dag het is. Ze kan zich dus in eender welk van de drie mogelijkheden van de gereduceerde kansruimte bevinden en al deze mogelijkheden hebben bovendien dezelfde kans. (Dat moet je eigenlijk apart beargumenteren, want als deze stap niet klopt loop je het risico op een Bertrand-paradox, maar dat sla ik hier voor het gemak even over.) Binnen deze gereduceerde ruimte is de kans 1/3 dat de muntworp kop was.

Maar deze kans kun je ook rechtstreeks aflezen aan de hand van Figuur 2. Binnen de oorspronkelijke kansruimte is het bovendien gemakkelijker om in te zien dat de drie mogelijkheden waarbij Doornroosje wakker is, inderdaad elk een gelijke kans hebben.

Er is geen tegenspraak tussen een absolute kans P( kop ) = 1/2 en een voorwaardelijke kans van P( het was kop | Doornroosje is wakker) = 1/3 (waarbij je de verticale streep leest als “gegeven dat”). In de opgave wordt naar de tweede, voorwaardelijke kans gevraagd.

De kansruimte voor het probleem van de Schone Slaapster, gereduceerd.

Figuur 3: De kansruimte voor het probleem van de Schone Slaapster, gereduceerd tot de mogelijkheden waarbij Doornroosje wakker is.

Je kunt dit duidelijker maken door het oorspronkelijke probleem te vereenvoudigen: als het munt is wordt Doornroosje één keer gewekt, als het kop is helemaal niet. En je kunt dit nóg duidelijker maken door het scenario iets wreder te maken: als het munt is blijft Doornroosje leven, als het kop is doodt de heks haar. Het zou dan glashelder moeten zijn dat na de worp geldt dat P( het was munt | Doornroosje leeft) = 1 en P( het was kop | Doornroosje leeft) = 0, maar dat dit niet in tegenspraak is met P( munt ) = P( kop ) = 1/2.

De heks uit Doornroosje in de versie van Disney.Merk op dat de heks zich in een andere situatie bevindt dan Doornroosje: zij weet natuurlijk of de muntworp in kop of munt geëindigd is, maar zelfs als ze dit zou vergeten (bijvoorbeeld doordat ze per ongeluk een slokje van haar eigen toverdrank neemt) blijft de situatie voor haar overzichtelijker. Voor haar is de kansruimte van Figuur 2 het meest relevant. De heks kan Doornroosje immers altijd zien, zowal als het meisje slaapt als wanneer ze wakker is. Stel dat de heks op een willekeurig uur gaat kijken of het meisje wakker is. De kans is dan het grootste dat ze Doornroosje zal zien slapen (93/96 kans dat ze slaapt en slechts 3/96 dat ze wakker is), maar de kans dat ze slaapt is toch nog net iets groter als het kop was (47/48) dan als het munt was (46/48). De heks kan dus zelfs uit het slapen van Doornroosje (een klein beetje) informatie halen, hetgeen Doornroosje zelf niet kan.

Als de heks Doornroosje wakker aantreft, weet ze – aan de hand van Figuur 2 – dat de kans dat het kop was (1/96) / (3/96) = 1/3 is.

Daarom stel ik me voor dat de heks als volgt zou reageren op de verwarring, die in de filosofische literatuur nog steeds heerst omtrent deze puzzel:

Fools!

De heks Malafide roept: “Dwazen!’

Zo, en nu ben ik nog steeds niet helemaal uitverteld over deze paradox! Misschien komt er nog een derde deel (waarin ik de link met de Bertrand-paradox nader toelicht) en wie weet zelfs een vierde deel (over de oorsprong van de paradox), maar beloven durf ik het deze keer niet. Bepaal dus zelf welke graad van geloof je hieraan wenst te hechten. :-)

De paradox van de Schone Slaapster (deel 1)

Doornroosje in de versie van Disney.Jullie kennen vast het sprookje van de Schone Slaapster (“La belle au boi dormant” in de versie van Perrault), ook bekend als Doornroosje (“Dornröschen” in de versie van de gebroeders Grimm). Maar kennen jullie ook de paradox van de Schone Slaapster? De Sleeping Beauty paradox is een probleem uit de filosofie van de kansrekening. Ik heb nu twee jaar na elkaar een vak gegeven dat “Philosophy of Probability” heet. Studenten moeten hier elk vier essays voor schrijven. Ze krijgen een lijst met mogelijke essayvragen en daarnaast mogen ze ook zelf onderwerpen voorstellen. Vorige keer schreef ik al dat de studenten heel uiteenlopende onderwerpen kiezen. Op deze regel is er één uitzondering: bij de derde opdracht staat de paradox van de Schone Slaapster namelijk ook op de lijst en dat is veruit het populairste onderwerp. Hoog tijd dus voor een kennismaking.

[important]

De Schone Slaapster zal weldra in slaap worden gebracht door een heks. Het meisje zal daarna twee dagen slapen. In die tijd zal de heks haar voor één of twee korte perioden wekken. Zodra Doornroosje slaapt, zal de heks namelijk een eerlijk muntstuk opgooien: als het kop is, wekt ze het meisje één keer; als het munt is, doet ze dit twee keer. Na zo’n wekmoment dient de heks een gif toe aan Doornroosje, waardoor die zich niet zal kunnen herinneren dat ze wakker is geweest. De Schone Slaapster is zelf ook op de hoogte van wat er gaat gebeuren.

Stel nu dat de Schone Slaapster juist gewekt is. Ze kan nergens uit afleiden of dit de eerste of de tweede maal is. Wat is nu de kans die de Schone Slaapster moet toekennen aan de mogelijkheid dat de muntworp in kop is geëindigd?

[/important]

De heks uit Doornroosje in de versie van Disney.Laat me nog even toelichten dat deze puzzel van de Schone Slaapster optreedt in de context van een bepaalde interpretatie van kansen: namelijk kansen als “rationele graden van geloof”. De vraag komt dus hierop neer: in welke mate mag de Schone Slaapster – op het moment dat zij gewekt wordt – geloven dat de muntworp kop is geworden? Wat is er rationeel om te geloven voor iemand in haar situatie?

Denk gerust even na over je eigen antwoord en lees dan verder na de vouw.

 

(meer…)

Verliefd op een probleem: de oneindige loterij

Een engelachtige wolk uit 2009.Soms word je verliefd en dan wil je enkel bij je geliefde zijn. Als zoiets gebeurt, kan het je hele leven overhoop zetten. Ook als onderzoeker kan het gebeuren dat je verliefd wordt op een probleem – een vraagstuk, dat je maar niet kunt loslaten. Daar schreef ik een column over voor Eos. Wat er niet in die column staat, is dat het mij ook is overkomen en dat het inderdaad mijn hele leven heeft veranderd.

Hierbij dus een episode uit “Het leven zoals het is”, editie “Onderzoekers”. (Het is een prequel bij deze eerder verschenen episode.)

In 2008 behaalde ik mijn doctoraat in de fysica. Eindelijk afgestudeerd, zou je denken. Toch had ik het gevoel dat er nog iets essentieels ontbrak in mijn opleiding. Ik wou namelijk heel graag meer weten over wetenschapsfilosofie. Het was evenwel mogelijk dat ik een vertekend beeld had van deze discipline. Lijkt het gras immers niet altijd groener aan de overkant?

Om te ervaren of dit soort onderzoek al dan niet bij me paste, schreef ik me in voor een conferentie in Gent. Intussen was ik postdoctoraal onderzoeker in de fysica; ik nam dus enkele dagen vakantie om in mijn vrije tijd alsnog op congres te gaan. (Gek moet je daar niet voor zijn, maar het helpt wél.)

En ja hoor, het merendeel van de presentaties was spek naar mijn bek. De weken nadien ging ik gewoon weer aan de slag als fysicus, maar ik merkte steeds vaker dat mijn gedachten afdwaalden naar filosofische kwesties. Of beter gezegd: naar één specifieke vraag, die mij zo eenvoudig leek, dat het me verbaasde dat er geen exacte oplossing voor zou zijn. Als ik die kwestie snel even zou oplossen, dan hadden die filosofen toch al één hoofdbreker minder – zo dacht ik. (Naïef, natuurlijk.)

Een loterij op de natuurlijke getallen heeft oneindig veel ballen. Toch zit er geen enkele bal bij waar 'oneindig' op staat.Ik was verliefd geworden op een probleem. Het probleem was dat van een eerlijke kansverdeling op een aftelbaar oneindige verzameling van loten: een eerlijke loterij op de natuurlijke getallen. (Daarover meer in de volgende blogpost.) Omdat het een probleem was dat buiten mijn eigen vakgebied lag, voelde ik me verplicht er enkel in mijn vrije tijd aan te werken, maar dat werd al snel onhoudbaar. Zo rijpte het plan om een tweede doctoraat te beginnen, ditmaal in de wetenschapsfilosofie. Op goed geluk stuurde ik een e-mail naar Igor Douven, die op dat moment professor in de wetenschapsfilosofie was in Leuven en die gepubliceerd had over een andere loterijparadox (die van Kyburg). Ik wist zelfs niet dat Igor op dat moment hoofd was van een groot Odysseus-project, het Formal Epistemology Project (FEP). Hij stemde vrijwel meteen in om mijn promotor te worden.

We kenden elkaar niet, dus stelde Igor voor om eens samen te komen in Leuven. Het was inmiddels augustus 2009. Het was een zeer mooie zomerdag en toen ik op de trein stapte, zag ik een wolk die op een engel leek: geen teken van hogerhand, maar wel een symptoom waaruit blijkt dat ik op wolkjes liep. Ik nam er onderstaande foto van, al was de engelachtige vorm toen al wat uiteen gewaaid. (Nu ik de foto herbekijk, zie ik er slechts een vlinder in met de kop van een pauw. Voor de contouren van mijn engel van destijds: zie het miniatuurplaatje bij dit bericht. Pareidolia, olé, olé!)

In augustus 2009 maakte ik deze foto van een wolk.

Op een dag dat ik op wolkjes liep maakte ik deze foto vanuit de trein.

Er was nog een goede reden om van vakgebied te veranderen: ik heb de neiging om dingen kapot te analyseren. In het dagelijks leven is dat verre van aangenaam, maar iemand had me aangeraden om hier iets constructiefs mee te gaan doen. En daarvoor is de analytische filosofie de hemel op aarde: een groot speelterrein met een overvloed aan robuuste puzzels, die niet kapot gaan van een beetje geanalyseer!

Eind 2009 verhuisde ik met mijn vriend naar Gent en zei ik het materiaalkundig labo, dat ik inmiddels zo goed kende, vaarwel. Ik begon als onderzoeker in de filosofie. (Als je Hollywoodfilms mag geloven, komt het altijd goed zolang je maar je droom volgt. In het echt is dat nog best zenuwslopend: je ontslag geven in een vakgebied waar je het niet slecht doet om in een ander domein van nul te beginnen…) Wekelijks spoorde ik naar Leuven om er lezingen bij te wonen van het Formal Epistemology Project. Omdat ik in Gent bovendien nog een kleine lesopdracht had bij de fysicapractica, kon ik nog steeds niet voltijds over oneindige loterijen nadenken, maar die afwisseling was juist goed.

In mei 2010 gaf ik zelf een presentatie voor mijn collega’s van het FEP. Ik had een beetje vooruitgang geboekt met mijn gepuzzel aan oneindige loterijen, maar er ontbrak nog een essentieel stuk van de oplossing. Leon Horsten was ook aanwezig tijdens die presentatie en hij legde meteen de vinger op de wonde. We besloten er samen verder aan te werken. Onder filosofen is het veel minder gebruikelijk om samen te publiceren dan in de wetenschappen, maar het is heel motiverend en inspirerend om samen onderzoek te doen. Daarna viel alles snel op zijn plaats. Na de zomer was ons artikel af, mijn eerste bijdrage aan een probleem uit de filosofie van de kansrekening.

We stuurden het artikel begin september naar Synthese, een vaktijdschrift voor wetenschapsfilosofie, omdat er een themanummer in voorbereiding was met bijdragen van het Formal Epistemology Project. Eind 2010 verscheen ons artikel, “Fair infinite lotteries“, online en sindsdien is het voor iedereen toegankelijk (via Open Access). Het was echter nog niet in papieren versie gepubliceerd en had dus nog geen volume- of paginanummers.

Even de tijd vooruitspoelen naar begin 2013. Nu is het artikel van mij en Leon ook in gedrukte versie verschenen. Hier kun je de inhoudsopgave van het hele Synthese-nummer zien, al zijn de meeste artikels daarin helaas niet vrij toegankelijk.

Artikel gepubliceerd: Fair infinite lotteries.

Ons artikel “Fair infinite lotteries” werd in 2010 geschreven en is nu, in 2013, gepubliceerd.

Terug naar eind 2010. Intussen veranderde mijn leven weer: Igor verhuisde zijn project van Leuven naar Groningen. Gelukkig kon mijn aanstelling meeverhuizen en kwam er dus geen ontijdig einde aan mijn filosofie-avontuur. Mijn proefschrift over de grondslagen van de kansrekening, waarin oneindige loterijen een centrale plek innemen, was inmiddels afgerond en klaar om naar een leescommissie te sturen ter beoordeling. In mei 2011 verdedigde ik deze scriptie in Groningen.

In mijn column voor Eos schreef ik al dat een goed probleem taai maar haalbaar moet zijn. En dat een goed probleem uiteen kan vallen in deelproblemen, waardoor je nog een tijdje zoet bent. Dit gebeurde ook met ‘mijn’ probleem. (Gelukkig maar: stel je voor dat ik mijn baan als fysicus had opgezegd, het probleem snel had opgelost en dan werkloos was geworden!) Toen we het probleem met de eerlijke loterij op de natuurlijke getallen hadden geanalyseerd, kwamen er spontaan vervolgvragen bij ons op, die we in het Synthese-artikel voor ons uitschoven met de standaardfrase: “left for future work“.

Inmiddels zijn we een paar jaar verder en die afsluiter is geen dode letter gebleven. We hebben inderdaad al heel wat verder werk verricht rond kansverdelingen op oneindige uitkomstenruimten (zie ook dit stukje en dat). Nog steeds puzzel ik geregeld aan oneindige loterijen. Ik ben dankbaar dat dit probleem op mijn pad kwam en mijn leven veranderde, want ik vind nog steeds dat ik een droomjob heb!

Laat dit dus een waarschuwing zijn: problemen rond kleine kansen kunnen grote gevolgen hebben.

Intussen, achter de schermen…

Inmiddels zit mijn kraamverlof erop en is mijn nieuwe Veni-projectInexactness in the exact sciences” van start gegaan. Voorlopig is het hier op mijn blog nog rustig, maar achter de schermen ben ik druk aan het plannen voor toekomstige stukjes.

Volgende week begint mijn vak “Philosophy of Probability” voor Master-studenten van de Rijksuniversiteit Groningen. Vanaf dan mag je dus ook weer nieuwe berichten over kansrekening verwachten. Als reclame voor mijn vak heb ik alvast twee posters gemaakt in de stijl van oude, Amerikaanse sciencefiction-tijdschriften en dit met behulp van de Pulp-O-Mizer (via).

Poster voor 'Philosophy of Probability'.

Poster voor ‘Philosophy of Probability’

Poster voor 'Philosophy of Probability'.

Poster voor ‘Philosophy of Probability’

Laat gerust weten wat je van deze retro-futuristische posters vindt, of als je zelf een cover hebt gemaakt met de Pulp-O-Mizer.

Demon van Laplace en doosjes van Bertrand

Pierre-Simon Laplace.Mijn cursus voor Master-studenten over filosofie van de waarschijnlijkheid is volop bezig. We hebben vorige week onder andere de klassieke interpretatie van de kansrekening besproken. Elementen van deze interpretatie zijn terug te vinden bij vele vroege beoefenaars van de kansrekening, zoals Blaise Pascal, Daniël Bernouilli, Christiaan Huygens en Gottfried Leibniz. De interpretatie wordt echter het sterkst geassocieerd met Pierre-Simon Laplace. Laplace schreef in 1812 een wiskundig boek over kansrekening (“Théorie analytiques des probabilités“) en twee jaar later kwam zijn inleiding voor een breder publiek uit (“Essai philosophique sur les probabilités“). De Engelse vertaling hiervan, “A philosophical essay on probabilities“, is nog steeds vlot verkrijgbaar: ik kocht vorig jaar een goedkope facsimile van een uitgave uit 1902 in de New Yorkse boekenwinkel The Strand. Laplace verwerkte oudere resultaten op het vlak van de wiskundige behandeling van kansen en herontdekte de stelling van Bayes. Bovendien kwam hij met volledig origineel onderzoek over de toepassing van kansen op meetfouten in de astronomie en fysica. Hij geeft bijvoorbeeld als eerste een wiskundig bewijs voor de kleinste-kwadratenmethode, die eerder al door Gauss en Legendre was gebruikt, waardoor hij de hele foutentheorie een rigoureuze onderbouwing geeft.

Bij het lezen van Laplaces essay merk je duidelijk dat Laplace eerst en vooral een fysicus is. De grote successen van de klassieke mechanica bij het voorspellen van de beweging van hemellichamen stemden hem zeer optimistisch. Hij twijfelde er niet aan dat met het voortschrijden van de wetenschap weldra ook alle andere verschijnselen even voorspelbaar zouden zijn. Hij stelde zich een intelligentie voor die, moest zij precieze informatie hebben over alle posities en krachten van alle onderdelen in de natuur op één moment, de bewegingen van het grootste hemellichaam tot het kleinste atoom zou kunnen analyseren. Ja, intelligentie is een zij: zowel in het Frans als in het Nederlands is het een vrouwelijk woord. Later werd deze intelligentie ook wel de demon van Laplace genoemd – dat woord is dan weer mannelijk. Voor de demon van Laplace zou er geen onzekerheid zijn, niet over het verleden en niet over de toekomst. Laplace had dus een volstrekt deterministisch wereldbeeld, waarin er geen plaats was voor kansen. Is het dan niet vreemd dat Laplace zich met kansrekening bezighield, als hij dacht dat kansen helemaal niet bestonden? Nee, want we weten nu eenmaal niet alles over het heden en we zijn niet in staat, zelfs als moesten we alles over het heden weten, om al deze informatie te verwerken – aldus Laplace.

Laplace's demon makez kitty sad.

Kat die zojuist gehoord heeft over de demon van Laplace. (Bron afbeelding: http://philosophicatz.wordpress.com/2008/05/01/laplaces-demon-makez-kitty-sad/)

Het is amusant om te zien hoeveel tekst Laplace nodig heeft om wiskundige vergelijkingen in woorden te beschrijven – een euvel waar populariserende boeken over wetenschap nog steeds mee worstelen. Zo wordt het lezen van het boekje voor de eigentijdse lezer een spel: herken de vergelijking.

Voor deze blogpost heb ik geen cryptische omschrijving van een wiskundige vergelijking geselecteerd, maar wel een korte opgave, waaruit je kunt zien dat kansberekeningen, zelfs zeer eenvoudige, ooit voor grote verwarring zorgden, zelfs bij bekende wiskundigen! Hier is het vraagstuk:

Stel, je gooit een munt op. Dan is de kans op kop 1/2 en ook de kans op munt 1/2. Nu ga je de munt twee keer na elkaar opgooien. Wat is daarbij de kans op minstens één keer kop?

Laplace was van mening dat het er bij het kansrekenen op aankomt om alle “even mogelijke” uitkomsten te bepalen. (Later werd dit het indifferentieprincipe genoemd.) De kans op een gebeurtenis zou volgens hem dan de breuk zijn van het aantal van deze mogelijkheden waarbij deze gebeurtenis gerealiseerd wordt, gedeeld door het totale aantal mogelijkheden. Het toepassen van dit principe lijkt hier eenvoudig genoeg. Er zijn vier mogelijke combinaties: kop+kop, kop+munt, munt+kop en munt+munt. De eerste drie combinaties bevatten minstens één keer kop; enkel de laatste combinatie heeft geen kop. De kans op minstens één keer kop in twee worpen is dus 3/4 of 75%.

Jean le Rond d'Alembert.Het lijkt alsof je hier nauwelijks kansrekening voor nodig hebt: iemand met een beetje gevoel voor wiskunde had dit ook vóór de tijd van Laplace toch ook wel kunnen beredeneren? Neem nu d’Alembert: deze wiskundige werd 32 jaar vóór Laplace geboren en was zeker niet de minste: zijn convergentietest voor reeksen duikt nog steeds op in eigentijdse wiskundelessen. Toch beweert Laplace dat d’Alembert grote moeilijkheden had met de opgave over de twee muntworpen.

d’Alembert onderscheidde drie mogelijke uitkomsten: als het kop is bij de eerste worp is er al minstens één keer kop, dus daar moeten we verder niet naar kijken. Als het munt is bij de eerste worp hangt alles af van de tweede worp: als die kop is, is het ook goed, als die munt is niet. Zo kwam hij tot het antwoord 2/3.

Bij zijn redenering houdt d’Alembert er echter geen rekening mee dat de mogelijkheden die hij opsomt zelf niet “even mogelijk” zijn, maar ongelijke kansen hebben: kop bij de eerste worp is dubbel zo waarschijnlijk is als een uitkomst waarbij zowel de eerste als de tweede worp worden gespecifieerd. Hij had dus niet 1/3 + 1/3 moeten nemen, maar wel 2/4 + 1/4, hetgeen hem ook 3/4 had opgeleverd.

Bij de doosjesparadox van Bertrand moet je de kans berekenen dat een tweede munt ook van goud is.Hoewel de redenering van d’Alembert snel te weerleggen is, hebben latere auteurs toch geprobeerd om aan te tonen dat het vertrekpunt van Laplace (zijn indifferentieprincipe) bij andere vraagstukken tot verschillende uitkomsten kan leiden en dus niet helemaal deugt. Joseph Bertrand publiceerde in zijn boek “Calcul des probabilités” uit 1889 een aantal voorbeelden, die nu bekend zijn als de paradoxen van Bertrand. In de les bespraken we zijn bekende paradox van de koorde, maar vandaag hou ik liever bij de eenvoudigere doosjesparadox:

Er zijn drie doosjes met daarin telkens twee munten. In één doosje zitten twee gouden munten, in één doosje zitten twee zilveren munten en in één doosje zitten één gouden en één zilveren munt. Je pakt een willekeurig doosje en neemt daaruit een willekeurige munt. Het blijkt een gouden munt te zijn. Wat is nu de kans dat de andere munt in het doosje ook van goud is?

Je zou als volgt kunnen redeneren: “Er zijn twee doosjes met minstens één gouden munt erin en bij die doosjes zit er in één geval nog een gouden munt in; de kans is dus 1/2.” Mis poes! Als je dat dacht, maak je dezelfde fout als d’Alembert bij de muntworpen: je houdt er namelijk geen rekening mee dat de kans dat de eerste gouden munt uit het doosje met de twee gouden munten komt groter is dan dat deze uit het gemengde doosje komt.

Elk van de zes munten heeft een gelijke kans om als eerste getrokken te worden (namelijk elk 1/6). We weten echter al dat de eerste munt van goud is, hetgeen in drie van de zes gevallen gebeurt. Van deze drie mogelijkheden om een gouden munt te trekken, komt de munt in twee gevallen uit het doosje met de twee gouden munten. Zo zie je dat de kans dat de eerste munt uit het doosje met de twee gouden munten komt 2/3 is. De kans dat de tweede munt ook van goud is, is dan ook 2/3 (en niet 1/2).

Komt de opgave met de drie doosjes je bekend voor? Dat kan kloppen: een variant met witte en donkere pralines dook vorig jaar nog op bij de Nationale Wetenschapsquiz en zorgde voor hevige discussies op internetfora. De geest van d’Alemberts misrekening waart dus nog steeds rond en komt als een duivel uit de doosjes van Bertrand. Als remedie stel ik voor om allemaal Laplace te gaan (her-)lezen – kwestie van de ene demon met de andere te bestrijden. ;-)

Fruitsap van niet-meetbare delen

Eerst dacht ik nog 'He?!', maar toen dacht ik 'He?! He?!'Van één sinaasappel kun je er twee maken. Je kunt de pitten tot een boom laten uitgroeien en daarvan de eerste twee vruchten plukken, maar dan moet je wel veel geduld hebben. Volgens wiskundige maattheorie kan het sneller: je kunt een sinaasappel (of eender welke volle bol), zo opdelen, in minstens vijf stukken, dat je door de stukken enkel te draaien en te schuiven twee exemplaren kunt maken met dezelfde diameter als de oorspronkelijke sinaasappel.

Dit resultaat staat bekend als de Banach-Tarski paradox. En ja, het idee is behoorlijk gestoord. Het is ook gemakkelijk om het resultaat verkeerd voor te stellen. Om te beginnnen is het veelgebruikte voorbeeld met de sinaasappels misleidend: je kunt namelijk geen enkel materieel voorwerp fijn genoeg opdelen om de paradox in de praktijk te demonstreren. In dit geval is dat de reden dat we van een paradox spreken: wiskundig gezien is er geen tegenstrijdigheid in het spel, maar de wiskunde leidt hier wel tot een tegen-intuïtief resultaat, dat ver van de dagdagelijkse ervaring verwijderd is. Ook lees ik op veel websites dat je twee identieke bollen krijgt, of twee bollen met hetzelfde volume. Dat klopt niet: je krijgt twee bollen met dezelfde straal, maar die zijn niet precies gelijk aan de oorspronkelijke bol: er is één spookachtige bol bij.

Het bewijs van de Banach-Tarski paradox berust namelijk op niet-meetbare delen: verzamelingen van punten die zo complex zijn, dat je er geen volume aan toe kunt kennen. Voor het bestaan van dit soort verzamelingen heb je het keuzeaxioma nodig, dat soms verworpen wordt precies omdat het dit soort tegen-intuïtieve resultaten oplevert. (Zolang ze onderling niet strijdig zijn, kun je axioma’s in de wiskunde vrijelijk “aan” of “uit” zetten. Omdat het keuzeaxioma ook veel handige gevolgen heeft, staat het standaard in de wiskunde “aan”.) Ook in de kansrekening, die gebaseerd is op maattheorie, zaait het keuzeaxioma geregeld verwarring: in situaties met oneindig veel uitkomsten, kun je aan sommige gebeurtenissen geen kans toekennen.

Het bestaan van niet-meetbare verzamelingen is een nodige, maar geen voldoende voorwaarde voor het optreden van de Banach-Tarski paradox. Je hebt ook een niet-commutatieve groep nodig. Het draaien en verschuiven van delen in één of twee dimensies is onafhankelijk van de volgorde waarin je de verplaatsingen doet (“commutatief” of “Abels”) en levert daar geen schijnbare verdubbelingen op. Pas in drie en meer dimensies is de corresponderende groep niet-commutatief, met Banach-Tarski paradox als resultaat. Er is nog een leuke variant van dit is resulaat: als je begint met een volle bol ter grote van een erwtje, kun je dat in eindig veel delen opdelen en de stukken, opnieuw enkel door draaien en schuiven, zo re-assembleren dat je een volle bol krijgt ter grootte van de zon. Dit handige systeem om meer ruimte te creëren zou niet misstaan in de Ikea-catalogus, maar opnieuw geldt dat het principe niet uitvoerbaar is met materiële voorwerpen, die maar eindig fijn kunnen worden opgedeeld.

Terug naar de sinaasappels, om het toch maar bij dit – enigszins misleidende – voorbeeld te houden. Als één sinaasappel er twee kunnen worden, dan kunnen die twee er ook vier worden, vier worden er acht, en zo verder. Het aantal gaat telkens maal twee: dat is een exponentiële toename van sinaasappels. Hiermee kun je onbeperkt fruitsap maken en je mag er zoveel van drinken als je wil, want er zitten toch geen calorieën in. ;-)

Banach-Tarksi paradox leidt tot exponentiele toename.

Door de Banach-Tarksi paradox herhaaldelijk toe te passen, krijg je een exponentiële toename van sinaasappels. (Aangepast van deze bron: http://dgleahy.com/p47.html)

Zo is het gemakkelijk om mirakels te doen: volgens de bijbel kon Christus Banach-Tarskiën met brood en wijn. Het kan ook met bananen, maar dan heet het de Bananach-Tarksi paradox. ;-) Naast sinaasappels is ook ander fruit populair, bijvoorbeeld Zorn’s lemon (een knipoog naar Zorn’s lemma, dat equivalent is met het keuzeaxioma). Vraag trouwens nooit aan een wiskundige om een anagram te maken van “Banach-Tarski”, want die zal zeker antwoorden: “Banach-Tarski Banach-Tarski”.

Een stel Deense wiskundigen (of wiskunde-studenten althans, voor zo ver ik kan achterhalen van de Universiteit van Kopenhagen) ging met het idee van de paradoxale vermenigvuldiging van de sinaasappels aan de haal, met onderstaand filmpje als resultaat: ellende met  niet-meetbare delen, een exponentiële groei van fruit en hier en daar een onderbroek. 100% nerd-alarm!

Tot slot nog een tip voor wie zich al eens verveeld en denkt “Ik wou dat ik twee hondjes was, dan kon ik samen spelen“. Mijn suggestie: één glas Banach-Tarski fruitsap bij het ontbijt en alles wordt dubbel zo leuk.

Filosofie van de fysica en smout in Oxford

Als Maxwells demon durft binnenkomen in de les filosofie van de fysica, wissen we meteen zijn geheugen. Entropiemaniak!Zolang ik op school zat varieerde mijn favoriete dag van de week naargelang mijn lessenrooster. Nu ik hier in Oxford ben, komt dit oude gevoel weer terug: donderdag is beslist mijn favoriete weekdag, want dan vinden de lessen en lezingen over filosofie van de fysica plaats. De lessen zijn vooral bedoeld voor Master-studenten (maar als bezoeker ben ik ook welkom) en worden gegeven door professor Simon Saunders en professor Harvey Brown.

Geloof het of niet, maar met mijn aanwezigheid in de les heb ik het gender-evenwicht met een factor oneindig veranderd. Niet één meisje zit er tussen de studenten filosofie van de fysica en beide proffen zijn ook mannen. In de andere lessen, zoals philosophy of mind en epistemologie, lijken er nochtans ongeveer evenveel vrouwelijke als mannelijke studenten in de les te zitten. Hoe komt het toch dat fysica telkens weer voor een quasi-perfecte seksescheiding weet te zorgen?

Behalve dat het jongens zijn, deden de studenten in filosofie van de fysica me ook op andere vlakken denken aan het typische publiek in een fysica-opleiding: gemotiveerd, nerdy en verlegen (maar dat groeit er wel uit). Die motivatie heeft trouwens ook een schaduwzijde: sommige deelnemers zijn een beetje té enthousiast en hun interpelaties houden het risico in dat we niet ver zullen komen met de voorziene leerstof. Tot nu toe wist de prof het allemaal vriendelijk op te vangen en toch wat vaart te houden in de les.

Danny moest aan deze comic denken toen ik hem over mijn dag vertelde:

The odds are good, but the goods are odd.

Deze klassieker van PhD-comics stamt uit 1997, maar is nog steeds van toepassing – ook in de lessen filosofie van de fysica. (Bron van de afbeelding: http://www.phdcomics.com/comics/archive.php?comicid=8)

Vorige week ging de les over een paradox uit de thermodynamica en de statistische fysica: de Gibbs paradox. Een variant van de Gibbs paradox – die eenvoudiger is om uit te leggen – is de mengparadox en deze heeft te maken met de toename in entropie wanneer twee gassen gemengd worden. De entropietoename heeft een vaste waarde, ongeacht hoe sterk de gasdeeltjes in de twee samples op elkaar lijken, maar is exact nul voor identieke gassen.

De lessenreeks is amper begonnen of we hebben het geheugen van de duivels van Maxwell al gewist om niet in de knoei te komen met entropie. Dus je begrijpt (of niet?!) dat ik al een week uitkijk naar de les van morgen! Als kers op de taart is er op donderdagavond ook nog een presentatie over recent onderzoek, iedere week van een andere spreker.

'Hm, die boter is wit,' dacht ik nog.Van Maxwells demon over naar Lyra en haar dæmon. Ik ben Northern Lights van Philip Pullman beginnen herlezen en dit is wat Lyra denkt over onderzoekers die, zoals ik, naar Oxford komen voor een studieverblijf (citaat van p. 35):

[S]he regarded visiting scholars and eminent professors from elsewhere with pitying scorn, because they didn’t belong to Jordan and so must know less, poor things, than the humblest of Jordan’s Under-Scholars.

Zielig ben ik niet, alleen een klein beetje misschien als ik in de supermarkt sta zonder woordenboek. Hoewel mijn Engels ruimschoots genoeg is om over filosofie te praten, schiet mijn culinair vocabulaire tekort. Dit levert problemen op tussen de winkelrekken, in de keuken en uiteindelijk op mijn bord. ‘Hm, die boter is wit,’ dacht ik nog, om vervolgens vast te stellen dat mijn stukje kip verdacht veel naar spek smaakte. ‘Lard‘ blijkt geen gewone braadboter te zijn, maar is 100% varkensvet. Het Nederlandse woord hiervoor, ‘reuzel‘ of ‘smout’, kende ik niet eens, tot ik het hier dus opzocht. (En nu zullen smoutebollen me nooit meer zo smaken als voorheen!) Vanwege het hoge aandeel aan verzadigde vetten (voornamelijk triacylglycerol) verdween reuzel van de markt, maar de laatste vijf jaar raakte het product in Engeland terug in zwang, vooral bij aanhangers van de traditionele Britse keuken. Nu ligt reuzel hier dus weer gewoon in de supermarkt, tussen de smeer- en braadboters, tot verwarring van buitenlanders zoals ik… Hoed je voor de dag dat Jeroen Meus van Dagelijkse Kost aan de reuzel begint! Als iemand het ondanks mijn waarschuwingen toch eens wil proeven: je moet dat niet zelf maken, je mag mijn pakje gerust hebben. ;-)

Een woord dat ik ook niet kende was ‘gooseberries‘, hetgeen zich letterlijk als ‘ganzenbessen’ laat vertalen. Op goed geluk koos ik voor ‘goosberry yoghurt‘ als dessert en dat bleek heerlijk te zijn! Na een eerste hapje had ik geen woordenboek meer nodig, want de onmiskenbaar friszure smaak verraadt meteen dat het om kruisbessen of stekelbessen gaat (aan de Maaskant beter bekend als ‘kroonsjele‘ – kijk maar eens op deze kaart voor alternatieve benamingen).

Gelukkig geldt voor mij de regel: “Dessert goed, alles goed”. En zo liep het toch nog goed af.