Tag Archief: raadsel

De paradox van Newcomb: bespreking

In het vorige bericht gaf ik de opgave voor de paradox van Newcomb.

Dit vraagstuk wordt een paradox genoemd omdat er twee manieren van redeneren zijn die beide correct lijken, maar die tegenstrijdige antwoorden opleveren op de vraag welke keuze de verwachte winst van de speler maximaliseert. In dit bericht leg ik beide redeneringen uit en probeer ik de spanning die ertussen bestaat op de spits te drijven.

~

(1) Eerste manier van redeneren: Neem enkel doos B!

We kunnen de opties die 0 € of 1 001 000 € opleveren negeren, want die vereisen dat de voorspelling fout was, maar het orakel is een uitzonderlijk goede voorspeller. De keuze gaat dus tussen 1 000 € (als je A en B neemt) of 1 000 000 € (als je enkel doos B neemt). Enkel doos B nemen is dus beter.

Volgens deze manier van redeneren doen twee gevallen in bovenstaande tabel er niet toe:

Tabel met overzicht van de twee gevallen die er echt toe doen (volgens de eerste redenering).

Tabel met overzicht van de twee gevallen die er echt toe doen (volgens de eerste redenering).

(2) Tweede manier van redeneren: Neem beide dozen!

Ongeacht wat de voorspelling was, het staat nu vast wat er in de doos zit, dus beide dozen kiezen is altijd beter (dominant). Kijk maar:

  • Als de voorspelling “A en B” was, dan heb je de keuze tussen 1 000 € (als je A en B neemt) of 0 € (als je enkel B neemt). In dit geval is beide nemen dus beter.
  • Als de voorspelling “enkel B” was, dan heb je de keuze tussen 1 001 000 € (als je A en B neemt) of 1 000 000 € (als je enkel B neemt). Ook in dit geval is beide nemen beter.
De tweede redenering vergelijkt de twee mogelijke voorspellingen en komt tot de conclusie dat beide dozen nemen altijd beter is.

De tweede redenering vergelijkt de twee mogelijke voorspellingen en komt tot de conclusie dat beide dozen nemen altijd beter is

Hoorcollege Newcomb.

Hoorcollege met een onderdeel over de paradox van Newcomb.

~

Het orakel Cassandra.Een associatie die ik heb bij de paradox van Newcomb is de Griekse mythe over Cassandra: het orakel wiens voorspellingen niemand ooit geloofde. In de opgave van Newcomb komt de speler de voorspelling van het orakel uiteraard niet te weten, maar als ik erover nadenk, lijkt het of ik mijn eigen voorspelling steeds in twijfel trek. Zo blijf ik op twee gedachten hinken: soms is een filosoof als een kleuter die dringend moet gaan plassen, maar liever nog even verder speelt. ;-)

  • Op weg naar de studio neem ik mezelf beslist voor om enkel doos B te kiezen. Enkel zo zit er 1 000 000 € in het spel en dat is significant meer dan 1 000 €. Klaar!
  • In de studio slaat de twijfel toe: enerzijds loop ik een risico met lege handen naar huis te gaan (als het orakel zich vergist heeft, is doos B leeg), maar anderzijds – en belangrijker – het staat toch al vast wat er in de gelsoten doos zit, dus kan ik A er net zo goed bijnemen. Dat is 1 000 € extra. Mooi meegenomen!
  • Maar als het orakel dit heeft voorzien, dan zal er niets in doos B zitten en bega ik een stommiteit.
  • Maar het staat al vast wat er in doos B zit.
  • Maar het is de beslissing waarvan ik nu op het punt sta ze te maken die het orakel voorspeld heeft.
  • Aaaaaahhhhh!!!

Ik lijk er dus maar niet in te slagen met mezelf een strategie af te spreken en me daar vervolgens aan te houden.

~

Mijn eerste reactie op de paradox* was dat het vraagstuk niet precies genoeg geformuleerd is: de opgave laat meerdere interpretaties toe en dat leidt tot verschillende reacties. In het bijzonder: er wordt niet duidelijk gemaakt wat het betekent dat het orakel “uitzonderlijk goed” is in voorspellen. Als we bijvoorbeeld zouden weten wat de waarschijnlijkheid is van een correcte/foute voorspelling, dan zouden we kunnen uitrekenen wat de verwachte winst is bij elke keuze.

Als de waarschijnlijkheid op een fout hoger is dan een bepaalde kritische waarde dan is de eerste strategie beter; als de waarschijnlijkheid op een fout lager is dan de kritische waarde, dan is de eerste strategie beter.

Dit idee blijkt niet origineel te zijn. Ook wiskundige N.J. Wildberger denkt in die richting in dit filmpje waarin hij het probleem introduceert.

Een echte paradox gaat echter niet zo maar weg! Ook hier blijft het de vraag of deze aanpak het probleem echt oplost. Zelfs als het orakel perfecte voorspellingen aflevert, waarbij de redenering voor “enkel doos B” de enige juiste lijkt, blijft het ook een feit dat er al vast ligt wat er in doos B zit op het moment dat je in de studio staat en dat het er enerzijds niet meer toe lijkt te doen wat je effectief beslist (fatalisme) en anderzijds de redenering “A en B” ook weer correct lijkt.

Wederom: Aaaaaahhhhh!!!

~

Pierre-Simon Laplace.Trouwens, kan zo’n orakel wel bestaan? Deze vervolgvraag roept een tweede associatie op: de “demon van Laplace“. Laplace veronderstelde deterministische natuurwetten (zoals de wetten van Newton) en een bovenmenselijk intelligent wezen dat de huidige posities en snelheden van alle deeltjes in het universum zou kennen. Zo’n wezen zou volgens Laplace de toestand van het universum op een willekeurig moment uit het verleden of de toekomst kunnen berekenen. (De relevante passage staat in “A philosophical essay on probabilities” (1814) p. 4; ik schreef er ook over in dit bericht.)

Zou de demon van Laplace de rol van het orakel kunnen spelen, of zou zelfs deze intelligentie niet in staat zijn het gedrag van mensen te voorspellen? Deze vraag heeft te maken met het verband tussen determinisme en vrije wil. Wanneer er mensen in het universum voorkomen, die de voorspelling van de demon aan de weet zouden kunnen komen (of op zijn minst ernaar gissen), dan lijkt het erop dat het wezen zich zou kunnen vergissen. Tenzij mensen niet echt een vrije wil hebben, maar het determinisme ook op hen van toepassing is.

~

*: Dit klopt niet helemaal. Ik ‘kende’ de paradox al jaren, maar had er tot voor kort nog nooit echt over nagedacht.

~

Wat denk jij?

De paradox van Newcomb: opgave

Samen met twee collega’s gaf ik een lezing over paradoxen aan laatstejaars van een middelbare school. Jan Heylen vertelde over de paradox van het verrassingsexamen en Pieter Thyssen over drie tijdreisparadoxen. Omdat we er thematisch een rode draad in wilden krijgen (tijd / voorspellen), kwam ik uit bij de paradox van Newcomb. En intussen heb ik die paradox ook gebruikt in een hoorcollege over determinisme en vrije wil.

Als definitie voor een paradox wordt vaak “schijnbare tegenstrijdigheid” gegeven, maar dat vind ik niet helemaal kloppen: eens je door hebt wat er schijnbaar aan is, houdt het – voor jou – op een paradox te zijn. Anderen hebben dat eerder en beter gezegd:

“In het algemeen zal een paradox, eenmaal begrepen, ophouden paradox te zijn G. Krol.

Van sommige bekende “paradoxen” meen ik te weten wat er aan de hand is – bijvoorbeeld welke aanname onterecht is of welke redeneerstap misleidend is. Ook in die zin was de paradox van Newcomb een goede keuze: ik claim er geen oplossing of uitweg voor te hebben. Voor mij is het nog steeds een echte paradox. Dat leek me wel zo eerlijk: net zo verward zijn als de leerlingen. :-)

~

Er waren eens een fysicus, een filosoof en een wiskundige. Het had het begin kunnen zijn van een grap, maar het is de ontstaansgeschiedenis van de paradox van Newcomb: een paradox over voorspelbaarheid.

De fysicus, William Newcomb, bedacht de paradox maar publiceerde hem niet. De filosoof, Robert Nozick, besprak de paradox voor het eerst in een essay en vernoemde hem naar de bedenker: “de paradox van Newcomb” (in 1969). De wiskundige, Martin Gardner, maakte de paradox bekend onder een breed publiek door erover te schrijven in zijn column “Mathematical Games” in Scientific American (in 1974).

De paradox van Newcomb illustreert een spanning tussen determinisme, vrije wil en het begrip rationaliteit (zoals het in de besliskunde gehanteerd wordt).

Newcomb.

De twee dozen uit de paradox van Newcomb.

Stel je de volgende situatie voor:

Je doet mee aan een nieuw spelprogramma “Orakel”. Je staat tegenover twee dozen:

  • Een doorschijnende doos “A” met 1 000 € erin (dit kan je zien).
  • Een ondoorschijnende doos “B” met ofwel 0 € erin ofwel 1 000 000 € erin.

Aan het programma werkt een orakel mee, dat uitzonderlijk goed is in het voorspellen van menselijke handelingen. Je weet niet wie of wat dit orakel is: het kan een mens zijn, maar net zo goed een computerprogramma, een buitenaards wezen, of misschien wel iets bovennatuurlijks. Wie weet is het gewoon iemand die jou heel goed kent.

De inhoud van doos B is vooraf bepaald aan de hand van de voorspelling van het orakel. Dit is als volgt gebeurd:

  • Als het orakel heeft voorspeld dat jij beide dozen zal kiezen, dan is doos B leeg.
  • Als het orakel heeft voorspeld dat jij enkel doos B zal kiezen, dan bevat doos B 1 000 000 €.

Als het orakel heeft voorspeld dat je willekeurig zal kiezen (bijvoorbeeld met een muntworp), dan is doos B ook leeg.

De inhoud van doos B kan niet meer veranderd worden op het moment dat jij aan het spel begint. Je bent vooraf op de hoogte gebracht van al deze spelregels.

Je mag nu kiezen: ofwel neem je A en B, ofwel enkel B.

Dit is nog een handig overzicht van de opties:

Tabel met overzicht van de vier gevallen.

Tabel met overzicht van de vier gevallen. (Idee overgenomen van Wikipedia.)

Zeg het maar: wat kies jij?

(Mijn bedenkingen komen in een volgend bericht.)

Goochelen met deuren en kansen

Ik blog al bijna vier jaar en daarbij gaat het regelmatig over kansrekening. Toch heb ik het hier nog niet gehad over het drie-deuren-probleem – ook bekend als het probleem van Monty Hall. Bij de paradox van de Schone Slaapster kwamen de drie deuren wel zijdelings ter sprake, maar daar bleef het bij. Tot nu althans. Naar aanleiding van een blogbericht van Jean Paul Van Bendegem – over de vraag hoe we de oplossing voor het drie-deuren-probleem het beste kunnen uitleggen (zonder wiskunde) – schrijf ik met alle plezier mijn driehonderste bericht precies hierover. :-)

Of een lama!

Als je verkeerd kiest, win je niets. Of een geit. Of een lama. Zonk!

Het probleem

[important]Stel je voor dat je mee doet aan een ouderwetse spelshow op TV. Je maakt kans op een hoofdprijs (bijvoorbeeld een auto), maar als je pech hebt win je niets (of een geit).

Je staat naast de presentator (Monty Hall) voor drie gesloten deuren. Je mag een deur kiezen en de prijs erachter straks mee naar huis nemen.

Nadat je je keuze bekend hebt gemaakt, opent een assistent die weet waar de hoofdprijs staat één van de twee andere deuren, zodat je kan zien dat daar alvast niet de hoofdprijs staat.

Nu geeft de presentator je de mogelijkheid om nogmaals te kiezen: blijf je bij de deur die je in het begin gekozen had, of kies je de andere deur?[/important]

Wat denk je:

  • Bij je eerst keuze blijven geeft je de grootste kans om te winnen.
  • Van deur veranderen geeft je de grootste kans om te winnen.
  • Het maakt niet uit.

De oplossing

Spoiler Inside SelectShow

(meer…)

Nationale WetenschapsQuiz 2014

Binnenkort wordt de NWQ 2014 uitgezonden: namelijk op zondagavond 28 december om 22u35 op NPO 2. De vragen vind je hier. De deadline om mee te doen is inmiddels verstreken, maar je kan ook live meespelen op de avond zelf.

Wij hebben gisteravond thuis eens ons hoofd gebroken over de opgaven. En nu zijn we vooral benieuwd naar het officiële antwoord op de volgende vier vragen.

 

Vraag 4

De ruimtesonde New Horizons beweegt met een snelheid van 15 kilometer per seconde naar de rand van ons zonnestelsel. Stel dat hij in de richting van de Sombrero-nevel gaat, die zich op 50 miljoen lichtjaar afstand van de aarde bevindt, wanneer komt hij daar dan aan?

  • A. Over ongeveer 1000 miljard jaar
  • B. Over ongeveer 50 miljoen jaar
  • C. Nooit

Als je de opgave domweg invult, enkel rekening houdend met de gegevens in de opgave en de lichtsnelheid, dan bekom je antwoord A.

Maar wat als je rekening houdt met de expansie van het universum? De Hubble-constante geeft de snelheid waarmee verafgelegen gebieden zich van de aarde afbewegen. Deze constante bedraagt ongeveer 68 km/s per Megaparsec (Mpc). Volgens de opgave bevindt de Sombrero-nevel zich op 50 miljoen lichtjaar afstand van de aarde, dit is op ongeveer 15 MPc (want 1 Mpc is ongeveer 3,26 miljoen lichtjaar). Gebruik makend van de Hubble-constante beweegt de nevel zich dus met ongeveer 100 km/s van de aarde. Kortom, met een snelheid van 15 km/s zal de sonde de nevel nooit bereiken.

Daarom kiezen wij voor antwoord C.

 

Vraag 15

In een grote bak water van 4°C leg je een blok ijs. Wat gebeurt er met het waterniveau terwijl het ijs smelt?

  • A. Het stijgt
  • B. Het blijft gelijk
  • C. Het daalt

Trouwe kijkers van de Nationale WetenschapsQuiz herkennen hierin de obligate Archimedesvraag.

Het antwoord bij dit type vraag is – als mijn geheugen me niet bedriegt – in voorgaande edities bijna altijd geweest dat het gelijk blijft. Ook deze keer lijkt dit zo: het gewicht van het (drijvende) ijs is precies gelijk aan het gewicht van het verplaatste water. Als het ijs smelt kan het dus precies het volume innemen van het ijs dat aanvankelijk onder water zat. Het waterniveau blijft dan gelijk.

Maar dan kwam Danny met de opmerking dat water van 4°C de grootste dichtheid heeft. Als het ijs smelt, zal het water geen water van 4°C zijn, maar iets kouder. Dit water heeft dan een lagere dichtheid en dus een groter volume: het waterniveau stijgt.

Ons antwoord is dus A.

Tenzij we ons moeten voorstellen dat het water continu op 4°C wordt gehouden door een extern warmtebad, maar dan lijkt er geen reden te zijn om specifiek te vermelden dat het om water van 4°C gaat. Toch?

 

Vraag 11

Een stel heeft twee kinderen. Moeder vindt spruitjes niet bitter, vader wel. Het proeven van bitter is een dominante eigenschap van één gen. De werkzame en de niet-werkzame versie van dit gen komen even vaak voor. Wat is de kans dat beide kinderen de spruitjes niet bitter vinden smaken?

  • A. Een vierde
  • B. Een zesde
  • C. Een negende

Voor deze vraag over kansrekening denk ik dat het antwoord B is. Korte uitleg: in 2/3 van de gevallen heeft de vader precies één recessief gen, waarbij er telkens 1/2 kans is om het niet door te geven: 2/3 * 1/2 * 1/2 = 1/6.

Het enige dat me wat ongerust maakt is dat ik in dit geval de andere opties niet kan verklaren via voor de hand liggende fouten. Via een opzettelijk foute redenering kwam ik bij 1/8 uit, maar die optie staat er niet tussen. Daardoor twijfel ik nu of ik toch zelf niets over het hoofd zie. Spannend!

 

Vraag 7

Als je een oneindig grote vloer aaneengesloten zou betegelen met deze strikjes- en bootjestegels, wat is dan de verhouding tussen strikjes en bootjes?

  • A. 1 strikjestegel op 2 bootjestegels
  • B. Minder dan 1 strikjestegel op 2 bootjestegels
  • C. Meer dan 1 strikjestegel op 2 bootjestegels

De strikjes en tegels zie je links in de figuur hieronder. Op een zijde met uitstulping (driehoekjes in het origineel; cirkels bij mij) moet een zijde zonder uitstulping aansluiten.

Strikjes en bootjes.

Strikjes en bootjes.

Hierbij zijn we niet tot een antwoord gekomen. We berekenden wat hoeken, maar het probleem waren vooral de uitstulpingen, waardoor niet alle zijden op elkaar passen. Enig tekenwerk op papier leverde al snel op dat eenvoudige periodieke patronen niet kloppend te maken zijn. Om een beetje te kunnen puzzelen maakte ik bovenstaande oefening in Powerpoint. Daar liep ik vast.

Zou het hier om werkelijk om niet-periodieke (Penrose-) betegeling kunnen gaan? (En is dat misschien de reden voor de eerder vage opties B en C?)

Ha, Arnout Jaspers van KennisLink denkt alvast van wel!

 

Aanvulling:

De vragen die aansluiten bij ruimtevaart (vragen 4 en 8) worden hier bediscussieerd en wat vraag 4 betreft lijken ze hier ook tot optie C te besluiten. :-)

Er is ook een Reddit met discussie over alle vragen. Daar twijfelen ze ook nog over vraag 15, om precies dezelfde redenen als wij. En voor de kansrekeningvraag bekomt er iemand 1/4 en iemand anders 1/9, waardoor ik er iets geruster in ben dat mijn redenering toch juist is. :-P

Koordeprobleem

Op zondag kreeg ik een vraag in mijn mailbox van David Vandormael, die ik hier (met zijn toestemming) deel. Hij had onlangs het boekje “Mathematische denkspelletjes” van Robert Müller op de kop getikt. Daarin vond hij op pagina 81 een puzzel over kansrekening:

“Vanuit een punt P op de omtrek van een cirkel trekt men een willekeurige lijn PQ. Hoe groot is de waarschijnlijkheid dat een willekeurige andere lijn die vanuit P wordt getrokken, korter is dan PQ?

Koordeprobleem.

Figuur 1: Het koordeprobleem uit het boekje van Robert Müller: de opgave (links) en de constructie voor de oplossing (midden en rechts). (Gebaseerd op een scan die bij DV’s e-mail zat.)

In zijn e-mail, vermeldde David Vandormael ook de oplossing uit het boek:

“Men lost dat heel mooi op de volgend manier op: we trekken vanuit P een lijn PQ’, die even lang is als PQ. Het is dan eenvoudig in te zien dat een willekeurige lijn PZ langer is dan PQ, als Z tussen Q en Q’ op de omtrek van de cirkel ligt (groen op de tekening). Alle andere lijnen zoals PK, zijn korter dan PQ (rood op de tekening). Hieruit volgt dat de verhouding tussen de lengte van de cirkelboog die wordt begrensd door Q, P en Q’ en de omtrek van de cirkel de waarschijnlijkheid aangeeft.

Als bijvoorbeeld PQ gelijk is aan de straal van de aangegeven cirkelboog, dan is de waarschijnlijkheid dat een willekeurige koorde korter dan PQ is, 1/3. Men kan namelijk een straal van een cirkel precies zes maal afpassen op de omtrek van de cirkel (dat is de constructiemethode van de regelmatige zeshoek).”

Figuur 2 is een illustratie van dit speciale geval.

Koordeprobleem.

Figuur 2: Speciaal geval, waarbij de lengte van PQ gelijk is aan de straal van de cirkel (R).

Tot hiertoe was hem alles duidelijk. Maar toen bedacht hij zelf een andere vraag bij deze opgave, waar infinitesimale kansen bij komen kijken. Dit was ook de reden dat hij bij mij kwam aankloppen:

“[T]oen kwam bij mij de vraag op wat de kans is dat een willekeurige lijn getrokken vanuit P op de omtrek van die cirkel, precies even lang is als PQ (dus niet korter of langer). En dan bleek dat er maar precies 1 zo’n lijn is op oneindig veel lijnen (namelijk PQ’ is precies even lang als PQ) of als we het met lengtes doen: de kans is de verhouding van de lengte op de cirkelomtrek van 1 zo’n lijn op de totale omtrek van de cirkel: dus een oneindig kleine lengte/de lengte van de cirkelomtrek wat dus volgens mij overeenkomt met een oneindig kleine kans of anders gezegd: een kans nul (maar niet niks want er is wel 1 zo’n lijn en dus is er wel een heel kleine of infinitesimale kans). Is dit juist?

Joseph Bertrand.

~

In mijn antwoord vertelde ik eerst eerst iets over oorspronkelijke opgave en dan iets over zijn vraag rond infinitesimale kansen.

~

Eerst iets over de originele puzzel. Zo’n lijnstuk dat twee punten op een cirkel met elkaar verbindt, noemen wiskundigen een koorde en dit vraagstuk is verwant aan het koordeprobleem van Bertrand. (Dat is dezelfde Bertrand als die van het doosjesprobleem). Bij het koordeprobleem van Bertrand luidt de opgave als volgt:

Beschouw een gelijkzijdige driehoek en de omgeschreven cirkel. Veronderstel dat er een willekeurige koorde van de cirkel gekozen wordt. Wat is de kans dat de koorde langer is dan een zijde van de driehoek?

Hierbij is er discussie mogelijk over wat het juiste antwoord is. De ambiguïteit ontstaat doordat het niet helemaal duidelijk is hoe we “een willekeurige koorde van de cirkel” moeten interpreteren. Ik doceer dit vraagstuk in mijn les over de geometrische interpretatie van kansrekening en het indifferentieprincipe van Laplace. Drie verschillende redeneringen leiden tot drie verschillende resultaten: 1/2, 1/3, of 1/4. (De Nederlandstalige Wikipedia-pagina volstaat voor de illustraties; meer context op de Engelstalige Wikipedia-pagina).

Koordeprobleem.

Figuur 3: Het koordeprobleem van Bertrand.

Het vraagstuk uit het puzzelboekje, verschilt op drie punten van de Bertrands koordeprobleem:

  • het gaat om de kans dat een andere koorde korter is dan een gegeven koorde, terwijl in het vraagstuk van Bertrand naar de kans op een langere koorde wordt gevraagd;
  • de referentielengte (lengte van de eerste koorde) is er tussen 0 (nul) en 2 \times R (diameter van de cirkel), terwijl dit bij de koordeparadox \sqrt{3} \times R is (zijde van de ingeschreven gelijkzijdige driehoek);
  • er wordt één punt op de cirkel vast gekozen, terwijl bij de koordeparadox beide eindpunten vrij zijn.

Vooral deze laatste aanpassing is van belang om de ambiguïteit in het originele probleem weg te nemen. We moeten niet weten wat “een willekeurige koorde van de cirkel” is, maar enkel wat “een willekeurige andere lijn die vanuit P wordt getrokken” is. Daarbij lijkt het duidelijk dat we een tweede willekeurig gekozen punt van de cirkel moeten beschouwen. (Of een willekeurige hoek ten opzichte van de raaklijn aan de cirkel in punt P tussen 0 en pi, maar dat komt op hetzelfde neer.) Het antwoord kan dan worden bekomen zoals hoger aangegeven (dat wil zeggen: als de verhouding tussen de relevante booglengte en de omtrek van de cirkel). Voor het speciale geval waarbij de lengte van PQ R is (Figuur 2), is de kans dat een willekeurige andere koorde korter is dan PQ 1/3; de kans dat deze langer is, is dus 2/3. Voor het geval waarbij de lengte van PQ \sqrt{3} \times R is (Figuur 3), is de kans dat een willekeurige andere koorde langer is dan PQ 1/3. (Dus de “willekeurige eindpunten”-methode in de Wikipedia-pagina over de koordeparadox.)

~

Koordeprobleem.

Figuur 4: Een alternatieve vraag over koorden: de opgave (links) en de constructie voor de oplossing (rechts).

Dan iets over de bedenking rond infinitesimale kansen. Als we vragen naar de kans op een andere koorde die dezelfde lengte heeft als PQ, dan is er inderdaad één mogelijkheid op succes uit (overaftelbaar) oneindig veel mogelijkheden, waarbij al deze mogelijkheden een gelijke kans hebben. Met de klassieke kansrekening is deze kans nul. Er is ook een alternatieve kansrekening mogelijk (waar ik zelf aan werk: zie hier en hier), waarin deze kans een infinitesimaal strikt groter dan nul is. Terwijl de klassieke kansrekening met reële getallen werkt, werkt de alternatieve theorie met hyperreële getallen. Het reële getal nul is de dichtste benadering van alle mogelijke infinitesimale hyperreële getallen.

De term “infinitesimale kans” kan trouwens ook worden gebruikt in combinatie met de klassieke kansrekening: daarbij duidt deze term gebeurtenissen aan die (1) kans nul hebben, maar die (2) niet logisch onmogelijk zijn. (Bij dit vraagstuk zou een voorbeeld van een logisch onmogelijke gebeurtenis zijn: een koorde die zowel strikt kleiner is dan PQ en strikt groter is dan PQ; dit kan natuurlijk niet.) En dit komt dan precies overeen met de gevallen waarin de alternatieve kansrekening een strikt positieve, infinitesimale kans aan de gebeurtenis toekent. (Iets dat logisch onmogelijk is, krijgt ook in de alternatieve theorie kans nul.)

~

Kortom, de vraag die David Vandormael bedacht, is inderdaad een voorbeeld van een infinitesimale kans.

Togaselfie

Vandaag was ik lid van de jury bij een doctoraatsverdediging aan de Universiteit Utrecht. Dit is een verslagje over zowel de inhoud (het proefschrift) als de vorm (de toga).

***

Inhoud: onderbepaaldheid van wetenschappelijke theorieën

Pablo Acuña Luongo schreef een scriptie over onderbepaaldheid van theoriekeuze in de wetenschappen en dit aan de hand van twee gevalstudies uit de fysica. Zijn promotor was professor Dennis Dieks (aankondiging1 & 2).

De eerste gevalstudie behandelt de ethertheorie van Hendrik Lorentz (en Henri Poincaré) versus de speciale relativiteitstheorie van Albert Einstein (en Hermann Minkowski). In dit geval zijn wetenschappers tot de duidelijke consensus gekomen dat Einsteins theorie de voorkeur geniet. Deze voorkeur is ondermeer te begrijpen doordat de ethertheorie van Lorentz minder goed samenhangt met andere (latere) theorieën dan die van Einstein (waaronder Einsteins eigen algemene relativiteitstheorie).

Deze casus was ook het onderwerp van Acuña Luongo’s masterscriptie (die online staat), waarmee hij in het academiejaar 2012-2013 een prijs won (zie ook hier). Hij gaf toen dit interview over zijn werk, dat meteen een goede samenvatting geeft.

Lorentz versus Einstein.

Lorentz versus Einstein. (Bron afbeelding: DUB.)

De tweede gevalstudie behandelt de standaard kwantumtheorie (in de formulering van John von Neumann en Paul Dirac) versus de Bohmse mechanica. De mechanica van David Bohm is een verborgen-variabelen theorie die deterministisch is (weliswaar ten koste van niet-lokale effecten). Over de keuze tussen deze theorieën is er nog steeds geen consensus onder natuurkundigen. Beide kampen hebben fervente voor- en tegenstanders. Mijn thesisbegeleider van destijds verkoos bijvoorbeeld de Bohmse theorie (zoals ik eerder vermeldde). De Bohmianen zijn in de minderheid, maar de standaardtheorie geeft aanleiding tot heel wat verschillende interpretaties (waaronder de veel-wereldeninterpretatie), waardoor hun kamp intern sterk verdeeld is.

***

Vorm: onderbepaaldheid van togareglementen

Voor deze gelegenheid mocht ik een toga aan. Of dat terecht was, is nog maar de vraag:

  • In Vlaanderen wordt de titel ‘professor‘ toegekend vanaf het moment dat iemand tot het zelfstandig academisch personeel behoort. De graad (docent, hoofddocent, hoogleraar, gewoon hoogleraar) speelt daarbij geen rol.
  • In Nederland wordt de titel ‘professor’ enkel toegekend aan iemand die de graad van hoogleraar heeft. Nederlandse universitairen die docent of hoofddocent zijn, gelden er niet als professor en zij dragen bij promoties ook geen toga.

Vanaf oktober ben ik onderzoeksprofessor in Leuven in de graad van docent. Het was me dus niet duidelijk of ik dan wel of niet een toga mocht dragen: moet je professor zijn of hoogleraar om een toga te dragen? Aangezien dit in Nederland synoniemen zijn, maar in Vlaanderen niet, is dit niet zo duidelijk.

Zelf zou ik op hoogleraar gokken, maar de thesispromotor besloot dat ze mij – en ik citeer – “bij deze gelegenheid best al in een toga kunnen hijsen”. En aangezien hij hoogleraar is en ik niet, heb ik maar braafjes geluisterd. Hoe zou je zelf zijn? ;-)

Ik heb de toga-situatie aan de KU Leuven nu eens opgezocht: de “professorale toga” wordt er gedragen vanaf de graad van hoofddocent – dus niet door alle professoren, maar de grens ligt evenmin bij de graad van hoogleraar. Extra verwarrend voor Vlaamse hoofddocenten in Nederlandse jury’s, maar in mijn geval suggereert het dat ik vandaag geen toga had mogen dragen. Anderzijds mag ik in Leuven wél een toga dragen, denk ik, namelijk de “doctorale toga”.

Kortom, of ik in Utrecht nu al dan niet terecht een toga heb gekregen, is mij nog steeds niet duidelijk. Om deze puzzel op te kunnen lossen zijn twee doctoraten blijkbaar niet genoeg. ;-)

Aangezien ik zelf geen toga in de kast heb hangen, werd het een Utrechtse leentoga.

Leentoga.

Leentoga.

Het thuisfront had om bewijzen gevraagd, maar er was geen fotograaf aanwezig bij de verdediging. (Dat gebeurt soms wel.) In de vergaderzaal hing er een spiegel naast de kast met baretten, dus maakte ik daar snel een togaselfie.

Togaselfie.

Togaselfie.

Bevindingen: lekker warm, zo’n toga. Daar kan ik wel aan wennen, geloof ik.

Opmerkelijk: de baret moet af tijdens het zitten, behalve voor vrouwen – die mogen zelf kiezen of ze de baret ophouden of niet als ze gaan zitten.

Voornemen: volgende keer niet huppelen, maar waardig schrijden. Dus niet denken “Joepie, ik heb een toga aan”, maar zwaarwichtige dingen denken, die ook de tred wat bezwaren.

Hm, zou “ingetogen” etymologisch verwant zijn aan “toga”, denk je?

Pluisjes (oplossing fotoraadsel)

Vandaag plaats ik de oplossing van het meest recente fotoraadsel. Maar eerst herhaal ik de dubbele opgave.

Deel 1

Dit zijn geen balletschoentjes. Wat is het wel?

Rara, wat is het wel?

Dit zijn geen balletschoentjes. Rara, wat is het dan wel?

Deel 2

En dit zijn geen tientallen oogjes. Wat is het wel?

Rara, wat is het wel?

Dit zijn geen tientallen oogjes. Rara, wat is het dan wel?

Er kwamen acht gokken binnen: drie via SciLogs en vijf via mijn eigen blog.

  • Voor de eerste foto werd er gegokt op iets plantaardigs (Lilith), zaadjes of zaaddoosje van een paardenbloem (Tim en G. Nauwelaerts) en meeldraden (Gerda van Etten).
  • Voor de tweede foto werd er gegokt op een aardbei (Tim), een zaadje met dauw erop (G. Nauwelaerts), een ouderwetse knoop (Liese) en een stampertje (Gerda van Etten).

(Het antwoord lees je na de vouw!)
(meer…)

Rara, wat is het dan wel?

Sinds het laatste fotoraadsel heb ik een nieuwe fotocamera (opnieuw een digitale compactcamera van Olympus). Voor de rest is deze rubriek hetzelfde gebleven: ik maak een foto, knip die een beetje bij en jullie mogen raden wat het is.

Om er weer in te komen, is dit een dubbele opgave. En niet al te moeilijk, denk ik.

Deel 1

Dit zijn geen balletschoentjes. Wat is het wel?

Rara, wat is het wel?

Dit zijn geen balletschoentjes. Rara, wat is het dan wel?

Deel 2

En dit zijn geen tientallen oogjes. Wat is het wel?

Rara, wat is het wel?

Dit zijn geen tientallen oogjes. Rara, wat is het dan wel?

Een tip:

Spoiler Inside SelectShow

Laat gerust een gok achter bij de commentaren! Het antwoord volgt over twee weken.

Oplossing vraagstuk

Kat en MuisIn een poging de losse draadjes op dit blog weer wat in te perken, geef ik vandaag de oplossing van het vraagstuk dat ik bijna twee maanden geleden online zette.

Ook geef ik een beetje context bij het vraagstuk.

 

Ter herinnering, dit was de opgave:

Een muis zit bovenaan in een boom van 60 el hoog. Een kat zit op de grond aan de voet van de boom. De muis daalt een halve el per dag af en kruipt ’s nachts een zesde van een el terug omhoog. De kat klimt één el per dag en kruipt ’s nachts een kwart el terug naar beneden. De boom groeit een kwart el per dag tussen de kat en de muis en krimpt ’s nachts een achtste el.

In hoeveel dagen bereikt de kat de muis?

(Lees verder na de vouw.)

(meer…)

Vraagstuk over een magische boom

Kat en MuisSchattige fauna en magische flora: onderstaand vraagstuk heeft het allemaal!

Nee, ik heb deze opgave niet zelf verzonnen. Het vraagstuk stamt uit de late Middeleeuwen, dan wel vroege Renaissance. Het origineel is in het oud-Italiaans en gebruikt een oude Italiaanse lengtemaat, de braccio. Omdat de precieze eenheid er niet toe doet, heb ik dit vertaald als el. (De precieze bron zal ik later posten.)

Een muis zit bovenaan in een boom van 60 el hoog. Een kat zit op de grond aan de voet van de boom. De muis daalt een halve el per dag af en kruipt ’s nachts een zesde van een el terug omhoog. De kat klimt één el per dag en kruipt ’s nachts een kwart el terug naar beneden. De boom groeit een kwart el per dag tussen de kat en de muis en krimpt ’s nachts een achtste el.

In hoeveel dagen bereikt de kat de muis?

Als je een oplossing hebt, lees ik het graag in de commentaren.