Tag Archief: raadsel

In het vorige bericht gaf ik de opgave voor de paradox van Newcomb.

Dit vraagstuk wordt een paradox genoemd omdat er twee manieren van redeneren zijn die beide correct lijken, maar die tegenstrijdige antwoorden opleveren op de vraag welke keuze de verwachte winst van de speler maximaliseert. In dit bericht leg ik beide redeneringen uit en probeer ik de spanning die ertussen bestaat op de spits te drijven.

~

(1) Eerste manier van redeneren: Neem enkel doos B!

We kunnen de opties die 0 € of 1 001 000 € opleveren negeren, want die vereisen dat de voorspelling fout was, maar het orakel is een uitzonderlijk goede voorspeller. De keuze gaat dus tussen 1 000 € (als je A en B neemt) of 1 000 000 € (als je enkel doos B neemt). Enkel doos B nemen is dus beter.

Volgens deze manier van redeneren doen twee gevallen in bovenstaande tabel er niet toe:

Tabel met overzicht van de twee gevallen die er echt toe doen (volgens de eerste redenering).

(2) Tweede manier van redeneren: Neem beide dozen!

Ongeacht wat de voorspelling was, het staat nu vast wat er in de doos zit, dus beide dozen kiezen is altijd beter (dominant). Kijk maar:

• Als de voorspelling “A en B” was, dan heb je de keuze tussen 1 000 € (als je A en B neemt) of 0 € (als je enkel B neemt). In dit geval is beide nemen dus beter.
• Als de voorspelling “enkel B” was, dan heb je de keuze tussen 1 001 000 € (als je A en B neemt) of 1 000 000 € (als je enkel B neemt). Ook in dit geval is beide nemen beter.

De tweede redenering vergelijkt de twee mogelijke voorspellingen en komt tot de conclusie dat beide dozen nemen altijd beter is

Hoorcollege met een onderdeel over de paradox van Newcomb.

~

Een associatie die ik heb bij de paradox van Newcomb is de Griekse mythe over Cassandra: het orakel wiens voorspellingen niemand ooit geloofde. In de opgave van Newcomb komt de speler de voorspelling van het orakel uiteraard niet te weten, maar als ik erover nadenk, lijkt het of ik mijn eigen voorspelling steeds in twijfel trek. Zo blijf ik op twee gedachten hinken: soms is een filosoof als een kleuter die dringend moet gaan plassen, maar liever nog even verder speelt. ;-)

• Op weg naar de studio neem ik mezelf beslist voor om enkel doos B te kiezen. Enkel zo zit er 1 000 000 € in het spel en dat is significant meer dan 1 000 €. Klaar!
• In de studio slaat de twijfel toe: enerzijds loop ik een risico met lege handen naar huis te gaan (als het orakel zich vergist heeft, is doos B leeg), maar anderzijds – en belangrijker – het staat toch al vast wat er in de gelsoten doos zit, dus kan ik A er net zo goed bijnemen. Dat is 1 000 € extra. Mooi meegenomen!
• Maar als het orakel dit heeft voorzien, dan zal er niets in doos B zitten en bega ik een stommiteit.
• Maar het staat al vast wat er in doos B zit.
• Maar het is de beslissing waarvan ik nu op het punt sta ze te maken die het orakel voorspeld heeft.
• …
• Aaaaaahhhhh!!!

Ik lijk er dus maar niet in te slagen met mezelf een strategie af te spreken en me daar vervolgens aan te houden.

~

Mijn eerste reactie op de paradox* was dat het vraagstuk niet precies genoeg geformuleerd is: de opgave laat meerdere interpretaties toe en dat leidt tot verschillende reacties. In het bijzonder: er wordt niet duidelijk gemaakt wat het betekent dat het orakel “uitzonderlijk goed” is in voorspellen. Als we bijvoorbeeld zouden weten wat de waarschijnlijkheid is van een correcte/foute voorspelling, dan zouden we kunnen uitrekenen wat de verwachte winst is bij elke keuze.

Als de waarschijnlijkheid op een fout hoger is dan een bepaalde kritische waarde dan is de eerste strategie beter; als de waarschijnlijkheid op een fout lager is dan de kritische waarde, dan is de eerste strategie beter.

Dit idee blijkt niet origineel te zijn. Ook wiskundige N.J. Wildberger denkt in die richting in dit filmpje waarin hij het probleem introduceert.

Een echte paradox gaat echter niet zo maar weg! Ook hier blijft het de vraag of deze aanpak het probleem echt oplost. Zelfs als het orakel perfecte voorspellingen aflevert, waarbij de redenering voor “enkel doos B” de enige juiste lijkt, blijft het ook een feit dat er al vast ligt wat er in doos B zit op het moment dat je in de studio staat en dat het er enerzijds niet meer toe lijkt te doen wat je effectief beslist (fatalisme) en anderzijds de redenering “A en B” ook weer correct lijkt.

Wederom: Aaaaaahhhhh!!!

~

Trouwens, kan zo’n orakel wel bestaan? Deze vervolgvraag roept een tweede associatie op: de “demon van Laplace“. Laplace veronderstelde deterministische natuurwetten (zoals de wetten van Newton) en een bovenmenselijk intelligent wezen dat de huidige posities en snelheden van alle deeltjes in het universum zou kennen. Zo’n wezen zou volgens Laplace de toestand van het universum op een willekeurig moment uit het verleden of de toekomst kunnen berekenen. (De relevante passage staat in “A philosophical essay on probabilities” (1814) p. 4; ik schreef er ook over in dit bericht.)

Zou de demon van Laplace de rol van het orakel kunnen spelen, of zou zelfs deze intelligentie niet in staat zijn het gedrag van mensen te voorspellen? Deze vraag heeft te maken met het verband tussen determinisme en vrije wil. Wanneer er mensen in het universum voorkomen, die de voorspelling van de demon aan de weet zouden kunnen komen (of op zijn minst ernaar gissen), dan lijkt het erop dat het wezen zich zou kunnen vergissen. Tenzij mensen niet echt een vrije wil hebben, maar het determinisme ook op hen van toepassing is.

~

*: Dit klopt niet helemaal. Ik ‘kende’ de paradox al jaren, maar had er tot voor kort nog nooit echt over nagedacht.

~

Wat denk jij?

Samen met twee collega’s gaf ik een lezing over paradoxen aan laatstejaars van een middelbare school. Jan Heylen vertelde over de paradox van het verrassingsexamen en Pieter Thyssen over drie tijdreisparadoxen. Omdat we er thematisch een rode draad in wilden krijgen (tijd / voorspellen), kwam ik uit bij de paradox van Newcomb. En intussen heb ik die paradox ook gebruikt in een hoorcollege over determinisme en vrije wil.

Als definitie voor een paradox wordt vaak “schijnbare tegenstrijdigheid” gegeven, maar dat vind ik niet helemaal kloppen: eens je door hebt wat er schijnbaar aan is, houdt het – voor jou – op een paradox te zijn. Anderen hebben dat eerder en beter gezegd:

“In het algemeen zal een paradox, eenmaal begrepen, ophouden paradox te zijn“ – G. Krol.

Van sommige bekende “paradoxen” meen ik te weten wat er aan de hand is – bijvoorbeeld welke aanname onterecht is of welke redeneerstap misleidend is. Ook in die zin was de paradox van Newcomb een goede keuze: ik claim er geen oplossing of uitweg voor te hebben. Voor mij is het nog steeds een echte paradox. Dat leek me wel zo eerlijk: net zo verward zijn als de leerlingen. :-)

~

Er waren eens een fysicus, een filosoof en een wiskundige. Het had het begin kunnen zijn van een grap, maar het is de ontstaansgeschiedenis van de paradox van Newcomb: een paradox over voorspelbaarheid.

De fysicus, William Newcomb, bedacht de paradox maar publiceerde hem niet. De filosoof, Robert Nozick, besprak de paradox voor het eerst in een essay en vernoemde hem naar de bedenker: “de paradox van Newcomb” (in 1969). De wiskundige, Martin Gardner, maakte de paradox bekend onder een breed publiek door erover te schrijven in zijn column “Mathematical Games” in Scientific American (in 1974).

De paradox van Newcomb illustreert een spanning tussen determinisme, vrije wil en het begrip rationaliteit (zoals het in de besliskunde gehanteerd wordt).

De twee dozen uit de paradox van Newcomb.

Stel je de volgende situatie voor:

Je doet mee aan een nieuw spelprogramma “Orakel”. Je staat tegenover twee dozen:

• Een doorschijnende doos “A” met 1 000 € erin (dit kan je zien).
• Een ondoorschijnende doos “B” met ofwel 0 € erin ofwel 1 000 000 € erin.

Aan het programma werkt een orakel mee, dat uitzonderlijk goed is in het voorspellen van menselijke handelingen. Je weet niet wie of wat dit orakel is: het kan een mens zijn, maar net zo goed een computerprogramma, een buitenaards wezen, of misschien wel iets bovennatuurlijks. Wie weet is het gewoon iemand die jou heel goed kent.

De inhoud van doos B is vooraf bepaald aan de hand van de voorspelling van het orakel. Dit is als volgt gebeurd:

• Als het orakel heeft voorspeld dat jij beide dozen zal kiezen, dan is doos B leeg.
• Als het orakel heeft voorspeld dat jij enkel doos B zal kiezen, dan bevat doos B 1 000 000 €.

Als het orakel heeft voorspeld dat je willekeurig zal kiezen (bijvoorbeeld met een muntworp), dan is doos B ook leeg.

De inhoud van doos B kan niet meer veranderd worden op het moment dat jij aan het spel begint. Je bent vooraf op de hoogte gebracht van al deze spelregels.

Je mag nu kiezen: ofwel neem je A en B, ofwel enkel B.

Dit is nog een handig overzicht van de opties:

Tabel met overzicht van de vier gevallen. (Idee overgenomen van Wikipedia.)

Zeg het maar: wat kies jij?

(Mijn bedenkingen komen in een volgend bericht.)