Tag Archief: raadsel

Nationale Wetenschapsquiz 2011: van bonbons tot een natte theedoek

In de jaren negentig maakte Wim T. Schippers van de Nationale Wetenschapsquiz een heerlijk chaotische wetenschapsexplosie.Toen ik voor het eerst naar de Nationale Wetenschapsquiz keek, was ik nog maar half zo oud als nu. De quiz werd toen nog gepresenteerd door Wim T. Schippers (wiens stem je wellicht kent van Ernie uit Sesamstraat). Zijn chaotisch enthousiasme maakte van de quiz een echt fenomeen. (Herinner je je ook nog zijn assistente? Dat was Edith de Leeuw: geen actrice die een typetje speelde, maar een professionele statistica, zo ontdek ik zoveel jaar na datum!) Naast stemacteur en presentator is Wim T. Schippers ook beeldend kunstenaar. Dit jaar kwam zijn werk ‘Pindaklaasvloer’ nog in de media, nadat een onoplettende museumbezoeker erop gestapt was. Ook het “Torentje van Drienerlo” op de campus van de Universiteit Twente (een kerktoren die uit een vijver steekt) is een werk van Schippers. Ik dacht die verzopen kerktoren aangeeft hoe diep Nederland onder zeeniveau ligt, maar volgens Wikipedia gaat het om een “symbool voor het achterblijven van kerkelijke dogma’s bij nieuwe wetenschappelijke inzichten“.

Toen ik voor het eerst naar de Nationale Wetenschapsquiz keek, zat ik nog op de middelbare school en was ik zo naïef te denken dat ik de quiz foutloos zou kunnen oplossen eens ik wetenschappen gestudeerd had. Jammer maar helaas, om het met Wim T. Schippers te zeggen: net als in de jaren negentig heb ik ook in 2011 een paar vragen juist en een paar vragen fout beantwoord.

De Nationale Wetenschapsquiz 2011.Er zat dit jaar ook een leuke optica-vraag tussen: waarom ziet een gekleurde handdoek er donkerder uit als hij nat is? Dat had ik me eigenlijk nog nooit afgevraagd. Natte stukken van een handdoek laten, net als vetvlekken op papier, meer licht dóór – dat had ik wel al gezien. De uitleg tijdens de uitzending en die op de website vond ik niet helemaal duidelijk, dus probeer ik het hier zelf te beredeneren in drie stappen.

(1) Weerkaatsing en strooiing. De kleur van een handdoek ontstaat doordat de doek een deel van het witte omgevingslicht absorbeert en een deel reflecteert. Als er, om één of andere reden, minder reflectie is, zien wij dit als “donkerder”. Terwijl een glad oppervlak, zoals van een spiegel, al het licht dat onder dezelfde hoek invalt ook in dezelfde richting weerkaatst, is dat bij een ruw oppervlak niet zo. Bij een handdoek kan men dus beter spreken van strooiing aan het oppervlak.

(2) Stapsgewijs veranderen van de brekingsindex. Bij elke overgang tussen stoffen met een verschillende brekingsindex, wordt een deel van het licht weerkaatst en een deel doorgelaten. Aan de microscoop kan dit vervelend zijn: het draagglaasje, het dekglaasje en de lenzen hebben allemaal dezelfde brekingsindex (van glas), maar daar zit telkens een laagje lucht tussenin met een lagere brekingsindex. Hierdoor gaat er onderweg aan elke overgang heel wat weerkaatst licht verloren. Met speciale olie, die dezelfde brekingsindex heeft als glas, kun je de ervoor zorgen dat het licht overal door dezelfde brekingsindex gaat (‘refractive index matching‘). Bij elke olie-glas overgang wordt alle licht doorgelaten, terwijl je bij elke lucht-glas overgang lichtintensiteit kwijtraakt door gedeeltelijke weerkaatsing. Als je geen olie hebt, kun je het ook met water proberen: dit heeft een brekinginsdex die tussen die van lucht en glas in ligt: door de brekingsindex in stappen te veranderen, in plaats van bruusk in keer, wordt het aandeel van reflectie verminderd.

(3) Lucht-draad overgangen. De handdoek bestaat weliswaar uit draden, niet uit glas, maar als die draden licht (voor een deel) doorlaten, kun je ook daaraan een brekingsindex toekennen. Ja, er zijn weldegelijk wetenschappelijke studies naar de brekingsindex van textielvezels (voorbeeld). (a) In droog textiel zijn er heel wat lucht-draad overgangen. Bovendien zal een deel van het licht dat door een eerste textielvezel is gegaan alsnog weerkaatst kunnen worden aan het oppervlak van de volgende draad, maar dit aandeel lijkt me eerder klein. (b) Bij een natte doek zorgt het water voor brekingsindex-aanpassing, wat de reflectie verlaagt. Er zijn verschillende mogelijkheden die allen hetzelfde effect hebben. Water dat in de vezels kruipt, verlaagt de brekingsindex van de vezels zelf, met minder reflectie tot gevolg. Water dat in een dun laagje om de vezels heen zit, verlaagt dat stapsgewijs de brekenisindex, waardoor er ook minder reflectie is. Water dat de volledige ruimte tussen de vezels opvult (dit lijkt plausibel door capillariteit) zorgt ervoor dat er nauwelijks nog brekingsindex-overgangen zijn in de handdoek; hierdoor neemt het aandeel weerkaatsing in diepere lagen van de handdoek af.

Conclusie: Van een natte handdoek weerkaatst er minder licht dan van een droge, doordat het brekingsindexverschil tussen lucht en water kleiner is dan het verschil tussen lucht en textiel. Bovendien kan er bij een natte doek geen licht worden weerkaatst van diepere lagen, omdat er daar geen brekingsindexovergangen meer zijn, terwijl dit bij een droge doek ook nog kan bijdragen aan de helderheid.
Er wordt meer licht doorgelaten in een natte handdoek en dat komt er aan de achterkant weer uit. Zo komt het dat de natte vlek aan de kant van de lichtbron donkerder en aan de tegenovergestelde kant lichter is dan droge stukken van de handdoek.

Ondanks alle moeilijke wendingen, slaagden er dit jaar drie mensen in om alle vragen juist te beantwoorden. Chapeau! Alle antwoorden met een beetje uitleg en het filmpje uit de uitzending kun je hier vinden.

Tien x (Kerst + Wetenschap)

We hebben een boom in huis gehaald en hem vol bolspiegels gehangen.We hebben een boom in huis gehaald en hem vol bolspiegels gehangen. Het heeft al gesneeuwd in Gent. Het laatste blad verdwijnt weldra van de kalender. Voor dit gebeurt zullen er allerhande deadlines wel of niet gehaald worden. Het is duidelijk: de eindejaarsfeesten komen eraan!

Ik heb twee weken geleden al een lijstje met kersttips gepost, maar intussen heb ik nog zoveel leuke dingen zien passeren dat er vandaag een tweede deel moet komen. Hier zijn er nog tien tips om de eindejaarsperiode op wetenschappelijk verantwoorde wijze door te komen:

  • Voor mij is het geen echte kerst zonder Nationale Wetenschapsquiz! De vragen van dit jaar, inclusief de onvermijdelijke Archimedes-instinker, staan hier.
  • Eenvoudige vragen over kansrekening zorgen altijd voor gedonder, dus ook vraag 14 van de NWQ11 zal zeker mensen op het verkeerde been zetten. (Spoiler: ik sluit me aan bij het commentaar van Keezie).
VRAAG 14
Je hebt drie doosjes met bonbons. In het ene zitten twee witte bonbons, in het andere zitten twee pure bonbons en in het derde doosje zitten een pure en een witte bonbon. Je kiest willekeurig één van de drie doosjes en pakt daaruit ook weer willekeurig één van de twee bonbons. Die bonbon is wit. Wat is nu de kans dat de andere bonbon in het gekozen doosje ook wit is?
a. 1/3.
b. 1/2.
c. 2/3.
  • Als je de vragen over kansrekening en Archimedes wil ontwijken, kun je het natuurlijk ook bij de junior-editie van de quiz houden.
  • Ben je nog steeds op zoek naar originele kerstversiering en ben je niet vies van elektronica en/of sciencefiction? Doe dan je voordeel met deze 20 decoratietips.
  • Stephen Wildish ontwierp een Venn-diagram over de kerstman:

    Venn-diagram over de kerstman.

    Venn-diagram over de kerstman. (Bron afbeelding: http://stephenwildish.co.uk/friday.html)

  • Met de feestdagen wordt er stevig getafeld. Heb je je ook al afgevraagd hoe het komt dat je altijd nog plaats hebt voor een dessertje, hoe veel je voordien ook gegeten hebt? Hier blijkt een wetenschappelijke verklaring voor te zijn: suikers wekken een reflex op waardoor de maagwand verder uitzet. Zo maakt die kerststronk zijn eigen plekje vrij! De truc is om na een zware maaltijd wel suiker te eten, maar het bij iets kleins te houden, zoals een praline: hierdoor rekt de maag wel uit zonder de extra ruimte op te vullen. Dat geeft een minder vol gevoel.
  • Ik vraag me trouwens af of die voedingswetenschapper sinds de zomer al verder is geraakt met het zoeken naar de perfecte chocolade.
  • Hou je juist helemaal niet van het lange feesttafelen en verveel je je altijd op familiefeesten? Dan heb je wat afleiding nodig: origami misschien? Druk deze instructies af en vouw rustig je eigen DNA-molecule. Leer het ook aan je kleine neefje of nichtje. Als er een kom met drijfkaarsjes op tafel staat, kun je met een beetje gevouwen papier ook het effect van dit filmpje proberen te evenaren. Kunstig!

  • Een wetenschappelijke studie over sneeuwruimen van de daken van PC-Hooft-tractoren en brandkranen? Dat ruikt naar Improbable Research! (Inderdaad.) De fysica van sneeuwkristallen vind je hier.
  • Met de kerstdagen kan er in de ruimte ook weer Nederlands gesproken worden: de Nederlandse ESA-astronaut André Kuipers werd vandaag met succes gelanceerd voor een verblijf van een half jaar in het ISS. (Lees ook zijn blog.)
Rond kerst hangen er overal bolspiegels.

Rond kerst hangen er overal bolspiegels. Hier een voorbeeldje uit het station van Utrecht.

Bonus (toegevoegd op 22 december): Als je die kerstballen beu gezien bent, kun je ze altijd laten barsten. In combinatie met een hogesnelheidscamera geeft dat prachtige resultaten!

Bonus-bonus (toegevoegd op 23 december): de limiet voor X -> MAS wordt mooi uitgewerkt op Zeno’s adventkalender van xkcd.

Fijne kerstdagen gewenst!

Oog voor Gent (oplossing fotoraadsel)

Twee weken geleden vroeg ik jullie om mee te raden naar waar onderstaande foto gemaakt is:

Rara, waar is deze foto gemaakt?

Dit was de opgave: "Waar is deze foto gemaakt?"

Ik heb jullie blijkbaar onderschat! De foto stond nog geen half uur online op SciLogs, of Kris De Winter kwam al met de juiste oplossing: het is inderdaad de Graslei in Gent. Reinout, Eva Janssens en Wilfred Swinkels waren ook overtuigd dat het Gent moest zijn; enkel Evy Sohier nam Brugge nog in overweging. De foto is genomen vanaf de Korenlei, zoals luk suggereerde. Het gaat inderdaad om een reflectie in een oog, zoals Kris en Evy goed opmerkten. Als eerste bewijsstuk toon ik hier de volledige foto:

Oog waarin de Gentse Graslei reflecteert.

Oplossing fotoraadsel: je zag een detail van dit oog, waarin de Gentse Graslei reflecteert.

Als tweede bewijsstuk toon ik nog een foto, die op dezelfde avond gemaakt is, maar dan in de richting van de Graslei. Je ziet de karakteristieke toren van het oude postgebouw (waarvan de klok al maanden fout staat), waardoor de reflectie goed te herkennen was. (De parasol die links op het oog te zien was, staat hier buiten beeld aan de rechterkant.)

Overkant van het water: de Graslei.

Vanaf de Gentse Korenlei zie je aan de overkant van het water de Graslei.

Behalve jullie feliciteren met de rake gokken, moet ik ook Danny bedanken om niet te knipperen of te bewegen terwijl ik de lens toch gevaarlijk dicht bij zijn rechteroog hield (en al een sangria op had). Een pluim ook voor mijn trouwe compactcamera en dan vooral de ‘super macro’ optie, die toelaat om op een zeer korte afstand te focussen.

Voor een wetenschapper is het leuk om zo’n foto te analyseren. Enerzijds heb je de reflectie op een bol oppervlak. Anderzijds zie je daar doorheen toch ook nog iets van het oog zelf. Om het natuurkundig te zeggen: de traanfilm van het oog vormt een halfdoorlaatbare spiegel. Vandaag ga ik nog even door op die bolle spiegels; het thema oogkleur bewaar ik voor de volgende keer.

Bolle spiegels zijn interessant voor fysici, toeristen en tekenaars; we bespreken ze in die volgorde.

Deze chemicus maakte voorzag zijn fles van een reflecterende coating en maakte er zo een bolle spiegel van.Natuurkundigen zullen je weten te vertellen dat de bolle spiegel een speciaal geval is van een gekromde spiegel, die je steeds kunt beschrijven aan de hand van klassieke optica. Bij een holle of ‘concave’ spiegel wordt het licht geconvergeerd en is er een reëel beeld, dat je op een scherm kunt projecteren (zie bijvoorbeeld hier en hier). Bij een holle of ‘convexe’ spiegel zal het licht juist divergeren (zie bijvoorbeeld hier en hier). Zowel het brandpunt als het krommingsmiddelpunt bevinden zich in de spiegel, maar daar kan geen licht komen: het gaat dus om een virtueel beeld (gevormd door de gereflecteerde lichtstralen denkbeeldig door te trekken tot in de spiegel), dat niet op een scherm geprojecteerd kan worden.

Wel kun je een foto maken van zo’n bolle spiegel. Voor een fotograaf geeft dit interessante mogelijkheden: zoals bij elke spiegel kun je zowel laten zien wat er zich vóór als achter de lens bevindt (inclusief jijzelf). Bovendien wordt alles verkleind weergegeven en kun je dus méér van de omgeving fotograferen dan in een vlakke spiegel. Hieronder zie je een paar voorbeelden. Probeer het gerust ook eens voor je volgende vakantiefoto’s.

Bolle spiegels bieden leuke mogelijkheden voor foto's

Bolle spiegels bieden tal van mogelijkheden voor fotografen. Vanaf linksboven en met de klok mee zie je: een bolle spiegel in de trappenhal van 'World of Illusions' (Edinburgh), de reflectie in een slinger van Foucault, een bolle toiletknop en een stolp op het congres in Warschau.

M. C. Escher tekende in 1935 zijn zelfportret in een reflecterende bol.Wat voor fotografen geldt, geldt natuurlijk ook voor tekenaars. Met name Escher heeft een zeer bekend zelfportret gemaakt, waarbij hij een reflecterende bol in zijn linkerhand houdt. Daarin zie je niet enkel de kunstenaar, maar ook de kamer waarin hij zich bevindt.

Het ideaal van de kubisten om een voorwerp van alle kanten te tonen op een plat vlak, kan dus ook bereikt worden door een tekening of foto te maken van het voorwerp met daarachter een bolle spiegel. Bovendien zouden mensen voorkeur hebben voor ronde vormen. Wie weet heet het kubisme van de toekomst dus wel “sferisme”…

Volgende keer komt oogkleur aan bod. Dan zoek ik ondermeer een antwoord op de volgende vragen. Kunnen ouders die beiden blauwe ogen hebben, toch een kind krijgen dat bruine ogen heeft? En kun je je oogkleur permanent veranderen, met een pilletje of een operatie? Kijk elkaar in de tussentijd maar eens diep in de ogen, maar wees voorzichtig met die macrolens!

Oplossing fotoraadsel en een keukenproefje

Twee weken geleden vroeg ik jullie om mee te raden naar wat er op deze foto staat:

Rara, wat is dit?

Is het de nieuwe diamantplaneet? Of een abstract kunstwerk? Of nog iets helemaal anders???

Er kwamen 13 reacties: 2 op dit blog, 4 via Weetlogs en 7 via Facebook. Vandaag is het tijd voor de ontknoping…

Proficiat aan Steven Vanhullebusch, die met het juiste antwoord kwam: het is inderdaad de bodem van een ketel waarin spaghetti werd gekookt. Als bewijs toon ik hieronder een foto die op dezelfde dag is gemaakt:

Geen planeet, maar de bodem van een ketel.

Welkom op de spaghettiplaneet.

De foto was niet bewerkt, behalve dat ik de context van het beeld had verstopt onder een zwarte rand. Hierdoor werd het zeer moeilijk om de schaal van het voorwerp in te schatten; het kon immers gaan om een opname door een microscoop (suggestie van Thommy S) of door een telescoop (al wisten Youri Vassiliev en Frank Witsel de mogelijkheid van een planeet goed te weerleggen). Het voorwerp kon hol (binnenkant van een schelp) of bol (zeepbel, parel, knikker, …) lijken, maar was dus gewoon plat.

De mooie kleuren die achterblijven in de ketel na het koken van spaghetti fascineren me telkens weer, maar ik vreesde dat ik de enige mens op aarde was die daar foto’s van maakt… Ik kon mijn geluk dan ook niet op toen ik het werk van de Noorse fotograaf Christopher Jonassen ontdekte. Voor zijn boek “Devour” (hetgeen ‘verslinden’ betekent) maakte deze kunstenaar foto’s van verweerde en bekraste bodems van pannen, die hij vervolgens als hemellichamen presenteert. Zo kwam ik dus op het idee voor dit fotoraadsel.

Hoewel het voorwerp op de foto geen zeepbel is – al dan niet gevuld met rook – (gok van Reinout en Pat Mons), geen parel (gok van Danny) of binnenkant van een schelp (gok van Thommy S), geen knoop (gok van Ginette De Veerman) en evenmin een knikker (tweede gok van Pat Mons), krijgen deze pogingen toch een eervolle vermelding. Al deze voorwerpen hebben namelijk iets gemeen met de bodem van een spaghettiketel: hun parelmoerkleuren. De kleuren zijn in al deze gevallen te danken aan hetzelfde fysische fenomeen: interferentie van licht in dunne lagen.

Om te begrijpen hoe de kleurpatronen in een ketel ontstaan, kunnen we best even opfrissen hoe een regenboog ook alweer ontstaat. Zowel zonlicht als het licht van een lamp bestaan uit verschillende kleuren en elk van deze kleuren licht heeft een eigen golflengte. Zo heeft rood licht een langere golflengte dan blauw licht. Wanneer een lichtstraal schuin invalt op het contactoppervlak tussen twee materialen met een verschillende dichtheid (bijvoorbeeld tussen lucht en glas), gaat de straal niet rechtdoor, maar buigt ze af (‘lichtbreking‘ of ‘refractie’). De brekingshoek is niet alleen afhankelijk van de dichtheden, maar ook van de kleur van het licht (‘dispersie‘). Wanneer wit licht op een prisma invalt, zullen de langere golflengten (bv. rood licht) minder gebroken worden dan de kortere golflengten (bv. blauw licht). Zo kun je het spectrum van het licht zichtbaar maken: de kleuren die in de oorspronkelijke witte straal zitten, worden daarbij uit elkaar gehaald. Als de zon schijnt op regendruppels, werkt elke druppel als een klein prisma en zo ontstaat er een regenboog.

Als wit licht invalt op een prisma, wordt de blauwe kant van het spectrum sterker gebroken dan de rode kant.

Als wit licht invalt op een prisma, wordt de blauwe kant van het spectrum sterker gebroken dan de rode kant. (Bron van de animatie: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Light_dispersion_conceptual_waves.gif.)

Wanneer een lichtstraal op een transparant materiaal invalt, splits deze zich in twee: een deel zal van de straal op het oppervlak weerkaatsen (‘reflectie‘) en het andere deel zal in het materiaal doordringen en gebroken worden (‘refractie’). Stel je nu een dunne laag van een transparant materiaal voor, olie bijvoorbeeld. Stel dat er licht op invalt van één welbepaalde golflengte (‘monochromatisch licht‘). Dan vertrekken er van het oppervlak van de olie twee lichtstralen: één lichtstraal die van de bovenkant van de olielaag weerkaatst en één lichtstraal die van de onderkant van het laagje olie weerkaatst (zie dit plaatje). Deze tweede lichtstraal heeft een langere weg afgelegd (twee keer door de dikte van de olie). Licht kan voorgesteld worden als een golf en wanneer twee golven samenkomen (‘superpositie‘), kunnen deze elkaar uitdoven of versterken (‘interferentie‘). Als de golflengte van het gebruikte licht een geheel aantal keer past in de extra weglengte van de tweede lichtstraal (die samenhangt met de dikte van de laag), zullen beide golven in fase zijn en zal er versterking optreden; als de extra weglengte op een geheel aantal plus een halve golflengte uitkomt, zullen de golven in tegenfase zijn en elkaar uitdoven. (Dit is althans het eenvoudigste geval; als er fase-omkering gebeurt, is het precies andersom.) Alle andere gevallen geven iets ertussenin: geen volledige versterking, maar ook geen volledige uitdoving.

Wanneer er nu wit licht invalt op de dunne, transparante laag, dan geldt bovenstaande redenering voor elke golflengte afzonderlijk: bij een bepaalde laagdikte worden sommige kleuren versterkt, terwijl andere worden uitgedoofd. Kijk maar eens naar hoe het licht weerkaatst op een CD- of DVD-schijfje: de transparante beschermlaag op de CD is overal precies even dik en zorgt voor zeer heldere ‘regenboogkleuren’. (Tussen aanhalingstekens, want het zijn niet zoals bij een regenboog spectraal zuivere kleuren!) Als de laagdikte van plaats tot plaats varieert, ontstaan de typische gewolkte patronen van parelmoerkleuren van olie op water, zeepbellen, parels én de bodem van een spaghettiketel (‘iriseren‘).

Als je een beetje rondkijkt in de keuken, kun je overal mooie kleuren zien. Je kunt zo’n kleurrijke vlek trouwens fixeren op papier: laat een druppel transparante nagellak vallen op een kom water en schep de vlek op met donker karton (meer uitleg op deze Engelstalige website). Interferentie is niet alleen mooi, het is ook nuttig: met de interferometer van Michelson (ooit bedacht om het bestaan van ether te bewijzen) kun je de lichtsnelheid bepalen. Ook de antireflectielaag van brilglazen, die groene of paarse reflecties kan veroorzaken, werkt op het principe van interferentie. Meer lezen? Deze website legt interferentie in dunne films eenvoudig uit (in het Engels).

Jullie kunnen me helpen met een eenvoudig experiment in de keuken.Met de uitleg over interferentie in dunne films is één cruciale vraag onbeantwoord gebleven: waaruit bestaat de dunne laag in kwestie dan? Wat blijft er achter op de bodem na het koken van spaghetti? Is het zout, olie, of zetmeel? Om eerlijk te zijn, weet ik het niet zeker! Volgens Steven Beeson en James Mayer is het laagje afkomstig van het toegevoegde zout en bestaat het uit natriumoxide (op pagina 96 van het boek “Patterns of light“). Ook deze bron houdt het bij een oxide, maar dan van de ketelbodem zelf.

Ik kan me – met de beste wil van de wereld – niet meer herinneren of er zout danwel olijfolie aan te pas is gekomen, die keer dat ik die foto heb gemaakt. Gebrekkige administratie is natuurlijk geen goede manier om een wetenschappelijk experiment te doen. Daarom een oproep aan jullie, beste lezers. De volgende keer dat je pasta kookt, wil je dan een reactie posten als er mooie kleurtjes op de bodem te voorschijn komen? Zo ja, zet er dan bij:

  • of je zout of olie/boter hebt toegevoegd,
  • welk soort pasta het was,
  • van welk materiaal de ketel is gemaakt (als je dit weet).

Dan kunnen we er misschien samen achterkomen waaruit het dunne laagje bestaat dat voor de parelmoerkleuren zorgt in onze spaghettiketels. (Crowdsourcing schijnt hip te zijn, ook in het onderzoek.) Foto’s posten van mooie resultaten mag natuurlijk ook altijd. :)

Wetenschap is leuk om over te lezen, maar nog leuker om te doen – zeker als je het resultaat gewoon kunt opeten. Hartelijk dank alvast voor de reacties en laat het smaken, hè!

Oplossing: De ingeschreven gnoe

Gnoe in een cirkelVorige week vroeg ik me af welke tophoek de driehoek moet hebben waarmee we, à la Vi Hart, oneindig veel gnoes op een blad papier kunnen tekenen. Daarbij is de breedte van het eerste dier, G, een willekeurig getal tussen nul en één. Hier kom mijn oplossing.

Volgens de formule voor de straal (R) van een ingeschreven cirkel geldt:

R = 1/2 \sqrt{\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{a+b+c}},

waarbij a, b en c de zijden van de driehoek zijn. Voor onze gnoes geldt dat de straal van de ingeschreven cirkel de helft is van de breedte van de grootste gnoe (de diameter): G/2.

Laat ons eerst de zijden van de driehoek uitdrukken in functie van de tophoek. (Dit kun je doen door de driehoek in twee te splitsen langs de bissectrice of deellijn van de tophoek: dan krijg je twee rechthoekige driehoeken waarvan je de zijden eenvoudig kunt berekenen in functie van de tophoek.) Laten we de twee gelijke zijden a en b noemen, dan vinden we a = b = \frac{1}{\cos(\theta/2)}=\sec(\theta/2). Voor de derde zijde, die we c noemen, vinden we c = 2 \tan(\theta/2). Figuur 1 vat de uitkomsten samen.

Gelijkbenige driehoek.

Figuur 1: Lengte van de zijden van de gelijkbenige driehoek.

Nu kunnen we de gegevens over de zijden invullen in bovenstaande formule:

G/2 = 1/2 \sqrt{\frac{(2 \tan(\theta/2)^2(2\sec(\theta/2)-2\tan(\theta/2))}{2\sec(\theta/2)+2\tan(\theta/2)}}.

Vereenvoudigen geeft:

G = 2 \sqrt{\frac{-1+\cos(\theta/2)}{-3+\cos(\theta)-4\sin(\theta/2)}}.

Deze vergelijking heeft meerdere oplossingen voor \theta, maar wij zijn geïnteresseerd in de kleinste, positieve oplossing: dit is de waarde van de tophoek.

Laat ons dit nu toepassen op een voorbeeld. Stel, we willen dat de eerste gnoe twee derde van de breedte van het blad heeft. Dan vullen we G=2/3 in de laatste vergelijking in. Met behulp van een grafisch rekenmachine of een computerprogramma zoals Maple of Mathematica zijn de oplossingen snel gevonden. In dit geval blijkt de tophoek 60° te zijn. Dit is een speciaal geval, waarbij we te maken hebben met een gelijkzijdige driehoek. Daarbij zou de straal van de ingeschreven cirkel R=a \frac{\sqrt{3}}{6} moeten zijn. Als we a=\sec(60^{\circ}/2)=\frac{2}{\sqrt{3}} invullen, vinden we R=\frac{2}{\sqrt{3}} \frac{\sqrt{3}}{6}=1/3 en zo zijn we terug bij onze aanname: G=2R=2/3. Dit is een controle die bevestigt dat we geen fouten hebben gemaakt in het opstellen van de formule.

Tweede voobeeld: in Figuur 2 hieronder is G iets kleiner dan een half. De tophoek is dan iets kleiner dan 2 \arccos[(2 \sqrt{2}/3] . De tweede cirkel kan gevonden worden als de ingeschreven cirkel in een gelijkbenige driehoek met hoogte 1-G in plaats van 1: de schaalfactor is dus 1-G.

Eerst en tweede cirkel.

Figuur 2: Onze driehoek geeft aanleiding tot een ingeschreven cirkel waarvan de diameter, G, net iets kleiner is dan 1/2. De tweede cirkel kan gevonden worden als de ingeschreven cirkel in een gelijkbenige driehoek met hoogte 1-G.

En dan nu het leukste deel: het tekenen van de gnoes. Het resultaat zie je in Figuur 3.

Oneindige rij gnoes.

Figuur 3: Op Vi Hart geïnspireerde constructie van een oneindige rij gnoes.

Puzzelvraag: De ingeschreven gnoe

Gnoe in een cirkelOnlangs schreef ik over reeksen die naar één convergeren en hoe Vi Hart deze convergente sommen gebruikt om ‘oneindig veel’ olifanten of kamelen op een blad papier te tekenen. Stel dat we nog een andere rij kuddedieren willen tekenen, gnoes bijvoorbeeld, zodat ze precies op het blad passen. Hoe kunnen we dit doen voor eender welke grootte van het eerste dier? Hoewel Vi Hart in haar filmpje suggereert dat het saai zou zijn om het antwoord uit te rekenen, vind ik het juist leuk om me dit soort vragen te stellen en ze ook op te lossen – gewoon voor de sport. Op zoek naar het antwoord kun je trouwens zoveel tekeningetjes maken als je maar wilt!

Probeer gerust eerst om de vraag zelf op te lossen. Ik zal mijn resultaat hier volgende week posten. Om vergelijken gemakkelijker te maken, verklap ik nu alvast welke aannames ik gemaakt heb. De breedte van het eerste dier noem ik G; G is dus eender welk getal tussen nul en één. Als je de methode van Vi herbekijkt, zie je dat G ook de diameter is van een ingeschreven cirkel in een driehoek. Voor de eenvoud gebruik ik een gelijkbenige driehoek met als hoogte één (breedte van het cursusblad). Ons doel is nu om de tophoek \theta van de driehoek te bepalen. Figuur 1 geeft aan hoe de gelijkbenige driehoek op het blad wordt georiënteerd.

Ingeschreven cirkel.

Figuur 1: Gelijkbenige driehoek met ingeschreven cirkel. (Klik op de figuur voor groter.)

Op zoek naar een hint? Spieken kan na de vouw.

(meer…)