Een tijd geleden had ik het over de paradox van de Schone Slaapster, een probleem over rationele graden van geloof. Ik had toen beloofd om een vervolg te schrijven. Dat heeft even op zich laten wachten, maar hier is het dan toch!
Uit het eerste deel herhaal ik de opgave:
[important]
De Schone Slaapster zal weldra in slaap worden gebracht door een heks. Het meisje zal daarna twee dagen slapen. In die tijd zal de heks haar voor één of twee korte perioden wekken. Zodra Doornroosje slaapt, zal de heks namelijk een eerlijk muntstuk opgooien: als het kop is, wekt ze het meisje één keer; als het munt is, doet ze dit twee keer. Na zo’n wekmoment dient de heks een gif toe aan Doornroosje, waardoor die zich niet zal kunnen herinneren dat ze wakker is geweest. De Schone Slaapster is zelf ook op de hoogte van wat er gaat gebeuren.
Stel nu dat de Schone Slaapster juist gewekt is. Ze kan nergens uit afleiden of dit de eerste of de tweede maal is. Wat is nu de kans die de Schone Slaapster moet toekennen aan de mogelijkheid dat de muntworp in kop is geëindigd?
[/important]
Dit probleem wordt vaak uitgelegd aan de hand van een tabel (bijvoorbeeld hier en hier), waarvan ik in Figuur 1 mijn eigen versie weergeef. Deze tabel is zeker een nuttig geheugensteuntje: je ziet in één oogopslag dat Doornroosje twee keer gewekt zal worden als de muntworp in munt eindigt en één keer als het kop is.
Figuur 1: De paradox van de Schone Slaapster wordt vaak uitgelegd aan de hand van een 2×2 tabel.
Toch kun je je afvragen of deze voorstelling niet misleidend is: wiskundig gezien gebeurt kansrekening immers niet aan de hand van tabellen, maar door het opstellen van een kansruimte of uitkomstenruimte. (De puzzel gaat weliswaar over Doornroosjes graden van geloof, maar om rationeel te zijn, zo stellen Bayesianen voorop, moeten deze graden van geloof wél aan de wetten van de kansrekening voldoen. Een wiskundige aanpak is hier dus zeker op zijn plaats.)
Goed, laten we eens de volledige kansruimte opstellen en nagaan hoe die zich verhoudt tot de tabel in Figuur 1.
De muntworp kan kop of munt zijn en dit met gelijke (absolute) kansen: de kansruimte zal dus alvast uit deze twee delen bestaan.
In beide gevallen zal Doornroosje hoofdzakelijk slapen en slechts één of twee keer kort gewekt worden. Elke dag bestaat uit 24 uur. Laat ons aannemen (*) dat Doornroosje telkens als ze gewekt is precies een uur wakker is. Als het munt is, heeft Doornroosje dus een kans van 2/48 om wakker te zijn op een gegeven uur in de loop van de twee dagen dat haar toverslaap duurt. Als het munt is, is die kans 1/48. En globaal gesproken (los van de uitkomst van de muntworp) is de a priori kans om op een zeker uur wakker te zijn 3/96.
Toelichting bij (*): Hoewel ik een wiskundig model wil opstellen, betekent dit niet dat er maar één unieke manier is om dit te doen. Wel verwacht ik dat uit elk correct opgesteld model dezelfde conclusies volgen over wat de kans is die Doornroosje moet toekennen aan de mogelijkheid dat de muntworp kop was op het moment dat zij gewekt wordt. De bovenstaande keuze (dat de waakmomenten exact een uur duren), zal inderdaad van geen enkel belang blijken te zijn bij het berekenen van de uiteindelijke kans. (Ik had ook minuten kunnen kiezen, maar dan werden de vakjes in mijn figuur te klein.)
Dit leidt tot de kansruimte in Figuur 2: hierin zie je elke mogelijke combinatie van munt of kop, met elk uur van de twee dagen, waarin Doornroosje slaapt of wakker is.
Figuur 2: De volledige kansruimte voor het probleem van de Schone Slaapster. De exacte positie van de vakjes waarin Doornroosje wakker is, doet er niet toe – enkel dat het er links twee zijn en rechts één. Als je aanneemt dat de heks Doornroosje op welbepaald uur wekt, volstaat dit. Als je aanneemt dat de heks Doornroosje op een willekeurig moment wekt, moet je eigenlijk nog veel meer roosters toevoegen aan de kansruimte, om alle mogelijke wekmomenten voor te stellen, maar voor de uiteindelijke berekening maakt dat geen verschil.
Wanneer Doornroosje in de loop van die twee dagen wakker is, weet ze al dat ze niet slaapt. (Deze mededeling werd mede mogelijk gemaakt door Kapitein Overduidelijk.) Ze mag daarom al 95 vakjes uit de uitkomstenruimte schrappen: ze conditionaliseert daarmee op het feit dat ze wakker is. Dit leidt haar naar de gereduceerde kansruimte in Figuur 3.
De lege ruimte tussen de vakjes bevat nu geen mogelijke uitkomsten meer; die zijn geschrapt tijdens het conditionaliseren. Doornroosje kan dus in de plaats van Figuur 3 net zo goed Figuur 1 gebruiken om de gevraagde kans te bepalen. Het voordeel aan Figuur 3 is enkel dat het duidelijker is wat de link is met de grotere kansruimte in Figuur 2 (namelijk dat je via conditionaliseren van 2 naar 3 kunt overgaan).
Doornroosje weet niet of de muntworp munt of kop was en ook niet welke dag het is. Ze kan zich dus in eender welk van de drie mogelijkheden van de gereduceerde kansruimte bevinden en al deze mogelijkheden hebben bovendien dezelfde kans. (Dat moet je eigenlijk apart beargumenteren, want als deze stap niet klopt loop je het risico op een Bertrand-paradox, maar dat sla ik hier voor het gemak even over.) Binnen deze gereduceerde ruimte is de kans 1/3 dat de muntworp kop was.
Maar deze kans kun je ook rechtstreeks aflezen aan de hand van Figuur 2. Binnen de oorspronkelijke kansruimte is het bovendien gemakkelijker om in te zien dat de drie mogelijkheden waarbij Doornroosje wakker is, inderdaad elk een gelijke kans hebben.
Er is geen tegenspraak tussen een absolute kans P( kop ) = 1/2 en een voorwaardelijke kans van P( het was kop | Doornroosje is wakker) = 1/3 (waarbij je de verticale streep leest als “gegeven dat”). In de opgave wordt naar de tweede, voorwaardelijke kans gevraagd.
Figuur 3: De kansruimte voor het probleem van de Schone Slaapster, gereduceerd tot de mogelijkheden waarbij Doornroosje wakker is.
Je kunt dit duidelijker maken door het oorspronkelijke probleem te vereenvoudigen: als het munt is wordt Doornroosje één keer gewekt, als het kop is helemaal niet. En je kunt dit nóg duidelijker maken door het scenario iets wreder te maken: als het munt is blijft Doornroosje leven, als het kop is doodt de heks haar. Het zou dan glashelder moeten zijn dat na de worp geldt dat P( het was munt | Doornroosje leeft) = 1 en P( het was kop | Doornroosje leeft) = 0, maar dat dit niet in tegenspraak is met P( munt ) = P( kop ) = 1/2.
Merk op dat de heks zich in een andere situatie bevindt dan Doornroosje: zij weet natuurlijk of de muntworp in kop of munt geëindigd is, maar zelfs als ze dit zou vergeten (bijvoorbeeld doordat ze per ongeluk een slokje van haar eigen toverdrank neemt) blijft de situatie voor haar overzichtelijker. Voor haar is de kansruimte van Figuur 2 het meest relevant. De heks kan Doornroosje immers altijd zien, zowal als het meisje slaapt als wanneer ze wakker is. Stel dat de heks op een willekeurig uur gaat kijken of het meisje wakker is. De kans is dan het grootste dat ze Doornroosje zal zien slapen (93/96 kans dat ze slaapt en slechts 3/96 dat ze wakker is), maar de kans dat ze slaapt is toch nog net iets groter als het kop was (47/48) dan als het munt was (46/48). De heks kan dus zelfs uit het slapen van Doornroosje (een klein beetje) informatie halen, hetgeen Doornroosje zelf niet kan.
Als de heks Doornroosje wakker aantreft, weet ze – aan de hand van Figuur 2 – dat de kans dat het kop was (1/96) / (3/96) = 1/3 is.
Daarom stel ik me voor dat de heks als volgt zou reageren op de verwarring, die in de filosofische literatuur nog steeds heerst omtrent deze puzzel:
Zo, en nu ben ik nog steeds niet helemaal uitverteld over deze paradox! Misschien komt er nog een derde deel (waarin ik de link met de Bertrand-paradox nader toelicht) en wie weet zelfs een vierde deel (over de oorsprong van de paradox), maar beloven durf ik het deze keer niet. Bepaal dus zelf welke graad van geloof je hieraan wenst te hechten. :-)
“The Lady, or the Tiger?” is een vertelling van de hand van de Amerikaanse schrijver Frank R. Stockton. De tekst werd voor het eerst gepubliceerd in 1882, maar de belangstelling ervoor flakkert om de zoveel tijd weer op. De belangrijkste reden hiervoor is dat Stockton nooit heeft willen lossen wat het antwoord op de titelvraag was.
Maart was een blogluwe maand en dat probeer ik 
Een tijdje geleden gingen we ook naar de 
Bijna elke stad heeft het en toch staat het meestal niet in de stadsgids. Het kan groot en kleurrijk zijn, maar meestal is het klein en monochroom. Volgens sommigen is het kunst, volgens anderen vandalisme. (Sluiten die twee elkaar noodzakelijk uit, vraag ik me dan af.) Als ik van een uitstap terugkom, staat mijn geheugenkaartje weer vol foto’s van muren met een spatje verf erop. Ik heb het over graffiti – een soort knipoog voor wie als eens om het hoekje durft kijken.
Intussen ben ik terug uit New York en is het tijdsverschil van zes uur weer redelijk verwerkt. Ook buiten het 
