Tag Archief: waterkans

Video van lezing: ‘Dat kan geen toeval zijn!’

Vóór de zomer gaf ik een lezing in de reeks “Lessen voor de 21ste eeuw” aan de KU Leuven. De titel was: ‘Dat kan geen toeval zijn!’ Over waarschijnlijkheid: van objectieve kansen tot subjectieve graden van geloof. (Dat kondigde ik toen ook aan op mijn blog.) Daarin had ik het onder andere over de wet van de waterkans. En mijn belangrijkste les voor de 21ste eeuw was dat alle waarschijnlijkheden voorwaardelijk zijn – al blijft het een hele klus om dat goed te communiceren.

Over mijn college schreef ik een Nederlandstalig hoofdstuk voor het bijbehorende boek, maar daarvoor moest ik het copyright overdragen en daarom kan ik het niet legaal online plaatsen.

Er werd een opname gemaakt van de lezing, die ik hier wel mag delen.

De video laat niet alle dia’s goed zien, maar die kan je hier als pdf downloaden. Ook de handout staat online.

Wet van de waterkans

Dit stukje is als column verschenen in Eos.
(Jaargang 32, nummer 2.)

Een langere versie van deze tekst vind je hier.

En een gedichtje dat erbij past.

Waterkans.In Vlaanderen beschikken we over een mooi woord voor een uiterst kleine kans: waterkans. Kansloos wil zeggen dat de kans helemaal onbestaande is. Volgens het principe van Cournot zijn waterkansjes in de praktijk kansloos: een op voorhand gespecifieerde gebeurtenis waarvan de kans zeer klein is zal niet gebeuren. Dit principe is vernoemd naar Antoine Augustin Cournot die in 1843 inderdaad een dergelijke redenering publiceerde.

Volgens de eponiemenwet van Stigler wordt geen enkele ontdekking naar de oorspronkelijke ontdekker vernoemd. En inderdaad: het principe van Cournot is al terug te vinden in de geschriften van eerdere auteurs, zoals Jakob Bernoulli. In “De kunst van het gissen” (postuum verschenen in 1713) bewees Bernoulli als eerste een speciaal geval van de wet van de grote aantallen. Hij interpreteerde zijn wiskundige resultaat al in termen van praktische zekerheid.

Later ging de Franse wiskundige Émile Borel zo ver om in zijn boek “De kansen en het leven” uit 1943 te schrijven: “Het principe dat een gebeurtenis met een zeer kleine kans niet zal gebeuren is de enige wet van de kans.” Borel heeft ook een aantal vuistregels opgesteld voor welke gebeurtenissen men in welke context als onmogelijk kan beschouwen. Volgens hem zijn kansen kleiner dan één miljoenste (10-6) onmogelijk op de menselijke schaal en kansen kleiner dan één honderd-octiljoenste (10-50) onmogelijk op de kosmische schaal.

Het principe van Cournot lijkt zeer aannemelijk. De kans dat een op voorhand gespecifieerde combinatie van zes verschillende getallen tussen 1 en 45 wint bij de volgende lottotrekking is kleiner dan één op acht miljoen (ongeveer 0,000 012 %). Volgens Borels vuistregels is de hoofdprijs winnen met de Belgische lotto dus onmogelijk op de menselijke schaal. Ook het principe van Cournot zegt dat onze combinatie niet zal winnen.

Waterkans.Nochtans worden we voortdurend geconfronteerd met gebeurtenissen waaraan we op voorhand niet meer dan een waterkans hebben toegekend. Geregeld blijkt dat iemand vooraf de zes juiste getallen heeft aangeduid op het lottoformulier. Een kans, hoe klein ook maar groter dan nul, is en blijft een kans. De bijbehorende gebeurtenis kan niet op voorhand worden afgedaan als onmogelijk. Noem het de “wet van de waterkans”. De “wet van Wenmackers” allitereert even mooi, maar hierbij is opnieuw de wet van Stigler van kracht: wetenschapsfilosoof Brian Skyrms schreef hier immers al over in 1980. Hij benadrukt dat we kunnen winnen. Enkel als we niet meedoen aan de loterij is winnen echt onmogelijk.

Natuurlijk blijft het veel waarschijnlijker dat die ene, vooraf uitgekozen combinatie niet zal winnen. Het is precies deze vaststelling die het principe van Cournot zo plausibel maakt. In veel situaties weten we echter op voorhand met volledige zekerheid dat er een gebeurtenis met een zeer kleine kans zal optreden. Over een uur zullen de luchtmoleculen in onze dampkring zich in een bepaalde configuratie bevinden. Er zijn zeer veel configuraties mogelijk waardoor de kans behorende bij elke specifieke configuratie zeer laag is, maar er zal er één gerealiseerd worden. Dit is mijn wet, de wet van de waterkans: “Als elke mogelijke gebeurtenis een even kleine kans heeft, moet er met zekerheid een gebeurtenis met zo’n kleine kans gerealiseerd worden.”

Kosmische loterij.Als afsluitende denkoefening moet je je eens proberen voorstellen hoe klein de kans was dat je geboren zou worden en dat je leven zich vervolgens precies zo zou voltrekken als het tot op de dag van vandaag heeft gedaan. Hoe groot was die kans op basis van informatie beschikbaar negen maanden voor je geboorte? Negen jaar voordien? Negentig jaar ervoor? Toen de eerste mensen ontstonden? Toen de aarde gevormd werd? Het zonnestelsel? Het heelal???

Als je genoeg details in rekening brengt, kom je al snel bij een kans van minder dan één honderd-octiljoenste uit. Moeten wij onszelf dan tot een paradox verklaren, onmogelijk op de kosmische schaal? Welnee, we zijn gewoon allemaal het levende bewijs van de collectieve kracht van waterkansen. Wij zijn de onvoorziene winnaars in de kosmische loterij.

Er staan ons nog veel onvoorspelbare gebeurtenissen te wachten, zoveel is zeker.

De enige wet van de kans

Waterkans.Op mijn blog heb ik het al vaker gehad over kleine kansen, zogenaamde waterkansen. (Soms duiken ze zelfs op in de vorm van colakansjes!) Ook mijn Eos-column deze maand gaat erover. De column is gebaseerd op de langere tekst hieronder, die ik in 2012 schreef. Rond die tijd gaf ik namelijk een presentatie over kleine kansen voor de Nederlandse Vereniging voor WetenschapsFilosofie (NVWF, waar ik toen nog geen lid van was, laat staan secretaris). Naar aanleiding van dit onderwerp gaf ik toen een interview voor Hoe?Zo! bij de Nederlandse radio 5, dat hier nog steeds te herbeluisteren is.

~

Het principe van Cournot stelt dat een op voorhand gespecifieerde gebeurtenis met een zeer kleine kans niet zal gebeuren. Dit idee is al terug te vinden in de geschriften van Bernoulli. Borel noemde het zelfs “de enige wet van de kans”. Daar tegenover staat mijn wet van de waterkans, die zegt dat je in veel situaties op voorhand zeker kunt zijn dat er een gebeurtenis met een kleine kans gerealiseerd zal worden. Verwacht het onverwachte in deze beschouwing over grote aantallen en kleine kansen.

Bernoulli’s “gouden stelling”

Jakob Bernoulli.Jakob Bernoulli was een befaamd Zwitsers wiskundige die leefde van 1654 tot 1705. Hij zou niet de laatste bekende wetenschapper worden in de Bernoulli-familie. Zo maken we in de fysica nog steeds gebruik van de wet van Bernoulli om de druk in stromende vloeistoffen of gassen te beschrijven; deze wet is vernoemd naar de in Groningen geboren Daniël Bernoulli, een neef van Jakob. Naar Jakob zelf is geen natuurkundige wet vernoemd, maar wel een wiskundige stelling: de stelling van Bernoulli, het eerste voorbeeld van een wet van grote aantallen.

Jakob Bernoulli schreef een verhandeling over de waarschijnlijkheidsrekening, die pas na zijn dood verscheen (in 1713): “Ars Conjectandi” of “De kunst van het gissen”. Hierin beschreef hij waarschijnlijkheden als graden van zekerheid; dit is een subjectieve interpretatie van wat kansen zijn, die in contrast staat met objectieve interpretaties, bijvoorbeeld in termen van frequenties. In zijn boek presenteerde Jakob ook zijn “gouden stelling” – dit is de eerder genoemde stelling van Bernoulli –, als oplossing van een vraagstuk dat hem twintig jaar lang had beziggehouden.

Stel dat je een eerlijke munt opgooit. De kans op kop is dan 50%, net als de kans op munt. Dit is een voorbeeld van een Bernoulli-experiment; in het algemene geval hoeven de kansen op succes (kop) en mislukking (munt) overigens niet gelijk te zijn. Herhalen we nu de (eerlijke) muntworp een groot aantal maal, dan verwachten we dat we in ongeveer de helft van de gevallen kop te zien en in de andere helft van de gevallen munt. De (sterke) wet van de grote aantallen drukt deze verwachting als volgt uit: de fractie van de muntworpen die kop opleveren convergeert vrijwel zeker naar 50%.

Hierbij vallen er drie bedenkingen te maken.

  • Ten eerste suggereert de wet een brug tussen het begrip kans enerzijds en experimenteel waargenomen fracties of frequenties anderzijds – een brug dus tussen pure wiskunde en experimentele wetenschap. Opgepast: het betreft een puur wiskundig resultaat, dat op zichzelf deze brug nooit kan slaan.
  • Ten tweede moeten we de frase “vrijwel zeker” hier interpreteren als “met kans 100%”. Daarbij moet je weten dat dit laatste niet garandeert dat het noodzakelijk zo moet zijn, enkel dat het oneindig veel waarschijnlijker is dan dat het niet zo gebeurt.
  • Ten derde was de oorspronkelijke stelling van Bernoulli een zwakke wet van grote aantallen, maar de verschillen met de sterke wet laten we hier buiten beschouwing.

Jakob interpreteerde zijn wet van de grote aantallen als volgt: we kunnen een zeer hoge waarschijnlijkheid op een bepaalde gebeurtenis beschouwen als morele zekerheid. Verder kunnen we de frequentie waarmee we een gebeurtenis waarnemen gebruiken als een schatting van de waarschijnlijkheid van die gebeurtenis. (meer…)

Het probleem van de oneindige loterij

Een loterij op de natuurlijke getallen heeft oneindig veel ballen. Toch zit er geen enkele bal bij waar 'oneindig' op staat.Eind vorige maand schreef ik over hoe een onderzoeksvraag mijn leven een andere wending gaf. Over wat dit probleem precies was, bleef ik eerder op vlakte. Daarom is deze post volledig gewijd aan het probleem van de oneindige loterij – de onderzoeksvraag die mijn leven veranderde.

[important]

De axioma’s van de klassieke kansrekening laten je niet toe om aan elk lot in een aftelbaar oneindige verzameling dezelfde kans toe te kennen.

[/important]

Dit vereist enige toelichting.

Het standaard voorbeeld van een aftelbaar oneindige verzameling is de verzameling van alle natuurlijke getallen, \mathbb{N}. Er zijn ook verzamelingen die overaftelbaar zijn en dus van een grotere orde oneindigheid: de verzameling van alle reële getallen, \mathbb{R}, is een voorbeeld van zo’n overaftelbaar oneindige verzameling.

Dan die axioma’s waarvan sprake is: de klassieke kansrekening berust op fundamentele aannames, uitgedrukt in vier axioma’s. De axioma’s heten: Normering, Positiviteit, Som en Continuïteit.

  1. Normering zegt dat de kans van de unie van alle loten samen precies één moet zijn, 100% dus.
  2. Positiveit zegt dat eender welke combinatie van loten een kans heeft die niet negatief kan zijn.
  3. Som zegt dat als twee verzamelingen loten geen loten gemeenschappelijk hebben, dat dan de kans van
  4. Continuïteit vertelt iets over het limietgedrag van oneindige deelverzamelingen van loten. Voor ons is van belang dat Som en Continuïteit samen aanleiding geven tot het principe van Aftelbare additiviteit.

Aftelbare additiviteit zegt dat de som van de kansen van aftelbaar veel loten apart gelijk moet zijn aan de kans van de unie van al deze loten samen. Omdat er in een aftelbaar oneindige loterij, in tegenstelling tot een overaftelbare, maar aftelbaar oneindig veel loten zijn, impliceert dit principe in dit geval dat de som van de kansen van alle loten apart gelijk moet zijn aan de kans van de verzameling van alle loten. En volgens het eerder genoemde axioma van de normering is die laatste kans gelijk aan één.

Stel nu dat je een gelijke kans wil toekennen aan alle loten in loterij op de natuurlijke getallen. Wat je ook probeert, je overtreedt altijd minstens één van de axioma’s:

  • Als je nul toekent aan ieder lot, sommeert de kans van alle loten samen tot nul. Dit is echter in strijd met de combinatie van Normering en Aftelbare additiviteit, die samen impliceren dat deze som gelijk moet zijn aan één.
  • Als je een kans groter dan nul toekent aan ieder lot, sommeert de kans van alle loten samen tot oneindig. (Anders gezegd: de som van deze kansen divergeert.) Dit is opnieuw in strijd met de combinatie van Normering en Aftelbare additiviteit, die vereisen dat deze som gelijk moet zijn aan één.

Het komt er dus op neer dat nul te klein is, terwijl iedere andere kans meteen te groot is. (Voor de wiskundigen onder jullie: het probleem komt er in feite op neer dat som en limiet niet commuteren.) Het lijkt of je iets tussen nul en de ‘eerstvolgende’ waarde zou willen hebben en dat als kans aan zo’n loterij hangen. Zoiets als één op oneindig, een infinitesimaal. De klassieke kansrekening werkt echter met reële getallen en er is niet zoiets als “het eerstvolgende getal groter dan nul”: tussen iedere twee reële getallen zitten er immers oneindig veel andere reële getallen. Je hebt dus oneindig veel reële getallen tussen nul en eender welk klein positief getal en toch zijn ze allemaal te groot.

Het lijkt onbegonnen werk daar een nog kleiner getal tussen te wringen dat de kans van één lot in loterij op een aftelbaar oneindige verzameling kan uitdrukken. En toch is dit in feite waar mijn oplossing op neer komt: door hyperreële getallen te gebruiken om kansen uit te drukken, krijg je beschikking over infinitesimalen. Infinitesimalen zijn kleiner dan eender welk positief reëel getal en toch groter dan nul.

Deze infinitesimalen zijn essentieel in de niet-Archimedische waarschijnlijkheidstheorie waar ik met collega’s aan werk. Met onze theorie kun je duidelijk het verschil aangeven tussen de situatie waarin je een waterkans hebt (bijvoorbeeld: je hebt één lot in een oneindige loterij) of die waarin je helemaal kansloos bent (bijvoorbeeld: je hebt geen enkel lot in eender welke loterij).

Verliefd op een probleem: de oneindige loterij

Een engelachtige wolk uit 2009.Soms word je verliefd en dan wil je enkel bij je geliefde zijn. Als zoiets gebeurt, kan het je hele leven overhoop zetten. Ook als onderzoeker kan het gebeuren dat je verliefd wordt op een probleem – een vraagstuk, dat je maar niet kunt loslaten. Daar schreef ik een column over voor Eos. Wat er niet in die column staat, is dat het mij ook is overkomen en dat het inderdaad mijn hele leven heeft veranderd.

Hierbij dus een episode uit “Het leven zoals het is”, editie “Onderzoekers”. (Het is een prequel bij deze eerder verschenen episode.)

In 2008 behaalde ik mijn doctoraat in de fysica. Eindelijk afgestudeerd, zou je denken. Toch had ik het gevoel dat er nog iets essentieels ontbrak in mijn opleiding. Ik wou namelijk heel graag meer weten over wetenschapsfilosofie. Het was evenwel mogelijk dat ik een vertekend beeld had van deze discipline. Lijkt het gras immers niet altijd groener aan de overkant?

Om te ervaren of dit soort onderzoek al dan niet bij me paste, schreef ik me in voor een conferentie in Gent. Intussen was ik postdoctoraal onderzoeker in de fysica; ik nam dus enkele dagen vakantie om in mijn vrije tijd alsnog op congres te gaan. (Gek moet je daar niet voor zijn, maar het helpt wél.)

En ja hoor, het merendeel van de presentaties was spek naar mijn bek. De weken nadien ging ik gewoon weer aan de slag als fysicus, maar ik merkte steeds vaker dat mijn gedachten afdwaalden naar filosofische kwesties. Of beter gezegd: naar één specifieke vraag, die mij zo eenvoudig leek, dat het me verbaasde dat er geen exacte oplossing voor zou zijn. Als ik die kwestie snel even zou oplossen, dan hadden die filosofen toch al één hoofdbreker minder – zo dacht ik. (Naïef, natuurlijk.)

Een loterij op de natuurlijke getallen heeft oneindig veel ballen. Toch zit er geen enkele bal bij waar 'oneindig' op staat.Ik was verliefd geworden op een probleem. Het probleem was dat van een eerlijke kansverdeling op een aftelbaar oneindige verzameling van loten: een eerlijke loterij op de natuurlijke getallen. (Daarover meer in de volgende blogpost.) Omdat het een probleem was dat buiten mijn eigen vakgebied lag, voelde ik me verplicht er enkel in mijn vrije tijd aan te werken, maar dat werd al snel onhoudbaar. Zo rijpte het plan om een tweede doctoraat te beginnen, ditmaal in de wetenschapsfilosofie. Op goed geluk stuurde ik een e-mail naar Igor Douven, die op dat moment professor in de wetenschapsfilosofie was in Leuven en die gepubliceerd had over een andere loterijparadox (die van Kyburg). Ik wist zelfs niet dat Igor op dat moment hoofd was van een groot Odysseus-project, het Formal Epistemology Project (FEP). Hij stemde vrijwel meteen in om mijn promotor te worden.

We kenden elkaar niet, dus stelde Igor voor om eens samen te komen in Leuven. Het was inmiddels augustus 2009. Het was een zeer mooie zomerdag en toen ik op de trein stapte, zag ik een wolk die op een engel leek: geen teken van hogerhand, maar wel een symptoom waaruit blijkt dat ik op wolkjes liep. Ik nam er onderstaande foto van, al was de engelachtige vorm toen al wat uiteen gewaaid. (Nu ik de foto herbekijk, zie ik er slechts een vlinder in met de kop van een pauw. Voor de contouren van mijn engel van destijds: zie het miniatuurplaatje bij dit bericht. Pareidolia, olé, olé!)

In augustus 2009 maakte ik deze foto van een wolk.

Op een dag dat ik op wolkjes liep maakte ik deze foto vanuit de trein.

Er was nog een goede reden om van vakgebied te veranderen: ik heb de neiging om dingen kapot te analyseren. In het dagelijks leven is dat verre van aangenaam, maar iemand had me aangeraden om hier iets constructiefs mee te gaan doen. En daarvoor is de analytische filosofie de hemel op aarde: een groot speelterrein met een overvloed aan robuuste puzzels, die niet kapot gaan van een beetje geanalyseer!

Eind 2009 verhuisde ik met mijn vriend naar Gent en zei ik het materiaalkundig labo, dat ik inmiddels zo goed kende, vaarwel. Ik begon als onderzoeker in de filosofie. (Als je Hollywoodfilms mag geloven, komt het altijd goed zolang je maar je droom volgt. In het echt is dat nog best zenuwslopend: je ontslag geven in een vakgebied waar je het niet slecht doet om in een ander domein van nul te beginnen…) Wekelijks spoorde ik naar Leuven om er lezingen bij te wonen van het Formal Epistemology Project. Omdat ik in Gent bovendien nog een kleine lesopdracht had bij de fysicapractica, kon ik nog steeds niet voltijds over oneindige loterijen nadenken, maar die afwisseling was juist goed.

In mei 2010 gaf ik zelf een presentatie voor mijn collega’s van het FEP. Ik had een beetje vooruitgang geboekt met mijn gepuzzel aan oneindige loterijen, maar er ontbrak nog een essentieel stuk van de oplossing. Leon Horsten was ook aanwezig tijdens die presentatie en hij legde meteen de vinger op de wonde. We besloten er samen verder aan te werken. Onder filosofen is het veel minder gebruikelijk om samen te publiceren dan in de wetenschappen, maar het is heel motiverend en inspirerend om samen onderzoek te doen. Daarna viel alles snel op zijn plaats. Na de zomer was ons artikel af, mijn eerste bijdrage aan een probleem uit de filosofie van de kansrekening.

We stuurden het artikel begin september naar Synthese, een vaktijdschrift voor wetenschapsfilosofie, omdat er een themanummer in voorbereiding was met bijdragen van het Formal Epistemology Project. Eind 2010 verscheen ons artikel, “Fair infinite lotteries“, online en sindsdien is het voor iedereen toegankelijk (via Open Access). Het was echter nog niet in papieren versie gepubliceerd en had dus nog geen volume- of paginanummers.

Even de tijd vooruitspoelen naar begin 2013. Nu is het artikel van mij en Leon ook in gedrukte versie verschenen. Hier kun je de inhoudsopgave van het hele Synthese-nummer zien, al zijn de meeste artikels daarin helaas niet vrij toegankelijk.

Artikel gepubliceerd: Fair infinite lotteries.

Ons artikel “Fair infinite lotteries” werd in 2010 geschreven en is nu, in 2013, gepubliceerd.

Terug naar eind 2010. Intussen veranderde mijn leven weer: Igor verhuisde zijn project van Leuven naar Groningen. Gelukkig kon mijn aanstelling meeverhuizen en kwam er dus geen ontijdig einde aan mijn filosofie-avontuur. Mijn proefschrift over de grondslagen van de kansrekening, waarin oneindige loterijen een centrale plek innemen, was inmiddels afgerond en klaar om naar een leescommissie te sturen ter beoordeling. In mei 2011 verdedigde ik deze scriptie in Groningen.

In mijn column voor Eos schreef ik al dat een goed probleem taai maar haalbaar moet zijn. En dat een goed probleem uiteen kan vallen in deelproblemen, waardoor je nog een tijdje zoet bent. Dit gebeurde ook met ‘mijn’ probleem. (Gelukkig maar: stel je voor dat ik mijn baan als fysicus had opgezegd, het probleem snel had opgelost en dan werkloos was geworden!) Toen we het probleem met de eerlijke loterij op de natuurlijke getallen hadden geanalyseerd, kwamen er spontaan vervolgvragen bij ons op, die we in het Synthese-artikel voor ons uitschoven met de standaardfrase: “left for future work“.

Inmiddels zijn we een paar jaar verder en die afsluiter is geen dode letter gebleven. We hebben inderdaad al heel wat verder werk verricht rond kansverdelingen op oneindige uitkomstenruimten (zie ook dit stukje en dat). Nog steeds puzzel ik geregeld aan oneindige loterijen. Ik ben dankbaar dat dit probleem op mijn pad kwam en mijn leven veranderde, want ik vind nog steeds dat ik een droomjob heb!

Laat dit dus een waarschuwing zijn: problemen rond kleine kansen kunnen grote gevolgen hebben.

Nieuwsflits: Interview over kleine kansen bij Hoe?Zo!

Naar aanleiding van de lezing over “waterkansjes” van vorige week, geef ik vanavond een interview voor Hoe?Zo! radio. Het wordt vandaag uitgezonden tussen 20u en 21u op Radio 5 (frequentie) en is daarna te herbeluisteren op deze pagina (rechterkolom: mp3 downloaden).

Aanvulling (25 juni 2012):

De uitzending herbeluisteren kan door de mp3 te downloaden: rechtsklikken op deze link en “Link opslaan als…” (of “Save link as…”) kiezen.

Hieronder zie je enkele foto’s die ik maakte op weg naar en in Hilversum. Het thema is “groen”. :-)

Het NTR-paviljoen in Hilversum.

Linksboven: interieur van de Sprinter naar Hilversum. Rechtsboven: het NTR-paviljoen in het Mediapark van Hilversum. Linksonder: het paviljoen wordt omgeven door groen en heeft ook een daktuin. Rechtsonder: bij NTR zijn er toiletten voor dames, heren én aliens – al moeten die laatsten wel delen.

Vrijdag lezing over “Waterkansjes”

De kans dat dit gebeurt is erg klein!Aanstaande vrijdagmiddag (15 juni) houdt de Nederlandse Vereniging voor WetenschapsFilosofie (NVWF) een lente-symposium in Amsterdam. Het thema is “Omwenteling in de kenleer”. Komt dat zien! :-)

Jan-Willem Romeijn (mijn collega uit Groningen) zal het hebben over gevaarlijke voorspellingen, Maartje Raijmakers legt uit hoe je kinderen kunt uitdagen met logisch redeneren en Lieven Decock tast de grenzen af van kleurconcepten. Mijn eigen voordracht heeft als titel “Waterkansjes: kenleer van het hoogst onwaarschijnlijke”. Ik zal het hebben over grote en (vooral) heel kleine kansen. Voor deze gelegenheid hou ik het trouwens bij kleine, maar eindige kansen – zoals de kans om de lotto te winnen. Mijn infinitesimale kansen blijven vrijdag dus gewoon thuis.

Het programma met de precieze locatie en tijden vind je hier. Als je geen lid bent van de NVWF maar wel naar het symposium wilt komen, dan is er goed nieuws: voor amper 2,50 € mag je komen luisteren naar de vier voordrachten (en achteraf wordt er nog een drankje voorzien).

Aanvulling (19 juni 2012):

De pdf’s van alle presentaties staan online in het archief van de NVWF. Mijn presentatie vind je hier.

Aanvulling (25 juni 2012):

Hieronder zie je de ingang van het universiteitsgebouw waar het symposium plaatsvond.

Universiteit Amsterdam.

Universiteit Amsterdam.

Colakansjes

Coca Cola heeft een nieuwe reclamespot over zeer kleine kansen.Meestal drink ik water, maar als ik een colaatje bestel hoop ik dat het Pepsi is. Uit psychologisch onderzoek is gebleken dat mensen hun vermogen om cola van verschillende merken te onderscheiden bij een blinde test flink overschatten én dat mensen bij een blinde test doorgaans Pepsi verkiezen. (Zie bijvoorbeeld deze bron.) Toch heb ik het al bewezen bij een blinde test dat ik kan proeven welke het glas Pepsi is en welke de Coca Cola. (Pepsi is zoeter en bruist iets minder sterk dan Coca Cola.) Of het een light-variant is proef ik ook meteen (ons lichaam reageert anders op suiker dan op andere zoetstoffen, dus daar heb je in principe zelfs geen smaakpapillen voor nodig!), maar dat drink ik nog minder vaak, dus daarbij ken ik de merken niet uit elkaar.

Ondanks mijn voorkeur voor Pepsi en voor suiker boven aspartaam, heb ik toch met belangstelling zitten kijken naar de nieuwe (althans in Europa) reclamefilmpje voor Coca Cola Zero. Om hun slogan “Taste the possibilities” (“Proef de mogelijkheden”) kracht bij te zetten, hebben ze weer eens een spotje gefilmd met een slecht gewassen man in de hoofdrol en enkele bloedmooie dames in de bijrollen. Het is te laat om dit als essayopdracht aan mijn studenten te suggereren, dus schrijf ik zelf een analyse. Laten we beginnen met een deconstructie van de plot:

  • Een bezwete kerel staat met autopanne aan de kant van de weg, zo te zien ergens ver van de bewoonde wereld. Hij neemt een slokje suikervrije cola. Dan komt er in de verte een rode auto aanrijden, waarbij het onderschrift verschijnt: “0,1% possibility“.
  • Onze held neemt nog een slokje en de auto – bij nader inzien een pick-up – stopt: “0,01% possibility“.
  • Nog een slokje en de chauffeur van de rode wagen, een blonde vrouw, stapt uit: “0,001% possibility“.
  • De held drinkt nu de rest van het flesje bijna helemaal leeg. De vrouw neemt een gereedschapskoffer uit de laadbak en komt de motorpech verhelpen:  “0,00001% possibility“.
  • Nu drinkt hij ook het laatste slokje. Er stapt dan ook een vrouw uit de passagierskant van de auto, een brunette deze keer, met twee flesjes cola in haar handen:  “0,000000001% possibility“.
  • Dan zien we de man en de twee vrouwen elk met een vol flesje cola. (Waar dat derde flesje vandaan komt, blijft een mysterie.) Dan volgen de slogans: “The more zero the better” en “Zero sugar, all the possibilities“.
Een beeld uit de nieuwe reclamespot voor Coca Cola Zero.

Een beeld uit de nieuwe reclamespot voor Coca Cola Zero.

Er zijn mij twee dingen opgevallen. Waarschijnlijk ben ik daarmee niet de enige, maar misschien zijn het toch ándere dingen die mij zijn bijgebleven. ;-)

Om te beginnen worden mogelijkheden met percentages aangeduid en dat is vreemd. Iets is mogelijk of het is onmogelijk: hierin bestaat er gradatie. Het is natuurlijk wel zo dat we aan verschillende mogelijkheden verschillende waarschijnlijkheden (of kansen) toekennen en dat we deze vaak als percentages uitdrukken, maar dan had er ‘probability‘ moeten staan in plaats van ‘possibility‘ . Eén van de mogelijke redenen dat een frisdankmerk dit woord vermijdt, is dat kansen wetenschappelijk bestudeerd kunnen worden. Vermits de getallen in dit reclamespotje – voor zo ver bekend – niet gebaseerd zijn op wetenschappelijk onderzoek, is het veiliger om dit ook niet te suggereren.

Laten we dit door de vingers zien en verder aannemen dat we ‘mogelijkheid’ hier als ‘kans’ mogen lezen. Het is duidelijk dat de getallen dalen naarmate de man meer cola drinkt. Zoals jullie wellicht al weten, doe ik onderzoek naar (zeer) kleine kansen, dus dit aspect wist mijn aandacht zeker te vangen. Wat betekenen deze steeds kleiner wordende waarschijnlijkheden? Werkt cola als een soort improbability drive misschien?

Een probleem bij de interpretatie van alle kansen, klein of groot, is het probleem van de referentieklasse. Je kunt een kans zien als een frequentie. Je zou tienduizend kerels in een afgelegen gebied aan de kant van de weg kunnen zetten met een kapotte auto en nagaan bij hoeveel van hen er een andere auto stopt (binnen een vooraf bepaalde tijdsduur). Als dit in slecht één geval gebeurt, zitten we met een frequentie van één op tienduizend. Dit zou je dan kunnen interpreteren als 0,01% kans (weliswaar met een behoorlijk grote onzekerheid op deze waarde), zoals in het clipje. Wat we echter niet weten, is wat de relevante referentieklasse is: zetten we enkel mannen aan de kant van de weg, speelt het merk van hun auto een rol, hun haarkleur, enzovoort? Uiteindelijk zou je je ook kunnen afvragen of het merk van drankje dat ze staan te drinken een rol speelt.

Als je ervan uitgaat dat het drinken van deze cola je kansen op hulp drastisch verhoogt, zijn de gegeven getallen dus blijkbaar gemiddelden over de hele populatie (zowel mensen die het niet drinken als die het wel drinken). Hieruit zou dan blijken dat er erg weinig mensen deze cola-variant drinken, al lijkt deze conclusie toch ook niet wat de reclamemakers in gedachten hadden. Of hopen de makers dat de kijkers de getallen interpreteren als de kans dat de getoonde gebeurtenissen zich voordoen als de man geen cola zou drinken? Het blijft onduidelijk.

Wat wel vaststaat, is dat kansen kleiner worden naarmate je specifiekere gebeurtenissen beschrijft. Stel dat je de kans kent dat een auto stopt bij een gestrande reiziger. De kans dat een rode auto stopt is dan in elk geval kleiner en de kans dat een rode auto stopt van een specifiek merk is nog kleiner. De kans dat alles precies zo verloopt als in het filmpje is dus inderdaad zeer klein – hoe klein hangt er maar vanaf welke details je allemaal in rekening brengt. Dit is echter een algemene eigenschap van kansen en heeft verder dus niets met het drankje te maken.

Sam: Belgische stripreeks over een meisje dat dol is op automechanica.Het is ook jammer dat de kans dat een vrouw iets van automechanica kent door de mensen van Coca Cola blijkbaar zo laag wordt ingeschat. Ze zouden de Belgische stripreeks Sam eens moeten lezen. ;-) Nochtans lijkt me dit een nuttige vaardigheid op lange, verlaten wegen. Juist op zo’n weg stijgt dus de (afhankelijke) kans om een (onafhankelijke) vrouw tegen te komen die van aanpakken weet. En dat zo’n vrouw een vriendin mee zou nemen op de lange tocht wordt blijkbaar nog onwaarschijnlijker geacht.

Het mag duidelijk zijn: voorlopig hou ik het op het vlak van cola’s bij Pepsi. Verder blijft het wachten op een watermerk dat het thema kansrekening omarmt en een mooie campagne bedenkt over waterkansjes, die een kritische analyse wel doorstaat.

Waterkans of kansloos?

Dit sterrenschip wordt aangedreven door een motor die op onwaarschijnlijkheid draait, in Douglas Adams' sciencefiction reeks 'The Hitchhikers guide to the galaxy'.In mijn exemplaar van “The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy” van Douglas Adams zit er een treinticket naar Denemarken  uit 2003: ik kocht dit dikke boek toen ik voor de zomerschool ‘Hairy interfaces and stringy molecules’ in Odense was. Hoe onwaarschijnlijk dit misschien ook klinkt, in “The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy” (of “Het transgalactisch liftershandboek”) gebeuren er heel wat zaken die nog veel onwaarschijnlijker zijn. Een potvis en een pot petunia’s die uit het niets ontstaan op enkele kilometers hoogte boven een planeet, bijvoorbeeld. In theorie zou zoiets spontaan kunnen gebeuren, maar het is enorm onwaarschijnlijk; in de praktijk kan zoiets haast geen toeval zijn. In het verhaal worden deze onwaarschijnlijke gebeurtenissen uitgelokt door een sterrenschip dat als motor een improbability drive gebruikt. Onwaarschijnlijkheid als aandrijving gebruiken kan enkel in sciencefiction en levert dit soort leuke nonsens op:

De kans dat dit gebeurt is erg klein!“Waterkans” is een mooi Vlaams woord voor een uiterst kleine kans. Of ze er in Nederland een even mooi synoniem voor hebben weet ik niet, maar in het Engels spreken ze van “a snowball’s chance in hell“: zoveel kans als een sneeuwbal in de hel – niet veel dus. Kansloos wil echter zeggen dat de mogelijkheid helemaal onbestaande is: er is dan zelfs geen waterkansje.

De klassieke kansrekening is gebaseerd op gewone reële getallen in het interval van nul tot één. Wanneer je daarmee een proces wil beschrijven waarbij er oneindig veel mogelijke uitkomsten zijn, kan het gebeuren dat je noodgedwongen kans nul moet toekennen aan sommige van die uitkomsten, terwijl deze toch kunnen gebeuren. Deze waterkansjes zijn daarmee niet te onderscheiden van volstrekt kansloze, onmogelijke uitkomsten. Dit probleem kun je oplossen door de kansfunctie waarden te laten aannemen in het interval van nul tot één van de hyperreële getallen, in plaats van het nul-één interval van de reële getallen. Elke mogelijke uitkomst heeft dan een kans verschillend van nul (dit kan een infinitesimaal zijn) en is dus duidelijk te onderscheiden van een onmogelijke gebeurtenis, die wel kans nul krijgt toegekend.

Het idee is eenvoudig, maar de wiskundige finesses zijn nog best ingewikkeld. Vandaar dat ik er samen met twee collega’s een artikel over heb geschreven. Professor Vieri Benci (Universiteit van Pisa, Italië) is een wiskundige die gespecialiseerd is in niet-standaard analyse, maar hij is ook geïnteresseerd in filosofie. Professor Leon Horsten (Universiteit van Bristol, UK) is een logicus die gespecialiseerd is in wetenschapsfilosofie, maar ook veel over  de grondslagen van de wiskunde kent.

De afkorting van 'Non-Archimedean Probability' is NAP. Na al dat nadenken over infinitesimale kansen hebben we toch wel een dutje verdiend?De titel van ons artikel is “Non-Archimedean Probability” of “niet-Archimedische waarschijnlijkheid”. De reële getallen zijn Archimedisch, hetgeen betekent dat er geen infinitesimalen in voorkomen. Door middel van de techniek van Robinson kunnen we de reële getallen uitbreiden tot de hyperreële getallen, waarin er wel oneindig grote getallen en oneindig kleine getallen (infinitesimalen) bestaan; deze hyperreële getallen zijn dus niet-Archimedisch.

Oneindig grote verzamelingen worden meestal beschreven met de kardinaalgetallen van Cantor. De grootte van de verzameling natuurlijke getallen wordt bijvoorbeeld aleph-nul genoemd. Elke oneindige deelverzameling van de natuurlijke getallen, bijvoorbeeld de verzameling van even getallen, heeft ook aleph-nul als kardinaliteit. Als je zou willen zeggen dat de verzameling even getallen maar half zo groot is die van alle natuurlijke getallen, kun je dit niet doen in termen van kardinaliteit. Vieri Benci heeft een manier ontwikkeld om aan oneindig grote verzamelingen een maat te koppelen die wel zo werkt dat een strikte deelverzameling een strikt kleinere maat krijgt toegewezen. Dit is dan niet de kardinaliteit maar de “numerositeit” (numerosity) van de verzameling. Kardinaliteit en numerositeit zijn twee verschillende manieren van tellen die voor eindige verzamelingen hetzelfde antwoord opleveren, maar die voor oneindige verzamelingen een verschillend resultaat geven. Onze kansmaat werkt als een soort genormeerde numerositeitsfunctie.

Om te laten zien hoe onze nieuwe theorie werkt, hebben we haar ook toegepast: in ons artikel we bespreken onder meer een eerlijke loterij op de natuurlijk getallen en een oneindig lange rij worpen met een eerlijke munt. In beide gevallen is het zeer onwaarschijnlijk om de uitkomst precies te voorspellen, maar niet strikt onmogelijk. Vandaar dat we er een infinitesimale kans aan koppelen: een kans die oneindig klein is, maar niet nul. Met deze methode is het mogelijk om deze zeer kleine kansen met elkaar te vergelijken. Binnen de klassieke kansrekening zijn de kans om een loterij te winnen op de natuurlijke loterij en de kans om de uitkomst van een oneindige reeks muntworpen te voorspellen beide nul. Met onze niet-Archimedische kansrekening zijn de kansen niet nul en is het mogelijk om aan te tonen dat de tweede kans (met de muntworpen) nog veel kleiner is dan de eerste (bij de oneindige loterij).

Op arXiv.org verschijnen preprints van wetenschappelijke artikelen.Sinds kort staat ons nieuwe artikel over kansrekening en infinitesimalen online. Het staat op arXiv.org, een website waar artikels over wiskunde, fysica en andere wetenschappen geplaatst kunnen worden vóór ze in een wetenschappelijk tijdschrift verschijnen (zogenaamde preprints). Bij zo’n tijdschrift kijken ze niet enkel na of het artikel bij hun onderwerp en standaarden past, maar wordt ook het principe van ‘peer review‘ toegepast: ze sturen het nieuwe artikel naar één of meerdere experts op dit gebied, dus eigenlijk collega’s (peers) van de auteurs van het artikel. Deze bekijken de inhoud kritisch en geven op anonieme wijze commentaar: ze moeten argumenten geven waarom het artikel al dan niet geschikt is voor publicatie. In sommige gevallen leiden hun suggesties tot grote verbeteringen in het werk.

Dit alles betekent dat er geen garantie is dat de artikels die je op arXiv aantreft ooit geplaatst zullen worden in een wetenschappelijk tijdschrift. Het is best mogelijk dat er iets schort aan het niveau van sommige artikels of dat er fouten in staan. Natuurlijk is het wel leuk om er op zoek te gaan naar nieuwe ideeën: het is net zo goed mogelijk dat je één van de eersten bent die hier de laatste nieuwe doorbraak leest. Ons artikel zal hopelijk binnenkort aanvaard worden in een regulier tijdschrift, maar tot die tijd kunnen collega’s en andere geïnteresseerden het hier alvast downloaden.

Intussen zijn we met dezelfde drie mensen aan een volgend artikel aan het werken: daarin willen we onze wiskundige theorie uitleggen op een manier die ook voor filosofen toegankelijk is. Het helpt dat we een interdisciplinair team vormen. Zelf probeer ik een bruggenbouwer te zijn tussen de verschillende domeinen (wiskunde en filosofie). Een bescheiden rol misschien, maar mijn ambitie is groot. Het is immers mijn bedoeling om de grondslagen van de kansrekening fundamenteel te veranderen – niet meer of niet minder. Ons team is daar precies geknipt voor; we zijn dus niet kansloos.