Tag Archief: wiskunde

Maak kennis met: Vieri Benci

Een leerling van een middelbare school vroeg me of ik haar wat meer informatie kon bezorgen over Vieri Benci. Samen met twee andere leerlingen maakt ze namelijk een opdracht (‘onderzoekscompetentie’) over het oneindige. Fantastisch onderwerp, natuurlijk, en de voorlopige versie die bij de e-mail zat zag er ook al heel goed uit.

Via haar leerkracht waren ze op mijn blog terechtgekomen en daar lazen ze over Benci (hier en in dit filmpje), maar ze konden online weinig informatie over hem vinden, zeker niet in het Nederlands. (Zijn eigen website is grotendeels in het Italiaans.) In de taak waren er al stukjes over Galileo en Cantor opgenomen, maar de biografische informatie over Benci ontbrak nog. Door haar vraag besefte ik dat Vieri Benci nog geen Wikipedia-pagina heeft. Dat is jammer. Het zou fijn zijn als de eerste pagina over hem niet in het Italiaans of het Engels maar in het Nederlands zou zijn. Ja, dit is een oproep. ;-) Daarom deel ik hier de informatie die ik haar stuurde.

~

Professor Vieri Benci is een Italiaanse wiskundige die gespecialiseerd is in partiële differentiaalvergelijkingen. Zijn meest geciteerde artikels gaan over die tak van de wiskunde. Hij werkte bijvoorbeeld over vergelijkingen waarvan de oplossingen solitonen zijn. Zijn academische CV in het Engels vind je hier.

Hij is geboren en opgegroeid in Firenze en heeft wiskunde gestudeerd in Pisa. Hij studeerde af als ‘laurea’ in 1972. Vanaf dat moment mocht hij zich ‘doctor in de wiskunde’ noemen. (Op dat moment was er in Italië nog geen echte doctoraatsopleiding zoals wij die kennen: dat werd pas meer dan tien jaar later ingevoerd.) Vervolgens heeft hij in Parijs en in de Verenigde Staten gewerkt (aan drie verschillende universiteiten) en in die periode heeft hij zijn Amerikaanse vrouw leren kennen. Ze verhuisde met hem mee naar Italië (eerst Bari, dan Pisa) en ze kregen twee zonen, die inmiddels volwassen zijn. Vieri en zijn vrouw wonen en werken in Pisa: zij is lerares Engels en, ja, Vieri spreekt ook zeer goed Engels. Sinds 1984 is hij professor in het wiskunde-departement in Pisa. Hij heeft de graad van gewoon hoogleraar: dat is de hoogste academische graad.

In 1995 presenteerde hij op een congres over een nieuw idee om oneindige verzamelingen te ‘tellen’. Dit publiceerde hij in de ‘proceedings’ van dat congres in het Italiaans. Hij was op dat moment een ervaren wiskundige en is dus een levend tegenvoorbeeld van de stelling dat enkel jonge wiskundigen vernieuwende ideeën kunnen hebben! Dat idee heeft hij later uitgewerkt met Mauro Di Nasso in een Engelstalig artikel. Daarna heeft hij er nog verder over gewerkt. Paolo Mancosu schreef er een overzichtsartikel over en dat heb ik toevallig gevonden toen ik aan een doctoraat bezig was over een alternatieve theorie voor waarschijnlijkheidsrekening. Daarna ben ik de artikels van Vieri Benci zelf gaan lezen en heb ik hem een keer ontmoet toen hij in Brussel was voor een congres. We zaten meteen op dezelfde golflengte en sindsdien hebben we (samen met nog een derde collega) twee artikels gepubliceerd.

Vooraf gingen we op bezoek op de afdeling waar Vieri werkt. Daar is goed zichtbaar dat het economisch niet zo goed gaat in Italië: er staan veel kantoren leeg, dus er zijn niet zo veel jonge doctoraatsstudenten als in een vergelijkbaar departement in België bijvoorbeeld. Er werken wel zeer goede wiskundigen. Vieri werkt vooral samen met twee lokale specialisten in de logica (Mauro Di Nasso en Marco Forti) en met voormalige doctoraatsstudenten.

Vieri is ook erg geïnteresseerd in geschiedenis van de wiskunde en wetenschapsfilosofie. Over dat laatste schreef hij samen met Paolo Freguglia een boek, dat enkel in het Italiaans verschenen is (“Modelli e realtà. Una riflessione sulle nozioni di spazio e tempo“). Hij heeft circa 175 onderzoeksartikels over wiskunde geschreven en is nog steeds actief: vorige maand heeft hij me nog een nieuw artikel bezorgd om na te lezen. Over zijn alternatieve theorie om het oneindige te tellen staat er een Engelstalig boek gepland, dat hij samen met Mauro Di Nasso aan het schrijven is.

Kinderen van de Kosmos: lezing en tekst

Vandaag geef ik in Gent een lezing in de reeks Markante Dialogen met als titel: “Kinderen van de Kosmos: lijkt de wereld te vatten in wiskundige formules?” Deze lezing is gebaseerd op mijn essay “Children of the Cosmos waarmee ik in 2015 de hoofdprijs won in een essaywedstrijd van het Foundational Questions Institute (FQXi). Intussen ben ik zelf ook lid van FQXi: dat was onderdeel van de prijs.

De originele versie van mijn essay heb ik achteraf vertaald naar het Nederlands, maar ben ik vervolgens vergeten op mijn blog te plaatsen. Hieronder plaats ik het begin. (De volledige tekst kan je via de link onderaan downloaden als pdf.)

Kinderen van de Kosmos

Speling in het wetenschappelijke raderwerk

Onze wiskundige modellen kunnen ons onredelijk effectief toeschijnen, maar enkel als we vergeten in rekening te brengen wie wij zijn: wij zijn de kinderen van deze Kosmos. We zijn hier geboren en we kennen onze weg in deze contreien van de Melkweg, ook al beseffen we niet altijd wat voor een wonderlijke verwezenlijking dat is.

“[A]l onze wetenschap, afgemeten aan de werkelijkheid, is primitief en kinderlijk – en toch is het het meest waardevolle dat we hebben.”
– Albert Einstein

“[I]k lijk slechts een jongen te zijn geweest die aan zee op het strand speelde, en zichzelf amuseerde met nu en dan een gladder keitje te vinden of een mooiere schelp dan gewoonlijk, terwijl de grote oceaan der waarheid zich onontdekt voor me uitstrekte.”
– Isaac Newton.

Wiskunde kan onredelijk effectief lijken in de natuurwetenschappen, vooral in de fysica. In dit essay argumenteer ik dat dit oordeel, minstens ten dele, toegeschreven kan worden aan selectie-effecten. Ter ondersteuning van deze centrale bewering voer ik vier elementen aan. Het eerste element is dat wij wezens zijn die geëvolueerd zijn binnen dit universum en dat onze vermogens om patronen op te sporen geselecteerd zijn door diezelfde omgeving. Het tweede element is dat onze wiskunde – hoewel niet volledig ingeperkt door de natuurlijke wereld – sterk geïnspireerd wordt door onze waarneming van die wereld. Het derde element bekritiseert de gebruikelijke waardering van de efficiëntie van wiskunde. Onze focus op de zeldzame successen maakt ons blind voor de alomtegenwoordige mislukkingen (selectievertekening). Het vierde element is dat het proces van het toepassen van wiskunde veel meer vrijheidsgraden verschaft dan de vrijheidsgraden die er binnen de wiskunde zelf zijn. Dit laatste element zal geïllustreerd worden door het gebruik van ‘infinitesimalen’ in de context van wiskunde en fysica. Maar eerst zet ik kort mijn visie op natuurwetenschap en wiskunde uiteen, omdat deze het canvas vormen waarop ik mijn centrale stelling uitteken.

Verder lezen? Download dan hier de tekst “Kinderen van de Kosmos”.

Een meer uitgebreide versie is vorig jaar als hoofdstuk in een Engelstalig boek verschenen: ook die versie kan je desgewenst via de links hieronder downloaden.

Wenmackers, S.
“Children of the Cosmos”
Chapter in: Anthony Aguirre, Brendan Foster, and Zeeya Merali (eds.) “Trick or Truth?”, Frontier’s Collection, Springer (2016) pp. 5-20.
<Springer>  <full preview of my chapter>  <preprint at Lirias>  <earlier (shorter) version FQXi>

Laat niemand die geen meetkunde kent hier binnengaan

Het Rotman Instituut voor Filosofie schreef een wedstrijd uit: maak een foto om een filosofisch concept te illustreren. Ik zag een schaduw en, mede geïnspireerd door het werk van Tara, maakte ik daar een foto van. En dat leverde een eervolle vermelding op. De winnaar en de andere drie eervolle vermeldingen zie je hier.

Dit was mijn inzending:

LetNoOneIgnorantOfGeometryEnter.

“Let no one ignorant of geometry enter.” The Sun is illuminating the three-dimensional shape visible at the top, projecting a two-dimensional shadow on the door below. The scene is reminiscent of the warning said to have been above the door to Plato’s Academy, hence the caption. (This quote is possibly apocryphal, but still popular and relevant enough to some of Plato’s actual writings.) The fact that the Ideal Form is a dryer stand – a common household object, often associated with women’s labor – can be seen as a subtle response to the underrepresentation of women in Philosophy as well as in Mathematics.

De titel bij mijn inzending laat zich vertalen als “Laat niemand die geen meetkunde kent hier binnengaan”. De mythe wil immers dat deze uitspraak boven de ingang van Plato’s Academie stond. (Zie bijvoorbeeld Struiks “Geschiedenis van de wiskunde”, die online beschikbaar is.) Het filosofische concept is Plato’s vormenleer (waarbij het concept ‘afschaduwing’ belangrijk is) en zijn filosofie van de wiskunde.

Vragen van Daan – deel 2: over het heelal

Van Daan kreeg ik twee vragen:

  1. Als het heelal oneindig is, hoe kan het dan nog uitdijen?
  2. Hoe kunnen er verschillende soorten oneindig zijn?

Vorig jaar plaatste ik mijn antwoord op de laatste vraag. Er kwamen wat andere dingen tussen, maar vandaag schrijf ik alsnog mijn tweede brief aan Daan met het antwoord op zijn vraag over het heelal.

Hubble.

Cluster van sterrenstelsels (MACS J0416) gefotografeerd door de Hubble-ruimtetelescoop. (Bron afbeelding: NASA/ESA.)

~

Beste Daan,

In mijn vorige brief heb ik proberen uitleggen waarom wiskundigen tegenwoordig denken dat er inderdaad meerdere soorten oneindigheid bestaan (je tweede vraag). Een belangrijk onderdeel van mijn antwoord was de theorie van Cantor over de ‘cardinaliteit’ van verzamelingen. Deze uitleg komt me nu goed van pas bij het beantwoorden van je eerste vraag.

Eerst even ter herinnering: twee verzamelingen hebben dezelfde cardinaliteit wanneer er een één-op-één relatie tussen bestaat. Met andere woorden, als er manier bestaat om aan elk element van de ene verzameling precies één element van de andere verzameling te koppelen zodanig dat ook alle elementen van de tweede verzameling aan bod komen. Als dit kan, dan zijn de verzamelingen “even groot” – in de specifieke betekenis van ze hebben “dezelfde cardinaliteit”. Dit is in feite hoe we eindige verzamelingen tellen, dus het is geen gek idee om het ook in het oneindige geval zo te proberen.

Hotel van Hilbert

Toch heeft deze manier van ‘tellen’ wat vreemde gevolgen in het oneindige geval. Die worden geillustreerd door het Hotel van Hilbert. (Hilbert is de naam van een belangrijke wiskundige: David Hilbert.)

  • Een extra gast

Stel je een hotel voor waarin de kamers genummerd zijn met alle natuurlijke getallen. Er zijn dus aftelbaar oneindig veel kamers in dit fictieve hotel. Bovendien zijn alle kamers in het hotel bezet. Op dat moment komt er een nieuwe gast aan. Wat nu?

Wel, de receptionist beveelt alle gasten naar de kamer te gaan waarvan het kamernummer één hoger is dan waar ze nu zijn. De gast in kamer 1 verhuist naar kamer 2; de gast in kamer 2 verhuist naar kamer 3; enzoverder. Zo hebben alle gasten die er al waren nog steeds een kamer en is kamer 1 vrijgemaakt voor de nieuwe gast.

Dit verhaal illustreert de volgende eigenschap van cardinaliteit: 1 + aftelbaar oneindig = aftelbaar oneindig.

Geen enkel eindig getal is gelijk aan één plus zichzelf. Het is dus wel duidelijk dat de gewone rekenregels voor eindige getallen niet gelden voor oneindige cardinaliteiten.

Als er meerdere extra gasten tegelijk op de stoep staan, kunnen we een soortgelijke oplossing bedenken. (Als er bijvoorbeeld 100 extra gasten zijn, dan laten we de gast uit kamer 1 verhuizen naar kamer 101, de gast uit kamer 2 naar kamer 102, enzoverder.)

  • Oneindig veel extra gasten

Goed, een eindig aantal extra gasten kan dit hotel duidelijk wel aan. Maar wat als er een nabijgelegen hotel, ook met aftelbaar oneindig veel bezette kamers, ontruimd moet worden en er dus nog eens aftelbaar oneindig veel extra gasten bij moeten?

Ook daarvoor is er een oplossing: laat elke gast verhuizen naar de kamer met als nummer het dubbel van zijn of haar huidige kamernummer. Na de verhuis zitten er enkel nog gasten in de kamers met even nummers en kunnen er dus aftelbaar oneindig veel nieuwe gasten inchecken in de kamers met oneven nummers.

Dit verhaal illustreert de volgende eigenschap van cardinaliteit: 2 x aftelbaar oneindig = aftelbaar oneindig. Of nog: de verzameling van alle even getallen heeft dezelfde cardinaliteit als de verzameling van alle natuurlijke getallen.

Bekijk ook onderstaand filmpje van TED-Ed over het hotel van Hilbert (6 minuten):

Uitdijend heelal

Uit metingen blijkt dat nagenoeg alle sterrenstelsels van ons en van elkaar weg bewegen. Deze waarneming is één van de peilers van de oerknaltheorie: de wetenschappelijke theorie die zegt dat ons heelal ooit veel heter en dichter was dan het nu is. Je kan je de uitdijing van het heelal het beste voorstellen als extra ruimte die erbij komt tussen de sterrenstelsels. Hiervoor worden soms de volgende beelden gebruikt:

  • Stel je de sterrenstelsels in onze omgeving voor als rozijnen in brooddeeg. Terwijl het deeg rijst, bewegen alle rozijnen uit elkaar doordat het deeg ertussen uitzet.
  • Of stel je ons sterrenstelsel voor als een mier die op een elastiekje loopt. Terwijl de mier stapt, wordt het elastiekje telkens verder uitgerokken.

De reden dat ik dit erbij schrijf is dat het woord oerknal (of Big Bang) de meeste mensen – heel begrijpelijk – aan een ontploffing doet denken, waarbij alle brokstukken vanaf de bron van de explosie uit elkaar door de ruimte vliegen. In het geval van het heelal is dit echter een zeer misleidend beeld! Het is namelijk niet zo dat er oneindig veel lege ruimte klaarligt waarin de sterrenstelsels aan ‘de rand van het heelal’ uitzwermen. (Er is geen rand van het heelal.) Bovendien is het niet zo dat er in het heelal één bijzondere plaats is waar de oerknal ooit heeft plaatsgevonden: de oerknal vond overal tegelijk plaats. Dat is – hopelijk – beter te begrijpen met het beeld van ruimte die erbij komt tussen de sterrenstelsel.

Hoe een oneindig heelal kan uitdijen

Nu hebben we -eindelijk!- alles wat we nodig hebben om je vraag over het heelal te beantwoorden. Als het heelal al oneindig is, hoe kan het dan nog groter worden? Stel dat we het volume van het heelal op twee momenten vergelijken (bijvoorbeeld nu en over een uur).

  • Voor en na het uitdijen kunnen we het heelal ‘oneindig’ noemen, maar dit betekent niet dat het niet groter is geworden: oneindig is geen getal. Zoals ik vorige keer al schreef, betekent dit woord enkel ‘niet eindig’. (Dit werkt zoals het woord ‘veel’: ik heb al veel boeken in huis en ik koop er nog een paar, dan zijn het er nog steeds ‘veel’ – en toch zijn het er nu meer dan voorheen.)
  • Stel dat we het volume van het heelal uitdrukken in kubieke meter. Als het heelal oneindig is, kunnen we het aantal kubieke meter uitdrukken met een cardinaliteit. Net zoals er in het Hilbert hotel altijd oneindig veel extra plaats gemaakt kan worden tussen de gasten, kan dit ook in een oneindig uitdijend heelal. Er komt extra ruimte bij tussen de ‘gasten’ van het heelal, namelijk tussen de sterrenstelsels. Vreemd genoeg wordt de cardinaliteit van het aantal kubieke meter in het heelal hierbij niet noodzakelijk groter, maar dit betekent niet dat het niet groter is geworden: cardinaliteiten zijn geen gewone getal. Cardinaliteit drukt een soort grootte-orde van oneindigheid uit. (Stel dat ik moet schatten hoeveel boeken ik in huis heb. Ik heb ze niet precies geteld, maar ik schat ‘duizenden’. Als ik er twee bij koop, of zelfs enkele honderden, dan zijn het er nog steeds “duizenden”. Toch heb ik achteraf meer boeken dan voordien en op een bepaald moment moet ik een kast bijkopen.)
  •  Als het heelal oneindig is, kunnen we het aantal kubieke meter ook anders uitdrukken, namelijk met een numerositeit. De numerositeit van het volume van het heelal wordt wél groter terwijl het heelal uitdijt. Hieraan kunnen we dus wel, net als bij gewone getallen, zien dat het groter is geworden. (Eerst had ik bijvoorbeeld 2540 boeken, daarna 2612.)

Ik stelde je vraag op Twitter aan Sean Carroll (theoretisch fysicus bij Caltech) en hij antwoordde als volgt:

“Space expands between galaxies. Think of the integers, and multiply them all by 2. Still infinitely many, but further apart.”

Carroll schrijft trouwens blogposts en heel boeiende boeken waarin hij complexe ideeën uit de fysica glashelder uitlegt en vaak ook verbindt met filosofische vragen – een aanrader, dus!

Is het heelal inderdaad oneindig?

Ik heb je vraag geïnterpreteerd als “Indien het heelal oneindig is, hoe kan het dan nog uitdijen?” Over de aanname wil ik wel nog een belangrijke opmerking maken: het is namelijk helemaal niet zeker of het heelal oneindig is! De snelheid van licht in vacuüm is ongeveer 300 duizend km/s. Dat is naar onze maatstaven is een zeer grote snelheid, maar het is wel een eindig getal. Doordat de lichtsnelheid eindig is en alle signalen in het heelal (voor zo ver we weten) zich maximaal met deze snelheid kunnen voortplanten, is er een grens aan hoe ver we kunnen kijken. (De signalen moeten ons tijdens de leeftijd van het heelal bereikt kunnen hebben.) We weten niet hoe groot het heelal is buiten het voor ons waarneembare deel, waardoor er ruimte blijft voor verschillende theorieën en speculaties.

Aarde in het waarneembare universum.

Aarde in het waarneembare universum. (Bron afbeelding.)

Sommige fysische modellen gaan ervan uit dat het heelal oneindig groot is, of dat wat wij het heelal noemen eigenlijk maar een klein deel is (een soort bubbel) van een veel grotere structuur. Hoewel we niet buiten het voor ons waarneembare deel van het heelal kunnen kijken, kunnen we wel proberen indirecte aanwijzingen te vinden in onze omgeving over hoe het heelal als geheel eruit ziet. Uit nauwkeurige WMAP-metingen van NASA maken we op dat het heelal in elk geval veel groter is dan het deel dat we kunnen zien. Zo proberen kosmologen loutere speculaties te scheiden van onderbouwde theorieën en toch een tipje van de sluier op te lichten over de structuur van het heelal als geheel.

Vriendelijke groeten,
Sylvia

1 2 3… Infinity!

Zoals eerder aangekondigd heb ik op 17 februari meegedaan aan de “YouReCa Challenge 2016”, een Science Slam georganiseerd door de KU Leuven in het Depot. Er waren vijf presentaties in het Engels over wetenschappelijke onderwerpen, maar op zo’n manier gebracht dat het ook voor niet-wetenschappers te volgen was. Het was tegelijk ook een wedstrijd, met een vier-koppige jury en een publieksprijs. Beide hoofdprijzen werden gewonnen door Pieter Thyssen, met zijn presentatie over tijdreizen.

Op deze website vind je foto’s van de avond en onderstaande video geeft een sfeerverslag met fragmenten van alle presentaties.

Opnames van alle presentaties staan nu ook online:

Mijn bijdrage was een presentatie van 8 minuten over de vraag of we oneindig kunnen tellen. Ik heb de videoregistratie van mijn presentatie aangevuld met de slides. Aangezien mijn Engelse dictie te wensen overlaat, heb ik er op YouTube nu ook Engelstalige ondertitels aan toegevoegd. ;-) (Die moet je wel nog zelf aanzetten door onderaan rechts in de video op het rechthoekige symbool voor Subtitles/Ondertitels te klikken.)

Onder de vouw vind je de Engelstalige transcriptie met aanvullende informatie in voetnoten.

(meer…)

Vraag van Mark: over pi en infinitesimale kansen

In reactie op mijn eerste brief aan Daan dwarrelde er nog een fijne vraag mijn inbox binnen, van een zekere Mark Mark Iske, bewoner van deze wonderlijke blogplek, met daarop zowel poëzie als patafysica (!) [aangevuld op 18/09]. Met zijn toestemming plaats ik zijn vraag en mijn antwoord ook weer op mijn blog. (Sorry, Daan, jouw tweede brief komt er ook aan, hoor!)

Marks vraag komt hierop neer:

Als de kans op een cijferherhaling in pi gelijk is aan 1/10 dan is het in theorie mogelijk dat ergens in de decimale ontwikkeling van pi het cijfer 1 wordt gevolgd door nog een 1, en nog 1, en nog 1, en nog 1, en nog 1, enz en zo aftelbaar oneindig door. Als ik je concept van infinitisimale kansen goed begrijp, is de kans op die oneindige reeks enen niet nul maar infinitisimiaal klein, en dus niet onmogelijk.
Als de getallenreeks waar pi uit is opgebouwd oneindig is, zou je verwachten dat ergens in pi die oneindige reeks van 1-en te vinden is, die uiteraard ergens in pi een beginpunt heeft, maar geen eindpunt. Maar je zou dezelfde redenering kunnen opbouwen rond een oneindige reeks 2-en (en ook 3-en, 4-en, enzoverder). Maar waar bevinden die reeksen zich dan, als de reeks 1-enen al oneindig lang doorgaat?

Voor ik deze vraag kan beantwoorden, moet ik eerst wat van de impliciete aannames rechtzetten.

Over normale en rationale getallen

Pi.(1) Het is niet bewezen dat pi een zogenaamd “normaal getal” is. (Zie ook hier) Normale getallen zijn getallen waarvoor inderdaad geldt dat alle cijfers en combinaties ervan even vaak komen in de decimale voorstelling ervan (en idem voor binaire of andere voorstellingen van het getal!).

Er wordt algemeen weliswaar aangenomen dat pi ook een normaal getal is, maar hier is geen bewijs voor. Het zou in principe dus kunnen dat er vanaf een bepaald punt in de decimale expansie van pi bijvoorbeeld nooit meer het cijfer 8 voorkomt.

(2) Nu denk je misschien dat het dan ook mogelijk is dat er vanaf een bepaald moment enkel nog 1-en voorkomen in de expansie van pi, maar dat is niet zo. Het is namelijk wél bewezen dat pi een irrationaal getal is. (Zie ook hier) Een getal waarbij vanaf een zeker punt in de decimale expansie enkel nog dezelfde eindige rij getallen wordt herhaald (bijvoorbeeld 1111111…) kan geschreven worden als een breuk (volgens dit recept) en is dus geen irrationaal getal. Maar pi is wél een irrationaal getal, wat betekent dat de decimale expansie dus niet zo’n herhaling kan bevatten.

Nu kan ik komen tot wat Mark wellicht echt bedoelde met zijn vraag:

(meer…)

Vragen van Daan – deel 1: over oneindigheid

Van Daan Maes kreeg ik per e-mail twee vragen over het heelal en oneindigheid. (Daan is een jaar jonger dan ik en we zaten vroeger op dezelfde lagere school.) Misschien heeft er nog iemand anders iets aan, dus vroeg ik toestemming om de vragen en antwoorden ook hier te plaatsen.

Zijn vragen (in het kort):

  1. Als het heelal oneindig is, hoe kan het dan nog uitdijen?
  2. Hoe kunnen er verschillende soorten oneindig zijn?

Hieronder mijn eerste brief aan Daan waarin ik zijn tweede vraag beantwoord.

Oneindigheid.
~

Beste Daan,

Wat een leuke vragen om te krijgen! Dit zijn allebei zaken die iets met mijn eigen onderzoek en interesses te maken hebben en het gebeurt niet vaak dat er iemand daar vragen over stelt (tenzij collega’s dan).

Voor mij is het het handigste om je tweede vraag eerst te beantwoorden. Mijn tijd is helaas beperkt, dus ik stel het antwoord op de eerste vraag (over het heelal) even uit tot een volgend bericht.

Je tweede vraag heeft alles te maken met de grootte van oneindig. Voor ik het antwoord kan geven, moet ik eerst iets uitleggen over oneindig.

Over oneindig

Letterlijk betekent oneindig enkel ‘niet-eindig’. Om daar in de wiskunde iets mee te kunnen doen, zullen we iets specifieker moeten zijn. Er wordt in verschillende contexten met oneindig gewerkt in de wiskunde, die niet allemaal exact hetzelfde betekenen. Om op jouw vraag te beantwoorden volstaat het om te kijken naar oneindig grote verzamelingen.

Het eenvoudigste en tegelijk belangrijkste voorbeeld van een oneindig grote verzameling is de verzameling van alle natuurlijke getallen, genoteerd als ℕ. Ik zal eerst zeggen wat dit zijn en dan een definitie geven.

  • Natuurlijke getallen zijn de gehele getallen die we gebruiken om te tellen: 1, 2, 3, … De drie puntjes op het einde betekenen ‘enzoverder’ en in dit geval kunnen we eindeloos doorgaan: er is geen grootste natuurlijk getal.
  • We kunnen de verzameling van alle natuurlijke getallen, ℕ dus, als volgt definiëren (maar om het helemaal correct te doen moeten we de axioma’s van de rekenkunde van Peano volgen):
    • Het getal 1 zit in ℕ
    • Voor elk getal n dat in ℕ zit, zit ook n+1 in ℕ
    • Verder zitten er geen andere getallen in ℕ

Dit volstaat om te zien dat er geen grootste getal in de verzameling ℕ zit. Kijk maar: stel dat iemand beweert dat er wel een grootste getal in ℕ zit. Laten we dit kandidaat grootste getal M noemen. Dan zit volgens de tweede regel van de definitie ook het getal M+1 in ℕ, maar dat getal is groter dan M en dus was de veronderstelling dat M het grootste was niet juist. Maar deze redenering gaat op voor elk element van ℕ! De opsomming van elementen van ℕ is dus eindeloos, of anders gezegd: ℕ is een oneindig grote verzameling.

ℕ heeft uiteraard wel eindige deelverzamelingen. Kijk bijvoorbeeld eens naar de eerst tien elementen. Dat is de verzameling {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. We zullen een verzameling van deze vorm (alle elementen van ℕ van 1 tot en met een bepaald ander getal) een beginstuk van ℕ (‘initieel deel’) noemen.

Elke eindige verzameling kan in een zogenaamde één-op-één relatie gelegd worden met een beginstuk van ℕ. Stel, je neemt de kleuren van de Belgische vlag, dan kan je de volgende koppels maken: (rood,1), (geel,2) en (zwart,3). Dit is een symbolische manier van weergeven hoe we tellen: we wijzen dingen één voor één aan en noemen beginnend bij 1 telkens het eerstvolgende natuurlijke getal.

Dit kunnen we nu als definitie gebruiken voor een eindige verzameling: alle verzamelingen die in één-op-één relatie gebracht kunnen worden met een beginstuk van ℕ noemen we eindig.

Aangezien oneindig hetzelfde is als niet-eindig hebben we daarmee óók een definitie voor oneindige verzamelingen, namelijk die verzamelingen waarvoor er geen één-op-één relatie bestaat met een beginstuk van ℕ.

Nu kunnen we echt beginnen nadenken over je vraag: bestaan er verschillende soorten oneindig? Je bent hier in goed gezelschap, want hier hebben al verschillende generaties wetenschappers, wiskundigen en filosofen over nagedacht. Het antwoord is in de loop van de tijd wel veranderd.

Galileo en het paradoxale van oneindige groottes

Galileo bedacht (zo ongeveer) het volgende:

(meer…)

Huiswerk (met bijna twintig jaar vertraging)

In dit stukje doe ik het verhaal van de extra tien voor chemie die ik niet gekregen heb.

Dit stukje is in licht gewijzigde vorm als column verschenen in Eos.
(Jaargang 32, nummer 9.)

Koolstofpuzzel.

Ondanks de duidelijke regelmaat in mijn tabellen vond ik de totaalformule voor het aantal isomeren van een alkaan niet.

1, 1, 1, 2, 3, 5, 9, 18, 35, 75, …

In het vierde middelbaar kregen we organische chemie, met het element koolstof in de hoofdrol. Eerst leerden over koolwaterstoffen zoals propaan en butaan, waar auto’s met een lpg-tank op rijden. Dit zijn moleculen met een onvertakte koolstofketen. Daarna leerden we dat er ook vertakte koolwaterstoffen bestaan. In dit deel van de cursus stonden er opvallend weinig formules. “Hoeveel vertakte koolstofketens kan je dan maken met een gegeven aantal koolstofatomen?” vroeg ik aan onze leraar. Mijnheer Staut antwoordde: “Dat weet ik niet, maar probeer het maar uit te zoeken. Als je de oplossing vindt, krijg je een extra tien.” Frustrerend om te horen, maar dictatisch gezien een slimme zet. Het aanbod gold uiteraard ook voor de andere leerlingen.

Ik was ervan overtuigd dat die extra tien al binnen was. Er stonden achteraan in de klas handboeken over chemie: daar zou de formule zeker in staan. We zochten enthousiast, maar vonden het niet. Noodgedwongen probeerde ik de formule zelf af te leiden. Zo moeilijk kon het toch niet zijn? Die avond begon ik dus koolstofketens te tekenen. Het komt erop aan geen configuraties dubbel te tellen. Als je een ‘zijketen’ aan het eerste atoom van de hoofdketen koppelt, is dat in feite helemaal geen zijketen, maar nog steeds een lineair molecule (dat in een bocht ligt). Ook andere structuren kunnen meerdere voorstellingen hebben. Een zijtak op het voorlaatste atoom is bijvoorbeeld slechts een gespiegelde weergave van een zijtak op het tweede atoom. Je moet een waterdicht systeem bedenken om dit soort symmetrieën te doorzien en elke configuratie exact één keer te tellen.

Cursus chemie vierde middelbaar.

Isomeren van alkanen tekenen in de cursus: alle bindingen en waterstoffen moeten worden aangeduid. In mijn eigen notities hield ik het al snel bij het koolstofskelet.

Wekenlang bleef ik vertakte ketens tekenen. Ik ontwikkelde een compacte notatie door koolstofatomen voor te stellen door bolletjes op ruitjespapier. Waterstofatomen en bindingsstrepen liet ik weg. Zo werd het probleem herleid tot de wiskundige kern ervan: een vraagstuk uit de combinatoriek. Al tekenend zocht ik naar de regelmaat, maar het leek alsof ik bij elk groter aantal koolstoffen meer uitzonderingen vond op de regels die ik voordien had gevonden. Ik werkte alles uit tot tien koolstoffen, waarbij er al 75 verschillende configuraties zijn.

Het is me niet gelukt om voor het einde van het trimester een algemene formule te vinden. Toch waren dit mijn eerste stappen in het ‘vrije’ onderzoek met de emoties die daarbij horen. Je vertrekt van een vraag waar je zelf zielsgraag het antwoord op wil weten, maar dat je niet meteen vindt bij een expert of in een naslagwerk. Misschien ben je de eerste die zich deze vraag stelt en sta je op het punt het antwoord te vinden? Spannend! Je probeert verschillende dingen, maar niets lijkt te werken. Je ligt er ’s avonds van wakker en staat er ’s morgens mee op. Toen het bij wiskunde het jaar nadien over combinatoriek ging, spitste ik de oren en begon ik met hernieuwde moed aan de koolstofpuzzel. Opnieuw zonder succes. Je voelt je gaandeweg dommer worden, maar in werkelijkheid leer je veel bij.

Koolstofpuzzel.

Koolstofpuzzel: ik vond een systematische manier om alle isomeren te vinden, maar een formule zag ik er niet in.

Het is zo’n twintig jaar te laat om mijn oplossing in te leveren. Toch doe ik een ultieme poging. Ik zoek online naar de getallenrij van de eerste tien configuraties. De zoekmachine suggereert de getallenrij 1, 1, 1, 2, 3, 5, 9, 18, 35, 75. Bij mij staat er 32 op de negende plaats: blijkbaar heb ik destijds drie combinaties niet gevonden. Voor tien klopt mijn resultaat wel. Mijn vraag werd in 1875 al onderzocht door de Britse wiskundige Arthur Cayley: hij zag het als een graaf (een ‘vier-valente boom’ genoemd) en stelde een formule op, maar ook hij maakte een fout die zichtbaar is vanaf twaalf atomen.

Pas rond 1998, dus enkele jaren nadat ik deze vraag had gesteld, werd de definitieve formule gevonden, onafhankelijk van elkaar door enerzijds twee theoretische chemici (Laimutis Bytautas en Douglas J. Klein) en anderzijds twee wiskundigen (Eric Rains en Neil Sloane). De beslissingen die je moet maken om geen structuren dubbel te tellen, blijken trouwens ook nuttig te zijn bij het vastleggen van unieke namen voor de moleculen.

Voor dit schooljaar wens ik alle scholieren een leerkracht toe die een extra tien uitlooft voor een vraag die ze zelf hebben gesteld.

~

Extra links:

  • Je kan online isomeren van alkanen bouwen. Leuk! :-) Er is ook een nuttige FAQ.
  • Het artikel uit 1998 van Laimutis Bytautas en Douglas J. Klein: “Alkane Isomer Combinatorics“.
  • Het artikel uit 1999 van Eric Rains en Neil Sloane: “On Cayley’s Enumeration of Alkanes (or 4-Valent Trees)“.
  • De getallenrij 1, 1, 1, 2, 3, 5, 9, 18, 35, 75, … staat bekend als A000602 in de OEIS (online encyclopedie van rijen gehele getallen). Het wordt bekomen als de som van twee deelrijen (A000022 en A000200).
  • Een 4-valente boom is een speciaal geval van een graaf. Beetje jammer dat er geen grafentheorie gegeven wordt op de middelbare school. Ik ben er vrij zeker van dat ik dat veel leuker had gevonden dan al die goniometrische vergelijkingen. ;-) (Ik weet nog steeds niet waarom we die vergelijkingen altijd moesten omvormen!)
  • Voor wie geïnteresseerd is in een nadere  kennismaking met chemische grafentheorie is het artikel “Chemical Graph Theory and the Sherlock Holmes Principle” van Alexandru T. Balaban uit 2013 misschien een goede kennismaking (in het Engels).

~

Naschrift:

Op een dood moment ben ik op een kladblaadje nog eens begonnen. Het duurde me slechts een half uur om opnieuw alle isomeren van lengte één tot en met tien te vinden. Nochtans heb ik er vroeger veel meer tijd aan besteed. Zou dit komen omdat ik: (a) dit zo vaak gedaan heb (weliswaar lang geleden!) of (b) nu volwassen ben (en geduldiger ben) of (c) als onderzoeker geoefend ben in het soort denken dat hiervoor nodig is? Wellicht een combinatie van alle drie?

Natuurlijk had ik nu ook het voordeel zeker te zijn van de aantallen die ik moest bekomen. Het is altijd gemakkelijker – of op zijn minst geruststellender – als je weet dat de oplossing achteraan in het boek staat. In het onderzoek moet het boek echter nog geschreven worden. ;-)

O ja, over het belang van een goede onderzoeksvraag (en over het beangstigende en bevrijdende gevoel dat hoort bij het werken aan onopgeloste vraagstukken) schreef ik eerder deze column.

Essaywedstrijd: live prijsuitreiking

Weet je nog dat ik eerder dit jaar deelnam aan een essaywedstrijd?

Nee, ik weet nog niet wie er gewonnen heeft, maar vanavond (10 juni) worden de winnaars bekend gemaakt.

Je kan de uitreiking (met onder meer MIT-fysicus en wetenschappelijk directeur van het FQXi Max Tegmark) live volgen via deze FQXi-pagina (of via YouTube of via Google+). Het start om 19u onze tijd.

Spannend!

Aanvulling 1 (21u45)

Intussen is de uitslag bekend gemaakt en is gebleken dat mijn essay de eerste prijs heeft gekregen! De organisatie had me op voorhand wel een seintje gegeven dat mijn inzending tot de top-3 behoorde, met de vraag om standby te zijn voor de online uitreiking, maar dat ik effectief gewonnen had hoorde ik zelf ook pas tijdens de uitzending.

Excuseer me dus terwijl ik nog even op wolkjes loop. :-)

Aanvulling 2 (bijna middernacht)

Op deze pagina staan alle prijswinnaars opgelijst en dit waren alle inzendingen.

(meer…)

De paradox van Newcomb: bespreking

In het vorige bericht gaf ik de opgave voor de paradox van Newcomb.

Dit vraagstuk wordt een paradox genoemd omdat er twee manieren van redeneren zijn die beide correct lijken, maar die tegenstrijdige antwoorden opleveren op de vraag welke keuze de verwachte winst van de speler maximaliseert. In dit bericht leg ik beide redeneringen uit en probeer ik de spanning die ertussen bestaat op de spits te drijven.

~

(1) Eerste manier van redeneren: Neem enkel doos B!

We kunnen de opties die 0 € of 1 001 000 € opleveren negeren, want die vereisen dat de voorspelling fout was, maar het orakel is een uitzonderlijk goede voorspeller. De keuze gaat dus tussen 1 000 € (als je A en B neemt) of 1 000 000 € (als je enkel doos B neemt). Enkel doos B nemen is dus beter.

Volgens deze manier van redeneren doen twee gevallen in bovenstaande tabel er niet toe:

Tabel met overzicht van de twee gevallen die er echt toe doen (volgens de eerste redenering).

Tabel met overzicht van de twee gevallen die er echt toe doen (volgens de eerste redenering).

(2) Tweede manier van redeneren: Neem beide dozen!

Ongeacht wat de voorspelling was, het staat nu vast wat er in de doos zit, dus beide dozen kiezen is altijd beter (dominant). Kijk maar:

  • Als de voorspelling “A en B” was, dan heb je de keuze tussen 1 000 € (als je A en B neemt) of 0 € (als je enkel B neemt). In dit geval is beide nemen dus beter.
  • Als de voorspelling “enkel B” was, dan heb je de keuze tussen 1 001 000 € (als je A en B neemt) of 1 000 000 € (als je enkel B neemt). Ook in dit geval is beide nemen beter.
De tweede redenering vergelijkt de twee mogelijke voorspellingen en komt tot de conclusie dat beide dozen nemen altijd beter is.

De tweede redenering vergelijkt de twee mogelijke voorspellingen en komt tot de conclusie dat beide dozen nemen altijd beter is

Hoorcollege Newcomb.

Hoorcollege met een onderdeel over de paradox van Newcomb.

~

Het orakel Cassandra.Een associatie die ik heb bij de paradox van Newcomb is de Griekse mythe over Cassandra: het orakel wiens voorspellingen niemand ooit geloofde. In de opgave van Newcomb komt de speler de voorspelling van het orakel uiteraard niet te weten, maar als ik erover nadenk, lijkt het of ik mijn eigen voorspelling steeds in twijfel trek. Zo blijf ik op twee gedachten hinken: soms is een filosoof als een kleuter die dringend moet gaan plassen, maar liever nog even verder speelt. ;-)

  • Op weg naar de studio neem ik mezelf beslist voor om enkel doos B te kiezen. Enkel zo zit er 1 000 000 € in het spel en dat is significant meer dan 1 000 €. Klaar!
  • In de studio slaat de twijfel toe: enerzijds loop ik een risico met lege handen naar huis te gaan (als het orakel zich vergist heeft, is doos B leeg), maar anderzijds – en belangrijker – het staat toch al vast wat er in de gelsoten doos zit, dus kan ik A er net zo goed bijnemen. Dat is 1 000 € extra. Mooi meegenomen!
  • Maar als het orakel dit heeft voorzien, dan zal er niets in doos B zitten en bega ik een stommiteit.
  • Maar het staat al vast wat er in doos B zit.
  • Maar het is de beslissing waarvan ik nu op het punt sta ze te maken die het orakel voorspeld heeft.
  • Aaaaaahhhhh!!!

Ik lijk er dus maar niet in te slagen met mezelf een strategie af te spreken en me daar vervolgens aan te houden.

~

Mijn eerste reactie op de paradox* was dat het vraagstuk niet precies genoeg geformuleerd is: de opgave laat meerdere interpretaties toe en dat leidt tot verschillende reacties. In het bijzonder: er wordt niet duidelijk gemaakt wat het betekent dat het orakel “uitzonderlijk goed” is in voorspellen. Als we bijvoorbeeld zouden weten wat de waarschijnlijkheid is van een correcte/foute voorspelling, dan zouden we kunnen uitrekenen wat de verwachte winst is bij elke keuze.

Als de waarschijnlijkheid op een fout hoger is dan een bepaalde kritische waarde dan is de eerste strategie beter; als de waarschijnlijkheid op een fout lager is dan de kritische waarde, dan is de eerste strategie beter.

Dit idee blijkt niet origineel te zijn. Ook wiskundige N.J. Wildberger denkt in die richting in dit filmpje waarin hij het probleem introduceert.

Een echte paradox gaat echter niet zo maar weg! Ook hier blijft het de vraag of deze aanpak het probleem echt oplost. Zelfs als het orakel perfecte voorspellingen aflevert, waarbij de redenering voor “enkel doos B” de enige juiste lijkt, blijft het ook een feit dat er al vast ligt wat er in doos B zit op het moment dat je in de studio staat en dat het er enerzijds niet meer toe lijkt te doen wat je effectief beslist (fatalisme) en anderzijds de redenering “A en B” ook weer correct lijkt.

Wederom: Aaaaaahhhhh!!!

~

Pierre-Simon Laplace.Trouwens, kan zo’n orakel wel bestaan? Deze vervolgvraag roept een tweede associatie op: de “demon van Laplace“. Laplace veronderstelde deterministische natuurwetten (zoals de wetten van Newton) en een bovenmenselijk intelligent wezen dat de huidige posities en snelheden van alle deeltjes in het universum zou kennen. Zo’n wezen zou volgens Laplace de toestand van het universum op een willekeurig moment uit het verleden of de toekomst kunnen berekenen. (De relevante passage staat in “A philosophical essay on probabilities” (1814) p. 4; ik schreef er ook over in dit bericht.)

Zou de demon van Laplace de rol van het orakel kunnen spelen, of zou zelfs deze intelligentie niet in staat zijn het gedrag van mensen te voorspellen? Deze vraag heeft te maken met het verband tussen determinisme en vrije wil. Wanneer er mensen in het universum voorkomen, die de voorspelling van de demon aan de weet zouden kunnen komen (of op zijn minst ernaar gissen), dan lijkt het erop dat het wezen zich zou kunnen vergissen. Tenzij mensen niet echt een vrije wil hebben, maar het determinisme ook op hen van toepassing is.

~

*: Dit klopt niet helemaal. Ik ‘kende’ de paradox al jaren, maar had er tot voor kort nog nooit echt over nagedacht.

~

Wat denk jij?