Tag Archief: wiskunde

Denken met je handen

Deze column is eerder verschenen in Eos  (oktober 2018).

Vorige zomer kocht ik een spelcomputer voor mijn zoon, en stiekem ook voor mezelf. Er hangt geen stekker aan en er moeten geen batterijen in, want deze computer werkt met vallende knikkers. De Turing Tumble lijkt op een plastic flipperkast, die je zelf moet samenstellen. Er zit een verhaal bij over ruimte-ingenieur Alia die op planeet Eniac strandt. Daar treft ze een gigantische knikkercomputer aan die ze moet repareren. Ze ontdekt proefondervindelijk waar de verschillende componenten voor dienen, en via de opgaves in het boek valt ook jou dat parcours te beurt.

Bij het bord horen verschillende types componenten die een knikker doorgeven, van richting doen veranderen, of opvangen. Er is ook een component met een pijl die omklapt telkens er een knikker passeert. Met een rij van dergelijke pijlen kan je binaire getallen voorstellen. De knikkercomputer is dus toch digitaal.

De Turing Tumble is een tastbare manier om te leren debuggen. Als het grondig misgaat, stuiteren de knikkers heel de kamer door.

Eigenlijk is de knikkercomputer bedoeld voor spelers vanaf acht jaar, maar mijn zoon was er nog geen zes toen ik onderstaand filmpje maakte van ‘zijn’ systeem. Nog twee jaar wachten om het uit te testen: dat geduld kon ik niet opbrengen. Gelukkig zit er een heldere opbouw in de opgaves, waardoor ook jongere kinderen de eerste tien opgaves de baas kunnen.

Mijn zoontje vindt het geweldig. Met zijn vinger volgt hij welk pad de knikker zal volgen. Hij is even ongeduldig als ik. Als iets niet meteen duidelijk is, dan laat hij de knikkers rollen. Zo ziet hij meteen of zijn oplossing werkt of niet. Iedereen die ooit iets geprogrammeerd heeft, zal zijn aanpak herkennen. Mogen falen is belangrijk om te kunnen leren (zie ook hier en hier).

Turing Tumble in actie. In het begin zijn alle knikkers boven: blauw links en rood rechts. De opdracht was hier om afwisselend twee blauwe en twee rode knikkers beneden beneden te laten aankomen.

Nu verdwijnt het spel tijdelijk in de kast, om het later te herontdekken. En, ja, er valt nog veel te ontdekken. Terwijl mijn zoon pas aan de lagere school is begonnen, kijk ik zelf al een poort vooruit. In juli keurde de Vlaamse regering nieuwe eindtermen goed voor de eerste Denken met je handen graad van het secundair onderwijs. Nieuw daarbij zijn eindtermen voor STEM en computationeel denken.

“In onze schermverzadigde samenleving is het wel zo prettig om nog iets te leren met materiaal dat je kan vastpakken.”

Voor dat laatste bestaan allerlei apps, maar om algoritmes te leren bedenken of de principes van debuggen (testen en bijsturen) onder de knie te krijgen, heb je geen elektronische computer nodig. Met mechanische systemen lukt het ook. In onze schermverzadigde samenleving is het wel zo prettig om nog iets te leren met materiaal dat je kan vastpakken. Zulke tastbare hulpstukken horen er niet alleen voor kleuters te zijn. Ik hoop dat middelbare scholen aan de slag gaan met knikkercomputers.

Eén Turing Tumble kost momenteel 70 dollar, wellicht te duur voor de meeste scholen. Er bestaat een simulator voor, maar schermtijd kan je nuttiger besteden. Gelukkig zijn er offline alternatieven. Wie van houtjetouwtje-oplossingen houdt, kan zijn hart ophalen aan onderstaande video van Alex Gorischek. Het filmpje demonstreert het principe van logische poorten met behulp van touwtjes en gewichten.

Een voorbeeld: als je een touwtje over een spijker leidt en één uiteinde van dat touwtje naar beneden trekt, dan gaat het andere uiteinde omhoog. Anders gezegd: de input ‘laag’ wordt omgezet in de output ‘hoog’ – en omgekeerd. Dit is de essentie van een NIET-poort. Door touwtjes aan elkaar te knopen kan je een EN- en OF-poort bouwen. Die componenten kan je vervolgens combineren. De borden om touwtjes aan te hangen kunnen leerlingen maken in de werkplaats van hun (technische) school, wat het benodigde budget voor materialen stevig naar beneden brengt.

Bij de start van het academiejaar stel ik vast dat ik zelf bijzonder weinig concreet materiaal gebruik voor mijn vakken. Er is enkel een waarheidstafel in hout, die ik maakte voor een slechtziende student. Terwijl misschien ook andere studenten baat zouden hebben bij zo’n tactiel model. Bij wetenschappen zijn practica courant, maar voor wetenschapsfilosofie ligt dat minder voor de hand.

Misschien brengt de component wetenschapsgeschiedenis soelaas. Dit jaar vertel ik extra enthousiast over het mechanisme van Antikythera: een oud-Griekse, mechanische computer die onder andere zonsverduisteringen kon voorspellen. Er zijn enkel verweerde fragmenten van teruggevonden in een gezonken schip. Mijn hoop is dat sommige studenten het mechanisme zo graag in werking willen zien dat ze bereid zijn een replica te maken – een maakproject dat ik met alle plezier begeleid. Want zelfs filosofen mogen denken met hun handen.

Tweede kans voor wiskunde

Dit opiniestuk is op 2 mei 2018 verschenen op knack.be, naar aanleiding van mijn college voor Universiteit van Vlaanderen.

‘Ik zou in een wereld willen leven waarin volwassenen avondlessen wiskunde volgen’

Professor wetenschapsfilosofie Sylvia Wenmackers wil in een wereld leven waarin avondles wiskunde voor volwassenen even populair is als Engels of Italiaans. Maar daarvoor moet de manier waarop wiskunde onderwezen wordt veranderen…

Wiskunde.

Foto van Allef Vinicius (via Unsplash).

Stel je een school voor waar het volgende gebeurt:

Elke ochtend moeten leerlingen hun spiegelbeeld vergelijken met de Instagram-feed van een internationaal modellenbureau. De modellen zijn geselecteerd uit de hele wereldbevolking. Ze worden gemaquilleerd, gekleed en gefotografeerd door professionelen. Van elke shoot wordt minder dan 1% van de beelden bewaard en die selectie wordt stevig nabewerkt. Uit de bewerkte foto’s kiest een curator welke vrijgegeven worden. Maar dat hele proces wordt niet uitgelegd aan de leerlingen.

Dit scenario is gelukkig fictief, maar het lijkt verrassend veel op de manier waarop wiskunde vandaag onderwezen wordt.

Wiskunde wordt namelijk zeer ahistorisch gedoceerd. Dat is eigen aan het vakgebied: mislukte pogingen worden in latere samenvattingen niet meer opgenomen, waardoor de wiskunde in handboeken een lange triomftocht lijkt. Stelling – bewijs, stelling – bewijs, stelling – bewijs. Bij sommige stellingen hoort een naam; sommige namen komen opvallend vaak voor (zoals Euler, Gauss en Fermat). Het is even gemakkelijk om je een mislukking te voelen in vergelijking met die fictieve geschiedenis, als om je een lelijk eendje te voelen op onze fictieve school. Uit zelfbescherming haken veel leerlingen dan ook af: ‘Ik heb geen wiskundeknobbel, geef mij maar talen’.

Als leerlingen aan een oefening beginnen, lukt het hen vaak niet om die meteen op te lossen. Het is zo jammer dat we hen niet tonen dat dat perfect normaal is. Wiskundigen en wetenschappelijke onderzoekers zitten ook vaak vast. Het grootste verschil tussen onderzoekers en anderen is dat die eersten hiertegen bestand zijn. Ze vertrouwen op hun eigen kunnen, hebben een netwerk om raad aan te vragen en weten uit ervaring dat de aanhouder vaak wint.

De leerlingen op de fictieve school zouden veel baat hebben bij uitleg over hoe de fotoreeks tot stand komt. Dit zou hun zelfbeeld ten goede komen. Om dezelfde reden zouden we leerlingen veel beter moeten uitleggen hoe wiskunde en wetenschap tot stand komen.

Blunderboek

Mijn eigen onderzoek gaat over filosofie van de kansrekening. In de geschiedenis hebben opvallend veel wiskundigen geblunderd op het vlak van kansen. Terwijl meetkunde al bij de Oude Grieken ontwikkeld werd, heeft het tot de zeventiende eeuw geduurd voor wiskundigen tot een theorie over kansen kwamen. Dit gebeurde op vraag van een Franse schrijver, die zich Chevalier de Méré liet noemen – een fervent gokker. Pascal en Fermat probeerden in een briefwisseling zijn vragen over kansspelen op te lossen. In hun correspondentie zien we vooral Pascal worstelen om grip te krijgen op het concept kans. Het is ook in deze context dat de beroemde driehoek van Pascal voor het eerst opduikt. Precies dit soort voorbeelden bieden een waardevolle aanvulling op het wiskundecurriculum.

Stel nu eens dat de twee hoofddoelen van wiskunde op school zouden zijn: leerlingen wiskundige basisvaardigheden meegeven (zoals nu) én hen een realistische en waarderende houding ten aanzien van wiskunde bijbrengen. Dat tweede doel zou ervoor zorgen dat ex-leerlingen in hun latere leven open blijven staan om zich wiskundige denkpatronen eigen te maken, ten minste te proberen een vraag met wiskundige middelen te analyseren en als dat niet lukt erover te praten of doelgericht hulp te zoeken. Als dit tweede doel verwaarloosd wordt, leren wiskundelessen vooral hulpeloosheid aan: de leerkracht weet het antwoord al, dus als leerling moet je gewoon afwachten tot het enige juiste antwoord aan bord komt. Zelfs een rekenmachine kan het antwoord geven, als je maar zou weten hoe het vervloekte bakje werkt. Wat er ontbreekt is plantrekkerij, samenwerking en waardering daarvoor. Ondertussen blijven er antwoorden komen op vragen die je je nooit hebt gesteld.

Ik zou in een wereld willen leven waarin volwassenen avondlessen wiskunde kunnen volgen, net zoals ze nu een extra taal kunnen leren. Dat wil zeggen: een wereld waar daar vraag naar is. Een wereld waarin wiskunde gezien wordt voor wat het is: een integraal deel van de menselijke cultuur.

Wiskundehaat?

Op de middelbare school is wiskunde een groot vak, net zoals Nederlands. Bij Nederlands krijgen leerlingen allerlei opdrachten: een boek lezen van een bekroond auteur, een groepswerk maken, zelf een gedicht schrijven, de grammatica van een zin analyseren en de herkomst van de eigen voor- en familienaam opzoeken in de bibliotheek. Vaak is het handboek thematisch, zodat het voor leerlingen lijkt alsof het bij Nederlands over eender wat kan gaan. Ondertussen worden woordenschat, grammatica en geschiedenis aangeleerd. Soms wordt er ook geoefend op direct toepasbare vaardigheden, zoals het schrijven van een sollicitatiebrief.

Wiskunde is anders. De werkvormen zijn minder gevarieerd. Er is weinig aandacht voor topwiskunde of de wiskundige cultuur van een tijd. Er zijn nauwelijks open opdrachten, waarbij meerdere oplossingen mogelijk zijn. Stelling – bewijs, stelling – bewijs, stelling – bewijs. Door het monotone lespatroon blijft er van het aangeleerde op lange termijn weinig hangen. Het emotionele register is hoofdzakelijk negatief georiënteerd. Terwijl de wiskunde zelf – als vakgebied, maar niet als schoolvak – ruimte laat voor zo veel meer emoties: nieuwsgierigheid, verwondering en verbondenheid.

Wiskundeleerkracht Larry Martinek uit Los Angeles in de Verenigde Staten verwoordt het als volgt: ‘Kinderen haten geen wiskunde. Wat ze haten is verward, geïntimideerd en in verlegenheid gebracht worden door wiskunde. Met begrip komt passie, en met passie komt groei – een schat wordt ontgrendeld.’

Wiskunde heeft een rijke geschiedenis en laat ruimte genoeg voor exploratieve opdrachten naast de repetitieve, die ook nodig zijn om vaardigheden in te oefenen. Ik vind het inspirerend dat wiskundeleerkrachten wereldwijd ideeën uitwisselen over hoe ze hun eigen passie voor het vak kunnen overdragen aan de nieuwe generatie. Op Twitter kan ik de volgende mensen van harte aanraden: Eugenia Cheng (@DrEugeniaCheng, auteur van How to bake π en Beyond Infinity), Matt Enlow (@CmonMattTHINK) en Dave Richeson (@divbyzero). Twee inspirerende hashtags zijn #MathArt en #tmwyk (talk math with your kids).

TegenSTEM

Met projecten over STEM wordt geprobeerd om de verbanden tussen vakken als wiskunde, fysica, chemie en informatica duidelijker te maken. Dat is een lovenswaardig doel, maar helaas werkt het in de praktijk polarisering in de hand tussen ’talenmensen’ en ‘cijferaars’. De huidige campagnes lijken STEM namelijk boven andere vakken te verheffen. Terwijl er net over die grenzen heen nog zo veel inspiratie en leerwinst valt te halen.

Mijn eigen fascinatie voor fysica ontstond bijvoorbeeld door te lezen: eerst sciencefiction en daardoor steeds meer populairwetenschappelijke boeken. Zij gaven mij voor het eerst een beeld van het leven als onderzoeker: de interacties tussen mensen, het proberen, het falen en het sporadische succes. Daar ligt niet alleen de bron voor mijn studiekeuze (fysica), maar het gaf me ook de extra dosis moed om door te zetten op momenten dat ik een triviale oplossing niet zag: ‘Wiskunde is nu eenmaal moeilijk, maar moeilijk gaat ook’.

Het is mijn hoop dat er taalleerkrachten zijn die op hun leeslijst enkele boeken willen opnemen die relevant zijn voor STEM: denk aan Flatland bij Engels, of waarom geen non-fictie? Er zijn prachtige biografieën over wetenschappers. Het is hoog tijd dat taalleerkrachten en STEM-leerkrachten meer samenwerken.

Het tapijt van Sierpiński

Kunst en wetenschap zijn abstracte begrippen, maar wat gebeurt er als je een kunstenaar en een wetenschapper laat samenwerken aan een concreet project? Chaos gegarandeerd, maar komen er ook mooie dingen uit? Lees en oordel zelf.

Deze column is eerder verschenen in het zomernummer van Eos en op de Eos-website.

Sierpiński.

Iteraties van het tapijt van Sierpiński.

Het voorbije academiejaar liep er een pilootproject waarbij studenten van de Leuvense kunstacademie SLAC gekoppeld werden aan onderzoekers van de KU Leuven. Het project PiLoT1 werd vanuit de universiteit ondersteund door een STEM-coördinator. Het acroniem STEM is gebaseerd op de Engelstalige benamingen voor natuurwetenschappen, technologie, werktuigbouw en wiskunde. Op scholen leidt STEM tot mooie projecten, waarbij deze disciplines geïntegreerd worden. Eenzijdige STEM-promotie heeft echter ook een schaduwzijde: een impliciete suggestie dat andere disciplines minder relevant zouden zijn. Alsof menswetenschappen en talen niet even noodzakelijk zijn om jongeren voor te bereiden op een leven in onze toekomstige maatschappij.

STEAM, met de A van Arts, slaat een brug tussen kunsten en wetenschappen.

Ook de kunsten vallen buiten STEM. In reactie daarop werd STEAM voorgesteld, met de A van Arts erbij, om een brug te slaan tussen kunsten en wetenschappen. Ontwikkelaars van nieuwe technologieën, ingenieurs en architecten wegen immers ook esthetische criteria mee in hun ontwerpen. Door de intrinsieke schoonheid van wiskunde en wetenschap uit te lichten, kan bovendien de promotie van deze disciplines bevorderd worden. Omgekeerd kunnen kunstenaars zich onderscheiden door nieuwe materialen toe te passen, zoals Anish Kapoor die als enige Vantablack mag gebruiken. Dit is de zwartste verf ter wereld op basis van verticaal gealigneerde koolstofnanobuisjes. Daarnaast reageren sommige kunstenaars in hun werk op maatschappelijk ingrijpende gevolgen van ontwikkelingen in STEM-domeinen.Ik nam deel aan het STEAM-project PiLoT1 en werkte samen met Shuktara Momtaz. Ze is afkomstig uit Bangladesh en kwam naar België om haar opleiding in de architectuur te voltooien. Intussen werkt ze bij een ingenieursbureau en ’s avonds schildert ze in het vakoverschrijdend atelier. Het doel was om elkaar te inspireren en de resultaten te tonen in een afsluitende tentoonstelling met als thema “Chaos”.

Voor mij als fysicus speelt het begrip chaos een positieve rol: het helpt verklaren hoe eenvoudige deterministische systemen toch zeer complex, praktisch onvoorspelbaar gedrag kunnen vertonen. De meeste deelnemende kunstenaars associeerden chaos met negatieve of bedreigende emoties. Zo ook Shuktara. Zij verwoordde het als volgt: “Ondanks de chaos rond me, leef ik best.” Via onze gesprekken ontdekte ik wat ze hiermee bedoelde: als vrouw van niet-Westerse origine heeft ze in haar leven al veel discriminatie ervaren, maar ze laat het hoofd niet hangen en werkt hard aan een betere toekomst voor haar dochters.

We gingen op zoek naar een vorm om onze visies op chaos in een kunstwerk te verweven. Ik suggereerde een vorm die ontstaat door dezelfde regel op steeds kleinere schaal te herhalen. Dit zijn iteraties van een fractal, bijvoorbeeld het tapijt van Sierpiński: beginnend met een vierkant, telkens het midden van de overblijvende vierkanten weghalen. Shuktara was meteen enthousiast over het voorstel en stelde voor om er een kubus van te maken. Bij het FabLab kon ik de platen met een computergestuurde CO2-laser uitsnijden. (Meer details over de fractal en het FabLab-avontuur lees je hier.)

De zijvlakken van onze kubus zien er niet chaotisch uit, maar juist zeer geordend. Toch is er voor wetenschappers een nauwe relatie tussen fractals en chaos: fractals zijn vreemde attractoren die de baan bepalen van een deterministisch systeem dat zich chaotisch gedraagt. De chaos die bij deze fractal hoort, zie je dus niet in ons kunstwerk, maar is impliciet aanwezig.

PiLoT1.

Portret van Shuktara en Sylvia met hun kunstwerk tijdens de vernissage van PiLoT1. (Foto gemaakt door een dochter van Shuktara.)

De binnenkant beschilderde Shuktara met blauwe tinten acrylverf. Omdat het individu de wereld om zich heen niet of nauwelijks kan veranderen is de buitenkant onbewerkt gebleven. Zodra we ons buitenshuis begeven zijn we onderworpen aan hokjesdenken: andere mensen delen ons in – meestal op basis van uiterlijke kenmerken, zoals huidskleur en geslacht. Deze categorisatie gaat gepaard met oordelen en dat werpt schaduwen op ons leven. Bovendien herhalen de processen zich op verschillende niveaus: discriminatie kan optreden in individuele contacten, maar uitsluiting kan ook geïnstitutionaliseerd raken en zo steeds grotere schaduwen werpen. Deze schaalonafhankelijkheid wordt op een abstracte manier getoond in de zijvlakken van de kubus.

Hokjesdenken helpt ons op korte termijn om de chaos om ons heen te bestieren, maar veroorzaakt op langere termijn nieuwe chaos. Of we nu over STEM of STEAM praten, uiteindelijk moet het doel zijn om over de grenzen van ons eigen vak de wereld in te kijken, met een open vizier. Wellicht kunnen gesprekken tussen individuen een goede basis vormen voor zo’n nieuwe invalshoek: precies de meerwaarde van dit project.

Maak kennis met: Vieri Benci

Een leerling van een middelbare school vroeg me of ik haar wat meer informatie kon bezorgen over Vieri Benci. Samen met twee andere leerlingen maakt ze namelijk een opdracht (‘onderzoekscompetentie’) over het oneindige. Fantastisch onderwerp, natuurlijk, en de voorlopige versie die bij de e-mail zat zag er ook al heel goed uit.

Via haar leerkracht waren ze op mijn blog terechtgekomen en daar lazen ze over Benci (hier en in dit filmpje), maar ze konden online weinig informatie over hem vinden, zeker niet in het Nederlands. (Zijn eigen website is grotendeels in het Italiaans.) In de taak waren er al stukjes over Galileo en Cantor opgenomen, maar de biografische informatie over Benci ontbrak nog. Door haar vraag besefte ik dat Vieri Benci nog geen Wikipedia-pagina heeft. Dat is jammer. Het zou fijn zijn als de eerste pagina over hem niet in het Italiaans of het Engels maar in het Nederlands zou zijn. Ja, dit is een oproep. ;-) Daarom deel ik hier de informatie die ik haar stuurde.

~

Professor Vieri Benci is een Italiaanse wiskundige die gespecialiseerd is in partiële differentiaalvergelijkingen. Zijn meest geciteerde artikels gaan over die tak van de wiskunde. Hij werkte bijvoorbeeld over vergelijkingen waarvan de oplossingen solitonen zijn. Zijn academische CV in het Engels vind je hier.

Hij is geboren en opgegroeid in Firenze en heeft wiskunde gestudeerd in Pisa. Hij studeerde af als ‘laurea’ in 1972. Vanaf dat moment mocht hij zich ‘doctor in de wiskunde’ noemen. (Op dat moment was er in Italië nog geen echte doctoraatsopleiding zoals wij die kennen: dat werd pas meer dan tien jaar later ingevoerd.) Vervolgens heeft hij in Parijs en in de Verenigde Staten gewerkt (aan drie verschillende universiteiten) en in die periode heeft hij zijn Amerikaanse vrouw leren kennen. Ze verhuisde met hem mee naar Italië (eerst Bari, dan Pisa) en ze kregen twee zonen, die inmiddels volwassen zijn. Vieri en zijn vrouw wonen en werken in Pisa: zij is lerares Engels en, ja, Vieri spreekt ook zeer goed Engels. Sinds 1984 is hij professor in het wiskunde-departement in Pisa. Hij heeft de graad van gewoon hoogleraar: dat is de hoogste academische graad.

In 1995 presenteerde hij op een congres over een nieuw idee om oneindige verzamelingen te ’tellen’. Dit publiceerde hij in de ‘proceedings’ van dat congres in het Italiaans. Hij was op dat moment een ervaren wiskundige en is dus een levend tegenvoorbeeld van de stelling dat enkel jonge wiskundigen vernieuwende ideeën kunnen hebben! Dat idee heeft hij later uitgewerkt met Mauro Di Nasso in een Engelstalig artikel. Daarna heeft hij er nog verder over gewerkt. Paolo Mancosu schreef er een overzichtsartikel over en dat heb ik toevallig gevonden toen ik aan een doctoraat bezig was over een alternatieve theorie voor waarschijnlijkheidsrekening. Daarna ben ik de artikels van Vieri Benci zelf gaan lezen en heb ik hem een keer ontmoet toen hij in Brussel was voor een congres. We zaten meteen op dezelfde golflengte en sindsdien hebben we (samen met nog een derde collega) twee artikels gepubliceerd.

Vooraf gingen we op bezoek op de afdeling waar Vieri werkt. Daar is goed zichtbaar dat het economisch niet zo goed gaat in Italië: er staan veel kantoren leeg, dus er zijn niet zo veel jonge doctoraatsstudenten als in een vergelijkbaar departement in België bijvoorbeeld. Er werken wel zeer goede wiskundigen. Vieri werkt vooral samen met twee lokale specialisten in de logica (Mauro Di Nasso en Marco Forti) en met voormalige doctoraatsstudenten.

Vieri is ook erg geïnteresseerd in geschiedenis van de wiskunde en wetenschapsfilosofie. Over dat laatste schreef hij samen met Paolo Freguglia een boek, dat enkel in het Italiaans verschenen is (“Modelli e realtà. Una riflessione sulle nozioni di spazio e tempo“). Hij heeft circa 175 onderzoeksartikels over wiskunde geschreven en is nog steeds actief: vorige maand heeft hij me nog een nieuw artikel bezorgd om na te lezen. Over zijn alternatieve theorie om het oneindige te tellen staat er een Engelstalig boek gepland, dat hij samen met Mauro Di Nasso aan het schrijven is.

Kinderen van de Kosmos: lezing en tekst

Vandaag geef ik in Gent een lezing in de reeks Markante Dialogen met als titel: “Kinderen van de Kosmos: lijkt de wereld te vatten in wiskundige formules?” Deze lezing is gebaseerd op mijn essay “Children of the Cosmos waarmee ik in 2015 de hoofdprijs won in een essaywedstrijd van het Foundational Questions Institute (FQXi). Intussen ben ik zelf ook lid van FQXi: dat was onderdeel van de prijs.

De originele versie van mijn essay heb ik achteraf vertaald naar het Nederlands, maar ben ik vervolgens vergeten op mijn blog te plaatsen. Hieronder plaats ik het begin. (De volledige tekst kan je via de link onderaan downloaden als pdf.)

Kinderen van de Kosmos

Speling in het wetenschappelijke raderwerk

Onze wiskundige modellen kunnen ons onredelijk effectief toeschijnen, maar enkel als we vergeten in rekening te brengen wie wij zijn: wij zijn de kinderen van deze Kosmos. We zijn hier geboren en we kennen onze weg in deze contreien van de Melkweg, ook al beseffen we niet altijd wat voor een wonderlijke verwezenlijking dat is.

“[A]l onze wetenschap, afgemeten aan de werkelijkheid, is primitief en kinderlijk – en toch is het het meest waardevolle dat we hebben.”
– Albert Einstein

“[I]k lijk slechts een jongen te zijn geweest die aan zee op het strand speelde, en zichzelf amuseerde met nu en dan een gladder keitje te vinden of een mooiere schelp dan gewoonlijk, terwijl de grote oceaan der waarheid zich onontdekt voor me uitstrekte.”
– Isaac Newton.

Wiskunde kan onredelijk effectief lijken in de natuurwetenschappen, vooral in de fysica. In dit essay argumenteer ik dat dit oordeel, minstens ten dele, toegeschreven kan worden aan selectie-effecten. Ter ondersteuning van deze centrale bewering voer ik vier elementen aan. Het eerste element is dat wij wezens zijn die geëvolueerd zijn binnen dit universum en dat onze vermogens om patronen op te sporen geselecteerd zijn door diezelfde omgeving. Het tweede element is dat onze wiskunde – hoewel niet volledig ingeperkt door de natuurlijke wereld – sterk geïnspireerd wordt door onze waarneming van die wereld. Het derde element bekritiseert de gebruikelijke waardering van de efficiëntie van wiskunde. Onze focus op de zeldzame successen maakt ons blind voor de alomtegenwoordige mislukkingen (selectievertekening). Het vierde element is dat het proces van het toepassen van wiskunde veel meer vrijheidsgraden verschaft dan de vrijheidsgraden die er binnen de wiskunde zelf zijn. Dit laatste element zal geïllustreerd worden door het gebruik van ‘infinitesimalen’ in de context van wiskunde en fysica. Maar eerst zet ik kort mijn visie op natuurwetenschap en wiskunde uiteen, omdat deze het canvas vormen waarop ik mijn centrale stelling uitteken.

Verder lezen? Download dan hier de tekst “Kinderen van de Kosmos”.

Een meer uitgebreide versie is vorig jaar als hoofdstuk in een Engelstalig boek verschenen: ook die versie kan je desgewenst via de links hieronder downloaden.

Wenmackers, S.
“Children of the Cosmos”
Chapter in: Anthony Aguirre, Brendan Foster, and Zeeya Merali (eds.) “Trick or Truth?”, Frontier’s Collection, Springer (2016) pp. 5-20.
<Springer>  <full preview of my chapter>  <preprint at Lirias>  <earlier (shorter) version FQXi>

Laat niemand die geen meetkunde kent hier binnengaan

Het Rotman Instituut voor Filosofie schreef een wedstrijd uit: maak een foto om een filosofisch concept te illustreren. Ik zag een schaduw en, mede geïnspireerd door het werk van Tara, maakte ik daar een foto van. En dat leverde een eervolle vermelding op. De winnaar en de andere drie eervolle vermeldingen zie je hier.

Dit was mijn inzending:

LetNoOneIgnorantOfGeometryEnter.

“Let no one ignorant of geometry enter.” The Sun is illuminating the three-dimensional shape visible at the top, projecting a two-dimensional shadow on the door below. The scene is reminiscent of the warning said to have been above the door to Plato’s Academy, hence the caption. (This quote is possibly apocryphal, but still popular and relevant enough to some of Plato’s actual writings.) The fact that the Ideal Form is a dryer stand – a common household object, often associated with women’s labor – can be seen as a subtle response to the underrepresentation of women in Philosophy as well as in Mathematics.

De titel bij mijn inzending laat zich vertalen als “Laat niemand die geen meetkunde kent hier binnengaan”. De mythe wil immers dat deze uitspraak boven de ingang van Plato’s Academie stond. (Zie bijvoorbeeld Struiks “Geschiedenis van de wiskunde”, die online beschikbaar is.) Het filosofische concept is Plato’s vormenleer (waarbij het concept ‘afschaduwing’ belangrijk is) en zijn filosofie van de wiskunde.

Vragen van Daan – deel 2: over het heelal

Van Daan kreeg ik twee vragen:

  1. Als het heelal oneindig is, hoe kan het dan nog uitdijen?
  2. Hoe kunnen er verschillende soorten oneindig zijn?

Vorig jaar plaatste ik mijn antwoord op de laatste vraag. Er kwamen wat andere dingen tussen, maar vandaag schrijf ik alsnog mijn tweede brief aan Daan met het antwoord op zijn vraag over het heelal.

Hubble.

Cluster van sterrenstelsels (MACS J0416) gefotografeerd door de Hubble-ruimtetelescoop. (Bron afbeelding: NASA/ESA.)

~

Beste Daan,

In mijn vorige brief heb ik proberen uitleggen waarom wiskundigen tegenwoordig denken dat er inderdaad meerdere soorten oneindigheid bestaan (je tweede vraag). Een belangrijk onderdeel van mijn antwoord was de theorie van Cantor over de ‘cardinaliteit’ van verzamelingen. Deze uitleg komt me nu goed van pas bij het beantwoorden van je eerste vraag.

Eerst even ter herinnering: twee verzamelingen hebben dezelfde cardinaliteit wanneer er een één-op-één relatie tussen bestaat. Met andere woorden, als er manier bestaat om aan elk element van de ene verzameling precies één element van de andere verzameling te koppelen zodanig dat ook alle elementen van de tweede verzameling aan bod komen. Als dit kan, dan zijn de verzamelingen “even groot” – in de specifieke betekenis van ze hebben “dezelfde cardinaliteit”. Dit is in feite hoe we eindige verzamelingen tellen, dus het is geen gek idee om het ook in het oneindige geval zo te proberen.

Hotel van Hilbert

Toch heeft deze manier van ’tellen’ wat vreemde gevolgen in het oneindige geval. Die worden geillustreerd door het Hotel van Hilbert. (Hilbert is de naam van een belangrijke wiskundige: David Hilbert.)

  • Een extra gast

Stel je een hotel voor waarin de kamers genummerd zijn met alle natuurlijke getallen. Er zijn dus aftelbaar oneindig veel kamers in dit fictieve hotel. Bovendien zijn alle kamers in het hotel bezet. Op dat moment komt er een nieuwe gast aan. Wat nu?

Wel, de receptionist beveelt alle gasten naar de kamer te gaan waarvan het kamernummer één hoger is dan waar ze nu zijn. De gast in kamer 1 verhuist naar kamer 2; de gast in kamer 2 verhuist naar kamer 3; enzoverder. Zo hebben alle gasten die er al waren nog steeds een kamer en is kamer 1 vrijgemaakt voor de nieuwe gast.

Dit verhaal illustreert de volgende eigenschap van cardinaliteit: 1 + aftelbaar oneindig = aftelbaar oneindig.

Geen enkel eindig getal is gelijk aan één plus zichzelf. Het is dus wel duidelijk dat de gewone rekenregels voor eindige getallen niet gelden voor oneindige cardinaliteiten.

Als er meerdere extra gasten tegelijk op de stoep staan, kunnen we een soortgelijke oplossing bedenken. (Als er bijvoorbeeld 100 extra gasten zijn, dan laten we de gast uit kamer 1 verhuizen naar kamer 101, de gast uit kamer 2 naar kamer 102, enzoverder.)

  • Oneindig veel extra gasten

Goed, een eindig aantal extra gasten kan dit hotel duidelijk wel aan. Maar wat als er een nabijgelegen hotel, ook met aftelbaar oneindig veel bezette kamers, ontruimd moet worden en er dus nog eens aftelbaar oneindig veel extra gasten bij moeten?

Ook daarvoor is er een oplossing: laat elke gast verhuizen naar de kamer met als nummer het dubbel van zijn of haar huidige kamernummer. Na de verhuis zitten er enkel nog gasten in de kamers met even nummers en kunnen er dus aftelbaar oneindig veel nieuwe gasten inchecken in de kamers met oneven nummers.

Dit verhaal illustreert de volgende eigenschap van cardinaliteit: 2 x aftelbaar oneindig = aftelbaar oneindig. Of nog: de verzameling van alle even getallen heeft dezelfde cardinaliteit als de verzameling van alle natuurlijke getallen.

Bekijk ook onderstaand filmpje van TED-Ed over het hotel van Hilbert (6 minuten):

Uitdijend heelal

Uit metingen blijkt dat nagenoeg alle sterrenstelsels van ons en van elkaar weg bewegen. Deze waarneming is één van de peilers van de oerknaltheorie: de wetenschappelijke theorie die zegt dat ons heelal ooit veel heter en dichter was dan het nu is. Je kan je de uitdijing van het heelal het beste voorstellen als extra ruimte die erbij komt tussen de sterrenstelsels. Hiervoor worden soms de volgende beelden gebruikt:

  • Stel je de sterrenstelsels in onze omgeving voor als rozijnen in brooddeeg. Terwijl het deeg rijst, bewegen alle rozijnen uit elkaar doordat het deeg ertussen uitzet.
  • Of stel je ons sterrenstelsel voor als een mier die op een elastiekje loopt. Terwijl de mier stapt, wordt het elastiekje telkens verder uitgerokken.

De reden dat ik dit erbij schrijf is dat het woord oerknal (of Big Bang) de meeste mensen – heel begrijpelijk – aan een ontploffing doet denken, waarbij alle brokstukken vanaf de bron van de explosie uit elkaar door de ruimte vliegen. In het geval van het heelal is dit echter een zeer misleidend beeld! Het is namelijk niet zo dat er oneindig veel lege ruimte klaarligt waarin de sterrenstelsels aan ‘de rand van het heelal’ uitzwermen. (Er is geen rand van het heelal.) Bovendien is het niet zo dat er in het heelal één bijzondere plaats is waar de oerknal ooit heeft plaatsgevonden: de oerknal vond overal tegelijk plaats. Dat is – hopelijk – beter te begrijpen met het beeld van ruimte die erbij komt tussen de sterrenstelsel.

Hoe een oneindig heelal kan uitdijen

Nu hebben we -eindelijk!- alles wat we nodig hebben om je vraag over het heelal te beantwoorden. Als het heelal al oneindig is, hoe kan het dan nog groter worden? Stel dat we het volume van het heelal op twee momenten vergelijken (bijvoorbeeld nu en over een uur).

  • Voor en na het uitdijen kunnen we het heelal ‘oneindig’ noemen, maar dit betekent niet dat het niet groter is geworden: oneindig is geen getal. Zoals ik vorige keer al schreef, betekent dit woord enkel ‘niet eindig’. (Dit werkt zoals het woord ‘veel’: ik heb al veel boeken in huis en ik koop er nog een paar, dan zijn het er nog steeds ‘veel’ – en toch zijn het er nu meer dan voorheen.)
  • Stel dat we het volume van het heelal uitdrukken in kubieke meter. Als het heelal oneindig is, kunnen we het aantal kubieke meter uitdrukken met een cardinaliteit. Net zoals er in het Hilbert hotel altijd oneindig veel extra plaats gemaakt kan worden tussen de gasten, kan dit ook in een oneindig uitdijend heelal. Er komt extra ruimte bij tussen de ‘gasten’ van het heelal, namelijk tussen de sterrenstelsels. Vreemd genoeg wordt de cardinaliteit van het aantal kubieke meter in het heelal hierbij niet noodzakelijk groter, maar dit betekent niet dat het niet groter is geworden: cardinaliteiten zijn geen gewone getal. Cardinaliteit drukt een soort grootte-orde van oneindigheid uit. (Stel dat ik moet schatten hoeveel boeken ik in huis heb. Ik heb ze niet precies geteld, maar ik schat ‘duizenden’. Als ik er twee bij koop, of zelfs enkele honderden, dan zijn het er nog steeds “duizenden”. Toch heb ik achteraf meer boeken dan voordien en op een bepaald moment moet ik een kast bijkopen.)
  •  Als het heelal oneindig is, kunnen we het aantal kubieke meter ook anders uitdrukken, namelijk met een numerositeit. De numerositeit van het volume van het heelal wordt wél groter terwijl het heelal uitdijt. Hieraan kunnen we dus wel, net als bij gewone getallen, zien dat het groter is geworden. (Eerst had ik bijvoorbeeld 2540 boeken, daarna 2612.)

Ik stelde je vraag op Twitter aan Sean Carroll (theoretisch fysicus bij Caltech) en hij antwoordde als volgt:

“Space expands between galaxies. Think of the integers, and multiply them all by 2. Still infinitely many, but further apart.”

Carroll schrijft trouwens blogposts en heel boeiende boeken waarin hij complexe ideeën uit de fysica glashelder uitlegt en vaak ook verbindt met filosofische vragen – een aanrader, dus!

Is het heelal inderdaad oneindig?

Ik heb je vraag geïnterpreteerd als “Indien het heelal oneindig is, hoe kan het dan nog uitdijen?” Over de aanname wil ik wel nog een belangrijke opmerking maken: het is namelijk helemaal niet zeker of het heelal oneindig is! De snelheid van licht in vacuüm is ongeveer 300 duizend km/s. Dat is naar onze maatstaven is een zeer grote snelheid, maar het is wel een eindig getal. Doordat de lichtsnelheid eindig is en alle signalen in het heelal (voor zo ver we weten) zich maximaal met deze snelheid kunnen voortplanten, is er een grens aan hoe ver we kunnen kijken. (De signalen moeten ons tijdens de leeftijd van het heelal bereikt kunnen hebben.) We weten niet hoe groot het heelal is buiten het voor ons waarneembare deel, waardoor er ruimte blijft voor verschillende theorieën en speculaties.

Aarde in het waarneembare universum.

Aarde in het waarneembare universum. (Bron afbeelding.)

Sommige fysische modellen gaan ervan uit dat het heelal oneindig groot is, of dat wat wij het heelal noemen eigenlijk maar een klein deel is (een soort bubbel) van een veel grotere structuur. Hoewel we niet buiten het voor ons waarneembare deel van het heelal kunnen kijken, kunnen we wel proberen indirecte aanwijzingen te vinden in onze omgeving over hoe het heelal als geheel eruit ziet. Uit nauwkeurige WMAP-metingen van NASA maken we op dat het heelal in elk geval veel groter is dan het deel dat we kunnen zien. Zo proberen kosmologen loutere speculaties te scheiden van onderbouwde theorieën en toch een tipje van de sluier op te lichten over de structuur van het heelal als geheel.

Vriendelijke groeten,
Sylvia

1 2 3… Infinity!

Zoals eerder aangekondigd heb ik op 17 februari meegedaan aan de “YouReCa Challenge 2016”, een Science Slam georganiseerd door de KU Leuven in het Depot. Er waren vijf presentaties in het Engels over wetenschappelijke onderwerpen, maar op zo’n manier gebracht dat het ook voor niet-wetenschappers te volgen was. Het was tegelijk ook een wedstrijd, met een vier-koppige jury en een publieksprijs. Beide hoofdprijzen werden gewonnen door Pieter Thyssen, met zijn presentatie over tijdreizen.

Op deze website vind je foto’s van de avond en onderstaande video geeft een sfeerverslag met fragmenten van alle presentaties.

Opnames van alle presentaties staan nu ook online:

Mijn bijdrage was een presentatie van 8 minuten over de vraag of we oneindig kunnen tellen. Ik heb de videoregistratie van mijn presentatie aangevuld met de slides. Aangezien mijn Engelse dictie te wensen overlaat, heb ik er op YouTube nu ook Engelstalige ondertitels aan toegevoegd. ;-) (Die moet je wel nog zelf aanzetten door onderaan rechts in de video op het rechthoekige symbool voor Subtitles/Ondertitels te klikken.)

Onder de vouw vind je de Engelstalige transcriptie met aanvullende informatie in voetnoten.

(meer…)

Vraag van Mark: over pi en infinitesimale kansen

In reactie op mijn eerste brief aan Daan dwarrelde er nog een fijne vraag mijn inbox binnen, van een zekere Mark Mark Iske, bewoner van deze wonderlijke blogplek, met daarop zowel poëzie als patafysica (!) [aangevuld op 18/09]. Met zijn toestemming plaats ik zijn vraag en mijn antwoord ook weer op mijn blog. (Sorry, Daan, jouw tweede brief komt er ook aan, hoor!)

Marks vraag komt hierop neer:

Als de kans op een cijferherhaling in pi gelijk is aan 1/10 dan is het in theorie mogelijk dat ergens in de decimale ontwikkeling van pi het cijfer 1 wordt gevolgd door nog een 1, en nog 1, en nog 1, en nog 1, en nog 1, enz en zo aftelbaar oneindig door. Als ik je concept van infinitisimale kansen goed begrijp, is de kans op die oneindige reeks enen niet nul maar infinitisimiaal klein, en dus niet onmogelijk.
Als de getallenreeks waar pi uit is opgebouwd oneindig is, zou je verwachten dat ergens in pi die oneindige reeks van 1-en te vinden is, die uiteraard ergens in pi een beginpunt heeft, maar geen eindpunt. Maar je zou dezelfde redenering kunnen opbouwen rond een oneindige reeks 2-en (en ook 3-en, 4-en, enzoverder). Maar waar bevinden die reeksen zich dan, als de reeks 1-enen al oneindig lang doorgaat?

Voor ik deze vraag kan beantwoorden, moet ik eerst wat van de impliciete aannames rechtzetten.

Over normale en rationale getallen

Pi.(1) Het is niet bewezen dat pi een zogenaamd “normaal getal” is. (Zie ook hier) Normale getallen zijn getallen waarvoor inderdaad geldt dat alle cijfers en combinaties ervan even vaak komen in de decimale voorstelling ervan (en idem voor binaire of andere voorstellingen van het getal!).

Er wordt algemeen weliswaar aangenomen dat pi ook een normaal getal is, maar hier is geen bewijs voor. Het zou in principe dus kunnen dat er vanaf een bepaald punt in de decimale expansie van pi bijvoorbeeld nooit meer het cijfer 8 voorkomt.

(2) Nu denk je misschien dat het dan ook mogelijk is dat er vanaf een bepaald moment enkel nog 1-en voorkomen in de expansie van pi, maar dat is niet zo. Het is namelijk wél bewezen dat pi een irrationaal getal is. (Zie ook hier) Een getal waarbij vanaf een zeker punt in de decimale expansie enkel nog dezelfde eindige rij getallen wordt herhaald (bijvoorbeeld 1111111…) kan geschreven worden als een breuk (volgens dit recept) en is dus geen irrationaal getal. Maar pi is wél een irrationaal getal, wat betekent dat de decimale expansie dus niet zo’n herhaling kan bevatten.

Nu kan ik komen tot wat Mark wellicht echt bedoelde met zijn vraag:

(meer…)

Vragen van Daan – deel 1: over oneindigheid

Van Daan Maes kreeg ik per e-mail twee vragen over het heelal en oneindigheid. (Daan is een jaar jonger dan ik en we zaten vroeger op dezelfde lagere school.) Misschien heeft er nog iemand anders iets aan, dus vroeg ik toestemming om de vragen en antwoorden ook hier te plaatsen.

Zijn vragen (in het kort):

  1. Als het heelal oneindig is, hoe kan het dan nog uitdijen?
  2. Hoe kunnen er verschillende soorten oneindig zijn?

Hieronder mijn eerste brief aan Daan waarin ik zijn tweede vraag beantwoord.

Oneindigheid.
~

Beste Daan,

Wat een leuke vragen om te krijgen! Dit zijn allebei zaken die iets met mijn eigen onderzoek en interesses te maken hebben en het gebeurt niet vaak dat er iemand daar vragen over stelt (tenzij collega’s dan).

Voor mij is het het handigste om je tweede vraag eerst te beantwoorden. Mijn tijd is helaas beperkt, dus ik stel het antwoord op de eerste vraag (over het heelal) even uit tot een volgend bericht.

Je tweede vraag heeft alles te maken met de grootte van oneindig. Voor ik het antwoord kan geven, moet ik eerst iets uitleggen over oneindig.

Over oneindig

Letterlijk betekent oneindig enkel ‘niet-eindig’. Om daar in de wiskunde iets mee te kunnen doen, zullen we iets specifieker moeten zijn. Er wordt in verschillende contexten met oneindig gewerkt in de wiskunde, die niet allemaal exact hetzelfde betekenen. Om op jouw vraag te beantwoorden volstaat het om te kijken naar oneindig grote verzamelingen.

Het eenvoudigste en tegelijk belangrijkste voorbeeld van een oneindig grote verzameling is de verzameling van alle natuurlijke getallen, genoteerd als ℕ. Ik zal eerst zeggen wat dit zijn en dan een definitie geven.

  • Natuurlijke getallen zijn de gehele getallen die we gebruiken om te tellen: 1, 2, 3, … De drie puntjes op het einde betekenen ‘enzoverder’ en in dit geval kunnen we eindeloos doorgaan: er is geen grootste natuurlijk getal.
  • We kunnen de verzameling van alle natuurlijke getallen, ℕ dus, als volgt definiëren (maar om het helemaal correct te doen moeten we de axioma’s van de rekenkunde van Peano volgen):
    • Het getal 1 zit in ℕ
    • Voor elk getal n dat in ℕ zit, zit ook n+1 in ℕ
    • Verder zitten er geen andere getallen in ℕ

Dit volstaat om te zien dat er geen grootste getal in de verzameling ℕ zit. Kijk maar: stel dat iemand beweert dat er wel een grootste getal in ℕ zit. Laten we dit kandidaat grootste getal M noemen. Dan zit volgens de tweede regel van de definitie ook het getal M+1 in ℕ, maar dat getal is groter dan M en dus was de veronderstelling dat M het grootste was niet juist. Maar deze redenering gaat op voor elk element van ℕ! De opsomming van elementen van ℕ is dus eindeloos, of anders gezegd: ℕ is een oneindig grote verzameling.

ℕ heeft uiteraard wel eindige deelverzamelingen. Kijk bijvoorbeeld eens naar de eerst tien elementen. Dat is de verzameling {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. We zullen een verzameling van deze vorm (alle elementen van ℕ van 1 tot en met een bepaald ander getal) een beginstuk van ℕ (‘initieel deel’) noemen.

Elke eindige verzameling kan in een zogenaamde één-op-één relatie gelegd worden met een beginstuk van ℕ. Stel, je neemt de kleuren van de Belgische vlag, dan kan je de volgende koppels maken: (rood,1), (geel,2) en (zwart,3). Dit is een symbolische manier van weergeven hoe we tellen: we wijzen dingen één voor één aan en noemen beginnend bij 1 telkens het eerstvolgende natuurlijke getal.

Dit kunnen we nu als definitie gebruiken voor een eindige verzameling: alle verzamelingen die in één-op-één relatie gebracht kunnen worden met een beginstuk van ℕ noemen we eindig.

Aangezien oneindig hetzelfde is als niet-eindig hebben we daarmee óók een definitie voor oneindige verzamelingen, namelijk die verzamelingen waarvoor er geen één-op-één relatie bestaat met een beginstuk van ℕ.

Nu kunnen we echt beginnen nadenken over je vraag: bestaan er verschillende soorten oneindig? Je bent hier in goed gezelschap, want hier hebben al verschillende generaties wetenschappers, wiskundigen en filosofen over nagedacht. Het antwoord is in de loop van de tijd wel veranderd.

Galileo en het paradoxale van oneindige groottes

Galileo bedacht (zo ongeveer) het volgende:

(meer…)