Tag Archief: wiskunde

Essaywedstrijd: live prijsuitreiking

Weet je nog dat ik eerder dit jaar deelnam aan een essaywedstrijd?

Nee, ik weet nog niet wie er gewonnen heeft, maar vanavond (10 juni) worden de winnaars bekend gemaakt.

Je kan de uitreiking (met onder meer MIT-fysicus en wetenschappelijk directeur van het FQXi Max Tegmark) live volgen via deze FQXi-pagina (of via YouTube of via Google+). Het start om 19u onze tijd.

Spannend!

Aanvulling 1 (21u45)

Intussen is de uitslag bekend gemaakt en is gebleken dat mijn essay de eerste prijs heeft gekregen! De organisatie had me op voorhand wel een seintje gegeven dat mijn inzending tot de top-3 behoorde, met de vraag om standby te zijn voor de online uitreiking, maar dat ik effectief gewonnen had hoorde ik zelf ook pas tijdens de uitzending.

Excuseer me dus terwijl ik nog even op wolkjes loop. :-)

Aanvulling 2 (bijna middernacht)

Op deze pagina staan alle prijswinnaars opgelijst en dit waren alle inzendingen.

(meer…)

De paradox van Newcomb: bespreking

In het vorige bericht gaf ik de opgave voor de paradox van Newcomb.

Dit vraagstuk wordt een paradox genoemd omdat er twee manieren van redeneren zijn die beide correct lijken, maar die tegenstrijdige antwoorden opleveren op de vraag welke keuze de verwachte winst van de speler maximaliseert. In dit bericht leg ik beide redeneringen uit en probeer ik de spanning die ertussen bestaat op de spits te drijven.

~

(1) Eerste manier van redeneren: Neem enkel doos B!

We kunnen de opties die 0 € of 1 001 000 € opleveren negeren, want die vereisen dat de voorspelling fout was, maar het orakel is een uitzonderlijk goede voorspeller. De keuze gaat dus tussen 1 000 € (als je A en B neemt) of 1 000 000 € (als je enkel doos B neemt). Enkel doos B nemen is dus beter.

Volgens deze manier van redeneren doen twee gevallen in bovenstaande tabel er niet toe:

Tabel met overzicht van de twee gevallen die er echt toe doen (volgens de eerste redenering).

Tabel met overzicht van de twee gevallen die er echt toe doen (volgens de eerste redenering).

(2) Tweede manier van redeneren: Neem beide dozen!

Ongeacht wat de voorspelling was, het staat nu vast wat er in de doos zit, dus beide dozen kiezen is altijd beter (dominant). Kijk maar:

  • Als de voorspelling “A en B” was, dan heb je de keuze tussen 1 000 € (als je A en B neemt) of 0 € (als je enkel B neemt). In dit geval is beide nemen dus beter.
  • Als de voorspelling “enkel B” was, dan heb je de keuze tussen 1 001 000 € (als je A en B neemt) of 1 000 000 € (als je enkel B neemt). Ook in dit geval is beide nemen beter.
De tweede redenering vergelijkt de twee mogelijke voorspellingen en komt tot de conclusie dat beide dozen nemen altijd beter is.

De tweede redenering vergelijkt de twee mogelijke voorspellingen en komt tot de conclusie dat beide dozen nemen altijd beter is

Hoorcollege Newcomb.

Hoorcollege met een onderdeel over de paradox van Newcomb.

~

Het orakel Cassandra.Een associatie die ik heb bij de paradox van Newcomb is de Griekse mythe over Cassandra: het orakel wiens voorspellingen niemand ooit geloofde. In de opgave van Newcomb komt de speler de voorspelling van het orakel uiteraard niet te weten, maar als ik erover nadenk, lijkt het of ik mijn eigen voorspelling steeds in twijfel trek. Zo blijf ik op twee gedachten hinken: soms is een filosoof als een kleuter die dringend moet gaan plassen, maar liever nog even verder speelt. ;-)

  • Op weg naar de studio neem ik mezelf beslist voor om enkel doos B te kiezen. Enkel zo zit er 1 000 000 € in het spel en dat is significant meer dan 1 000 €. Klaar!
  • In de studio slaat de twijfel toe: enerzijds loop ik een risico met lege handen naar huis te gaan (als het orakel zich vergist heeft, is doos B leeg), maar anderzijds – en belangrijker – het staat toch al vast wat er in de gelsoten doos zit, dus kan ik A er net zo goed bijnemen. Dat is 1 000 € extra. Mooi meegenomen!
  • Maar als het orakel dit heeft voorzien, dan zal er niets in doos B zitten en bega ik een stommiteit.
  • Maar het staat al vast wat er in doos B zit.
  • Maar het is de beslissing waarvan ik nu op het punt sta ze te maken die het orakel voorspeld heeft.
  • Aaaaaahhhhh!!!

Ik lijk er dus maar niet in te slagen met mezelf een strategie af te spreken en me daar vervolgens aan te houden.

~

Mijn eerste reactie op de paradox* was dat het vraagstuk niet precies genoeg geformuleerd is: de opgave laat meerdere interpretaties toe en dat leidt tot verschillende reacties. In het bijzonder: er wordt niet duidelijk gemaakt wat het betekent dat het orakel “uitzonderlijk goed” is in voorspellen. Als we bijvoorbeeld zouden weten wat de waarschijnlijkheid is van een correcte/foute voorspelling, dan zouden we kunnen uitrekenen wat de verwachte winst is bij elke keuze.

Als de waarschijnlijkheid op een fout hoger is dan een bepaalde kritische waarde dan is de eerste strategie beter; als de waarschijnlijkheid op een fout lager is dan de kritische waarde, dan is de eerste strategie beter.

Dit idee blijkt niet origineel te zijn. Ook wiskundige N.J. Wildberger denkt in die richting in dit filmpje waarin hij het probleem introduceert.

Een echte paradox gaat echter niet zo maar weg! Ook hier blijft het de vraag of deze aanpak het probleem echt oplost. Zelfs als het orakel perfecte voorspellingen aflevert, waarbij de redenering voor “enkel doos B” de enige juiste lijkt, blijft het ook een feit dat er al vast ligt wat er in doos B zit op het moment dat je in de studio staat en dat het er enerzijds niet meer toe lijkt te doen wat je effectief beslist (fatalisme) en anderzijds de redenering “A en B” ook weer correct lijkt.

Wederom: Aaaaaahhhhh!!!

~

Pierre-Simon Laplace.Trouwens, kan zo’n orakel wel bestaan? Deze vervolgvraag roept een tweede associatie op: de “demon van Laplace“. Laplace veronderstelde deterministische natuurwetten (zoals de wetten van Newton) en een bovenmenselijk intelligent wezen dat de huidige posities en snelheden van alle deeltjes in het universum zou kennen. Zo’n wezen zou volgens Laplace de toestand van het universum op een willekeurig moment uit het verleden of de toekomst kunnen berekenen. (De relevante passage staat in “A philosophical essay on probabilities” (1814) p. 4; ik schreef er ook over in dit bericht.)

Zou de demon van Laplace de rol van het orakel kunnen spelen, of zou zelfs deze intelligentie niet in staat zijn het gedrag van mensen te voorspellen? Deze vraag heeft te maken met het verband tussen determinisme en vrije wil. Wanneer er mensen in het universum voorkomen, die de voorspelling van de demon aan de weet zouden kunnen komen (of op zijn minst ernaar gissen), dan lijkt het erop dat het wezen zich zou kunnen vergissen. Tenzij mensen niet echt een vrije wil hebben, maar het determinisme ook op hen van toepassing is.

~

*: Dit klopt niet helemaal. Ik ‘kende’ de paradox al jaren, maar had er tot voor kort nog nooit echt over nagedacht.

~

Wat denk jij?

De paradox van Newcomb: opgave

Samen met twee collega’s gaf ik een lezing over paradoxen aan laatstejaars van een middelbare school. Jan Heylen vertelde over de paradox van het verrassingsexamen en Pieter Thyssen over drie tijdreisparadoxen. Omdat we er thematisch een rode draad in wilden krijgen (tijd / voorspellen), kwam ik uit bij de paradox van Newcomb. En intussen heb ik die paradox ook gebruikt in een hoorcollege over determinisme en vrije wil.

Als definitie voor een paradox wordt vaak “schijnbare tegenstrijdigheid” gegeven, maar dat vind ik niet helemaal kloppen: eens je door hebt wat er schijnbaar aan is, houdt het – voor jou – op een paradox te zijn. Anderen hebben dat eerder en beter gezegd:

“In het algemeen zal een paradox, eenmaal begrepen, ophouden paradox te zijn G. Krol.

Van sommige bekende “paradoxen” meen ik te weten wat er aan de hand is – bijvoorbeeld welke aanname onterecht is of welke redeneerstap misleidend is. Ook in die zin was de paradox van Newcomb een goede keuze: ik claim er geen oplossing of uitweg voor te hebben. Voor mij is het nog steeds een echte paradox. Dat leek me wel zo eerlijk: net zo verward zijn als de leerlingen. :-)

~

Er waren eens een fysicus, een filosoof en een wiskundige. Het had het begin kunnen zijn van een grap, maar het is de ontstaansgeschiedenis van de paradox van Newcomb: een paradox over voorspelbaarheid.

De fysicus, William Newcomb, bedacht de paradox maar publiceerde hem niet. De filosoof, Robert Nozick, besprak de paradox voor het eerst in een essay en vernoemde hem naar de bedenker: “de paradox van Newcomb” (in 1969). De wiskundige, Martin Gardner, maakte de paradox bekend onder een breed publiek door erover te schrijven in zijn column “Mathematical Games” in Scientific American (in 1974).

De paradox van Newcomb illustreert een spanning tussen determinisme, vrije wil en het begrip rationaliteit (zoals het in de besliskunde gehanteerd wordt).

Newcomb.

De twee dozen uit de paradox van Newcomb.

Stel je de volgende situatie voor:

Je doet mee aan een nieuw spelprogramma “Orakel”. Je staat tegenover twee dozen:

  • Een doorschijnende doos “A” met 1 000 € erin (dit kan je zien).
  • Een ondoorschijnende doos “B” met ofwel 0 € erin ofwel 1 000 000 € erin.

Aan het programma werkt een orakel mee, dat uitzonderlijk goed is in het voorspellen van menselijke handelingen. Je weet niet wie of wat dit orakel is: het kan een mens zijn, maar net zo goed een computerprogramma, een buitenaards wezen, of misschien wel iets bovennatuurlijks. Wie weet is het gewoon iemand die jou heel goed kent.

De inhoud van doos B is vooraf bepaald aan de hand van de voorspelling van het orakel. Dit is als volgt gebeurd:

  • Als het orakel heeft voorspeld dat jij beide dozen zal kiezen, dan is doos B leeg.
  • Als het orakel heeft voorspeld dat jij enkel doos B zal kiezen, dan bevat doos B 1 000 000 €.

Als het orakel heeft voorspeld dat je willekeurig zal kiezen (bijvoorbeeld met een muntworp), dan is doos B ook leeg.

De inhoud van doos B kan niet meer veranderd worden op het moment dat jij aan het spel begint. Je bent vooraf op de hoogte gebracht van al deze spelregels.

Je mag nu kiezen: ofwel neem je A en B, ofwel enkel B.

Dit is nog een handig overzicht van de opties:

Tabel met overzicht van de vier gevallen.

Tabel met overzicht van de vier gevallen. (Idee overgenomen van Wikipedia.)

Zeg het maar: wat kies jij?

(Mijn bedenkingen komen in een volgend bericht.)

Herfst-symposium in zes beelden

Hé, jullie hebben nog een verslag te goed! Namelijk van het herfst-symposium “Determinisme & Indeterminisme in de Fysica” dat ik organiseerde op woensdag 26 november 2014 in Groningen. Dit doe ik aan de hand van zes foto’s.

Zes foto's van het symposium.

Deze foto’s werden tijdens het symposium gemaakt door onze voorzitter Fred Muller.

Foto (1) – De middag werd geopend door Fred Muller (U Utrecht; voorzitter NVWF) en door mij (in de hoedanigheid van secretaris van de NVWF en projectleider Veni).

~

Voor de pauze: twee presentaties over (in-)determinisme in de klassieke fysica.

Foto (2)Dennis Dieks (U Utrecht) gaf een presentatie over “Determinisme en Wetmatigheid”. Eerst legde hij uit dat hij met determinisme (in de natuurwetenschap) een eigenschap van de theorie bedoelt. Over de wereld kan eventueel enkel iets gezegd worden via zo’n theorie. Bovendien houdt determinisme niet noodzakelijk voorspelbaarheid in.

Vervolgens stelde Dieks zich de vraag of Newtoniaanse mechanica deterministisch is. Dit lijkt misschien een vreemde vraag: de klassieke mechanica van Newton is immers het schoolvoorbeeld van een deterministische theorie! Recent is in de wetenschapsfilosofie (met name door John Norton) echter aangevoerd dat dit folkore is: er zijn differentiaalvergelijkingen die fysisch geïnterpreteerd kunnen worden maar die (voor welbepaalde beginvoorwaarden) geen unieke oplossing hebben. Dieks is echter van mening dat de randvoorwaarden even belangrijk zijn als de ‘wetten’ en dat men zich enkel van het geheel (theorie plus randvoorwaarden) moet afvragen of het deterministisch is. Op deze manier tracht hij te voorkomen dat de notie van determinisme trivialiseert.
Hij sloot af met verdere bedenkingen over de notie van natuurwetten.

*** Meer details vind je in de slides van de presentatie van Dennis Dieks. ***

DeWet.

Als de wet het zegt…

~

Foto (4)Marij van Strien (Max Planck Institute for the History of Science, Berlijn) presenteerde enkele “Discussies over (in-)determinisme in de tijd van Laplace”. Zij besprak dus de ideeën over metafysica en continuïteit bij auteurs uit de achttiende en negentiende eeuw.

In zijn beroemde Essai bespreekt Laplace een intellect (later de ‘demon van Laplace’ genoemd) dat in staat zou zijn om de toestand van de wereld in het volgende moment (en eender welk toekomstig of verleden ogenblik) te bepalen op basis van een volledige kennis van de huidige toestand. Van Strien plaatst een aantal kanttekeningen bij deze passage: andere auteurs hebben eerder en preciezer over dit idee van gedetermineerdheid geschreven. Dat de passage vrij slordig geformuleerd is en dat het idee erin niet origineel is, hoeft ons niet te verbazen als we in rekening brengen dat hij afkomstig is uit het Essai: een populariserende tekst over kansrekening. Bovendien merkt Van Strien op dat de visie van Laplace beïnvloed is door de Leibniziaanse metafysica, met name waar hij een beroep doet op het principe van voldoende grond.

Émilie du Châtelet.Du Châtelet ging op zoek naar extra voorwaarden, naast de bewegingsvergelijkingen, waaraan de beweging moet voldoen opdat gedetermineerdheid van de volgende toestand uit de vorige wordt bekomen. Ze nam aan dat alle natuurlijke processen continu verlopen en dat dit determinisme verzekert. Deze continuïteitswet sluit bijvoorbeeld botsingen tussen (perfect) harde lichamen uit. Bij zo’n botsing treedt er immers een instantane omkering op van de richting van de snelheden, wat samengaat met een discontinuïteit van de versnelling.

Boscovich gaf in 1758 een definitie van gedetermineerdheid – preciezer dan de informele verwoording van Laplace en zonder beroep te doen op Leibniziaanse metafysica. Ook hij stelde een strenge continuïteitseis voor om determinisme te verzekeren: zijn voorstel sluit botsingen tussen perfect harde lichamen uit (net als bij Du Châtelet), maar heeft bijvoorbeeld ook problemen met de situatie waarin iets recht omhoog gegooid wordt.

*** Meer details vind je in de slides van de presentatie van Marij van Strien. ***

~

Na de pauze: twee presentaties over (in-)determinisme in de kwantumfysica.

Foto (5)Ronnie Hermens (Ru Groningen) gaf een presentatie met als titel “Indeterminisme en waarschijnlijkheid in de quantamechanica” (zijn alternatieve benaming voor ‘kwantummechanica’: zie ook dit bericht). Hij begon zijn presentatie eerst met een verkenning van mogelijke invalshoeken voor het onderwerp.

In de rest van de presentatie stonden de Bell-ongelijkheden centraal. Het artikel van Bell is in 1964 verschenen, precies 50 jaar geleden dus, en het wordt per vijf jaar steeds meer geciteerd. Zoals bij elk theoretisch resultaat hangt ook de afleiding van de Bell-ongelijkheden af van een aantal aannames. Diverse auteurs hebben echter een andere analyse gemaakt van wat die aannames in dit geval zijn. Hermens besprak eerst de analyse van Earman (1986) en dan twee recentere publicaties: van Cator en Landsman (2014) en van Maudlin (2014).

Hermens komt tot de conclusie dat er in feite verschillende varianten zijn van ‘de stelling van Bell’. Wat betreft de determinisme-kwestie (het onderwerp van het symposium) is de analyse van Cator en Landsman (die determinisme als één van de aannames opnemen) informatief, wat niet geldt voor de analyse van Maudlin.

*** Meer details vind je in de slides van de presentatie van Ronnie Hermens. ***

~

Foto (3)Gerard ’t Hooft (U Utrecht) gaf een lezing over “Kwantummechanica en Cellulaire Automaten: de CA interpretatie”. Hij begint met de observatie dat determinisme een kwestie is van alles of niets. Een deterministische theorie kan alsnog onvoorspelbaar zijn: dat is het geval bij deterministische chaos. Het idee van ’t Hooft is nu dat de onvoorspelbaarheid van de kwantummechanica van dezelfde vorm zou kunnen zijn: dat wil zeggen dat er een onderliggende theorie is die het universum op een nog kleinere schaal beschrijft en dit op een discrete, lokaal deterministische manier. De variabelen in deze theorie zijn ontologisch en commuteren altijd; in het Engels noemt t’Hooft ze ‘beables’ (naar Bell). Op die kleine schaal werkt het universum dan als een cellulaire automaat (CA), terwijl het op een grotere schaal nog steeds beschreven kan worden met kwantumtheorie.

Met enkel kennis op de schaal van de kwantummechanica is het echter niet mogelijk om de juiste CA-theorie te selecteren. We kennen daarmee namelijk onvoldoende details om de ontologische basis te bepalen. Hierdoor kan de theorie enkel worden uitgeschreven in termen van ‘sjablonen’ (superposities van de – tot op heden onbekende – ontologische toestanden).
Het beschrijven van macroscopische toestanden wordt in deze aanpak een kwestie van statistiek in plaats van het gebruikelijke verhaal van decoherentie.

Aangezien dit een deterministische theorie is, ligt op voorhand vast welke experimenten er gedaan zullen worden. Dit wordt ook wel superdeterminisme genoemd, hoewel het eigenlijk geen bijkomende aanname betreft: alles voldoet aan dezelfde wetten. Dit blijft echter praktisch onvoorspelbaar.

*** Meer details vind je in de slides van de presentatie van Ronnie Hermens. ***

Over de aanpak van ’t Hooft verscheen er eerder bovendien een toegankelijk stuk bij Kennislink.

~

Foto (6) – Om de middag af te sluiten werd er een forum georganiseerd, waarbij de sprekers over gemeenschappelijke thema’s discussieerden aan de hand van vragen uit het publiek.

Persoonlijke noot: het voelde die hele dag alsof ik jarig was. Ik had namelijk een aantal mensen uitgenodigd, ze brachten allemaal een cadeau mee (in de vorm van een mooi verhaal) en achteraf gingen we rustig iets eten en napraten. Zo ging het forum dus verder na het officiële programma. En, nee, hier zijn geen foto’s van. ;-)

Dankbetuiging: Ik ben het NWO dankbaar voor financiële steun.

Aanvulling (22 december 2014):

Het verslag staat nu ook in pdf-vorm op de NVWF-website: link.

Jagen op oneindig

Recept voor een kunstwerk:

  • Neem een zeer smalle strook papier en schrijf op de voorkant in één regel een lange wiskundige formule met limieten, sommen en integralen erin. Als je aan het einde van de strook gekomen bent, draai dan de strook om, zodanig dat de tekst op de achterkant nu ondersteboven staat, en ga verder met schrijven tot aan het einde van die regel.
  • Plak de smalle uiteinden van de strook papier zodanig aan elkaar dat de bovenkant van het ene uiteinde aan de onderkant van het andere uiteinde komt en de formule netjes verderloopt. Er ontstaat dan een lus met een draaiing van 180° erin. Dit stelt een Möbiusband voor: een niet-oriënteerbaar oppervlak met maar één oppervlak en één zijde.
  • Geef de papieren lus in haar geheel nog eens een draaiing van 180°mee, waardoor er een soort acht ontstaat. Laat de acht schrikken zodat hij flauwvalt. Dan heb je een lemniscaat: het symbool voor oneindig.
  • Voeg nog een jachthond* toe die eindeloos achter een konijntje aan holt over die Möbiusband (of is het andersom?) en geef de verdwaasde jager het nakijken.

Dit recept is afgekeken van de Poolse grafisch kunstenaar Adam Pekaslki (of Kapitan Kamikaze), die net zo’n werk maakte dat de kaft van een wiskundig vademecum uit 2010 siert.

Jagen op oneindig.

Illustratie door Adam Pekaslki.

Ik vond het plaatje toevallig op internet en het hangt nu op op mijn kantoor. Of het werk een titel heeft, weet ik niet. Zelf zou ik het “Jagen op oneindig” noemen. Er is nog een mooi werk van hem met een soortgelijk thema dat “hortus mathematicus” heet.

* Het moeten niet altijd mieren zijn, zoals bij Escher. Welk soort jachthond mag je zelf kiezen. Er zijn minstens twee verschillende versies van dit werk: terwijl er op de kaft van het vademecum een witte hond met bruine staat, staat er op de versie van de portfolio van de kunstenaar een zwarte hond.

Wetenschap versus verbeelding?!

Deze week schrijft en leest Ann de Craemer het middagjournaal bij Nieuwe feiten op Radio 1.* Dinsdag had ze het over elderspeak (kinderlijk taalgebruik tegenover ouderen), waarvan ik alleen maar kan hopen dat heel veel mensen het gehoord hebben (of het hier nalezen) en zich (opnieuw) voornemen hierop te letten. Daarom zal ik hier dus niet schrijven: “Zullen we daar dan eventjes aan denken, lezertjes?”

Vandaag luisterde ik echter met een kritischer oor naar haar bijdrage (hier na te lezen). Hierin richtte ze zich tot studenten met de boodschap: “Geloof in de schoonheid van je eigen dromen”. Op zo’n motto valt alvast weinig af te dingen. De noden op de arbeidsmarkt voorspellen is inderdaad moeilijk (als het al mogelijk is) en het is dus beter om studieadvies niet (enkel) daarop te baseren. “[Z]al de arbeidsmarkt binnen een jaar of tien nog wel genoeg werk hebben voor al die studenten uit bètarichtingen?” vraagt de Craemer zich af. Mij lijkt het onwaarschijnlijk van niet, maar over een glazen bol beschik ik ook niet, dus laten we een belangrijker punt aansnijden.

Lof der wetenschap.De rest van haar pleidooi lijkt namelijk op een onjuist contrast te berusten tussen verbeelding enerzijds en STEM-vakken anderzijds. Juist in wetenschappen en wiskunde spelen verbeelding en creativeit een zeer grote rol:

  • Wiskunde: er is niets, verzin maar iets en kijk wat je boven water krijgt.
  • Natuurwetenschap: de wereld is er al, probeer met je beperkt verstand er maar een verstaanbaar verhaal over te vertellen.

Is de verbeelding en creativiteit die hiervoor nodig is dan zo anders dan voor, bijvoorbeeld, het schrijven van een roman?**

Bovendien kan wetenschappelijke vernieuwing via de technologie een zeer grote impact hebben op de maatschappij, (al mag de wetenschap zich daar niet toe laten beperken***). Als er ergens behoefte is aan mensen die zich een mooiere wereld dromen en die de capaciteit hebben om echt nieuwe dingen te bedenken, is het daar wel.

De Craemer: “Hoe prachtig zou het zijn niet zijn als onze politici ook een actieplan verbeelding en creativiteit zou[den] ontwikkelen?” Met dat voorstel kan ik dan weer alleen maar instemmen, op voorwaarde dat het domein van verbeelding en creativiteit niet beperkt wordt tot de kunsten. In de hoop dat dromen zich niet laten beperken, tout court.

*Het is niet de eerste keer dat die radiorubriek een blogreactie losweekt.

**Zoals ook uit mijn vorige bericht blijkt (met name de keuze van de tweede cartoon), vind ik van niet.

***Anders bloedt ze dood: zie ook dit oudere stukje over het belang van vrij onderzoek.

Aanvulling: Ik liet een iets kortere versie van dit bericht ook achter als reactie op de website van Radio 1. Op dat moment zag ik nog geen andere reacties staan. Op dit moment blijken twee andere luisteraars een soortgelijke bedenking te hebben gemaakt als ik. Blijkbaar zijn we dus toch niet zo origineel als we zelf denken. ;-)

Logica vs belastingen: 0 – 1

Belastingsbrief.Getallen en rekenwerk, daar weten wij doorgaans wel raad mee. Op de jaaropgaven en fiscale attesten wemelt het van de kommagetallen. Meteen is daar het gevoel: “dit zouden wij moeten kunnen”, maar desondanks raadplegen we hiervoor nederig een specialist.

Ja, ooit was ik in staat mijn eigen belastingsbrief in te vullen. Moeilijk was het toen ook niet: gewoon een kwestie van de codes over te nemen die op de jaaropgaaf vermeld stonden. Het jaar dat Danny en ik gingen samenwonen, had hij nog (deels) Nederlandse inkomsten aan te geven. Daarna was ik het die mijn Nederlandse loon aan de Belgische belastingsdienst moest aangeven. Aangezien de regels hiervoor al eens veranderen, gaan we de laatste jaren naar een winkelcentrum waar belastingsbeamten helpen met het invullen van de aangifte.

Dit jaar kregen we hulp van een zeer vriendelijke fiscalist, die rustig al onze papieren bekeek en voor elk getal een passende rubriek vond, of voorstelde om iets niet aan te geven. Is dat dan een optie? Ja hoor, zo gaf de specialist ons glimlachend mee, want:

“Fiscaliteit is geen exacte wetenschap.”

Oei, dat geeft me niet veel moed om er de komende jaren zelf weer aan te beginnen! Hij zei nog iets dat is blijven hangen:

“De logica eindigt waar de fiscaliteit begint.”

Geen wonder dus dat wij, gewone stervelingen, machteloos staan als de bruine envelop in onze brievenbus valt.

Gelukkig geldt net als bij de wereldbeker voetbal: mathematisch is alles nog mogelijk! :-)

Oplossing vraagstuk

Kat en MuisIn een poging de losse draadjes op dit blog weer wat in te perken, geef ik vandaag de oplossing van het vraagstuk dat ik bijna twee maanden geleden online zette.

Ook geef ik een beetje context bij het vraagstuk.

 

Ter herinnering, dit was de opgave:

Een muis zit bovenaan in een boom van 60 el hoog. Een kat zit op de grond aan de voet van de boom. De muis daalt een halve el per dag af en kruipt ’s nachts een zesde van een el terug omhoog. De kat klimt één el per dag en kruipt ’s nachts een kwart el terug naar beneden. De boom groeit een kwart el per dag tussen de kat en de muis en krimpt ’s nachts een achtste el.

In hoeveel dagen bereikt de kat de muis?

(Lees verder na de vouw.)

(meer…)

Vraagstuk over een magische boom

Kat en MuisSchattige fauna en magische flora: onderstaand vraagstuk heeft het allemaal!

Nee, ik heb deze opgave niet zelf verzonnen. Het vraagstuk stamt uit de late Middeleeuwen, dan wel vroege Renaissance. Het origineel is in het oud-Italiaans en gebruikt een oude Italiaanse lengtemaat, de braccio. Omdat de precieze eenheid er niet toe doet, heb ik dit vertaald als el. (De precieze bron zal ik later posten.)

Een muis zit bovenaan in een boom van 60 el hoog. Een kat zit op de grond aan de voet van de boom. De muis daalt een halve el per dag af en kruipt ’s nachts een zesde van een el terug omhoog. De kat klimt één el per dag en kruipt ’s nachts een kwart el terug naar beneden. De boom groeit een kwart el per dag tussen de kat en de muis en krimpt ’s nachts een achtste el.

In hoeveel dagen bereikt de kat de muis?

Als je een oplossing hebt, lees ik het graag in de commentaren.

Hoofdrekenen voor Gedichtendag

Het cijfer acht.Vandaag is het Gedichtendag en begint de Poëzieweek. (Ja, een week die begint op donderdag. “Kunst moet conventies in vraag stellen,” zullen de organisatoren gedacht hebben.)

In mijn geheugen dartelen er heel wat gedichten rond. Soms rusten ze even uit aan de tafels van vermenigvuldiging, die daar ook in opslag staan. Er zitten veel bekende teksten tussen uit het Nederlandstalige repertoire, maar die kun je vast al elders op het web vinden. Daarom kies ik hier voor een minder bekend, Engelstalig gedicht: “Numbers” van Mary Cornish.

Hieronder heb ik een poging gedaan om het gedicht te vertalen. Het zijn blanke verzen, dus dat scheelt al, maar toch kwam ik een aantal moeilijkheden tegen. Het Engelse werkwoord “to add” betekent bijvoorbeeld zowel optellen als toevoegen, waardoor een mooi beeld uit de tweede strofe in het Nederlands minder goed tot uiting komt. Verder is het natuurlijk mogelijk dat bepaalde subtiliteiten me zijn ontgaan. Suggesties ter verbetering zijn dan ook welkom! :-)

Getallen
(origineel van Mary Cornish)

Ik hou van de gulheid van getallen.
De manier, bijvoorbeeld,
waarop ze bereid zijn mee te tellen
eender wat of eender wie:
twee augurken, één deur naar de kamer,
acht dansers gekleed als zwanen.

Ik hou van de huiselijkheid van optelling –
doe er twee koppen melk bij en roer
de sensatie van overvloed: zes pruimen
op de grond, drie erbij
vallend uit de boom.

En vermenigvulding maakt school
van vis maal vis,
wiens zilveren lichamen broeden
onder de schaduw
van een schip.

Zelfs aftrekking is nooit verlies,
slechts optelling ergens anders:
vijf mussen doe er twee vanaf,
de twee in iemand anders’
tuin nu.

Er is een grootheid aan staartdeling,
terwijl hij afhaalchinees uitpakt
doos na papieren doos,
in elk gevouwen koekje
een nieuw geluk.

En telkens sta ik versteld
door het geschenk van een oneven rest,
vogelvrij aan de staart:
zevenveertig gedeeld door elf maakt vier,
met drie resterend.

Drie jongens buiten bereik van hun moeders’ roep,
twee Italianen op weg naar de zee,
één sok die nergens is waar jij kijkt.

Bron: Mary Cornish, tijdschrift Poetry, volume CLXXVI, nummer 3, juni 2000.

Voor wie van dit soort gedichten houdt, raad ik de bundel “Wis- en natuurlyriek” van Drs. P en Marjolein Kool aan. Die bundel is – net als “Numbers” – origineel verschenen in 2000. Als voorsmaakje: lees “Stelling” en “Één-op-één”, of “Kies exact“, of kom mijn exemplaar eens lenen.

Na de vouw kun je het origineel van “Numbers” lezen.

(meer…)