Tag Archief: wiskunde

Is wiskunde een taal?

Dit stukje is in licht gewijzigde vorm als een column verschenen in Eos.
(Jaargang 30, nummer 10, rubriek “Scherp gesteld”.)

De zoektocht naar de werkelijkheid achter de wereld.Het idee dat wiskunde een taal is, gaat terug op Galileo Galilei, die zei dat het boek van de natuur geschreven is in de taal van de wiskunde. In zijn werk “Il saggiatore” (“De proefnemer”) uit 1623 beschreef hij het universum als een boek dat permanent open voor onze ogen ligt, maar waarvan we eerst de gebruikte taal en haar symbolen moeten leren begrijpen. Hij verduidelijkte dat het boek geschreven is in de wiskundige taal en dat de symbolen in kwestie geometrische figuren zijn. Zonder begrip van deze taal dwalen we tevergeefs rond in een duister labyrint, aldus Galileo.

Wiskunde wordt dus de taal van de natuur genoemd. Maakt dat van wiskunde een natuurlijke taal? Nee, want er zijn geen mensengroepen – ook niet op een exotisch Wisland – die spontaan louter in formules met elkaar praten. Studenten fysica kunnen het getuigen: wiskunde leren vergt inspanning. Het zou misleidend zijn om te veronderstellen dat ze tijdens die studies een taalbad krijgen, waarna ze het universum kunnen lezen als een open boek.

In Nederland is “wiskundetaal ontwikkelen” een kerndoel in de lagere jaren van het middelbaar onderwijs. Is wiskunde dan een kunstmatige taal, zoals Esperanto? Welnee, want met wiskunde kun je niet eens hallo zeggen of vloeken – toch de eerste dingen die je leert in een nieuwe taal.

Wiskunde wordt niet alleen een taal genoemd, maar een uiterst precieze en elegante taal. Is wiskunde misschien een formele taal? Toch niet, het is precies andersom: wiskunde en logica kun je gebruiken om formele talen te beschrijven; wiskunde zelf kun je echter niet bedrijven zonder gebruik te maken van een gewone taal, zoals het Nederlands. Sla er gerust een wiskundeboek op na: er staan weliswaar veel formules in, maar die worden met elkaar verbonden door zinnen in het Nederlands, Engels, of Russisch, of in welke taal het boek ook is opgesteld.

Meetkundig bewijs met Chinese tekens.Een Chinese wiskundeprofessor zal in een Nederlandstalig handboek over zijn of haar vakgebied de belangrijkste stellingen vast herkennen, louter aan de gebruikte symbolen, maar een Vlaamse wiskundestudent heeft niets aan een Chinees handboek, omdat hij of zij de uitleg tussen de formules weldegelijk nodig heeft om het vak te leren. De zinnen tussen de formules zijn meer dan bindtekst, want ook binnen bewijzen staan er belangrijke toelichtingen.

Sommige stellingen worden met behulp van computers bewezen (waarbij de term ‘formele taal’ nu wel van toepassing is). Een voorbeeld is de vierkleurenstelling, die zegt dat je slechts vier kleurpotloden nodig hebt om eender welke landkaart zo in te vullen dat aangrenzende landen een verschillende kleur hebben. Een computerbewijs lijkt een woordenloze aaneenschakeling van symbolen. Toch vergt het heel wat ondersteuning door woorden: hoe werkt het algoritme en wat betekenen de symbolen? Zonder deze toelichting is het bewijs in feite onvolledig.

Kortom, wiskunde is volgens mij geen taal. Het is veeleer een toevoeging bij onze natuurlijke taal, net zoals een arts anatomische termen leert. In het geval van medisch Latijn is het duidelijk dat het geen op zichzelf staande taal is, maar slechts een uitbreiding ervan.

Ambiguïteit: wat gebeurt in Vaagheid blijft in Vaagheid.Natuurlijke talen zijn notoir ambigu: hetzelfde woord kan meerdere betekenissen hebben. Neem het woord ‘monster’: in een sprookjesboek verwijst het naar een draak of hellehond, maar in het laboratorium verwijst het naar een specimen. Voor de triviafans is het leuk om te weten dat beide betekenissen aan elkaar verwant zijn: beide gaan terug op ‘monstrare’, het Latijn voor (aan-)tonen. Terwijl het wetenschappelijke monster gebruikt wordt om moeizaam één of andere eigenschap aan te tonen, toont het sprookjesmonster zijn kwaadaardige natuur meteen, want in sprookjes geldt: ‘lelijk = slecht’.

Het voordeel van een vaktaal is dat de context meteen duidelijk is, maar het nadeel is dat de betekenis voor niet-ingewijden niet meer transparant is. Dat is hoe ik wiskunde zie: een uitbouw aan onze taal, die troebel lijkt van buitenaf, maar die helder wordt als een kristallen paleis zodra je er naar binnen durft. Een sprookje dat maar één wet volgt, namelijk: ‘mooi = goed’.

~

Aanvulling (januari 2016):

Zo kan je vloeken in wiskunde! :-)

Laatste-schooldag-gevoel

Wij muizen ervandoor.Ik heb al heel de dag het gevoel dat iemand in mijn maag heeft gestompt. Melancholie, omdat we gaan verhuizen en ik vandaag allerlei dingen voor het laatst doe, hier, in onze vertrouwde omgeving.

Precies zo voelde ik me altijd op de laatste schooldag. Er was toen nog geen internet, dus wist ik niet dat er zoiets was als Last Day of School Sadness. Ik begreep nauwelijks waarom er een steen op mijn hart drukte: een vaag gevoel van spijt dat het voorbij was en het gevoel dat ik er niet genoeg van had genoten. Mijn laatste laatste-schooldag-blues is zo lang geleden! Door deze herhinnering versterkt de melancholie van vandaag zich nog.

Zo is het vandaag de laatste dag dat ons kindje naar deze opvang gaat, vanaf maandag gaat hij ergens anders. Ik twijfel er niet aan dat hij daar ook goed verzorgd gaat worden (anders brachten we hem daar niet, uiteraard). En toch is er dat knagende besef dat er iets wordt afgesloten: het was zo gewoon met de verzorgsters zijn dag te overlopen, kleine gesprekken te hebben met andere ouders, dezelfde kindjes te zien, … Gelukkig is ons kindje nog te klein om te beseffen dat hij voor het laatst in deze opvang is. Hopelijk voelt hij dan ook geen steen van melancholie in de maag, maar is het voor hem vooral een heel gewone dag – de dagelijkse routine van eten en slapen, spelen en ontdekken tussen de inmiddels zo vertrouwde gezichten.

Ik heb iets geknutseld om uit te delen als afscheidscadeautje: voor iedereen een muis (omdat we ervandoor muizen) met een wafeltje erin. Het idee komt van deze webpagina, maar omdat onze printer de verhuis niet goed doorstaan heeft, heb ik een eigen variant van het ontwerp gemaakt, met passer en lineaal op ruitjespapier. Ja, een passer – nog zoiets dat ik de voorbije tien jaar niet heb nodig gehad. Het voordeel was dat ik het ontwerp heb kunnen optimaliseren om zoveel mogelijk te kunnen gebruiken van mijn gekleurd karton, dat net iets groter was en andere verhoudingen had dan A4-formaat.

Om de half-cirkelvormige oortjes mooi op het lijfje te laten aansluiten, moet je de vaste punt van de passer in de bissectrice van de betreffende kant van het lijfje plaatsen (en het Wikipedia-artikel toont hoe je dat met passer en lineaal kunt doen). De details in de afwerking zijn ook zo veel mogelijk met cirkels gedaan:

  • twee halve cirkels voor de oortjes,
  • één halve cirkel voor de neus (lijkt kleiner op de foto omdat het gevouwen is)
  • en kwartcirkels voor de ogen.

Geometrisch gezien passen er zes muizen in een cirkel als ze met de neuzen naar elkaar staan, maar omdat ik maar vijf verschillende kleuren had, poseren ze hier met vijf. Om ze te vervoeren kun je ze in elkaar schuiven (met het wafeltje er al in); leg ze dan best op een zijkant in een doos.

Melancholie en meetkunde grijpen wonderwel in elkaar, maar deze congruentie kende Albrecht Dürer al (en dat was in de zestiende eeuw).

Een muis met een wafeltje erin, om het afscheid te verzachten.

Nog zo’n laatste: fruit kopen bij het winkeltje in onze straat in Gent. De man doet me aan mijn moeder denken: altijd opgewekt en bereid tot een praatje. Ik vertelde hem vandaag over onze verhuis en bleef iets langer babbelen dan gewoonlijk. Hij vertelde dat hij enkele jaren geleden een appartement heeft gekocht, maar dat hij geen schotelantenne mag plaatsen van de syndicus. Hij komt uit Pakistan en zou natuurlijk graag het nieuws uit zijn thuisland ontvangen. Er wonen ook Turkse mensen in het gebouw. Volgens de syndicus mogen ze wel één grote antenne zetten en vandaaruit draden trekken naar de verschillende appartementen. Maar de richting om Pakistaanse zenders te ontvangen is anders dan voor Belgische of voor Turkse zenders. Grr, syndicuskantoren

Het probleem van de oneindige loterij

Een loterij op de natuurlijke getallen heeft oneindig veel ballen. Toch zit er geen enkele bal bij waar 'oneindig' op staat.Eind vorige maand schreef ik over hoe een onderzoeksvraag mijn leven een andere wending gaf. Over wat dit probleem precies was, bleef ik eerder op vlakte. Daarom is deze post volledig gewijd aan het probleem van de oneindige loterij – de onderzoeksvraag die mijn leven veranderde.

[important]

De axioma’s van de klassieke kansrekening laten je niet toe om aan elk lot in een aftelbaar oneindige verzameling dezelfde kans toe te kennen.

[/important]

Dit vereist enige toelichting.

Het standaard voorbeeld van een aftelbaar oneindige verzameling is de verzameling van alle natuurlijke getallen, \mathbb{N}. Er zijn ook verzamelingen die overaftelbaar zijn en dus van een grotere orde oneindigheid: de verzameling van alle reële getallen, \mathbb{R}, is een voorbeeld van zo’n overaftelbaar oneindige verzameling.

Dan die axioma’s waarvan sprake is: de klassieke kansrekening berust op fundamentele aannames, uitgedrukt in vier axioma’s. De axioma’s heten: Normering, Positiviteit, Som en Continuïteit.

  1. Normering zegt dat de kans van de unie van alle loten samen precies één moet zijn, 100% dus.
  2. Positiveit zegt dat eender welke combinatie van loten een kans heeft die niet negatief kan zijn.
  3. Som zegt dat als twee verzamelingen loten geen loten gemeenschappelijk hebben, dat dan de kans van
  4. Continuïteit vertelt iets over het limietgedrag van oneindige deelverzamelingen van loten. Voor ons is van belang dat Som en Continuïteit samen aanleiding geven tot het principe van Aftelbare additiviteit.

Aftelbare additiviteit zegt dat de som van de kansen van aftelbaar veel loten apart gelijk moet zijn aan de kans van de unie van al deze loten samen. Omdat er in een aftelbaar oneindige loterij, in tegenstelling tot een overaftelbare, maar aftelbaar oneindig veel loten zijn, impliceert dit principe in dit geval dat de som van de kansen van alle loten apart gelijk moet zijn aan de kans van de verzameling van alle loten. En volgens het eerder genoemde axioma van de normering is die laatste kans gelijk aan één.

Stel nu dat je een gelijke kans wil toekennen aan alle loten in loterij op de natuurlijke getallen. Wat je ook probeert, je overtreedt altijd minstens één van de axioma’s:

  • Als je nul toekent aan ieder lot, sommeert de kans van alle loten samen tot nul. Dit is echter in strijd met de combinatie van Normering en Aftelbare additiviteit, die samen impliceren dat deze som gelijk moet zijn aan één.
  • Als je een kans groter dan nul toekent aan ieder lot, sommeert de kans van alle loten samen tot oneindig. (Anders gezegd: de som van deze kansen divergeert.) Dit is opnieuw in strijd met de combinatie van Normering en Aftelbare additiviteit, die vereisen dat deze som gelijk moet zijn aan één.

Het komt er dus op neer dat nul te klein is, terwijl iedere andere kans meteen te groot is. (Voor de wiskundigen onder jullie: het probleem komt er in feite op neer dat som en limiet niet commuteren.) Het lijkt of je iets tussen nul en de ‘eerstvolgende’ waarde zou willen hebben en dat als kans aan zo’n loterij hangen. Zoiets als één op oneindig, een infinitesimaal. De klassieke kansrekening werkt echter met reële getallen en er is niet zoiets als “het eerstvolgende getal groter dan nul”: tussen iedere twee reële getallen zitten er immers oneindig veel andere reële getallen. Je hebt dus oneindig veel reële getallen tussen nul en eender welk klein positief getal en toch zijn ze allemaal te groot.

Het lijkt onbegonnen werk daar een nog kleiner getal tussen te wringen dat de kans van één lot in loterij op een aftelbaar oneindige verzameling kan uitdrukken. En toch is dit in feite waar mijn oplossing op neer komt: door hyperreële getallen te gebruiken om kansen uit te drukken, krijg je beschikking over infinitesimalen. Infinitesimalen zijn kleiner dan eender welk positief reëel getal en toch groter dan nul.

Deze infinitesimalen zijn essentieel in de niet-Archimedische waarschijnlijkheidstheorie waar ik met collega’s aan werk. Met onze theorie kun je duidelijk het verschil aangeven tussen de situatie waarin je een waterkans hebt (bijvoorbeeld: je hebt één lot in een oneindige loterij) of die waarin je helemaal kansloos bent (bijvoorbeeld: je hebt geen enkel lot in eender welke loterij).

Wiskunde van planeet Aarde (Zomerschool in Triëste)

Mathematics of Planet Earth.Wiskundigen hebben 2013 uitgeroepen tot het jaar van “wiskunde van planeet Aarde” (website). Over dit thema zal er in Italië een zomerschool gehouden worden. Je kunt je hiervoor aanmelden tot 15 februari 2013.

De zomerschool wordt georganiseerd door de vereniging voor Europese vrouwen in de wiskunde (EWM). Alle wiskundigen zijn welkom: daar hoef je vrouw, noch Europeaan voor te zijn! Zelf was ik aanwezig op hun vorige zomerschool, die toen in Leiden plaatsvond. Als Europese vrouw maar niet-wiskundige was ik er alsnog een buitenbeentje. :-) Mijn blog was toen nog nieuw en ik deed dan ook uitgebreid verslag (hier, hier, hier en hier).

Toegegeven: op voorhand had ik mijn twijfels over het concept. Zo’n congres met een meerderheid aan vrouwen, wat is daar de meerwaarde van? Toch ben ik tijdens die week anders gaan denken over het thema diversiteit in de exacte wetenschappen. Bovendien heb ik er ook heel interessante tutorials gevolgd. Als je zelf onderzoek doet naar een onderwerp dat aansluit bij het huidige thema rond wiskunde (of wiskundige fysica) van planeet Aarde (denk bijvoorbeeld aan dynamische systemen en niet-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen), kan ik je dus enkel aanraden om deel te nemen.

De zomerschool zal plaatsvinden in Triëst (in het noordoosten van Italië, in de buurt van Venetië). Meer bepaald in Miramare aan het ICTP, of voluit: Centro Internazionale di Fisica Teorica Abdus Salam. Het centrum heeft budgetten om onderzoekers uit ontwikkelingslanden te helpen om de daar georganiseerde symposia bij te wonen. Op die manier kan de zomerschool dus ook een heel divers publiek bereiken. In 2009 verbleef ik zelf een week aan het centrum samen met Danny. Terwijl Danny er lezingen volgde en een poster presenteerde op het congres over computationele fysica, werkte ik er rustig verder aan mijn bureau met zicht op zee. Het was toen januari en bitter koud, dus voor de komende zomerschool eind mei zal het er vast nog mooier zijn.

Internationaal Centrum voor Theoretische Fysica in Miramare.

In 2009 verbleef ik met Danny in het Internationaal Centrum voor Theoretische Fysica (ICTP) in Miramare. Van aan mijn bureau had ik dit uitzicht op de Adriatische Zee.

Aanvulling (3 februari 2013):

Het ICTP is opgericht door Abdus Salam, een theoretisch fysicus uit Pakistan die in 1979 de Nobelprijs Natuurkunde deelde met Sheldon Glashow en Steven Weinberg voor hun werk in de deeltjesfysica. Hoewel Salam daarmee de eerste Pakistaanse fysicus was die deze eer te beurt viel, was zijn geboorteland verre van opgetogen en dit omdat hij tot een religieuze minderheid behoorde.

Over het leven van Abdus Salam wordt momenteel een documentaire gemaakt. De makers zijn nog op zoek naar fondsen voor de postproductie; ze mikken op 150 000 dollar. Ze hebben alvast een voorsmaakje online geplaatst op Vimeo:

Lijstjes van leuke zoekopdrachten (1/2)

Een zoekmachine is een handig hulpmiddel, maar kan nog steeds geen zinnen interpreteren.Soms zie ik grappige, onthutsende, of ronduit bizarre zoekopdrachten passeren op mijn blog. Verdwalen op internet kan fijn zijn en ik vind het natuurlijk leuk dat er ook op mijn blog geregeld louter toevallige passanten langskomen. Toch zie ik vaak slecht gekozen zoekopdrachten en dan vind ik het jammer dat ik die mensen niet wat beter op weg heb kunnen helpen. Op 12 oktober 2011 plaatste ik al eens een bericht met opvallende zoektermen, met daarbij 7 tips over zoeken op internet. Vandaag, precies een jaar later, maak ik nog eens zo’n overzicht.

Eén van de aspecten die opvallen bij het bekijken van zoekopdrachten op dit blog is dat je er duidelijke seizoensgebonden fenomenen in ziet. Een voorbeeld: er wordt duidelijk meer op ‘aggregatietoestanden‘ gezocht wanneer dit onderwerp in de middelbare school op het programma staat. Verder zijn er ook eenmalige pieken. In november 2011 kwamen er plots nieuwe zoekopdrachten binnen op mijn blog voor Robbert Dijkgraaf, terwijl ik zijn naam enkel in juni 2011 vermeld had (in deze stukjes: 1 en 2). Hierdoor wist ik dat er iets aan de hand was en inderdaad: even later hoorde ik het nieuws dat de Nederlandse president van de KNAW naar Princeton zou overkassen om daar het Institute for Advanced Study te gaan leiden – een positie die hij sinds juli 2012 inderdaad vervult.

Dit zijn de lijstjes van mijn favoriete zoekopdrachten van het voorbije jaar, gesorteerd in vier categorieën (met  tussen haakjes de maand) [en soms tussen vierkante haakjes mijn reactie erbij].

Over fysica:

  • wie onderzoekt dat de lucht blauw is (januari 2012) [Natuurkundigen. Wie anders?!]
  • fysica is alles (april 2012) [Een zoekopdracht naar mijn hart.]
  • alles is fysica (april 2012) [Ook dat is waar, kijk maar naar dit filmpje.]
  • fysica is leuk (augustus 2012)
  • fysica moeilijkst (augustus 2012)
  • invloed van alcohol op zeepbellen (september 2012) [Ze gaan zwalpen? ;-) Oja, en de oppervlaktespanning verlaagt, maar die neemt vervolgens weer geleidelijk toe naarmate de alcohol verdampt.]

Over logica:

  • randgeval logica (november 2011)
  • kunstlogica de logica van kunst (januari 2012)
  • logica kan je leren (juni 2012) [Voorwaar, een optimist!]

Over wiskunde:

  • hoe belangrijk is mijn opleiding wiskunde (november 2011) [Ik heb me laten vertellen dat het aantal uur wiskundeles tijdens de middelbare school de beste barometer is voor succes in de verdere opleiding, ongeacht de richting (dus ook voor talen bijvoorbeeld) – laat dit een tip zijn.]
  • welke wiskunde kom je tegen in kappersopleiding (december 2011) [Dat weet ik niet, maar een beetje wiskunde komt altijd handig van pas als je je boekhouding op punt moet houden.]

Alternatieve spellingsvormen voor ‘infinitesimaal’ [helaas geen enkele zo mooi als de winnaar van vorig jaar: ‘infanticimaal’]:

  • infiniet decimaal calculus (november 2011)
  • infinetisemaal (januari 2012)
  • infinitdecimaal klein oppervlak (juni 2012)

 

Morgen deel 2 met meer thematische lijstjes!

Video’s van lezingen in München

Tijdens mijn presentatie in München.In juni vertelde ik al over de Formal Epistemology Workshop (FEW) in München, waar toen heel wat mensen uit de formele kenleer samenkwamen om hun recentste onderzoek te bespreken en waar ik zelf twee tutorials gaf over hyperreële getallen en hun toepassingen.

Inmiddels staan alle video’s van de daar gehouden presentaties online: je kunt ze downloaden via het (gratis) iTunes-kanaal van het Münchense Centrum voor Wiskundige Filosofie (MCMP). Het overzichtelijkste is echter via het schema van het congres op de website van Branden Fitelson, waarbij er nu ook links zijn naar alle video’s.

Het is natuurlijk altijd zeer confronterend om jezelf op video terug te zien, maar ik heb beslist om de filmpjes hier toch te plaatsen – al was het maar om later aan mijn kind te kunnen zeggen: “Kijk, daar was jij bij en dat wist toen helemaal niemand!” :-)

Vooruitspoelen zal pas lukken als de video al zo ver geladen is; het is hier YouTube niet, hè. ;-) [Aanvulling 2016: Ik heb de video’s ein-de-lijk ook op mijn eigen YouTube-kanaal gezet.] Eerste deel:

Om de hele video te downloaden en achteraf te bekijken (in groter scherm), klik rechts op volgende link en kies opslaan: Download mp4 van deel 1.

Tweede deel:

Om de hele video te downloaden, klik rechts op volgende link en kies opslaan: Download mp4 van deel 2.

Het filmpje van Vi Hart, dat ik integraal liet spelen tijdens mijn eerste presentatie, kun je beter vanuit mijn vorige post herbekijken.

Stereotypen over onderzoekers

Er zijn heel wat vooroordelen over studenten in het algemeen en over specifieke richtingen in het bijzonder. Deze stereotypen zijn het onderwerp van een nieuwe internetmeme: “Wat anderen denken dat ik doe versus wat ik echt doe“.

Voor mij zijn of waren er minstens zes voorbeelden van deze meme van toepassing:

(1) Wetenschapsstudent
Feit: Wetenschapsstudenten spenderen meer tijd aan hun bureau dan in het labo.

(2) Doctoraatsstudent in de fysica
Feit: Doctoraatsstudenten weten het ook vaak niet.

(3) Experimenteel fysicus
Feit: Experimentele fysici hebben veel geduld nodig.

(4) Student in de filosofie
Feit: Filosofiestudenten zitten niet altijd op café (maar wel vaak).

(5) Wiskundige
Feit: Veel wiskundigen kunnen niet goed tellen.

(6) Statisticus
Feit: Statistici vallen, gemiddeld genomen, wel te vertrouwen.

Mijn link met bovenstaande categorieën: eerst was ik een wetenschapsstudent (1), dan een doctoraatsstudent in de fysica (2) en zo werd ik een volleerd experimenteel fysicus (3); daarna werd ik een (doctoraats-)student in de filosofie (4) en sindsdien doe ik met geavanceerde wiskunde (5) onderzoek over kansrekening en statistiek (6).

Dankzij deze ongebruikelijke mix heb ik welsiwaar extra veel last van beroepsmisvorming (zie bijvoorbeeld hier en hier), maar anderzijds hoop ik me aan bovenstaande stereotypen te kunnen onttrekken.

Hier vind je een heel uitgebreide verzameling met andere voorbeelden. Zijn er voor jou voorbeelden van deze meme van toepassing? En zit er wel wat in of slaat het nergens op? (Behalve natuurlijk op een dood paardtoelichting.)

Hartvormige krommen: van cardioïde tot caustiek

Wiskundige kromme siert Valentijnskaartje: de cardioïde.Morgen is het 14 februari en omdat dit de eerste Valentijn is sinds de start van dit blog, zijn er nog tal van mogelijkheden om een nieuwe traditie te starten. Veranderen we deze pagina’s één dag naar roze? Voorzien we de achtergrond van hartjes? Of gooien we het toch over een andere boeg? Ja, ik denk dat we het bij een thematische blogpost zullen houden. Daarom is het thema vandaag: hartvormige krommen.

Als je naar “hartkromme” zoekt op Wikipedia, kom je bij de cardioïde uit, inclusief een mooie illustratie van de constructie: volg de beweging van één punt op een cirkel terwijl deze rond een andere, vaste cirkel met dezelfde straal draait. Dit is een rolkurve, net zoals de cycloïde, waarbij je ook de beweging volgt van een punt op een cirkel, maar dan terwijl deze over een rechte lijn rolt.

Als je morgen iets gaat drinken met je (toekomstige) lief, kijk elkaar dan niet enkel diep in de ogen, maar let ook eens op de lichtweerkaatsing in je glas of kopje. Als het licht goed zit, zie je hier een hartvormige caustiek. (Voor meer uitleg over (kata-)caustieken in het Nederlands kun je hier terecht. Daar wordt caustiek weliswaar als ‘kaustiek’ gespeld, maar ik verkies vandaag de letter ‘c’ van Cupido.)

Misschien komt jouw idee van een Valentijnshartje niet overeen met de vorm van een cardioïde. Geen nood: er zijn nog genoeg andere wiskundige krommen die op een hartje lijken. Hieronder zie je een overzicht met een aantal mogelijkheden. Linksboven zie je nogmaals de cardioïde, terwijl rechtsonder een hartje staat zoals dat op de meeste Valentijnskaarten staat afgebeeld.

Zes hartvormige krommen.

Deze zes wiskundige krommen komen overeen met een hartsymbool.

Hiermee zijn zeker niet alle opties uitgeput: je kunt varianten maken van deze vergelijkingen en er zijn nog andere families van krommen die in zekere mate op een hart lijken. Als je de kromme rechtsonder een beetje uitrekt in de lengterichting krijg je bijvoorbeeld het symbool dat ook op speelkaarten wordt gebruikt (afbeelding). Als je echt wil uitpakken morgen, ga je natuurlijk voor 3D.

Afsluiten doen we met twee cartoons uit het archief van Brightly Wound:

Het hart als Klein-fles en als kwantumexcitatie.

Het hart als Klein-fles en als kwantumexcitatie. (Bron afbeeldingen: http://brightlywound.com/?comic=12 en http://brightlywound.com/?comic=13)

Aangezien echte geeks hun liefdesbrieven in LaTeX schrijven, heb ik voor hen nog deze tip: het commando “\heartsuit” geeft het symbool \heartsuit.

Een fijne Valentijn gewenst!

Aanvulling 1 (14 februari 2012):

Deze Sci-ence-cartoon onderzoekt waar ons symbool voor hart vandaan komt.

Aanvulling 2:

Niet enkel wiskundeliefhebbers hebben recht op thematische Valentijnkaartjes. Fysici zoeken hun inspiratie bij Newton: “An object in love will remain in love forever“, terwijl filosofen kunnen rekenen op Descartes: “Amo ergo sum“. (Meer Valentijnswensen van de hand van Ben Kling vind je hier, hier en hier.)

Fruitsap van niet-meetbare delen

Eerst dacht ik nog 'He?!', maar toen dacht ik 'He?! He?!'Van één sinaasappel kun je er twee maken. Je kunt de pitten tot een boom laten uitgroeien en daarvan de eerste twee vruchten plukken, maar dan moet je wel veel geduld hebben. Volgens wiskundige maattheorie kan het sneller: je kunt een sinaasappel (of eender welke volle bol), zo opdelen, in minstens vijf stukken, dat je door de stukken enkel te draaien en te schuiven twee exemplaren kunt maken met dezelfde diameter als de oorspronkelijke sinaasappel.

Dit resultaat staat bekend als de Banach-Tarski paradox. En ja, het idee is behoorlijk gestoord. Het is ook gemakkelijk om het resultaat verkeerd voor te stellen. Om te beginnnen is het veelgebruikte voorbeeld met de sinaasappels misleidend: je kunt namelijk geen enkel materieel voorwerp fijn genoeg opdelen om de paradox in de praktijk te demonstreren. In dit geval is dat de reden dat we van een paradox spreken: wiskundig gezien is er geen tegenstrijdigheid in het spel, maar de wiskunde leidt hier wel tot een tegen-intuïtief resultaat, dat ver van de dagdagelijkse ervaring verwijderd is. Ook lees ik op veel websites dat je twee identieke bollen krijgt, of twee bollen met hetzelfde volume. Dat klopt niet: je krijgt twee bollen met dezelfde straal, maar die zijn niet precies gelijk aan de oorspronkelijke bol: er is één spookachtige bol bij.

Het bewijs van de Banach-Tarski paradox berust namelijk op niet-meetbare delen: verzamelingen van punten die zo complex zijn, dat je er geen volume aan toe kunt kennen. Voor het bestaan van dit soort verzamelingen heb je het keuzeaxioma nodig, dat soms verworpen wordt precies omdat het dit soort tegen-intuïtieve resultaten oplevert. (Zolang ze onderling niet strijdig zijn, kun je axioma’s in de wiskunde vrijelijk “aan” of “uit” zetten. Omdat het keuzeaxioma ook veel handige gevolgen heeft, staat het standaard in de wiskunde “aan”.) Ook in de kansrekening, die gebaseerd is op maattheorie, zaait het keuzeaxioma geregeld verwarring: in situaties met oneindig veel uitkomsten, kun je aan sommige gebeurtenissen geen kans toekennen.

Het bestaan van niet-meetbare verzamelingen is een nodige, maar geen voldoende voorwaarde voor het optreden van de Banach-Tarski paradox. Je hebt ook een niet-commutatieve groep nodig. Het draaien en verschuiven van delen in één of twee dimensies is onafhankelijk van de volgorde waarin je de verplaatsingen doet (“commutatief” of “Abels”) en levert daar geen schijnbare verdubbelingen op. Pas in drie en meer dimensies is de corresponderende groep niet-commutatief, met Banach-Tarski paradox als resultaat. Er is nog een leuke variant van dit is resulaat: als je begint met een volle bol ter grote van een erwtje, kun je dat in eindig veel delen opdelen en de stukken, opnieuw enkel door draaien en schuiven, zo re-assembleren dat je een volle bol krijgt ter grootte van de zon. Dit handige systeem om meer ruimte te creëren zou niet misstaan in de Ikea-catalogus, maar opnieuw geldt dat het principe niet uitvoerbaar is met materiële voorwerpen, die maar eindig fijn kunnen worden opgedeeld.

Terug naar de sinaasappels, om het toch maar bij dit – enigszins misleidende – voorbeeld te houden. Als één sinaasappel er twee kunnen worden, dan kunnen die twee er ook vier worden, vier worden er acht, en zo verder. Het aantal gaat telkens maal twee: dat is een exponentiële toename van sinaasappels. Hiermee kun je onbeperkt fruitsap maken en je mag er zoveel van drinken als je wil, want er zitten toch geen calorieën in. ;-)

Banach-Tarksi paradox leidt tot exponentiele toename.

Door de Banach-Tarksi paradox herhaaldelijk toe te passen, krijg je een exponentiële toename van sinaasappels. (Aangepast van deze bron: http://dgleahy.com/p47.html)

Zo is het gemakkelijk om mirakels te doen: volgens de bijbel kon Christus Banach-Tarskiën met brood en wijn. Het kan ook met bananen, maar dan heet het de Bananach-Tarksi paradox. ;-) Naast sinaasappels is ook ander fruit populair, bijvoorbeeld Zorn’s lemon (een knipoog naar Zorn’s lemma, dat equivalent is met het keuzeaxioma). Vraag trouwens nooit aan een wiskundige om een anagram te maken van “Banach-Tarski”, want die zal zeker antwoorden: “Banach-Tarski Banach-Tarski”.

Een stel Deense wiskundigen (of wiskunde-studenten althans, voor zo ver ik kan achterhalen van de Universiteit van Kopenhagen) ging met het idee van de paradoxale vermenigvuldiging van de sinaasappels aan de haal, met onderstaand filmpje als resultaat: ellende met  niet-meetbare delen, een exponentiële groei van fruit en hier en daar een onderbroek. 100% nerd-alarm!

Tot slot nog een tip voor wie zich al eens verveeld en denkt “Ik wou dat ik twee hondjes was, dan kon ik samen spelen“. Mijn suggestie: één glas Banach-Tarski fruitsap bij het ontbijt en alles wordt dubbel zo leuk.

Over fractals, Engelse gotiek en een dwaaltuin

Het paleis van Blenheim is een voorbeeld van de Engelse Gotiek.Fractals zijn figuren waarvan de onderdelen op het geheel lijken. De takken van een boom lijken bijvoorbeeld op een verkleinde kopie van de volledige boom. Bij een wiskundige fractal blijf je steeds structuren vinden die op het geheel lijken, hoe ver je ook inzoemt. Daar houdt de gelijkenis met een boom op: een blad lijkt (vaak) wel op een miniatuurboompje (met het steeltje als stam en het blad zelf als kruin), maar als je verder inzoemt kom je bij cellen, moleculen en uiteindelijk atomen uit, die niet op bomen lijken. Dit belet niet dat het leuk is om in de natuur of in de stad op zoek te gaan naar fractalachtige planten en gebouwen.

Naast twee zich wild vertakkende bomen, heb ik in Oxford ook fractalachtige architectuur gevonden, met dank aan de Engelse gotiek. De foto linksboven is een zicht op All Souls College, gezien vanaf Queen’s Lane. (Dit is dus eigenlijk nog maar de achterkant van het gebouw!)

Het paleis van Blenheim is weliswaar ook een voorbeeld van de Engelse gotiek, maar ik heb er helaas geen overtuigende fractals in kunnen ontdekken. Het paleis staat in Woodstock (nabij Oxford) en werd in 1705 opgericht door Koningin Anna ter ere van John Churchill, beter bekend als de eerste Hertog van Marlborough. Deze hertog had het commando gevoerd in de Slag bij Blenheim en daar een overwinning behaald voor de Engelsen en hun alliantie. In de tuinen van het paleis ligt er tegenwoordig een mooi haagdoolhof: het Marlborough Maze. Een ‘maze‘ is echt een doolhof en geen labyrint, dus je kunt er wel degelijk in verdwalen. Een doolhof is géén fractal en gelukkig maar, want anders zou je er nooit uitgeraken!

Fractals in Oxford

Bovenaan links: de fractalachtige omtreklijn van de achtergevel van het All Souls College komt extra duidelijk uit bij tegenlicht. Bovenaan rechts en onderaan links: sommige bomen vertakken zich als wilde fractals, haast zonder zich iets aan te trekken van de zwaartekracht. Onderaan rechts: gelukkig was dit doolhof géén fractal.

De foto van het haagdoolhof (rechtsonder) is gemaakt vanop één van de twee bruggen, die ook dienst doen als uitkijkposten. Daarop kun je je route vrij efficiënt plannen. Natuurlijk zou je vooraf een satellietfoto van het doolhof kunnen opzoeken om daarop je weg uit te stippelen. Je kunt de route dan zelfs met een computerprogramma uitdokteren: met Mathematica bijvoorbeeld, of een ander programma dat overweg kan met grafen. Op een satellietfoto kun je echter moeilijk de bruggen van een gewoon pad onderscheiden, waardoor je oplossing in realiteit mogelijk niet zal werken.

Vóór het doolhof staat er een grondplan waar ik onderstaande foto van gemaakt heb; de hagen corresponderen met de groene lijnen op het plan. De andere kleuren helpen niet om je weg te vinden – in tegendeel – en dienen enkel om de figuur, die in het grondplan verwerkt zit, duidelijk te maken: een kanon met kogels, twee trompetten en een banier. (Deze heldhaftige symboliek verwijst natuurlijk weer naar de overwinning van de Hertog van Marlborough in de Slag bij Blenheim.) Op de foto heb ik de bruggen aangeduid met gele B’s. Op die posities kun je dus wel van boven naar onder lopen op de kaart, of van links naar rechts, maar niet ‘afslaan’.

Als je een satellietfoto hebt en weet waar de bruggen zijn, dan kun je inderdaad Mathematica gebruiken om de kortste route te vinden. Ik heb deze website maar achteraf gevonden, maar het lijkt goed overeen te komen met de route die we zelf gevolgd hebben. Deze oplossing is dus proefondervindelijk geverifieerd. ;-)

Marlborough Maze.

Foto van het grondplan voor het Marlborough-doolhof. De gele B’s geven de posities van de twee bruggen aan. Bij het gele sterretje staat er wel een groen lijntje, maar op de corresponderende plek in het doolhof is er daar toch een doorgang.

Als je in plaats van een satellietfoto bovenstaand grondplan zou gebruiken om je route vooraf te plannen, heb je alsnog een probleem: hierop staat er namelijk op een cruciale plek een barrière aangegeven, waar er in werkelijkheid geen haag staat; daar heb ik een geel sterretje toegevoegd op de foto. Met deze extra barrière erbij zou het doolhof geen oplossing te hebben.

Conclusie: in een doolhof moet je vooral gewoon zelf ronddwalen en dan maar hopen dat de ontwerper geen fan was fractals.

Aanvulling (24 november 2011):

Ik heb het grondplan op de foto nog eens goed vergeleken met een recente satellietfoto (via Google Maps) en er ontbreken nóg twee hagen. Tja, op die manier wordt het moeilijk om nog echt te verdwalen… Op de afbeelding hieronder heb ik de drie verschilpunten aangeduid met groene sterretjes. Ik vraag me af of er daar nooit haag heeft gestaan, of dat de haag op die plaats pas na verloop van tijd verwijderd is en waarom dan. Danny lanceerde de hypothese van een tuinman die het zat was om altijd om te moeten lopen. Ook lijkt het me leuk om een filmpje te zien van een haagdoolhof in de loop van de tijd: de haag wordt natuurlijk dikker en dunner in de loop van het jaar en lijkt te ‘ademen’, maar ook kan ik me zo voorstellen dat het oorspronkelijk ontwerp geleidelijk verloopt, doordat hoeken anders worden afgerond en dergelijke.

Marlborough Maze.

Satellietfoto van het Marlborough-doolhof: op de plaats van de groene sterretjes staat er geen haag, terwijl er daar wel een versperring wordt aangegeven op de plattegrond. De middelste haag zou weinig verschil maken, maar de twee andere zitten op cruciale plaatsen in het parcours. (Bron: Google Maps.)

En zo is jaren “Zoek de 8 fouten” spelen in de krant (op cartoons van Laplace) toch nog ergens goed voor gebleken. ;-)