Tag Archief: wiskunde

Over fractals, Engelse gotiek en een dwaaltuin

Het paleis van Blenheim is een voorbeeld van de Engelse Gotiek.Fractals zijn figuren waarvan de onderdelen op het geheel lijken. De takken van een boom lijken bijvoorbeeld op een verkleinde kopie van de volledige boom. Bij een wiskundige fractal blijf je steeds structuren vinden die op het geheel lijken, hoe ver je ook inzoemt. Daar houdt de gelijkenis met een boom op: een blad lijkt (vaak) wel op een miniatuurboompje (met het steeltje als stam en het blad zelf als kruin), maar als je verder inzoemt kom je bij cellen, moleculen en uiteindelijk atomen uit, die niet op bomen lijken. Dit belet niet dat het leuk is om in de natuur of in de stad op zoek te gaan naar fractalachtige planten en gebouwen.

Naast twee zich wild vertakkende bomen, heb ik in Oxford ook fractalachtige architectuur gevonden, met dank aan de Engelse gotiek. De foto linksboven is een zicht op All Souls College, gezien vanaf Queen’s Lane. (Dit is dus eigenlijk nog maar de achterkant van het gebouw!)

Het paleis van Blenheim is weliswaar ook een voorbeeld van de Engelse gotiek, maar ik heb er helaas geen overtuigende fractals in kunnen ontdekken. Het paleis staat in Woodstock (nabij Oxford) en werd in 1705 opgericht door Koningin Anna ter ere van John Churchill, beter bekend als de eerste Hertog van Marlborough. Deze hertog had het commando gevoerd in de Slag bij Blenheim en daar een overwinning behaald voor de Engelsen en hun alliantie. In de tuinen van het paleis ligt er tegenwoordig een mooi haagdoolhof: het Marlborough Maze. Een ‘maze‘ is echt een doolhof en geen labyrint, dus je kunt er wel degelijk in verdwalen. Een doolhof is géén fractal en gelukkig maar, want anders zou je er nooit uitgeraken!

Fractals in Oxford

Bovenaan links: de fractalachtige omtreklijn van de achtergevel van het All Souls College komt extra duidelijk uit bij tegenlicht. Bovenaan rechts en onderaan links: sommige bomen vertakken zich als wilde fractals, haast zonder zich iets aan te trekken van de zwaartekracht. Onderaan rechts: gelukkig was dit doolhof géén fractal.

De foto van het haagdoolhof (rechtsonder) is gemaakt vanop één van de twee bruggen, die ook dienst doen als uitkijkposten. Daarop kun je je route vrij efficiënt plannen. Natuurlijk zou je vooraf een satellietfoto van het doolhof kunnen opzoeken om daarop je weg uit te stippelen. Je kunt de route dan zelfs met een computerprogramma uitdokteren: met Mathematica bijvoorbeeld, of een ander programma dat overweg kan met grafen. Op een satellietfoto kun je echter moeilijk de bruggen van een gewoon pad onderscheiden, waardoor je oplossing in realiteit mogelijk niet zal werken.

Vóór het doolhof staat er een grondplan waar ik onderstaande foto van gemaakt heb; de hagen corresponderen met de groene lijnen op het plan. De andere kleuren helpen niet om je weg te vinden – in tegendeel – en dienen enkel om de figuur, die in het grondplan verwerkt zit, duidelijk te maken: een kanon met kogels, twee trompetten en een banier. (Deze heldhaftige symboliek verwijst natuurlijk weer naar de overwinning van de Hertog van Marlborough in de Slag bij Blenheim.) Op de foto heb ik de bruggen aangeduid met gele B’s. Op die posities kun je dus wel van boven naar onder lopen op de kaart, of van links naar rechts, maar niet ‘afslaan’.

Als je een satellietfoto hebt en weet waar de bruggen zijn, dan kun je inderdaad Mathematica gebruiken om de kortste route te vinden. Ik heb deze website maar achteraf gevonden, maar het lijkt goed overeen te komen met de route die we zelf gevolgd hebben. Deze oplossing is dus proefondervindelijk geverifieerd. ;-)

Marlborough Maze.

Foto van het grondplan voor het Marlborough-doolhof. De gele B’s geven de posities van de twee bruggen aan. Bij het gele sterretje staat er wel een groen lijntje, maar op de corresponderende plek in het doolhof is er daar toch een doorgang.

Als je in plaats van een satellietfoto bovenstaand grondplan zou gebruiken om je route vooraf te plannen, heb je alsnog een probleem: hierop staat er namelijk op een cruciale plek een barrière aangegeven, waar er in werkelijkheid geen haag staat; daar heb ik een geel sterretje toegevoegd op de foto. Met deze extra barrière erbij zou het doolhof geen oplossing te hebben.

Conclusie: in een doolhof moet je vooral gewoon zelf ronddwalen en dan maar hopen dat de ontwerper geen fan was fractals.

Aanvulling (24 november 2011):

Ik heb het grondplan op de foto nog eens goed vergeleken met een recente satellietfoto (via Google Maps) en er ontbreken nóg twee hagen. Tja, op die manier wordt het moeilijk om nog echt te verdwalen… Op de afbeelding hieronder heb ik de drie verschilpunten aangeduid met groene sterretjes. Ik vraag me af of er daar nooit haag heeft gestaan, of dat de haag op die plaats pas na verloop van tijd verwijderd is en waarom dan. Danny lanceerde de hypothese van een tuinman die het zat was om altijd om te moeten lopen. Ook lijkt het me leuk om een filmpje te zien van een haagdoolhof in de loop van de tijd: de haag wordt natuurlijk dikker en dunner in de loop van het jaar en lijkt te ‘ademen’, maar ook kan ik me zo voorstellen dat het oorspronkelijk ontwerp geleidelijk verloopt, doordat hoeken anders worden afgerond en dergelijke.

Marlborough Maze.

Satellietfoto van het Marlborough-doolhof: op de plaats van de groene sterretjes staat er geen haag, terwijl er daar wel een versperring wordt aangegeven op de plattegrond. De middelste haag zou weinig verschil maken, maar de twee andere zitten op cruciale plaatsen in het parcours. (Bron: Google Maps.)

En zo is jaren “Zoek de 8 fouten” spelen in de krant (op cartoons van Laplace) toch nog ergens goed voor gebleken. ;-)

Ada Lovelace en sterke moeders

Ada Lovelace was wiskundige en ze ontwikkelde het eerste computerprogramma... in 1843.Gelukkige Ada-Lovelace-dag!

Vandaag, vrijdag 7 oktober, staat in het teken van Ada Lovelace (het moet niet altijd Marie Curie zijn) en met haar alle vrouwen die in STEM-vakgebieden werken. STEM staat voor ‘Science, Technology, Engineering and Mathematics’. In al deze vakgebieden – natuurwetenschappen, technologie, ingenieurswetenschappen en wiskunde – vormen vrouwen tot op heden een minderheid. De website van de Ada-Lovelace-dag roept op om vandaag over wetenschapsvrouwen te bloggen. (De vorige twee jaar werd er al eens zo’n blogdag georganiseerd, maar dan op 24 maart.) Er zijn ook speciale activiteiten in Londen; helaas passeer ik daar pas over twee dagen.

Mijn eigen keuze voor fysica werd sterk gestuurd door mijn voorliefde voor sciencefiction: als tiener was mijn favoriete auteur Isaac Asimov, bekend van de robotverhalen (I, Robot werd ook verfilmd) en de Foundation-reeks. Omdat Asimov ook populair-wetenschappelijk boeken over astrofysica schreef, dacht ik dat hij astrofysicus was. Ik ging fysica studeren omdat ik dan net als Asimov over leuke dingen zou kunnen schrijven. (En toch heb ik na mijn studie nog tien jaar gewacht om met een blog te beginnen – stom!) Vorig jaar pas las ik de biografie van Isaac Asimov. Toen kwam ik erachter dat hij helemaal geen astrofysicus was, maar biochemicus. Dat verzin je toch niet?! Het leven kan raar lopen…

Ik ben altijd graag fysica geweest, al hebben sommige vrouwen minder positieve ervaringen (zie ook deze post). Intussen werk ik aan de faculteit Filosofie, niet meer binnen STEM dus. In de Theoretische Filosofie blijken vrouwen net zo in de minderheid als in STEM – al hebben we in Groningen wel een vrouwelijk departementshoofd.

In juni schreef ik al over de zomerschool die door de European Women in Mathematics georganiseerd werd in Leiden (hier, hier en hier). Ada Lovelace was daar ook al de mascotte. Op één van de sessies over vrouwen in STEM-vakgebieden werd aan de deelnemers gevraagd om onder elkaar te bespreken waarom zij wiskunde (of fysica in mijn geval) waren gaan studeren. In ons groepje zat een Chinese wiskundige. Zij was wiskunde gaan studeren op advies van haar vader. Voor de Duitse wiskundige in ons groepje was wiskunde haar favoriete vak geweest op de middelbare school; ze had er eigenlijk nooit bij stilgestaan dat dit een ongebruikelijke keuze was voor een meisje. Ik deed mijn Asimov-verhaal. Daarna nam de gespreksleidster terug het woord. “Als ik deze vraag stel”, zei ze, “vertellen de meeste mensen iets over gebeurtenissen van tijdens de laatste jaren van de middelbare school. Maar vóór die tijd hebben er al heel wat meisjes beslist dat STEM niets voor hen is.” Ze was dan ook van mening dat onderzoek niet enkel moet focussen op waarom sommige vrouwen wel voor STEM kozen, maar minstens evenveel moet kijken naar waarom zo veel meisjes wiskunde of wetenschap uit hun vakkenpakket schrappen. Zo kwam er een gesprek op gang over stereotypen en vooroordelen.

Uiteindelijk gaat het om diversiteit.Ook mannen kunnen een goed rolmodel zijn voor jonge vrouwelijke wiskundigen, vond een deelneemster op de zomerschool. Dat is natuurlijk zo. Mijn stelling voor de Ada-Lovelace-dag is dat hetzelfde geldt voor sterke vrouwen die zelf niet in STEM werken. Omdat ik het zonder haar niet beseft zou hebben, moet ik beginnen bij het verhaal van Deense wiskunde A., die ook op de zomerschool was.

Op de suggestie om ook naar zeer vroege invloeden te kijken, reageerde A. als volgt. “Ik heb me helemaal nooit aan vrouwelijke wiskundigen of wetenschappers gespiegeld. Er waren zo geen rolmodellen in mijn leven. Maar door er nu over na te denken, viel opeens het kwartje: mijn moeder stond thuis aan het hoofd van een boerderij. Dat was heel ongebruikelijk; alle andere boerderijen in de omtrek werden door de man van het gezin gerund, maar mijn vader ging gewoon naar kantoor. Ik had dus wel een sterk vrouwelijk rolmodel in mijn leven: mijn moeder. En al was zij helemaal niet geïnteresseerd in wiskunde, zij heeft me getoond dat je als vrouw eender welk beroep kunt doen. Wat gek dat ik dat nu pas besef.”

Bij mij viel het kwartje nog iets later: pas toen A. dit vertelde, besefte ik dat ik een soortgelijke situatie zat. Heeft mijn moeder me niet altijd verteld dat ze als enige vrouw op de bus naar de Ford-fabriek zat? Dat ze er ook bandleidster was? Toch niet slecht voor een ongeschoolde arbeidster… Als ze me iets heeft getoond, is het dus wel dat je als vrouw eender in welke sector kunt gaan werken en er de broek kunt dragen (ook letterlijk trouwens). Mijn moeder heeft niet mogen studeren. Als ze dat wel had gemogen, was ze verpleegster of stewardess willen worden, zegt ze. Typisch zachte beroepen uit overwegend vrouwelijke sectoren dus. Maar je studiekeuze hangt ook af van je voorkennis. Toen ik dertien was – de leeftijd waarop mijn moeder uit moest gaan werken – wist ik nog niet eens wat fysica was, laat staan dat ik het had willen gaan studeren. Mijn moeder is ongeschoold, ze heeft dus zelfs geen snit-en-naad gehad, maar toch heeft ze zichzelf geleerd om patronen te tekenen. Ze kan van helemaal niets iets maken. Is dat niet wat ingenieurs ook doen? Ze kan een ingewikkeld haakwerk reverse engineeren en het dus zonder patroon namaken (en ondertussen zelfs een beetje verbeteren). Is het herkennen van patronen niet iets wat typisch met wiskunde en wetenschappen wordt geassocieerd? Waarom heet het techniek als het met kabeltjes of bouten is, maar huisvlijt als het met stof en draad is?

Ik weet het best: mijn moeder zal lachen als ze dit leest. “Het is toch maar een handwerkje, wat jij doet is toch iets helemaal anders?” zal ze zeggen. Vergelijken is sowieso niet fair, want ik ben wél naar school mogen gaan en daarna naar de universiteit. Ik ben mijn ouders hier heel dankbaar voor. Ook mijn vader wist wat het was om wel te willen maar niet te mogen verder studeren. Zijn vader stierf en in een gezin van zes kinderen betekent dat: gaan werken of verhongeren. Hij heeft nog wel een diploma als elektricien kunnen behalen bij het leger, maar aan de universiteit studeren zat er financieel niet meer in.

Hoe zat het met de moeder van Ada Lovelace? Ook zij was een sterke vrouw. Annabella Milbanke (en later barones Wentworth) heette ze en ze verliet haar man, de dichter Lord Byron, om alleen voor Ada te zorgen vanaf dat het meisje één maand oud was. Ada’s moeder wou te allen prijze verhinderen dat het meisje dezelfde weg op zou gaan als haar waanzinnige (volgens Annabella) vader. Geen poëzie dus voor Ada, maar een stevige opleiding in de wiskunde.

In die zin was ik beter af dan Ada: ik mocht studeren wat ik maar wou; er was thuis geen specifiek vooroordeel voor of tegen STEM-vakken. Poëzie of fysica? Dat mocht ik volledig zelf kiezen. Het geldt voor alle keuzes en voor alle minderheden: gewoon zelf mogen kiezen is het allerbeste. Maar om te kunnen kiezen moet je wel kansen krijgen. Omdat ik vind dat elk kind naar school moet kunnen gaan, stel ik voor om deze Ada-Lovelace-dag te vieren met een storting voor Unicef (ze hebben diverse projecten rond onderwijs en gender-evenwicht).

[De citaten in dit stukje zijn met een korrel zout te nemen: de zomerschool is al een tijdje geleden en de voertaal was er Engels. De kans dat de deelnemers dit letterlijk zo hebben gezegd is dus exact nul. Ook is autobiografische informatie notoir onbetrouwbaar; ik kan alleen maar schrijven wat ik denk te weten.]

Oplossing: De ingeschreven gnoe

Gnoe in een cirkelVorige week vroeg ik me af welke tophoek de driehoek moet hebben waarmee we, à la Vi Hart, oneindig veel gnoes op een blad papier kunnen tekenen. Daarbij is de breedte van het eerste dier, G, een willekeurig getal tussen nul en één. Hier kom mijn oplossing.

Volgens de formule voor de straal (R) van een ingeschreven cirkel geldt:

R = 1/2 \sqrt{\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{a+b+c}},

waarbij a, b en c de zijden van de driehoek zijn. Voor onze gnoes geldt dat de straal van de ingeschreven cirkel de helft is van de breedte van de grootste gnoe (de diameter): G/2.

Laat ons eerst de zijden van de driehoek uitdrukken in functie van de tophoek. (Dit kun je doen door de driehoek in twee te splitsen langs de bissectrice of deellijn van de tophoek: dan krijg je twee rechthoekige driehoeken waarvan je de zijden eenvoudig kunt berekenen in functie van de tophoek.) Laten we de twee gelijke zijden a en b noemen, dan vinden we a = b = \frac{1}{\cos(\theta/2)}=\sec(\theta/2). Voor de derde zijde, die we c noemen, vinden we c = 2 \tan(\theta/2). Figuur 1 vat de uitkomsten samen.

Gelijkbenige driehoek.

Figuur 1: Lengte van de zijden van de gelijkbenige driehoek.

Nu kunnen we de gegevens over de zijden invullen in bovenstaande formule:

G/2 = 1/2 \sqrt{\frac{(2 \tan(\theta/2)^2(2\sec(\theta/2)-2\tan(\theta/2))}{2\sec(\theta/2)+2\tan(\theta/2)}}.

Vereenvoudigen geeft:

G = 2 \sqrt{\frac{-1+\cos(\theta/2)}{-3+\cos(\theta)-4\sin(\theta/2)}}.

Deze vergelijking heeft meerdere oplossingen voor \theta, maar wij zijn geïnteresseerd in de kleinste, positieve oplossing: dit is de waarde van de tophoek.

Laat ons dit nu toepassen op een voorbeeld. Stel, we willen dat de eerste gnoe twee derde van de breedte van het blad heeft. Dan vullen we G=2/3 in de laatste vergelijking in. Met behulp van een grafisch rekenmachine of een computerprogramma zoals Maple of Mathematica zijn de oplossingen snel gevonden. In dit geval blijkt de tophoek 60° te zijn. Dit is een speciaal geval, waarbij we te maken hebben met een gelijkzijdige driehoek. Daarbij zou de straal van de ingeschreven cirkel R=a \frac{\sqrt{3}}{6} moeten zijn. Als we a=\sec(60^{\circ}/2)=\frac{2}{\sqrt{3}} invullen, vinden we R=\frac{2}{\sqrt{3}} \frac{\sqrt{3}}{6}=1/3 en zo zijn we terug bij onze aanname: G=2R=2/3. Dit is een controle die bevestigt dat we geen fouten hebben gemaakt in het opstellen van de formule.

Tweede voobeeld: in Figuur 2 hieronder is G iets kleiner dan een half. De tophoek is dan iets kleiner dan 2 \arccos[(2 \sqrt{2}/3] . De tweede cirkel kan gevonden worden als de ingeschreven cirkel in een gelijkbenige driehoek met hoogte 1-G in plaats van 1: de schaalfactor is dus 1-G.

Eerst en tweede cirkel.

Figuur 2: Onze driehoek geeft aanleiding tot een ingeschreven cirkel waarvan de diameter, G, net iets kleiner is dan 1/2. De tweede cirkel kan gevonden worden als de ingeschreven cirkel in een gelijkbenige driehoek met hoogte 1-G.

En dan nu het leukste deel: het tekenen van de gnoes. Het resultaat zie je in Figuur 3.

Oneindige rij gnoes.

Figuur 3: Op Vi Hart geïnspireerde constructie van een oneindige rij gnoes.

Puzzelvraag: De ingeschreven gnoe

Gnoe in een cirkelOnlangs schreef ik over reeksen die naar één convergeren en hoe Vi Hart deze convergente sommen gebruikt om ‘oneindig veel’ olifanten of kamelen op een blad papier te tekenen. Stel dat we nog een andere rij kuddedieren willen tekenen, gnoes bijvoorbeeld, zodat ze precies op het blad passen. Hoe kunnen we dit doen voor eender welke grootte van het eerste dier? Hoewel Vi Hart in haar filmpje suggereert dat het saai zou zijn om het antwoord uit te rekenen, vind ik het juist leuk om me dit soort vragen te stellen en ze ook op te lossen – gewoon voor de sport. Op zoek naar het antwoord kun je trouwens zoveel tekeningetjes maken als je maar wilt!

Probeer gerust eerst om de vraag zelf op te lossen. Ik zal mijn resultaat hier volgende week posten. Om vergelijken gemakkelijker te maken, verklap ik nu alvast welke aannames ik gemaakt heb. De breedte van het eerste dier noem ik G; G is dus eender welk getal tussen nul en één. Als je de methode van Vi herbekijkt, zie je dat G ook de diameter is van een ingeschreven cirkel in een driehoek. Voor de eenvoud gebruik ik een gelijkbenige driehoek met als hoogte één (breedte van het cursusblad). Ons doel is nu om de tophoek \theta van de driehoek te bepalen. Figuur 1 geeft aan hoe de gelijkbenige driehoek op het blad wordt georiënteerd.

Ingeschreven cirkel.

Figuur 1: Gelijkbenige driehoek met ingeschreven cirkel. (Klik op de figuur voor groter.)

Op zoek naar een hint? Spieken kan na de vouw.

(meer…)

Gelukkige tau-dag!

Een volledige cirkel komt overeen met een hoek van twee keer pi of een keer tau.Gelukkige tau-dag! Nee, ik heb het niet over de Oosterse Weg van het tauïsme maar over een getal. De constante tau (\tau) drukt namelijk de verhouding uit tussen de omtrek, C, en de straal, R, van een cirkel:

\tau = C/R = 6,283185\ldots

Maar wacht eens even: de verhouding tussen omtrek en straal van een cirkel… Hadden we daar pi (\pi) al niet voor? Bijna: pi is de verhouding tussen de omtrek en de diameter (twee keer de straal) van een cirkel en dus precies de helft van tau. Tau lijkt een elegantere keuze te zijn (een cirkel is bijvoorbeeld tau radiaal, in plaats van twee pi radiaal), maar omdat pi zoveel eerder in gebruik kwam zullen we van dat mormel wel nooit meer afkomen.

Het idee dat pi fout is en de suggestie om het dubbele van pi als de meer fundamentele constante te zien, werd tien jaar geleden gelanceerd door wiskundige Bob Palais. (Klik hier voor zijn pagina met een link naar het originele artikel.) Vorig jaar stelde fysicus Michael Hartl voor om \tau als symbool te gebruiken voor de nieuwe constante en om 28 juni als tau-feestdag in te stellen. In de Amerikaanse datumnotatie is 28 juni immers 6.28, of tau afgerond.

Vandaag is er zelfs een heuse Tau Day Party in Caltech. Alleen jammer dat dat voor ons zo ver is: Caltech ligt in Pasadena, Californië. Leuk weetje voor de fans van The Big Bang Theory: Caltech is ook het onderzoeksinstituut waar Leonard en Sheldon werken. Ik zie Sheldon al helemaal uit zijn dak gaan op de Tau Day Party! Of zou hij het meer voor pi hebben? Pi-dag wordt al jaren gevierd op 14 maart (3.14). Voor wie overtuigd is door de argumenten van Hartls tau-manifest is pi-dag natuurlijk een heidens feest, maar niet iedereen is overtuigd van de superioriteit van tau: op weetlogs zijn ze nog niet om en ons anders zo harmonieuze huishouden blijkt verdeeld over de kwestie.

Dit is een mogelijk argument tegen tau: als je een cirkel moet opmeten, is het gemakkelijker om de diameter te achterhalen dan de straal; dan lijkt de definitie van pi meer voor de hand te liggen. Als je de cirkel zelf moet construeren, of als je de wiskundige definitie ervan opschrijft, gebruik je echter de straal – en die gebruik je ook in de definitie van tau. Zo wordt het tau-versus-pi debat een welles-nietes spelletje: is pi nu de helft van tau, of is tau het dubbele van pi? Een goed onderwerp voor een zen-meditatie misschien… en zo zijn we alsnog in de Oosterse sfeer beland.

Natuurlijk is het onzin om een irrationaal getal op een bepaalde dag van het jaar te vieren. We baseren ons op amper drie cijfers en doen daarmee zwaar tekort aan de heerlijke oneindigheid van de decimale notatie van deze getallen. Bovendien is ons hele kalender-systeem discriminerend voor sommige getallen: we hebben maanden met maximaal 31 dagen, dus getallen waarvan de tweede en derde decimaal hoger zijn dan dit, moeten nog verder worden afgerond om een feestdag te kunnen krijgen. Laten we vandaag toch ook even denken aan deze arme stumperds (waaronder klassiekers als de gulden snede).

Net als de schijnbare nonsens van zen-raadsels (Wat is het geluid van één klappende hand?), volgt ook deze onzin zijn eigen logica. Onzin kan trouwens heel leuk zijn en tot creatieve vondsten leiden. Als je vindt dat er geen muziek zit in dat hele tau-verhaal, luister hier dan maar eens naar:

Eén ding waar iedereen het wel over eens lijkt, is dat het vandaag 6.28 een perfecte dag is. Zes en achtentwintig zijn namelijk de kleinste perfecte getallen. Een perfecte dag: doe er iets moois mee!

Aanvulling: Er staat nu ook een stuk over tau-dag op Kennislink; daar zie je dat veel formules korter (en mooier) worden door het gebruik van tau.

Minuscule olifant

Olifanten zijn kuddedierenDeze post gaat over een kudde minuscule olifanten en een karavaan kleine kamelen. Maar eerst een rekensom. Stel je begint met een half, telt daar een kwart bij op, dan een achtste en zo verder. Wiskundig kun je dit als volgt noteren: 1/2 + 1/4 + 1/8 + \ldots, waarbij die drie puntjes betekenen dat je oneindig veel termen optelt. Zo’n oneindige som noemen we een reeks. Wat heb je eraan te weten dat deze som precies gelijk is aan één?

Wel, er zijn (minstens) drie totaal verschillende toepassingen van deze reeks, 1/2 + 1/4 + 1/8 + \ldots = 1.

Toepassing 1. Je kunt deze som gebruiken om oneindig veel, steeds kleinere olifanten te tekenen op een gewoon cursusblad. Volgens de som mag de eerste olifant half zo breed zijn als het blad, de tweede een kwart van de breedte, de derde een achtste en zo verder. (Natuurlijk kun je nooit oneindig veel tekeningetjes maken: je hebt maar eindig veel tijd en de punt van je potlood heeft een eindige breedte. Aan de andere kant zijn onze ogen niet in staat om oneindig scherp te zien, en zo lijkt het toch net echt.)

Vi Hart doet het ons voor in onderstaand YouTube-filmpje. Ze noemt zichzelf een recreatief mathemusicus en ze babbelt héél snel.

(meer…)

Vrouwen tellen mee

Ingrid Duabechies: befaamd wiskundige, vrouw en van Limburgse origine.Dit is mijn vierde en laatste post over de zomerschool van vorige week. Vorige keer doken we de geschiedenis in, maar de vraag van vandaag is: hoe staat de situatie er in onze tijd voor? Toen ik aan mijn opleiding Fysica begon, verbaasde het me helemaal niet dat meisjes een minderheid vormden in deze richting. Wat me wél verbaasde was dat de situatie bij Wiskunde omgekeerd was: er waren maar twee jongens in een groep van zo’n twintig eerstejaars. Nu kun je je met kleine aantallen aan grote fluctuaties verwachten, maar de daaropvolgende jaren herhaalde zich een vast patroon: 10% vrouwen bij Fysica, 10 à 20% mannen bij Wiskunde. Fysica mag dan een groter recruteringsprobleem hebben onder vrouwen, Wiskunde raakt ze onderweg kwijt. Dat ‘leaky pipeline‘-fenomeen is misschien nog erger: dan zit je daar met een lokaal vol vrouwen die graag wiskunde willen doen en dan lopen ze alsnog weg… Het kan natuurlijk best dat vele studentes aan een opleiding Wiskunde beginnen met het idee om in het onderwijs te gaan, maar dan nog zou je verwachten dat een aantal jaar aan de universiteit een groter aantal onder hen zou aansporen om in het onderzoek verder te gaan. Toch gebeurt dat zelden. En daarom zijn er organisaties zoals European Women in Mathematics (EWM) nodig om zich in te spannen hier wat aan te veranderen.

Overigens speelt het ‘leaky pipeline‘-fenomeen vrouwen in alle faculteiten parten: onderstaande grafiek, gebaseerd op het Nederlandse rapport ‘Monitor vrouwelijke hoogleraren 2009‘ (p. 8), gaat over alle universitaire richtingen, niet enkel de exacte vakken. Deze grafiek wordt ook wel een ‘schaardiagram’ genoemd: er studeren aanvankelijk ongeveer evenveel vrouwen als mannen af (scharnier van de schaar), maar in de verdere carrière lopen de percentages mannen en vrouwen steeds verder uiteen (messen van de schaar).

Schaardiagram

Deze grafiek toont het ‘leaky pipeline’-fenomeen: hoewel er iets meer vrouwen dan mannen afstuderen, daalt hun procentuele aanwezigheid bij elke volgende carrièrestap. De grafiek is gebaseerd op Nederlandse gegevens uit 2008.

Hoe verder je teruggaat in de tijd, hoe minder voorbeelden er te vinden zijn van bekende vrouwen in de harde wetenschappen. Lange tijd waren vrouwen niet welkom aan de universiteit (daarover méér in de vorige post), dus dan is het te begrijpen dat ze ook geen doorbraken konden forceren in universitaire disciplines. Tegenwoordig echter staat het iedereen vrij om te studeren wat hij of zij wil en toch zijn er verhoudingsgewijs nog steeds weinig uitblinkers in de exacte vakken. Ontstaat deze wanverhouding door een verschil in aangeboren mentale capaciteiten tussen mannen en vrouwen? Is er een glazen plafond? Of is er nog iets anders aan de hand?

(meer…)

Wiskundevrouwen in de achttiende eeuw

Émilie du Châtelet koos zelf voor wiskunde.Op de zomerschool van vorige week (zie eerder: 1 en 2) waren er lezingen over de geschiedenis van de wiskunde, waaruit bleek dat er ook vroeger meer vrouwen aan wiskunde deden dan je misschien zou verwachten. Vóór de negentiende eeuw was wiskunde nog niet geïnstitutionaliseerd (aan de universiteiten en academies) en het vakgebied was nog niet duidelijk onderverdeeld in deelgebieden (zoals we nu calculus, algebra en meetkunde hebben).

Jeanne Peiffer vertelde ons over situatie tijdens de de Verlichting. In de achtiende eeuw (jaren 1700) waren er twee manieren om als vrouw in de wiskunde te belanden. De eerste berustte op het humanistische ideaal van de ‘puella docta’ (geleerde maagd): meisjes uit rijke families werden onderwezen door hun vader of door privé-leraars. Als ze aanleg hadden voor wiskunde, werden ze extra gestimuleerd en als wonderkind opgevoerd: hier kwamen reizigers op af. Een voorbeeld is Maria Gaetana Agnesi. Er is een verslag van een bezoeker, Charles de Brosses, die het meisje een vraag mocht stellen. Hij stelde een vraag over wiskunde, waarop de negenjarige Maria dan een uitgesponnen antwoord gaf. Dit alles natuurlijk in het Latijn.

Ook de tweede manier om als vrouw aan wiskunde te doen was enkel weggelegd voor de hogere kringen. Veel van deze vrouwen deden aan handwerk, maar het stond hen vrij een ander tijdverdrijf te kiezen, ook wiskunde. Een voorbeeld hiervan is Émilie du Châtelet. Ze was een rijke aristocrate die zelf besliste dat ze wiskunde wilde leren en contact hield met heel wat bekende wiskundigen uit haar tijd: Maupertuis, König, één van de Bernouilli’s uit Basel en Voltaire (met wie ze een affaire had).

Wiskunde was een collectieve onderneming, waarin communicatie een belangrijke rol speelde. Hoewel dit nog steeds zo is, is dit niet altijd duidelijk van buitenaf. De manier waarop wiskunde en wetenschappen doorgaans worden onderwezen is erg gericht op de resultaten (stellingen en natuurwetten) en geeft nauwelijks inzicht in het proces waarmee die resultaten behaald zijn: het belang van samenwerking, of op zijn minst communicatie, wordt niet duidelijk. Het feit dat deze resultaten überhaupt door mensen werden ontwikkeld (die ook geregeld fouten maakten in hun zoektocht naar een wiskundig bewijs of een algemene natuurwet) blijft onderbelicht.

Vrouwen en astronomie is een prima combinatie.Dit collectieve aspect is ook bijzonder duidelijk in de achtiende eeuwse astronomie: vrouwen en dochters namen deel aan de waarnemingen en berekeningen, hetgeen duidelijk blijkt uit hun notities. Het gezin was (net als de maatschappij) een hiërarchische structuur, waarbij sociale klasse, leeftijd en geslacht iemands rang bepaalden. Rijke oudere mannen stonden helemaal bovenaan in die rangorde, maar hun vrouwen stonden slechts één stapje lager. Maria Margarethe Winckelmann had thuis een gedegen opleiding gekregen en leerde astronomie van een boer die ook astronomische waarnemingen deed. Ze werkte een tijdje bij hem en leerde vervolgens Gottfried Kirch kennen, wiskundige en astronoom, met wie ze later trouwde. Het gezin kwam aan de kost met de verkoop van kalenders. Het hele gezin was betrokken bij de waarnemingen en berekeningen die daarvoor nodig waren: Gottfried en Maria, maar ook hun zoon (Christfried) en beide dochters (Christine en Maria). Van een andere astronoom uit die tijd, Clairaut, is bekend dat hij zes maanden nodig had om de terugkeer van komeet Haley te berekenen en dat daarbij zelfs de kok en bezoekers gevraagd werd om een beetje mee te rekenen.

(meer…)

Witte raven bij de kapper

Ada Lovelace was wiskundige en ze ontwikkelde het eerste computerprogramma... in 1843.De zomerschool in Leiden waar ik deze week aan deelneem, is de vierde European Women in Mathematics zomerschool. Het is een week vol lezingen over wiskunde, waarbij een grote meerderheid van de sprekers en deelnemers vrouwen zijn. En ja, dit is binnen de wiskunde eerder ongewoon. Noem maar eens een bekende wiskundige (of fysicus, informaticus of ingenieur): de kans is groot dat je vooral mannelijke voorbeelden kent.

Beroemde wiskunde-vrouwen, ze bestaan natuurlijk wel. Op de affiche voor de zomerschool prijkt zo’n witte raaf, wiskundige Ada Lovelace, zoals ze werd geschilderd in 1838. Zij schreef het eerste computerprogramma: ze werkte samen met Babbage die in die tijd een analytische machine ontwikkelde, de voorloper van de moderne computer. De computertaal ADA is ook naar haar vernoemd. Leuk detail: Ada was de dochter van Lord Byron, die echter kort na Ada’s geboorte van haar moeder scheidde. Haar moeder zorgde ervoor dat Ada’s privéleraren haar vooral onderwezen in wiskunde en natuurwetenschappen, in de hoop zo te voorkomen dat Ada, net als haar vader, dichter werd.

Terug naar het heden. De lezingen op de zomerschool gaan over diverse thema’s: logica, geometrie en geschiedenis van de wiskunde. Er zijn ook sessies waarin we als deelnemers zelf aan de slag moeten. Omdat het bij de geschiedenissessie over de ontwikkeling van de calculus gaat (zeventiende eeuw), heb ik voor die sessie gekozen. Samen met een collega lezen we twee teksten van Newton. Terwijl bij Leibniz het concept ‘infinitesimaal‘ centraal staat, schrijft Newton vooral in termen van ‘fluxionen’: afgeleiden van veranderlijke grootheden naar de tijd. Het is nog best lastig om de originele teksten te lezen! (We lezen weliswaar de Engelse, niet de Latijnse versie.) Hoewel afgeleiden tegenwoordig worden genoteerd als \frac{dx(t)}{dt} , wordt er in de fysica ook nog vaak gebruik gemaakt van Newtons punt-notatie, dus \dot{x}. Om het Newton nu ook eens zelf te zien doen (bij wijze van spreken dan), is heel interessant voor een natuurkundige.

Wiskunde is geen populair onderwerp in de gemiddelde kapperszaak.Maar misschien wil je liever weten waarover er gepraat wordt tijdens de koffiepauze op een congres met hoofdzakelijk wiskunde-vrouwen? Over naar de kapper gaan! Dit bezorgt  wiskundigen blijkbaar -euhm- kopzorgen. Als de kapper vraagt “Wat doe je voor werk?”, dan volgt op het antwoord dat je wiskundige bent doorgaans een ongemakkelijk stilte. Creatieve oplossingen hiervoor zijn: doen alsof je de vraag niet verstaan hebt (door op een andere, niet gestelde, vraag te antwoorden), liegen, of een kapper zoeken die de taal niet goed spreekt.

(meer…)

Infinitesimaal

In geel en groen twee benaderingen voor een integraal (oppervlakte onder de kromme). Bron: Wikimedia Commons, auteur: KSmrq.In mijn proefschrift maak ik gebruik van infinitesimale kansen. Wellicht ga ik in een volgend bericht hier iets meer over vertellen, maar vandaag zou ik graag even stilstaan bij het woordinfinitesimaal‘. Klinkt dat als Latijn? Dat treft, want dat is ook!

‘Infinitesimaal’ betekent ‘oneindig klein’. Lang woord, hè, voor ‘bijna niets’? Het woord werd bedacht door Leibniz. Als je één deelt door duizend dan krijg je een duizendste. De uitgang -ste geeft in het Nederlands dus aan dat je de stambreuk neemt (zelfde vorm als een rangtelwoord). In het Latijn gebruik je daarvoor de uitgang -esimus of (vanaf de Middeleeuwen) -esimalis. Bijvoorbeeld: duizend is ‘mille’ en duizendste is ‘millesimus’ of ‘millesimalis’. Leibniz plakte deze uitgang aan het Latijnse woord voor oneindig (infinitus) en verkreeg zo: ‘infinitesimalis’. In diverse talen werd dit woord overgenomen, met een lichtjes aangepaste uitgang. In het Nederlands werd het infinitesimaal. (Vergelijk met ons woord decimaal: dit komt van het Latijnse woord voor tiende, ‘decimus’ of ‘decimalis’.) Een ‘infinitesimaal’ is dus letterlijk een ‘oneindigste’.

(meer…)