Ik blog al bijna vier jaar en daarbij gaat het regelmatig over kansrekening. Toch heb ik het hier nog niet gehad over het drie-deuren-probleem – ook bekend als het probleem van Monty Hall. Bij de paradox van de Schone Slaapster kwamen de drie deuren wel zijdelings ter sprake, maar daar bleef het bij. Tot nu althans. Naar aanleiding van een blogbericht van Jean Paul Van Bendegem – over de vraag hoe we de oplossing voor het drie-deuren-probleem het beste kunnen uitleggen (zonder wiskunde) – schrijf ik met alle plezier mijn driehonderste bericht precies hierover. :-)
Als je verkeerd kiest, win je niets. Of een geit. Of een lama. Zonk!
Het probleem
[important]Stel je voor dat je mee doet aan een ouderwetse spelshow op TV. Je maakt kans op een hoofdprijs (bijvoorbeeld een auto), maar als je pech hebt win je niets (of een geit).
Je staat naast de presentator (Monty Hall) voor drie gesloten deuren. Je mag een deur kiezen en de prijs erachter straks mee naar huis nemen.
Nadat je je keuze bekend hebt gemaakt, opent een assistent die weet waar de hoofdprijs staat één van de twee andere deuren, zodat je kan zien dat daar alvast niet de hoofdprijs staat.
Nu geeft de presentator je de mogelijkheid om nogmaals te kiezen: blijf je bij de deur die je in het begin gekozen had, of kies je de andere deur?[/important]
Wat denk je:
- Bij je eerst keuze blijven geeft je de grootste kans om te winnen.
- Van deur veranderen geeft je de grootste kans om te winnen.
- Het maakt niet uit.
De oplossing
[spoiler]Als je verandert van deur heb je meer kans om de prijs te winnen. Voor veel mensen is dit tegen-intuïtief: lees voor de uitleg verder na de vouw.[/spoiler]
Toelichting bij het drie-deuren-probleem
In mijn ervaring is de moeilijkheid bij het toelichten van de beste strategie voor het Monty-Hall-probleem vooral om uit te leggen welke informatie de kandidaat precies krijgt wanneer er een deur geopend wordt – en pas in tweede instantie de invloed hiervan op de relevante waarschijnlijkheden.
Ter inleiding
Op het eerste zicht lijkt het openen van een deur de kandidaat geen informatie te geven: de kandidaat wil immers niet weten waar de prijs niet zit, enkel waar de prijs wél zit en zo lang er twee deuren dicht blijven kan hij of zij dit niet zeker weten. Bovendien weet de kandidaat al voor hij of zij achter de geopende deur kijkt, dat de prijs daar niet zal staan, dus ook vanuit dit oogpunt krijgt de kandidaat geen nieuwe informatie.
Maar het is een beetje zoals een goochelaar die je aandacht afleidt door een beweging met zijn linkerhand terwijl hij je horloge in zijn rechtermouw laat verdwijnen… Ook hier zit de informatie waar je niet kijkt: het is de deur die de kandidaat niet gekozen heeft en die ook niet geopend wordt, die de informatie verschaft (of althans in twee derde van de gevallen is dit zo).
Als ik de optimale strategie moet uitleggen, vertel ik het scenario opnieuw, maar dan vanuit het perspectief van de assistent: de medewerker die weet hoe het er achter de schermen uitziet en die een deur moet opendoen.
Concreet
We gaan ervan uit dat het spel eerlijk verloopt: de hoofdprijs staat al achter één van de deuren en wordt dus niet stiekem verplaatst nadat de kandidaat een keuze maakt. De kandidaat kan onmogelijk weten achter welke van de drie deuren dit is. Bij de eerste keuze is het daarom duidelijk dat de kandidaat geen nuttige informatie heeft om zijn of haar keuze op te baseren: er is één derde kans om de juiste deur te kiezen en twee derde kans om fout te kiezen. Tot zo ver is iedereen mee.
Dan gaan we achter de schermen kijken:
- In één derde van de gevallen* heeft de kandidaat de juiste deur gekozen en mag de assistent kiezen welke van de twee overgebleven deuren geopend wordt.
- In twee derde van de gevallen echter heeft de kandidaat een foute deur gekozen en dan heeft de assistent geen enkele keuzevrijheid meer: er is dan maar één niet-gekozen deur die geopend kan worden zonder de prijs te tonen.
In twee derde van de gevallen zit er dus informatie in welke deur er dicht blijft: de helper kon deze deur niet openen, omdat de prijs erachter staat. In twee derde van de gevallen ben je dus beter af door te wisselen. (Enkel in één derde van de gevallen, waarbij je toevallig meteen de juiste deur had gekozen, zit er géén informatie in welke deur dicht blijft.)
*: In een informele context gebruik ik “kans 1/3” en “in één derde van de gevallen” door elkaar. In een formele context is dit niet helemaal netjes, aangezien de tweede uitdrukking een frequentie aangeeft.
Alternatieven
Voor de mensen die met mijn eerste uitleg nog niet overtuigd zijn, goochel ik nog drie duiven uit mijn mouw…
In tweede instantie zeg ik dat iemand die tijdens de show binnenkomt, op het moment dat er al een deur open is maar zonder te weten welke deur de kandidaat aanvankelijk gekozen had, wel 50% kans moet toekennen aan elk van beide deuren. Deze persoon heeft minder informatie dan de kandidaat en zit in een slechtere positie om te raden waar de prijs zit. Ook een kandidaat met geheugenverlies zit in deze situatie. (Dit is vooral nuttig voor mensen die aanvankelijk denken dat al dan niet veranderen niet uitmaakt: zij krijgen te horen dat hun antwoord wel klopt voor een lichtjes andere situatie. De kunst is dan hen te laten inzien dat er meer informatie uit de tweede situatie te halen is als je de beginsituatie ook kent.)
Ik ga pas in derde instantie over naar een variant met honderd (of duizend) deuren. Deze strategie behoort bij een algemene vuistregel dat je door een extreme variant te bedenken vaak meer grip krijgt op numerieke problemen. (Zie ook dit blogbericht van wiskundige Dave Richeson.) Deze strategie zorgt er volgens mij voor dat bepaalde verborgen symmetrieën doorbroken worden, waardoor je meer inzicht krijgt in het vraagstuk.
En mensen die dan nog steeds twijfelen, raad ik aan om online een simulatie te doen (bijvoorbeeld hier of hier). Als ze ervaren dat wisselen op lange termijn inderdaad de betere strategie is, zijn ze meer bereid om de verklaring hiervoor in overweging te nemen. De lezing is dan natuurlijk al lang gedaan, maar er komt vast nog wel een andere gelegenheid waarbij ze over het Monty-Hall-probleem horen.
Moraal van dit verhaal
Zoals bij mensen zwijgen veelzeggend kan zijn,
zo kan bij deuren gesloten blijven veel onthullen.
Meer lezen: zie ook het Wikipedia-artikel over het drie-deuren-probleem.
Gelijkaardige berichten:
Proficiat, dit is de eerste verstaanbare uitleg die ik hierover krijg! Ik kende het raadsel al, wist ook dat veranderen de beste oplossing is, maar ik begreep na verschillende uitlegpogingen nog steeds niet hoe dat mogelijk kon zijn :-)
Leuk om te horen. :-) In de les laat ik het mijn studenten aan elkaar uitleggen. Daar leer ik veel van, omdat ik dan hoor waar eventuele misvattingen zitten.
Het spel is dus niet uit is als de kandidaat van de eerste keer de juiste deur aanwijst?
Inderdaad niet: het is deel van het spel dat de kandidaat vervolgens altijd de keuze krijgt om al dan niet te wisselen.