Vragen van Daan – deel 1: over oneindigheid

Sylvia Wenmackers 15/09/2015 3 Reacties

Van Daan Maes kreeg ik per e-mail twee vragen over het heelal en oneindigheid. (Daan is een jaar jonger dan ik en we zaten vroeger op dezelfde lagere school.) Misschien heeft er nog iemand anders iets aan, dus vroeg ik toestemming om de vragen en antwoorden ook hier te plaatsen.

Zijn vragen (in het kort):

1. Als het heelal oneindig is, hoe kan het dan nog uitdijen?
2. Hoe kunnen er verschillende soorten oneindig zijn?

Hieronder mijn eerste brief aan Daan waarin ik zijn tweede vraag beantwoord.

~

Beste Daan,

Wat een leuke vragen om te krijgen! Dit zijn allebei zaken die iets met mijn eigen onderzoek en interesses te maken hebben en het gebeurt niet vaak dat er iemand daar vragen over stelt (tenzij collega’s dan).

Voor mij is het het handigste om je tweede vraag eerst te beantwoorden. Mijn tijd is helaas beperkt, dus ik stel het antwoord op de eerste vraag (over het heelal) even uit tot een volgend bericht.

Je tweede vraag heeft alles te maken met de grootte van oneindig. Voor ik het antwoord kan geven, moet ik eerst iets uitleggen over oneindig.

Over oneindig

Letterlijk betekent oneindig enkel ‘niet-eindig’. Om daar in de wiskunde iets mee te kunnen doen, zullen we iets specifieker moeten zijn. Er wordt in verschillende contexten met oneindig gewerkt in de wiskunde, die niet allemaal exact hetzelfde betekenen. Om op jouw vraag te beantwoorden volstaat het om te kijken naar oneindig grote verzamelingen.

Het eenvoudigste en tegelijk belangrijkste voorbeeld van een oneindig grote verzameling is de verzameling van alle natuurlijke getallen, genoteerd als ℕ. Ik zal eerst zeggen wat dit zijn en dan een definitie geven.

• Natuurlijke getallen zijn de gehele getallen die we gebruiken om te tellen: 1, 2, 3, … De drie puntjes op het einde betekenen ‘enzoverder’ en in dit geval kunnen we eindeloos doorgaan: er is geen grootste natuurlijk getal.
• We kunnen de verzameling van alle natuurlijke getallen, ℕ dus, als volgt definiëren (maar om het helemaal correct te doen moeten we de axioma’s van de rekenkunde van Peano volgen):
  • Het getal 1 zit in ℕ
  • Voor elk getal n dat in ℕ zit, zit ook n+1 in ℕ
  • Verder zitten er geen andere getallen in ℕ

Dit volstaat om te zien dat er geen grootste getal in de verzameling ℕ zit. Kijk maar: stel dat iemand beweert dat er wel een grootste getal in ℕ zit. Laten we dit kandidaat grootste getal M noemen. Dan zit volgens de tweede regel van de definitie ook het getal M+1 in ℕ, maar dat getal is groter dan M en dus was de veronderstelling dat M het grootste was niet juist. Maar deze redenering gaat op voor elk element van ℕ! De opsomming van elementen van ℕ is dus eindeloos, of anders gezegd: ℕ is een oneindig grote verzameling.

ℕ heeft uiteraard wel eindige deelverzamelingen. Kijk bijvoorbeeld eens naar de eerst tien elementen. Dat is de verzameling {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. We zullen een verzameling van deze vorm (alle elementen van ℕ van 1 tot en met een bepaald ander getal) een beginstuk van ℕ (‘initieel deel’) noemen.

Elke eindige verzameling kan in een zogenaamde één-op-één relatie gelegd worden met een beginstuk van ℕ. Stel, je neemt de kleuren van de Belgische vlag, dan kan je de volgende koppels maken: (rood,1), (geel,2) en (zwart,3). Dit is een symbolische manier van weergeven hoe we tellen: we wijzen dingen één voor één aan en noemen beginnend bij 1 telkens het eerstvolgende natuurlijke getal.

Dit kunnen we nu als definitie gebruiken voor een eindige verzameling: alle verzamelingen die in één-op-één relatie gebracht kunnen worden met een beginstuk van ℕ noemen we eindig.

Aangezien oneindig hetzelfde is als niet-eindig hebben we daarmee óók een definitie voor oneindige verzamelingen, namelijk die verzamelingen waarvoor er geen één-op-één relatie bestaat met een beginstuk van ℕ.

Nu kunnen we echt beginnen nadenken over je vraag: bestaan er verschillende soorten oneindig? Je bent hier in goed gezelschap, want hier hebben al verschillende generaties wetenschappers, wiskundigen en filosofen over nagedacht. Het antwoord is in de loop van de tijd wel veranderd.

Galileo en het paradoxale van oneindige groottes

Galileo bedacht (zo ongeveer) het volgende:

De verzameling van alle natuurlijk getallen is oneindig groot.

De verzameling van alle even getallen is ook oneindig groot (net zoals er geen grootste natuurlijk getal is, is er ook geen grootste even getal), maar is deze nu even groot ℕ of kleiner?

• Volgens de ene redenering is de verzameling even getallen strikt kleiner: de even getallen zitten in ℕ en bovendien zitten er in ℕ daarnaast ook nog eens alle oneven getallen. Met andere woorden, de verzameling van alle even getallen is een strikte deelverzameling van ℕ en moet dus kleiner zijn.
• Volgens een andere redenering zijn ze precies even groot: er bestaat een één-op-één relatie tussen de elementen van ℕ en de even getallen, namelijk zo (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), … In het eindige geval kunnen we de één-op-één relatie gebruiken om te bepalen dat verzamelingen even groot zijn en hier dus ook.

Maar twee dingen kunnen niet tegelijk even groot zijn en niet even groot! Hieruit besloot Galileo dat het paradoxaal is om over de grootte van het oneindige na te denken. Het is niet-eindig en daarmee basta.

Cantor en cardinaliteit

Later kwam Cantor. Hij stelde voor om de tweede redenering doorslaggevend te laten zijn: als er tussen twee verzamelingen een één-op-één relatie bestaat dan ‘zijn ze even groot’, zowel in het eindige als in het oneindige geval. Deze manier om de grootte van verzamelingen te meten noemen we ‘cardinaliteit’. (Cantor bedacht nog een andere manier om de grootte van oneindige verzamelingen te bepalen, waarbij ook de ordening van de elementen een rol speelt. Dat noemen we ordinaliteit, maar dat speelt bij het antwoord op je vraag verder geen rol.) De cardinaliteit van de verzameling natuurlijk getallen noemen we ‘aftelbaar oneindig’ (soms ook ‘aleph-nul’). De cardinaliteit van de verzameling even getallen is óók aleph-nul, ondanks het feit dat dit een strikte deelverzameling is van ℕ.

Nu zou je kunnen denken dat alle oneindige verzamelingen dan cardinaliteit aleph-nul hebben, maar dat klopt niet! De verzameling van alle reële getallen ℝ, die naast de gehele getallen ook breuken en irrationale getallen (zoals pi en de vierkantswortel uit 2) bevat, kan niet in een één-op-één relatie worden gebracht met ℕ.

Cantor heeft dit aangetoond met het diagonaalbewijs, dat definitief aantoont dat er verschillende soorten oneindig zijn: de verzameling van alle reële getallen is van een groter soort oneindig dan de verzameling van alle natuurlijke getallen. (Dit kan ik uitleggen, laat maar weten als je meer wil weten. Hier is alvast een link naar de Wikipedia-pagina erover.) Cantor heeft ook aangetoond dat er verzamelingen bestaan met nog grotere cardinaliteit dan die van ℝ. (Zelfde opmerking.) De cardinaliteit van ℝ en ook alle grotere verzamelingen noemen we ‘overaftelbaar oneindig’.

Benci en numerositeit

Recent heeft een Italiaanse wiskundige nog een andere manier bedacht om de grootte van oneindig grote verzamelingen te meten, die we ‘numerositeit’ noemen (zie ook eerder stukje). Deze manier van meten zegt dat als de ene verzameling een strikte deelverzameling is van de andere, dat de numerositeit dan ook kleiner moet zijn. Het kan dus gebeuren dat twee verzamelingen dezelfde cardinaliteit hebben, maar een verschillende numerositeit (neem opnieuw het voorbeeld van alle natuurlijke getallen en de even getallen). Het omgekeerde kan niet. Met andere woorden, numerositeit is een ‘fijnere’ manier om de grootte van oneindige verzamelingen te bepalen.

Besluit

Met jouw intuïtie (dat je oneindig niet kunt meten) zit je dus in het kamp van Galileo. Nu, er zijn slechtere vrienden te vinden. ;-) Anderzijds had Galileo nooit van het werk van Cantor gehoord, dus we kunnen niet weten of deze aanpak hem overtuigd zou hebben. Wat we wel weten is dat het werk van Cantor inmiddels wel door (vrijwel) alle wiskundigen en wetenschappers wordt aanvaard: het wordt aan alle universiteiten gedoceerd in het eerste jaar. Het werk van Benci is nog vrij recent en nog niet algemeen bekend. Ik vind het een erg mooie theorie, maar het valt nog af te wachten of deze ooit net zo bekend zal worden als de theorie van Cantor.

Ik weet niet hoe goed je Engels is, maar dit onderwerp (de verschillende ideeën over het meten van oneindige verzamelingen) is uitstekend besproken in een Engelstalig artikel van Paolo Mancosu. (Enkel de samenvatting is vrij toegankelijk, maar ik kan het je opsturen als je wil.)

In mijn eigen onderzoek ben ik geïnteresseerd geraakt in de vraag: stel dat je een loterij zou kunnen houden op alle natuurlijke getallen, wat is dan de kans dat één bepaald lot zal winnen? Hiervoor had ik een maat nodig zoals de numerositeit van Benci. Toen ik zijn werk eenmaal op het spoor was (mede via het artikel van Mancosu) heb ik hem gecontacteerd en sindsdien hebben we al twee artikels geschreven over dit onderwerp (samen met nog een derde collega).

Het antwoord op je eerste vraag houd je dus nog van me te goed.

Vriendelijke groeten,
Sylvia

PS: Er is een Nederlandse wiskundige (K.P. Hart) die recent enkele vragen van Nederlanders heeft beantwoord op Tumblr. Er zit ook heel wat materiaal bij dat over oneindig gaat. Bepaalde stukken komen overeen met de uitleg in mijn eigen brief, maar soms is het handig om het op verschillende manieren uitgelegd te krijgen. (Onhandig is wel dat bij hem de natuurlijke getallen vanaf nul beginnen; dit is gewoon een kwestie van afspraak en het wordt in verschillende vakgebieden helaas anders gedaan.)

Gelijkaardige berichten:

• Vragen van Daan – deel 2: over het heelal
• Het probleem van de oneindige loterij
• Waterkans of kansloos?