Tag Archief: citaat

Tweede kans voor wiskunde

Dit opiniestuk is op 2 mei 2018 verschenen op knack.be, naar aanleiding van mijn college voor Universiteit van Vlaanderen.

‘Ik zou in een wereld willen leven waarin volwassenen avondlessen wiskunde volgen’

Professor wetenschapsfilosofie Sylvia Wenmackers wil in een wereld leven waarin avondles wiskunde voor volwassenen even populair is als Engels of Italiaans. Maar daarvoor moet de manier waarop wiskunde onderwezen wordt veranderen…

Wiskunde.

Foto van Allef Vinicius (via Unsplash).

Stel je een school voor waar het volgende gebeurt:

Elke ochtend moeten leerlingen hun spiegelbeeld vergelijken met de Instagram-feed van een internationaal modellenbureau. De modellen zijn geselecteerd uit de hele wereldbevolking. Ze worden gemaquilleerd, gekleed en gefotografeerd door professionelen. Van elke shoot wordt minder dan 1% van de beelden bewaard en die selectie wordt stevig nabewerkt. Uit de bewerkte foto’s kiest een curator welke vrijgegeven worden. Maar dat hele proces wordt niet uitgelegd aan de leerlingen.

Dit scenario is gelukkig fictief, maar het lijkt verrassend veel op de manier waarop wiskunde vandaag onderwezen wordt.

Wiskunde wordt namelijk zeer ahistorisch gedoceerd. Dat is eigen aan het vakgebied: mislukte pogingen worden in latere samenvattingen niet meer opgenomen, waardoor de wiskunde in handboeken een lange triomftocht lijkt. Stelling – bewijs, stelling – bewijs, stelling – bewijs. Bij sommige stellingen hoort een naam; sommige namen komen opvallend vaak voor (zoals Euler, Gauss en Fermat). Het is even gemakkelijk om je een mislukking te voelen in vergelijking met die fictieve geschiedenis, als om je een lelijk eendje te voelen op onze fictieve school. Uit zelfbescherming haken veel leerlingen dan ook af: ‘Ik heb geen wiskundeknobbel, geef mij maar talen’.

Als leerlingen aan een oefening beginnen, lukt het hen vaak niet om die meteen op te lossen. Het is zo jammer dat we hen niet tonen dat dat perfect normaal is. Wiskundigen en wetenschappelijke onderzoekers zitten ook vaak vast. Het grootste verschil tussen onderzoekers en anderen is dat die eersten hiertegen bestand zijn. Ze vertrouwen op hun eigen kunnen, hebben een netwerk om raad aan te vragen en weten uit ervaring dat de aanhouder vaak wint.

De leerlingen op de fictieve school zouden veel baat hebben bij uitleg over hoe de fotoreeks tot stand komt. Dit zou hun zelfbeeld ten goede komen. Om dezelfde reden zouden we leerlingen veel beter moeten uitleggen hoe wiskunde en wetenschap tot stand komen.

Blunderboek

Mijn eigen onderzoek gaat over filosofie van de kansrekening. In de geschiedenis hebben opvallend veel wiskundigen geblunderd op het vlak van kansen. Terwijl meetkunde al bij de Oude Grieken ontwikkeld werd, heeft het tot de zeventiende eeuw geduurd voor wiskundigen tot een theorie over kansen kwamen. Dit gebeurde op vraag van een Franse schrijver, die zich Chevalier de Méré liet noemen – een fervent gokker. Pascal en Fermat probeerden in een briefwisseling zijn vragen over kansspelen op te lossen. In hun correspondentie zien we vooral Pascal worstelen om grip te krijgen op het concept kans. Het is ook in deze context dat de beroemde driehoek van Pascal voor het eerst opduikt. Precies dit soort voorbeelden bieden een waardevolle aanvulling op het wiskundecurriculum.

Stel nu eens dat de twee hoofddoelen van wiskunde op school zouden zijn: leerlingen wiskundige basisvaardigheden meegeven (zoals nu) én hen een realistische en waarderende houding ten aanzien van wiskunde bijbrengen. Dat tweede doel zou ervoor zorgen dat ex-leerlingen in hun latere leven open blijven staan om zich wiskundige denkpatronen eigen te maken, ten minste te proberen een vraag met wiskundige middelen te analyseren en als dat niet lukt erover te praten of doelgericht hulp te zoeken. Als dit tweede doel verwaarloosd wordt, leren wiskundelessen vooral hulpeloosheid aan: de leerkracht weet het antwoord al, dus als leerling moet je gewoon afwachten tot het enige juiste antwoord aan bord komt. Zelfs een rekenmachine kan het antwoord geven, als je maar zou weten hoe het vervloekte bakje werkt. Wat er ontbreekt is plantrekkerij, samenwerking en waardering daarvoor. Ondertussen blijven er antwoorden komen op vragen die je je nooit hebt gesteld.

Ik zou in een wereld willen leven waarin volwassenen avondlessen wiskunde kunnen volgen, net zoals ze nu een extra taal kunnen leren. Dat wil zeggen: een wereld waar daar vraag naar is. Een wereld waarin wiskunde gezien wordt voor wat het is: een integraal deel van de menselijke cultuur.

Wiskundehaat?

Op de middelbare school is wiskunde een groot vak, net zoals Nederlands. Bij Nederlands krijgen leerlingen allerlei opdrachten: een boek lezen van een bekroond auteur, een groepswerk maken, zelf een gedicht schrijven, de grammatica van een zin analyseren en de herkomst van de eigen voor- en familienaam opzoeken in de bibliotheek. Vaak is het handboek thematisch, zodat het voor leerlingen lijkt alsof het bij Nederlands over eender wat kan gaan. Ondertussen worden woordenschat, grammatica en geschiedenis aangeleerd. Soms wordt er ook geoefend op direct toepasbare vaardigheden, zoals het schrijven van een sollicitatiebrief.

Wiskunde is anders. De werkvormen zijn minder gevarieerd. Er is weinig aandacht voor topwiskunde of de wiskundige cultuur van een tijd. Er zijn nauwelijks open opdrachten, waarbij meerdere oplossingen mogelijk zijn. Stelling – bewijs, stelling – bewijs, stelling – bewijs. Door het monotone lespatroon blijft er van het aangeleerde op lange termijn weinig hangen. Het emotionele register is hoofdzakelijk negatief georiënteerd. Terwijl de wiskunde zelf – als vakgebied, maar niet als schoolvak – ruimte laat voor zo veel meer emoties: nieuwsgierigheid, verwondering en verbondenheid.

Wiskundeleerkracht Larry Martinek uit Los Angeles in de Verenigde Staten verwoordt het als volgt: ‘Kinderen haten geen wiskunde. Wat ze haten is verward, geïntimideerd en in verlegenheid gebracht worden door wiskunde. Met begrip komt passie, en met passie komt groei – een schat wordt ontgrendeld.’

Wiskunde heeft een rijke geschiedenis en laat ruimte genoeg voor exploratieve opdrachten naast de repetitieve, die ook nodig zijn om vaardigheden in te oefenen. Ik vind het inspirerend dat wiskundeleerkrachten wereldwijd ideeën uitwisselen over hoe ze hun eigen passie voor het vak kunnen overdragen aan de nieuwe generatie. Op Twitter kan ik de volgende mensen van harte aanraden: Eugenia Cheng (@DrEugeniaCheng, auteur van How to bake π en Beyond Infinity), Matt Enlow (@CmonMattTHINK) en Dave Richeson (@divbyzero). Twee inspirerende hashtags zijn #MathArt en #tmwyk (talk math with your kids).

TegenSTEM

Met projecten over STEM wordt geprobeerd om de verbanden tussen vakken als wiskunde, fysica, chemie en informatica duidelijker te maken. Dat is een lovenswaardig doel, maar helaas werkt het in de praktijk polarisering in de hand tussen ’talenmensen’ en ‘cijferaars’. De huidige campagnes lijken STEM namelijk boven andere vakken te verheffen. Terwijl er net over die grenzen heen nog zo veel inspiratie en leerwinst valt te halen.

Mijn eigen fascinatie voor fysica ontstond bijvoorbeeld door te lezen: eerst sciencefiction en daardoor steeds meer populairwetenschappelijke boeken. Zij gaven mij voor het eerst een beeld van het leven als onderzoeker: de interacties tussen mensen, het proberen, het falen en het sporadische succes. Daar ligt niet alleen de bron voor mijn studiekeuze (fysica), maar het gaf me ook de extra dosis moed om door te zetten op momenten dat ik een triviale oplossing niet zag: ‘Wiskunde is nu eenmaal moeilijk, maar moeilijk gaat ook’.

Het is mijn hoop dat er taalleerkrachten zijn die op hun leeslijst enkele boeken willen opnemen die relevant zijn voor STEM: denk aan Flatland bij Engels, of waarom geen non-fictie? Er zijn prachtige biografieën over wetenschappers. Het is hoog tijd dat taalleerkrachten en STEM-leerkrachten meer samenwerken.

Logica vs belastingen: 0 – 1

Belastingsbrief.Getallen en rekenwerk, daar weten wij doorgaans wel raad mee. Op de jaaropgaven en fiscale attesten wemelt het van de kommagetallen. Meteen is daar het gevoel: “dit zouden wij moeten kunnen”, maar desondanks raadplegen we hiervoor nederig een specialist.

Ja, ooit was ik in staat mijn eigen belastingsbrief in te vullen. Moeilijk was het toen ook niet: gewoon een kwestie van de codes over te nemen die op de jaaropgaaf vermeld stonden. Het jaar dat Danny en ik gingen samenwonen, had hij nog (deels) Nederlandse inkomsten aan te geven. Daarna was ik het die mijn Nederlandse loon aan de Belgische belastingsdienst moest aangeven. Aangezien de regels hiervoor al eens veranderen, gaan we de laatste jaren naar een winkelcentrum waar belastingsbeamten helpen met het invullen van de aangifte.

Dit jaar kregen we hulp van een zeer vriendelijke fiscalist, die rustig al onze papieren bekeek en voor elk getal een passende rubriek vond, of voorstelde om iets niet aan te geven. Is dat dan een optie? Ja hoor, zo gaf de specialist ons glimlachend mee, want:

“Fiscaliteit is geen exacte wetenschap.”

Oei, dat geeft me niet veel moed om er de komende jaren zelf weer aan te beginnen! Hij zei nog iets dat is blijven hangen:

“De logica eindigt waar de fiscaliteit begint.”

Geen wonder dus dat wij, gewone stervelingen, machteloos staan als de bruine envelop in onze brievenbus valt.

Gelukkig geldt net als bij de wereldbeker voetbal: mathematisch is alles nog mogelijk! :-)

Drie citaten

Citaat van mijn lief:

“Als blikken konden doden, zou ons kindje al lang wees zijn.”

Tja, ons zoontje zit niet zo graag in de ‘bubby’ (zijn woord voor buggy).

Citaat van ons zoontje:

“Pyjapyjapyja!”

Gelukkig vindt hij het niet erg om te gaan slapen (en dus eerst zijn pyjama aan te doen).

Anonieme reactie op NewApps:

Infinity isn’t like you or me: it behaves in strange ways.”

In eerste instantie las ik ‘isn’t‘ als ‘is‘ en dat klopte ook! :)

Dit korte berichtje heb ik geschreven in april, maar in alle drukte ben ik het toen vergeten online te zetten. Intussen houdt onze peuter meer van in de buggy zitten dan van gaan slapen. Later deze week schrijf ik nog een update over de vorderingen van zijn gebabbel.

Universalisme

Arnold Zuboff.Ik ben ik.

En jij?

Jij kan – terecht – hetzelfde zeggen: “Ik ben ik.”

Bovendien ben ik altijd hier en is het voor mij altijd nu.

Volgens sommige filosofen zegt dit iets essentieels over de aard van subjectieve ervaring: dat ze direct is.

Eerder deze week schreef (en presenteerde) ik over de de oorsprong van de paradox van de Schone Slaapster in het werk van Arnold Zuboff. Het bericht van vandaag is een toegift bij mijn vierdelige reeks over die paradox (begin hier), want hierin kom ik terug op Zuboffs theorie van het universalisme.

Zuboffs universalisme

Arnold Zuboff staat universalisme voor. In “One self: the logic of experience” opent hij als volgt:

I believe that we are all the same person.

Zuboff gelooft dus dat we allen dezelfde persoon zijn. Die openingszin maakt meteen duidelijk dat het hier om een heel ander soort filosofie gaat dan die ik doorgaans lees (van auteurs à la Elga & co). Volgens mij zitten er gaten in zijn argumenten, vooral waar hij zich op loterijen en kansrekening beroept, maar het is wél een theorie waar een hart in zit. Het gebeurt niet vaak, maar zijn verhaal ontroerde me.

Afgaande op de informatie uit “One Self“, ontstond zijn theorie uit de volgende cocktail:

  • interesse voor sciencefiction en met name Clarkes verhaal van “The other tiger” (de mogelijkheid van nagenoeg identieke kopieën van mensen op andere planeten in een oneindig universum),
  • Sovjet-experimenten met hersentransplantaties tussen honden,
  • angst voor de dood en een daaruit voortvloeiende zoektocht naar een mogelijkheid tot onsterfelijkheid.

Op een zeker moment herinnert hij zich een oorlogsfilm die hij zag als tiener, waarin de ene na de andere soldaat werd omgelegd met machinegeweren:

I was thinking what my own life was for me – a whole rich world in its own right. But each time a soldier fell to that machine gun’s fire such a life turned to nothing – eternally.

Klaprozen als symbool voor vele gesneuvelde soldaten in de Eerste Wereldoorlog.(“Ik dacht aan wat mijn eigen leven voor mij was – een heel rijke wereld op zichzelf. Maar elke keer dat een soldaat viel door het geschut van machinegeweren veranderde zo’n leven in niets – voor eeuwig.”)

De jonge Zuboff vraagt zich af: hoe zou het zijn om dood te zijn? Het is niet alsof het een ervaring is van eeuwig niets, omdat er geen ervaring zal zijn. Zuboff kreeg kop nog staart aan zijn eigen eeuwige toekomst.

Hij bespreekt sciencefiction-achtige gedachte-experimenten van gedeeltelijke en hele breintransplantaties in de stijl van menselijke fusie- en fissie-experimenten, die nog steeds gangbaar zijn in sommige takken van de filosofie; in Oxford woonde ik zo’n lezing bij (zie einde van dit stukje). Hij schreef trouwens ook “The Story of a Brain” dat als hoofdstuk 12 verscheen in het boek “The Mind’s I” van Hofstadter en Dennett. Ik wil hier niet te diep ingaan op dit aspect, dus we gaan verder.

Als opstapje naar zijn “logica van de ervaring” presenteert Zuboff eerst een soort “logica van de roman”. Als één exemplaar van een boek vernietigd wordt (hij neemt Huckleberry Finn als voorbeeld), dan blijven de personages en diens avonturen verder bestaan in de andere exemplaren van het boek. (Dit vind ik al niet helemaal sluitend: personages komen maar ’tot leven’ in onze verbeelding en de relatie met het boek waarin de roman is afgedrukt is dus gecompliceerder dan ze hier voorgesteld wordt.)

Zuboffs universalisme zegt dat wij in zekere zin net zoals romanfiguren zijn: zolang er iemand leeft, wordt de binnenwereld van de ervaring nooit echt dichtgeslagen. Zolang er nog een ‘ik’ is, ben ik dat.

Anthropisch principe

Een volgend ingrediënt in dit verhaal is het anthropisch principe, dat al eens aan bod kwam in een eerder blogbericht over fine-tuning.

De kans dat de fundamentele natuurconstanten zo zijn dat er daarmee een heelal ontstaat dat vatbaar is voor leven wordt zeer klein geacht. Het “anthropische principe” uit (de filosofie van) de fysica probeert dit enorme toeval te verklaren door op te merken dat alle waarnemingen bewuste waarnemers veronderstellen. Enkel als het heelal inderdaad zo is dat er leven in kan ontstaan, kan iemand zich daarin verwonderen over hoe klein die kans wel is.

Ik vind dit principe niet bevredigend. Het is inderdaad geen toeval dat wij in een universum leven dat levensvatbaar is: gegeven dat wij bestaan (en dit dus kunnen opmerken) is het zeker (niet alleen “met kans 1”, maar ook logisch zeker: je hebt er al op geconditionaliseerd) dat we in een levensvatbaar universum leven. Dit zegt echter niets over de kans dat zo’n universum – en daarmee wijzelf – überhaupt zou kunnen ontstaan.

Anderzijds vind ik het ook misleidend om stellig te zeggen dat de kans dat de parameters exact zo zouden zijn a priori heel klein was. Onze natuurkundige theorieën zelf zijn al permanent in ontwikkeling en om over deze kansen iets definitiefs te zeggen, zouden we een geconsolideerde metatheorie nodig hebben, maar die is er gewoon niet. Op dat niveau zijn er enkel speculaties en hoewel wilde ideeën de wetenschap kunnen voeden, zijn ze op zich nog lang geen wetenschap…

Zuboffs eerste poging tot een statistische oplossing

In een appendix bij “One self” schrijft Zuboff hoe hij als student voor het eerst in contact kwam met het probleem van het anthropisch toeval: via een stuk van F. R. Tennant, die een religieuze oplossing verdedigde. Volgens Tennant konden de natuurwetten niet toevallig precies zo zijn dat ze tot ons bestaan hebben geleid, maar moest een opperwezen dit doelbewust zo hebben afgesteld.

Terwijl Zuboff zijn gedachten over de dood ordende, zag hij een derde weg – naast onverklaarbaar toeval en religie – en dat was de statistiek.

Stel je voor dat er meerdere universa bestaan (of eventueel vele cycli van één universum) met onderling zeer uiteenlopende natuurwetten. (Zie ook dit blogstukje met een overzicht van multiversum-theorieën.) Als het maar enkele universa (of cylci) zijn, is de kans dat ze leven bevatten klein. Stel je echter zeer veel universa voor: de meerderheid heeft wetten die geen leven toelaten, maar het zou nu waarschijnlijk kunnen zijn (door het grote aantal universa) dat minstens één universum inderdaad leven bevat. Het feit dat het enige universum dat waargenomen wordt, datgene is met de natuurwetten die leven toelaten is in de context van zo’n multiversum geen toeval meer, maar veeleer een tautologie.

Russische Roulette.Toen Zuboff bovenstaand multiversum-argument (waar – zo wist hij inmiddels – ook door natuurkundigen als Hawking, Carr en Rees over nagedacht werd) presenteerde, kreeg hij tegenwind van Robert Stalnaker. Stel dat je meermaals Russiche roulette hebt gespeeld en dit steeds heb overleefd, zei Stalnaker, dan hoef je nog niet te concluderen dat er vele andere spelletjes gespeeld moeten zijn om jouw winst te verklaren (hoewel het spelen van meer en meer spelletjes het uiteraard wel meer en meer waarschijnlijk maakt dat iemand zal winnen).

Zuboff zag in dat zijn oplossing niet werkte. Later voegde hij nog een ingrediënt toe aan zijn multiversum-argument om het kosmische toeval te verklaren dat het universum levensvatbaar is.

Is elk individu hetzelfde?

Voor iedere bewuste waarnemer zijn al zijn eigen ervaringen ‘direct’, dit wil zeggen van de vorm: ‘ik/mijn’, ‘hier’ en ‘nu’. (Ik ben nooit daar; voor mij is het nooit morgen of gisteren.) Zuboff gaat echter een stap verder en zegt dat er geen zinvol onderscheid is tussen individuen (althans niet van binnenuit). Volgens hem doet het ‘token‘ (de identiteit van de waarnemer) er niet toe.

Als je akkoord gaat met die stap, dan:

  • is het roulette-probleem alvast opgelost. Als er genoeg Russissche roulette gespeeld wordt, zal er iemand winnen, en dat is automatisch een ‘ik’ – en bij Zuboff ben ik dat dus. (Of eigenlijk Zuboff zelf, maar dat maakt niet meer, zodra we de token-identiteit hebben losgelaten.)
  • is het anthropisch toeval geen toeval meer. In een voldoende groot multiversum, zal iemand vaststellen dat hij in een universum met levensvatbare natuurwetten leeft, en dat is automatisch een ‘ik’ – en dat ben ik dus (althans binnen de aanname van token-vrijheid).
  • is Sleeping Beauty altijd wakker, want ze kan alleen maar vaststellen ‘ik, nu, hier, wakker’. En is de kans die ze moet toekennen aan de mogelijkheid dat de muntworp kop was 1/3. (Je herinnert je misschien dat ik ook van mening ben dat kans 1/3 de enige oplossing is. Maar het is niet omdat een oplossing juist is, dat je geen alternatieve redenering kunt opstellen die ook tot dit antwoord leidt, hè.) En uiteraard ben ik die Schone Slaapster, maar dat is hier niet de beoogde conclusie, geloof ik. ;-)

Zuboff draait zijn oplossing voor het anthropische toeval nu om, om deze in stelling te brengen als argument voor universalisme: je bevindt je in een universum dat natuurwetten heeft die leven toelaten. Er zijn twee theorieën om deze vaststelling te verklaren: één die deze vaststelling duizelingwekkend onwaarschijnlijk maakt (zonder token-vrijheid) en één die het zeer natuurlijk maakt (een multiversum met token-vrijheid).

You must then accept the overwhelming likelihood of the theory favourable to your existence and your presence in a world that provides for it.

Kijk, zegt Zuboff, mijn theorie van token-vrijheid zorgt ervoor dat jij er automatisch bent in elke wereld waar er iemand is. En jij bent er. Kies dus voor de theorie die jouw aanwezigheid zo waarschijnlijk mogelijk maakt, en dat is het universalisme.

Universalisme op de trein

Ik schreef dinsdag al dat ik het artikel “One self: the logic of experience” vorig jaar per e-mail van Zuboff had gekregen. Nu moet je weten dat ik dit bestaan meteen heb afgedrukt in Groningen en gelezen op de trein terug naar Gent. Voor het laatste stuk, van Antwerpen naar Gent, zat ik in een treinstel zonder binnenverlichting. Telkens als we door een tunnel reden, moest ik dus even stoppen met lezen – en noodgedwongen zelf nadenken. (Nee toch, een filosoof die zit na te denken op de trein. Bel de krant!) Het was een heel drukke trein en de mensen rond me bleven in het donker natuurlijk wel verderpraten. Ik hoorde dus iets van wat zij dachten, maar zij hadden geen idee dat ik even – heel even – geloofde in universalisme. Heel even geloofde ik dat we allemaal dezelfde persoon zijn.

Sheeple.

Zuboffs universalisme is een zeer menslievende theorie. Zuboff gebruikt het universalisme als motivatie voor moreel gedrag. Hij start van de vraag: waarom zou ik iets doen voor een ander; waarom zou ik iets doen waar ik zelf niet beter van word? Zo bekeken lijkt moreel gedrag en solidariteit moeilijk te verklaren, maar in combinatie met universalisme is het duidelijk waarom je goed moet zijn voor anderen, want die ander dat ben jij ook. Het geeft je een warm gevoel als je jezelf toelaat de mogelijkheid even te overwegen. Helaas overtuigen zijn probabilistische argumenten me niet van de correctheid van zijn theorie.

Dit sluit uiteraard nog niet uit dat er andere argumenten kunnen zijn om tot (een soort van) universalisme te komen. In dit essay oppert Stephen T. Asma dat “het individu” wel eens een eigenaardige abstractie zou kunnen zijn en dat indivualisme dus geen goede basis is voor metafysica. Als we ander zien lijden, voelen we (mede door de werking van spiegelneuronen) zelf iets van de pijn van die persoon. (Westerse) filosofen vertrekken vaak van de schijnbare zekerheid dat de enige pijn die ik kan voelen mijn eigen pijn is. Maar als ik pijn voel omdat ik iemand anders zie vallen, is dat dan mijn pijn of niet?

Meer kijken, lezen en luisteren

De paradox van de Schone Slaapster (deel 4)

Zoals aangekondigd is dit het vierde deel in mijn reeks over de Sleeping Beauty paradox, een probleem uit de filosofie van de kansrekening. (Hier vind je de eerdere delen: 1, 2 en 3.)

Op zoek naar de bron

Doornroosje in de versie van Disney.Filosofen citeren als bron voor de paradox van de Schone Slaapster doorgaans een artikel van Adam Elga uit 2000 in het filosofietijdschrift Analysis, met als titel “Self-locating belief and the Sleeping Beauty problem” (“Zelf-lokaliserend geloof en het probleem van de Schone Slaapster”). Het artikel bevindt zich achter een betaalmuur, maar je kunt deze postprint vrij raadplegen. In de eerste voetnoot signaleert Elga dat de puzzel afkomstig is uit ongepubliceerd werk van Arnold Zuboff en dat de naam van de puzzel afkomstig is van Robert Stalnaker. In dezelfde voetnoot verwijst Elga ook naar het werk van Michele Piccione en Ariel Rubenstein uit 1997, waarbij het gaat om een verstrooide autobestuurder die niet meer zeker weet aan welke afslag hij al zit. Hun artikel staat online, of zie bijvoorbeeld deze Engelstalige blogpost hierover.

Tijdens de cursus “Philosophy of Probability” van vorig jaar vermeldde één van mijn studenten een artikel van Arnold Zuboff uit 1990 als bron (toch ruim vóór Elga’s publicatie uit 2000): “One self: the logic of experience” (“Eén zelf: de logica van de ervaring”). De student had deze bronvermelding waarschijnlijk van Wikipedia overgenomen en het artikel zelf niet geraadpleegd, want het bleek moeilijk te vinden. De link op Wikipedia verwijst naar een pdf die achter een betaalmuur zit en waar onze universiteit geen toegang toe heeft (waarschijnlijk omdat publicaties uit 1990 niet digitaal bewaard zijn en gescand moeten worden). Elders op het web vond ik ook geen kopie, maar mijn nieuwsgierigheid was gewekt.

Contact met Zuboff

Arnold Zuboff.Ik schreef een e-mail aan Arnold Zuboff en die stuurde een heel vriendelijk bericht terug, waaruit blijkt dat hij inmiddels op pensioen is. (Ik heb blijkbaar geluk gehad: hij werkte aan het University College London en zijn UCL-personeelspagina met e-mailadres stond vorig jaar nog online, maar inmiddels niet meer.) Hij stuurde me niet enkel de gevraagde pdf van “One self: the logic of experience” (inderdaad een scan), maar ook een neerslag van zijn afscheidsspeech getiteld “My eight big ideas” en een ander artikel “Time, Self and Sleeping Beauty“, dat trouwens wel online beschikbaar is (als doc-bestand). (Deze titel staat opgelijst als een Princeton-dissertatie uit 2009 en maakt dus wellicht deel uit van een langer manuscript.)

In “Time, Self and Sleeping Beauty” licht Zuboff de oorsprong van de puzzel als volgt toe:

Adam Elga introduced philosophers to the Sleeping Beauty problem, so identified, in a paper published in Analysis seven years ago (Elga 2000). In the first footnote of that paper he credited Robert Stalnaker with naming the problem. He also mentioned that Stalnaker first learned of examples that illustrate the problem in unpublished work by me.

 I’d like to add something to this history: In 1986 I sent to Peter Unger my then unpublished paper “One Self: The Logic of Experience”. Unger sent a copy of this to Stalnaker, who, in his response, remarked that he was intrigued by certain examples Zuboff had used in making points about probability. The paper was published some four years later (Zuboff 1990).

 I hope to show here that a solution to the Sleeping Beauty problem must take us into the metaphysical view that is argued for in that paper.

Kortom, toen Stalnaker voor het eerst van Zuboffs werk hoorde (via Peter Unger in 1986), was het inderdaad ongepubliceerd. (Bovendien blijkt uit pagina 65 van “One self” dat Stalnaker ook aanwezig was bij een lezing van Zuboff in 1974, waarin die een vroege versie van zijn ideeën presenteerde.) Ik vind nog steeds dat Elga zijn huiswerk beter had kunnen doen, maar ik geef hem het voordeel van de twijfel: misschien was het in 2000 toch nog een tikje gecompliceerder om iemands publicaties op te snorren dan vandaag de dag.

Bovendien vraagt Arnold Zuboff hier aandacht voor de context waarin hij de puzzel oorspronkelijk geformuleerd heeft. Deze metafysische achtergrond heb ik in mijn blogbespreking tot nu toe niet aan bod laten komen. Om Zuboffs ontwikkeling van deze ideeën (die hij token-vrijheid en universalisme noemt) iets beter uit te leggen, schrijf ik daar later deze week nog een aparte blogpost over.

De rest van dit bericht wijd ik liever aan de puzzel uit “One self: the logic of experience” die aan de basis ligt van wat later het probleem van de Schone Slaapster is gaan heten.

De puzzel van de Schone Slaapster.

De puzzel van de Schone Slaapster ontstond naar aanleiding van vragen over persoonlijke identiteit. (Plaatje op basis van een afbeelding van Disney.)

Het hotel met de vele slapers

Lange gang in een groot hotel.In het derde deel van “One self: the logic of experience” gaat Zuboff in op het schijnbare enorme toeval van jouw en mijn bestaan. De puzzel van de Schone Slaapster als dusdanig komt niet in het stuk voor, maar wel een voorbeeld dat er sterk op lijkt.

Het speelt zich af in een hotel met kolossaal veel kamers. (Zuboff specifieert niet hoeveel het er zijn, maar uit de context blijkt dat het om meer dan 275 kamers moet gaan.) In elke kamer ligt iemand verdoofd te slapen. Voor elke slaper wordt 75 keer met een eerlijke munt gegooid en enkel als het resultaat exact overeenkomt met een vooraf gekozen patroon van kop en munt (bijvoorbeeld 75 keer kop) wordt die slaper gewekt. Als het patroon niet overeenkomt, blijft die persoon voor altijd slapen. Voor elke slaper is het dus zeer onwaarschijnlijk dat hij gewekt zal worden, maar doordat het zo veel slapers zijn is het zeer waarschijnlijk dat er wel enkelen gewekt worden.

Stel nu dat je gewekt wordt en dat iemand je op de hoogte brengt van het hele scenario. Dan moet je (als je niet van universalisme uitgaat) wel besluiten dat het een enorm toeval betreft dat je wakker bent.

Vervolgens beweert iemand anders (die je even geloofwaardig acht als de eerste informant) dat in feite iedereen wakker is gemaakt, ongeacht het resultaat van de muntworpen. Nu heb je twee hypothesen – eentje waarbij het bij voorbaat heel onwaarschijnlijk was dat je gewekt zou worden en eentje waarbij het zeker was dat je gewekt zou worden -, en als evidentie heb je dat je gewekt bent. Op basis van die evidentie moet je aan de tweede hypothese een kans toekennen die 275 keer groter is dan de kans die je toekent aan de eerste hypothese.

Een waarnemer in het hotel

Vervolgens introduceert Zuboff een externe waarnemer die (na afloop van de muntworpen en het wekken van de ‘winnaars’) naar een kamer wordt geleid. Hij wordt naar een willekeurige kamer geleid (of hij mag er zelf één kiezen) alwaar hij vaststelt dat de persoon in die kamer wakker is. Op basis hiervan moet hij een zeer grote kans toekennen aan de hypothese dat alle hotelgasten gewekt zijn en een zeer kleine kans dat wekkans per persoon slechts één op 275 was.

Anderzijds is het ook mogelijk dat de externe waarnemer, ongeacht welk van de twee hypothesen het geval was, naar een kamer wordt geleid van iemand die gewekt was. Als de waarnemer vaststelt dat de persoon in de kamer die hij te zien krijgt wakker is, kan hij daar niets uit af leiden over welk van beide scenario’s het geval was.

De heks uit Doornroosje in de versie van Disney.Sinds de publicatie van Elga zijn er heel wat varianten van het probleem van de Schone Slaapster bedacht en in publicaties verwerkt. Het zou boeiend zijn om hier eens een volledige inventaris van te zien, maar het gaat om zo veel artikels, dat het een hele klus zou zijn om alles op te lijsten.

Zuboff zelf vertelt het probleem van de Schone Slaapster (dat hij in “Time, Self and Sleeping Beautythe awakening game noemt) liefst in de volgende variant: als het kop is wordt de gehypnotiseerde slaper één keer gewekt (zoals in de versie van Elga), maar als het kop is wordt de slaper een triljoen keer gewekt waarna telkens het geheugen wordt gewist (terwijl Elga daar twee keer voor neemt).

Voor mij was het erg interessant om de originele versie en Zuboffs latere hervertelling van het probleem te lezen, omdat die kenmerken hebben van variaties die andere auteurs ook (her-)bedacht hebben: meer dan twee keer gewekt kunnen worden, meerdere slapers of herhaling van het scenario om lange-termijn frequenties te kunnen bepalen. Mijn eerste reflex was het introduceren van een externe waarnemer (in mijn geval de heks of een prins; zie eerste bericht in de reeks al), dus het was een aangename verrassing om erachter te komen dat ook Zuboff dit in zijn artikel uit 1990 al deed. ;-)

Tot hiertoe heb ik overigens niets aan te merken op de aanpak van Zuboff, maar wel met wat hij in de volgende stap doet.

Twee hypothesen over identiteit

Zuboff gebruikt het hotel met de vele slapers als analogie voor ons eigen bestaan en introduceert ook hierbij twee hypothesen.

  • De eerste hypothese is de standaardvisie dat als enige andere zaadcel de eicel waar je uit bent ontstaan had bevrucht, niet jij maar een ander persoon was ontstaan. (En als je één of meerdere generaties terugdenkt, wordt de initiële kans dat jij uiteindelijk zou ontstaan als maar kleiner.)
  • De tweede hypothese is Zuboffs universalisme, dat zegt dat zolang enige zaadcel die eicel had bevrucht en er een persoon uit was ontstaan, jij dat was geweest.

De evidentie die je hebt is dat je bestaat. Volgens de eerste visie was de kans dat je zou ontstaan en dus deze evidentie zou krijgen initieel (op een moment voor de bevruchting) heel klein, terwijl die kans veel groter is volgens de tweede hypothese. Het feit dat je bestaat, against all odds, maakt volgens Zuboff dat er aan zijn universalisme-hypothese (waarbij jij jij bent, ongeacht hoe je bent ontstaan) een veel grotere kans moet worden gehecht dan aan de gebruikelijke visie op wat een persoon is.

DNA sequenties.Het universalisme kijkt enkel naar de innerlijke beleving van een persoon. Maar als biologisch wezen hang ik ook af van een lichaam. Eén van de problemen die het universalisme volgens mij niet oplost, is dat ik een welbepaalde DNA-code heb die afhangt van het precieze patroon van mijn afstamming (en van mutaties onderweg). Gegeven dat ik een mens ben, staat het vast dat ik een DNA-code heb, maar nog niet welke. Dat er iemand is ontstaan met precies deze DNA-code is en blijft iets dat bij voorbaat zeer onwaarschijnlijk was.

Kortom, ik ben dol op sprookjes, wat niet wil zeggen dat ik ze ook geloof.

Filosloofje

Dertien uur schrijven aan een artikel over oneindige loterijen.Gisteren heb ik dertien uur gewerkt aan een artikel. Niet aan één stuk door, maar in drie blokken: drie uur voormiddag, vijf uur namiddag en ’s avonds (een rekbaar begrip) nog eens vijf uur. Soms vraag ik me af waarom ik toch altijd van die lánge stukken schrijf, die daarna quasi onmogelijk te reviseren zijn. Stiekem weet ik het antwoord wel: omdat ik niet uitgepraat raak over dit onderwerp. (Het artikel gaat over oneindig kleine kansen en is een vervolgstudie op mijn doctoraatsthesis over dit onderwerp.)

Tijdens mijn middagpauze luisterde ik naar Nieuwe Feiten op Radio 1. Het Middagjournaal – een gesproken dagboek, een voorgelezen column –  wordt er deze week bijgehouden door Gaea Schoeters. In de uitzending van gisteren had zij het over de keerzijde van het advies om van je hobby je beroep te maken. Herbeluisteren kan hier, nalezen kan hier.

Vooral dit stukje klonk zeer herkenbaar, zeker op een dag als gisteren:

“Waar is het dan misgegaan? Waar zijn we zo in de ban van de consumptie geraakt dat we krampachtig proberen steeds meer te verdienen, terwijl we geen tijd meer hebben om te genieten van wat we hebben? Het antwoord vond ik in de krant van gisteren, die naast me op de passagiersstoel lag. Volgens de Amerikaanse kunsthistorica Miya Tokumitsu is het de liefde voor ons werk die ons de das om doet. Doordat ons wordt aangepraat dat we moeten doen waar we van houden, en we dus van onze hobby ons beroep maken, valt elke afbakening weg. Want als je toch zo van je werk houdt, waarom zou je dan niet nog snel iets afmaken na je uren? Een dagje doorduwen in het weekend? Je mails nog even checken ’s avonds, desnoods in bed? Voor je lief moet je het niet laten, die is op haar eigen smartphone precies hetzelfde aan het doen.”

Misschien moet ik voor dit jaar eens wat vakantie inplannen, want Karoshi (volgens Schoeters Japans voor “dood door overwerk”) lijkt me voor een filosoof – die over tijdloze en misschien wel onoplosbare problemen hoort na te denken – toch wat te hoog gegrepen. ;-)

Het universum: fijn geregeld, of niet?

Internetmeme wetenschapspopularisator.Volgens sommige mensen is het universum precies afgestemd op het ontstaan en het onderhouden van leven. Want – zo gaat de redenering – als één van de fundamentele natuurconstanten maar een tikkeltje anders zou zijn, dan zou het leven (zoals we dat nu kennen) onmogelijk worden. Er zouden bijvoorbeeld geen sterren zijn, of geen koolstofchemie – in elk geval zou er niet voldaan zijn aan minstens één noodzakelijke voorwaarde voor het ontstaan van leven. Ons universum is precies goed voor ons bestaan. Je zou voor minder een schepper vermoeden.

Is de fijnregeling van het universum inderdaad een onbetwistbaar argument voor intelligent design (of ‘intelligent ontwerp‘), hetgeen dus een ontwerper veronderstelt, of kun je het ook anders zien?

Vrouwen weten al langer dat onze lichamen niet meteen blijk geven van intelligent design, maar hoe zit dat met het ontwerp van het universum als geheel? In onderstaande tirade over ‘stupid design‘ (link filmpje) gaat de Amerikaanse astrofysicus en wetenschapspopularisator Neil deGrasse Tyson stevig in tegen een al te rooskleurig beeld van het universum als een menslievende omgeving. (Dit is een fragment uit deze lezing die Neil deGrasse Tyson gaf op een conferentie over wetenschap en religie in 2011.)

Een andere vraag die zowel wetenschappers als niet-wetenschappers boeit, is of er nog (meercellig) leven in het universum is buiten dat op de Aarde. Is het feit dat we nog geen buitenaards leven gevonden hebben, een signaal dat het er gewoon niet is? Neil deGrasse Tyson lijkt te denken van niet, zoals blijkt uit onderstaand citaat. Het heelal is zo groot en we hebben er nog maar zo weinig van geëxploreerd.

Citaat van Neil deGrasse Tyson over leven (elders) in het universum.

Citaat van Neil deGrasse Tyson over leven in het universum: “Er bestaat nergens leven behalve op Aarde? Dat is alsof je een beker water uit de oceaan schept en daaruit concludeert dat er geen walvissen in de oceaan zwemmen.”

Wolkenatlas en brieven aan Doornroosje

Boeken in het hoofd.Bij het begin van een nieuw jaar maken sommige mensen goede voornemens. Anderen kijken uit naar de boeken die ze in 2014 allemaal gaan lezen – Lilith van “Tussen droom en daad” is zo iemand. Zoals ik daar al vertelde in een reactie is het lezen bij mij de laatste jaren sterk afgenomen. (Of ja, ik lees natuurlijk veel voor mijn onderzoek, maar juist omdat ik overdag zo veel informatie moet verwerken, heb ik het moeilijk om ’s avonds rustig te lezen en helemaal op te gaan in een verhaal.)

Vroeger was het anders. Toen had ik een boekenwensboekje: een notitieschrift met daarin alle boeken die ik wou hebben. Ik plakte er recensies in uit tijdschriften of schreef titels op van boeken die ik juist wel al had. Dat was handig om bij me te hebben als ik aan het snuisteren ging in een winkel voor tweedehandsboeken (lees: in de zomer met de trein naar Antwerpen gaan en dan uren in De Slegte doorbrengen), want op den duur wist ik niet meer precies welke boeken van Asimov ik enkel uit de bibliotheek had geleend en welke ik al eens eerder voor een schijntje op de kop had kunnen tikken.

In mijn boekenwensboekje stond er een titel die ik nooit gevonden heb: “Skyscapes“, een salontafelboek met foto’s van de lucht, want wolken zijn inspirerend mooi. (Het is trouwens werk van de Duitse fotograaf Jean Odermatt en de Duitstalige versie van het boek heet “Himmelsland“.)

Cloud Atlas.Mede hierdoor sprak de titel “Cloud Atlas” me meteen aan en toen ik deze roman van David Mitchell (uit 2004) in de winkel opensloeg, leek het me een boek dat ik graag zou lezen. Ik kocht het en begon eraan, maar ik raakte slechts een paar pagina’s ver. Dat is niet erg: boeken zijn geduldig en staan probleemloos jaren op de plank.

Enkele jaren later zag ik “Wolkenatlas”, een vertaling van “Cloud Atlas“. Misschien zou het in het Nederlands beter vlotten, dacht ik. Het boek kopen deed ik wel, maar erin beginnen lezen niet.

Toen kwam de film uit (in 2012) en die hebben Danny en ik ergens midden 2013 bekeken. Daarna was ik er klaar voor: ik las “Wolkenatlas” (geen goede vertaling volgens mij, maar het lijkt me ook een moeilijk boek om goed te vertalen) en mijn lief las “Cloud Atlas“.

Ik wil de laatste twee zinnen met jullie delen (geen zorgen, het verpest niets als je het boek nog wil lezen of de film nog wil bekijken):

“‘[…] & only as you gasp your dying breath will you understand, your life amounted to no more than one drop in a limitless ocean!

Yet what is any ocean but a multitude of drops?

En in de Nederlandse vertaling wordt dit:

“[…] & pas bij het uitblazen van je laatste ademtocht zul je begrijpen dat je leven alles bijeen niet meer is geweest dan een druppel in een eindeloze oceaan!

Maar, wat is een oceaan anders dan een massa druppels?”

Eentje is nooit geentje, dat zei ik toch al! :-)

De eekhoorn schrijft een brief aan zijn vriend, de mier.Bij Lilith staat ook “Brieven aan Doornroosje” van Toon Tellegen op het literaire jaarmenu. Dat ik van het werk van Toon Tellegen hou, dat kon je al vermoeden. En dat ik Doornroosje een interessant personage vind, dat weet je ook. Het zal je dan wellicht niet verbazen dat “Brieven aan Doornroosje” mijn favoriete bundel van Tellegen is.

In 2007 had ik nog geen blog. Anders had ik dit zeker even gemeld: ik ben met mijn lief Danny naar een voordracht geweest van “Brieven aan Doornroosje”. De voorstelling vond plaats in Huis Vanstraelen in Hasselt. Doornroosje van dienst was Rebecca Stradiot: zij las enkele brieven voor (mijn dictie-hart jubelde) en wisselde af met accordeonintermezzo’s, die wonderwel bij de sfeer pasten van een prins die slechts tergend langzaam opschiet. Het zelfbeklag van de prins (uit de brief van “23 juli”) bleek een echte oorwurm: het “allerallerarmste ik” zit tot op heden – zeven jaar later dus, hè – nog vaak in mijn hoofd!

Daarna gaf Danny me “Brieven aan Doornroosje” cadeau en sindsdien verhuist deze bundel geregeld tussen de boekenkast en het nachtkastje. Ik vind het een heel origineel concept én perfect uitgevoerd, dus ik wil het eigenlijk nooit helemaal uitgelezen hebben en daarom lees ik er maar heel zuinig in.

Ook in 2008 had ik nog geen blog. Anders had ik dit toen wel verteld: op maandagavond 8 september 2008 gingen we naar een voorstelling op de universitaire campus in Enschede (waar Danny toen nog werkte). Op het programma stond “Het Wisselend Toonkwintet”, waarbij Toon Tellegen dierenverhalen en gedichten voorlas onder muzikale begeleiding. Hoewel de soundscape me soms eerder stoorde dan dat hij iets toevoegde, zaten er ook wel leuke vondsten in. Het was dus een heerlijke luisteravond in het Amphitheater van het Vrijhof.

Toon Tellegen en Het Wisselend Toonkwintet.

Toon Tellegen en Het Wisselend Toonkwintet in Enschede (september 2008).

Op het einde van mijn zwangerschap las ik ’s avonds soms een dierenverhaaltje voor uit “Misschien wisten zij alles”, in de hoop dat mijn zoontje mijn stem zo beter zou herkennen. Op dit moment heeft ons kleintje voorkeur voor prenten- en flapjesboeken, maar hopelijk kunnen de korte verhaaltjes van Tellegen snel weer in het repertoire opgenomen worden. ;-)

Kinderlijke nieuwsgierigheid

Hans De Rijk vertelt in een reportage uit 2013:

Ik weet niets, maar ben nieuwsgierig naar alles. Dat wordt als een kinderlijke eigenschap beschouwd, die verder – helaas – in het leven van de meeste mensen helemaal weer weggaat. Terwijl als je [bij een …] in een kinderwagentje kijkt en je ziet zo’n dreumes van een jaar met z’n ogen bewegen en alles te bestuderen als het ware, dan zeg je: ja, die is gewoon van nature nieuwsgierig. Hij ziet dingen; er komen dingen op zijn netvlies en daar doet hij wat mee, want anders zou die gewoon zeggen: “O, nou, het gaat allemaal voorbij, ik zie het wel.”

De eerste twee zinnen van bovenstaand citaat had ik aanvankelijk willen gebruiken in mijn column “Kinderspel“. Toen ik inzag dat me dat niet zou lukken binnen de woordlimiet, bracht het besef dat ik een blog heb troost, want zo kan ik het alsnog met jullie delen. :-)

De hele documentaire over Hans De Rijk is trouwens te herbekijken op de website van RTV Utrecht. Het duurt minder dan een half uur en het is een aanrader!

Filmmuziek voor Ender’s Game

Ender's Game.Als fans van het boek Ender’s Game” besloten we naar de filmversie te gaan, wetende dat het waarschijnlijk een ontgoocheling zou worden, maar toch te nieuwsgierig om niet te gaan kijken. Het is een heel psychologisch boek en tegelijk zitten er veel actiescènes in die zich in gewichtsloosheid afspelen. Hoe verfilm je zoiets?

Het mag een klein wonder heten dat de film voor ons niet helemaal tegenviel. Dus, als je het boek niet gelezen hebt, is “Ender’s Game” vermoedelijk een aanrader. ;-) (Ik weet trouwens niet of de film nog in de zalen speelt; we gingen een maand geleden al kijken, maar toen had ik geen tijd voor een verslagje.)

Mijn vriend las het boek drie keer, inclusief alle sequels. Zelf heb ik enkel het eerste boek gelezen (een jaar of vijf geleden en slechts één keer). Op voorhand vond ik het een rare titel, waardoor het me niet meteen aansprak. (Het klonk als End Game, maar ‘Ender’ blijkt een koosnaam voor Andrew te zijn.) Toen ik er eenmaal aan begonnen was, werd ik er echter helemaal door meegesleept en wou ik elke vrije minuut verder lezen – iets dat vroeger vaak gebeurde, maar de laatste jaren steeds minder.

Als je een beschouwing wil lezen over de morele aspecten van het verhaal, dan is dit essay van John Kessel verplichte lectuur: “Creating the Innocent Killer: Ender’s Game, Intention, and Morality“. Ik beperk me tot een kort filmverslag. ;-)

Laat ik eerst maar even het noodzakelijke gezeur neerschrijven, dan hebben we dat gehad: ja, het ging allemaal wat snel, de acteurs zijn te oud in vergelijking met de personages in het boek en de oefengevechten in de Battle Room hadden we ons toch spectaculairder voorgesteld. Ook werd er een hele tak uit de plot geknipt (die van Locke en Demosthenes), maar een film is nu eenmaal geen boek. Anderzijds wordt het beeld van een ruïne in het computerspel dat Ender speelt heel goed gebruikt in de film – de ontknoping daarvan zit opnieuw iets anders in elkaar dan in het boek, maar visueel vond ik dit heel sterk.

Ruïne uit Ender's Game.

Ruïne uit Ender’s Game.

Als ik een soundtrack voor de film “Ender’s Game had mogen samenstellen, dan was er één nummer dat er zeker in had gemoeten: “The Game” van Das Pop (een single uit 2011). De tekst lijkt speciaal voor dit verhaal geschreven:

“I don’t know whether we’re inside or out, outside or in the game.

It doesn’t matter, because inside or out, outside or in are the same.”

(“Ik weet niet of we binnen of uit, buiten of in het spel zitten. Het maakt niet uit, want binnen of uit, buiten of in zijn hetzelfde.”)

Hieronder kun je de radio-versie met getekende videoclip afspelen (link). Er is ook een langere versie, zonder clip (link). Bovendien heeft zanger Bent Van Looy in 2012 eens een versie gezongen samen met het Brussels Philharmonic in het televisieprogramma De Laatste Show (link). Zo’n symfonische versie is natuurlijk ideaal als filmmuziek!

In de cinema is de filmmuziek bij “Ender’s Game” me niet bewust opgevallen. Dat betekent dat die goed was. Achteraf heb ik het opgezocht: Steve Jablonsky was de componist. Naar het schijnt was er solo chello te horen en elektronica, maar ik zou liegen als ik zou beweren dat ik me daar ook maar iets van herinner.

Als er ooit een remake komt, kan ik “The Game” van Das Pop dus alsnog warm aanbevelen! ;-)