Tag Archief: fractals

Sylvia's blog > blog > fractals

Het tapijt van Sierpiński

28/08/2017 0 Reacties

Kunst en wetenschap zijn abstracte begrippen, maar wat gebeurt er als je een kunstenaar en een wetenschapper laat samenwerken aan een concreet project? Chaos gegarandeerd, maar komen er ook mooie dingen uit? Lees en oordel zelf.

Deze column is eerder verschenen in het zomernummer van Eos en op de Eos-website.

Sierpiński.

Iteraties van het tapijt van Sierpiński.

Het voorbije academiejaar liep er een pilootproject waarbij studenten van de Leuvense kunstacademie SLAC gekoppeld werden aan onderzoekers van de KU Leuven. Het project PiLoT1 werd vanuit de universiteit ondersteund door een STEM-coördinator. Het acroniem STEM is gebaseerd op de Engelstalige benamingen voor natuurwetenschappen, technologie, werktuigbouw en wiskunde. Op scholen leidt STEM tot mooie projecten, waarbij deze disciplines geïntegreerd worden. Eenzijdige STEM-promotie heeft echter ook een schaduwzijde: een impliciete suggestie dat andere disciplines minder relevant zouden zijn. Alsof menswetenschappen en talen niet even noodzakelijk zijn om jongeren voor te bereiden op een leven in onze toekomstige maatschappij.

STEAM, met de A van Arts, slaat een brug tussen kunsten en wetenschappen.

Ook de kunsten vallen buiten STEM. In reactie daarop werd STEAM voorgesteld, met de A van Arts erbij, om een brug te slaan tussen kunsten en wetenschappen. Ontwikkelaars van nieuwe technologieën, ingenieurs en architecten wegen immers ook esthetische criteria mee in hun ontwerpen. Door de intrinsieke schoonheid van wiskunde en wetenschap uit te lichten, kan bovendien de promotie van deze disciplines bevorderd worden. Omgekeerd kunnen kunstenaars zich onderscheiden door nieuwe materialen toe te passen, zoals Anish Kapoor die als enige Vantablack mag gebruiken. Dit is de zwartste verf ter wereld op basis van verticaal gealigneerde koolstofnanobuisjes. Daarnaast reageren sommige kunstenaars in hun werk op maatschappelijk ingrijpende gevolgen van ontwikkelingen in STEM-domeinen.Ik nam deel aan het STEAM-project PiLoT1 en werkte samen met Shuktara Momtaz. Ze is afkomstig uit Bangladesh en kwam naar België om haar opleiding in de architectuur te voltooien. Intussen werkt ze bij een ingenieursbureau en ’s avonds schildert ze in het vakoverschrijdend atelier. Het doel was om elkaar te inspireren en de resultaten te tonen in een afsluitende tentoonstelling met als thema “Chaos”.

Voor mij als fysicus speelt het begrip chaos een positieve rol: het helpt verklaren hoe eenvoudige deterministische systemen toch zeer complex, praktisch onvoorspelbaar gedrag kunnen vertonen. De meeste deelnemende kunstenaars associeerden chaos met negatieve of bedreigende emoties. Zo ook Shuktara. Zij verwoordde het als volgt: “Ondanks de chaos rond me, leef ik best.” Via onze gesprekken ontdekte ik wat ze hiermee bedoelde: als vrouw van niet-Westerse origine heeft ze in haar leven al veel discriminatie ervaren, maar ze laat het hoofd niet hangen en werkt hard aan een betere toekomst voor haar dochters.

We gingen op zoek naar een vorm om onze visies op chaos in een kunstwerk te verweven. Ik suggereerde een vorm die ontstaat door dezelfde regel op steeds kleinere schaal te herhalen. Dit zijn iteraties van een fractal, bijvoorbeeld het tapijt van Sierpiński: beginnend met een vierkant, telkens het midden van de overblijvende vierkanten weghalen. Shuktara was meteen enthousiast over het voorstel en stelde voor om er een kubus van te maken. Bij het FabLab kon ik de platen met een computergestuurde CO2-laser uitsnijden. (Meer details over de fractal en het FabLab-avontuur lees je hier.)

De zijvlakken van onze kubus zien er niet chaotisch uit, maar juist zeer geordend. Toch is er voor wetenschappers een nauwe relatie tussen fractals en chaos: fractals zijn vreemde attractoren die de baan bepalen van een deterministisch systeem dat zich chaotisch gedraagt. De chaos die bij deze fractal hoort, zie je dus niet in ons kunstwerk, maar is impliciet aanwezig.

PiLoT1.

Portret van Shuktara en Sylvia met hun kunstwerk tijdens de vernissage van PiLoT1. (Foto gemaakt door een dochter van Shuktara.)

De binnenkant beschilderde Shuktara met blauwe tinten acrylverf. Omdat het individu de wereld om zich heen niet of nauwelijks kan veranderen is de buitenkant onbewerkt gebleven. Zodra we ons buitenshuis begeven zijn we onderworpen aan hokjesdenken: andere mensen delen ons in – meestal op basis van uiterlijke kenmerken, zoals huidskleur en geslacht. Deze categorisatie gaat gepaard met oordelen en dat werpt schaduwen op ons leven. Bovendien herhalen de processen zich op verschillende niveaus: discriminatie kan optreden in individuele contacten, maar uitsluiting kan ook geïnstitutionaliseerd raken en zo steeds grotere schaduwen werpen. Deze schaalonafhankelijkheid wordt op een abstracte manier getoond in de zijvlakken van de kubus.

Hokjesdenken helpt ons op korte termijn om de chaos om ons heen te bestieren, maar veroorzaakt op langere termijn nieuwe chaos. Of we nu over STEM of STEAM praten, uiteindelijk moet het doel zijn om over de grenzen van ons eigen vak de wereld in te kijken, met een open vizier. Wellicht kunnen gesprekken tussen individuen een goede basis vormen voor zo’n nieuwe invalshoek: precies de meerwaarde van dit project.

Eos-column, Kunst & Wetenschap

, , , ,

Over fractals, vers uit de lasersnijder

06/02/2017 2 Reacties

Fractal.

Zicht op onze tuin via een fractal.

Chaos en fractals

Zoals beloofd in mijn vorige bericht zou ik snel meer vertellen over het PiLoT1-project, waarbij kunstenaars en wetenschappers samenwerken. Het jaarthema van het project is “Chaos”. Voor mij, als fysicus, is dit in de eerste plaats een technisch begrip, dat nauw verwant is met fractals – wat meteen suggestief is voor visualisaties. Zelfs in het online woordenboek Van Dale wordt ‘fractal’ met behulp van een plaatje uitgelegd! :)

FractalDefinitie

De definitie van ‘fractal’ in Van Dale online.

De meeste kunstenaars associëren het begrip chaos eerst en vooral met de menselijke ervaring – en vaak negatieve aspecten ervan. In het project samen met Shuktara Momtaz proberen we beide aspecten te combineren: de wiskundige-wetenschappelijke interpretatie (via fractals) en de menselijke kant (via schilderijen die te maken hebben met discriminatie, zoals Shuktara die maar al te vaak ervaren heeft, eerst als meisje in Bangladesh en daarna als buitenlandse vrouw in België).

(meer…)

Kunst & Wetenschap

, , , ,

Over fractals, Engelse gotiek en een dwaaltuin

23/11/2011 1 Reactie

Het paleis van Blenheim is een voorbeeld van de Engelse Gotiek.Fractals zijn figuren waarvan de onderdelen op het geheel lijken. De takken van een boom lijken bijvoorbeeld op een verkleinde kopie van de volledige boom. Bij een wiskundige fractal blijf je steeds structuren vinden die op het geheel lijken, hoe ver je ook inzoemt. Daar houdt de gelijkenis met een boom op: een blad lijkt (vaak) wel op een miniatuurboompje (met het steeltje als stam en het blad zelf als kruin), maar als je verder inzoemt kom je bij cellen, moleculen en uiteindelijk atomen uit, die niet op bomen lijken. Dit belet niet dat het leuk is om in de natuur of in de stad op zoek te gaan naar fractalachtige planten en gebouwen.

Naast twee zich wild vertakkende bomen, heb ik in Oxford ook fractalachtige architectuur gevonden, met dank aan de Engelse gotiek. De foto linksboven is een zicht op All Souls College, gezien vanaf Queen’s Lane. (Dit is dus eigenlijk nog maar de achterkant van het gebouw!)

Het paleis van Blenheim is weliswaar ook een voorbeeld van de Engelse gotiek, maar ik heb er helaas geen overtuigende fractals in kunnen ontdekken. Het paleis staat in Woodstock (nabij Oxford) en werd in 1705 opgericht door Koningin Anna ter ere van John Churchill, beter bekend als de eerste Hertog van Marlborough. Deze hertog had het commando gevoerd in de Slag bij Blenheim en daar een overwinning behaald voor de Engelsen en hun alliantie. In de tuinen van het paleis ligt er tegenwoordig een mooi haagdoolhof: het Marlborough Maze. Een ‘maze‘ is echt een doolhof en geen labyrint, dus je kunt er wel degelijk in verdwalen. Een doolhof is géén fractal en gelukkig maar, want anders zou je er nooit uitgeraken!

Fractals in Oxford

Bovenaan links: de fractalachtige omtreklijn van de achtergevel van het All Souls College komt extra duidelijk uit bij tegenlicht. Bovenaan rechts en onderaan links: sommige bomen vertakken zich als wilde fractals, haast zonder zich iets aan te trekken van de zwaartekracht. Onderaan rechts: gelukkig was dit doolhof géén fractal.

De foto van het haagdoolhof (rechtsonder) is gemaakt vanop één van de twee bruggen, die ook dienst doen als uitkijkposten. Daarop kun je je route vrij efficiënt plannen. Natuurlijk zou je vooraf een satellietfoto van het doolhof kunnen opzoeken om daarop je weg uit te stippelen. Je kunt de route dan zelfs met een computerprogramma uitdokteren: met Mathematica bijvoorbeeld, of een ander programma dat overweg kan met grafen. Op een satellietfoto kun je echter moeilijk de bruggen van een gewoon pad onderscheiden, waardoor je oplossing in realiteit mogelijk niet zal werken.

Vóór het doolhof staat er een grondplan waar ik onderstaande foto van gemaakt heb; de hagen corresponderen met de groene lijnen op het plan. De andere kleuren helpen niet om je weg te vinden – in tegendeel – en dienen enkel om de figuur, die in het grondplan verwerkt zit, duidelijk te maken: een kanon met kogels, twee trompetten en een banier. (Deze heldhaftige symboliek verwijst natuurlijk weer naar de overwinning van de Hertog van Marlborough in de Slag bij Blenheim.) Op de foto heb ik de bruggen aangeduid met gele B’s. Op die posities kun je dus wel van boven naar onder lopen op de kaart, of van links naar rechts, maar niet ‘afslaan’.

Als je een satellietfoto hebt en weet waar de bruggen zijn, dan kun je inderdaad Mathematica gebruiken om de kortste route te vinden. Ik heb deze website maar achteraf gevonden, maar het lijkt goed overeen te komen met de route die we zelf gevolgd hebben. Deze oplossing is dus proefondervindelijk geverifieerd. ;-)

Marlborough Maze.

Foto van het grondplan voor het Marlborough-doolhof. De gele B’s geven de posities van de twee bruggen aan. Bij het gele sterretje staat er wel een groen lijntje, maar op de corresponderende plek in het doolhof is er daar toch een doorgang.

Als je in plaats van een satellietfoto bovenstaand grondplan zou gebruiken om je route vooraf te plannen, heb je alsnog een probleem: hierop staat er namelijk op een cruciale plek een barrière aangegeven, waar er in werkelijkheid geen haag staat; daar heb ik een geel sterretje toegevoegd op de foto. Met deze extra barrière erbij zou het doolhof geen oplossing te hebben.

Conclusie: in een doolhof moet je vooral gewoon zelf ronddwalen en dan maar hopen dat de ontwerper geen fan was fractals.

Aanvulling (24 november 2011):

Ik heb het grondplan op de foto nog eens goed vergeleken met een recente satellietfoto (via Google Maps) en er ontbreken nóg twee hagen. Tja, op die manier wordt het moeilijk om nog echt te verdwalen… Op de afbeelding hieronder heb ik de drie verschilpunten aangeduid met groene sterretjes. Ik vraag me af of er daar nooit haag heeft gestaan, of dat de haag op die plaats pas na verloop van tijd verwijderd is en waarom dan. Danny lanceerde de hypothese van een tuinman die het zat was om altijd om te moeten lopen. Ook lijkt het me leuk om een filmpje te zien van een haagdoolhof in de loop van de tijd: de haag wordt natuurlijk dikker en dunner in de loop van het jaar en lijkt te ‘ademen’, maar ook kan ik me zo voorstellen dat het oorspronkelijk ontwerp geleidelijk verloopt, doordat hoeken anders worden afgerond en dergelijke.

Marlborough Maze.

Satellietfoto van het Marlborough-doolhof: op de plaats van de groene sterretjes staat er geen haag, terwijl er daar wel een versperring wordt aangegeven op de plattegrond. De middelste haag zou weinig verschil maken, maar de twee andere zitten op cruciale plaatsen in het parcours. (Bron: Google Maps.)

En zo is jaren “Zoek de 8 fouten” spelen in de krant (op cartoons van Laplace) toch nog ergens goed voor gebleken. ;-)

Wiskunde

, , , , , , , , , , ,