Tag Archief: kansrekening

De andere tijger

Verzameling korte sciencefictionverhalen Arthur C. Clarke.Arthur C. Clarke schreef sciencefiction. Natuurlijk ken je zijn boek “2001: A Space Odyssey” (uit 1968), of toch minstens de gelijknamige film van regisseur Stanley Kubrick (uit hetzelfde jaar). Net als veel andere auteurs uit het Gouden Tijdperk van de sciencefiction schreef Clarke vooral korte verhalen voor magazines. “2001: A Space Odyssey” is trouwens geïnspireerd op een ouder kort verhaal van hem uit 1948, “The sentinel” (“De wachtpost”).

Vandaag wil ik je een ander kort verhaal van Arthur C. Clarke laten lezen. Aanvankelijk gaf Clarke zijn verhaal de titel “Refutation” (“Tegenbewijs”), maar de redacteur van Fantastic Universe, Sam Merwin, stelde “The other tiger” voor. Dat is een verwijzing naar “The lady or the tiger” van Frank R. Stockton uit 1882 (lees het hier). “The other tiger” verscheen voor het eerst in 1953, maar het werd herdrukt in enkele boeken, waaronder “The collected stories of Arthur C. Clarke“. Die verzamelbundel staat bij ons op de plank, maar je kunt het boek ook online lezen.

Hieronder heb ik “The other tiger” vertaald. Geniet ervan!

De andere tijger
(Origineel van Arthur C. Clarke)

“Het is een interessante theorie,” zei Arnold, “maar ik zie niet in hoe je die ooit kunt bewijzen.” Ze waren bij het steilste stuk van de helling aangekomen en voor het moment was Webb te zwaar buiten adem om te antwoorden.

“Dat probeer ik ook niet,” zei hij, toen hij zijn tweede adem gevonden had. “Ik verken alleen maar de consequenties ervan.”

“Zoals?”

“Wel, laten we perfect logisch zijn en zien waar het ons brengt. Onthoud dat onze enige aanname is dat het universum oneindig is.”

“Oké. Persoonlijk zie ik niet wat het anders kan zijn.”

“Zeer goed. Dat betekent dat er oneindig veel sterren en planeten zijn. Dus moet, volgens de wetten van de kans, elke mogelijke gebeurtenis niet slechts één keer maar oneindig vaak optreden. Correct?”

“Ik neem aan van wel.”

“Dan moeten er oneindig veel werelden zijn net zoals de Aarde, elk met een Arnold en een Webb erop, die deze heuvel opwandelen zoals wij dat doen en die dezelfde woorden zeggen.”

“Dat is best moeilijk te aanvaarden.”

“Ik weet dat het een onthutsende gedachte is – maar dat is oneindigheid óók. Maar hetgene dat me fascineert, is de gedachte aan al die andere Aardes die niet exact hetzelfde zijn als deze. De Aardes waar Hitler de Oorlog gewonnen heeft en er swastikavlaggen boven Buckingham Palace wapperen; de Aardes waar Columbus nooit Amerika heeft ontdekt; de Aardes waar het Romeinse Rijk tot op de dag van vandaag voortleeft. De Aardes, in feite, waar alle grote wat-als-vragen van de geschiedenis een ander antwoord hebben gekregen.”

“Het gaat terug tot helemaal in het begin, neem ik aan, naar die waar de aapmens die de papa van iedereen zou zijn, zijn nek heeft gebroken vóór hij kinderen kon verwekken?”

“Dat is het idee. Maar laten we het houden bij de werelden die we kennen – werelden waarin wij er zijn en we deze heuvel beklimmen op deze lentenamiddag. Denk aan al onze evenbeelden op die miljoenen andere planeten. Sommige zijn exact hetzelfde, maar elke mogelijke variatie die niet in strijd is met de wetten van de logica moet ook bestaan.
We kunnen – we moeten – elke denkbare soort kleren dragen – en helemaal geen kleren. De Zon schijnt hier, maar op ontelbare miljarden van die andere Aardes schijnt ze niet. Op vele is het winter of zomer hier in plaats van lente. Maar laten we ook meer fundamentele veranderingen in beschouwing nemen.
We zijn van plan om de heuvel hier op te wandelen en af te dalen aan de andere kant. Maar denk eens aan alle dingen die mogelijk met ons zouden kunnen gebeuren tijdens de volgende minuten. Hoe onwaarschijnlijk ze ook mogen zijn, zolang ze mogelijk zijn, moeten ze ergens wel gebeuren.”

(meer…)

Resultaten filosofie-experiment

Bedankt.Anderhalf jaar geleden deed ik op mijn blog een oproep om mee te doen aan een filosofie-experiment. Het ging om een studie van Karolina Krzyżanowska en Igor Douven waar ik aan meewerkte (voornamelijk als data-analist). Onze resultaten zijn inmiddels gepubliceerd in een vaktijdschrift.

Ik wil iedereen bedanken die destijds de moeite heeft gedaan om onze vragen in te vullen. Dit meen ik oprecht: voor ik bij dit project betrokken werd, ben ik zelf eens proefpersoon geweest voor de Engelstalige versie van zo’n enquête. Ik weet dus dat het vrij frustrerend kan zijn – al die vragen zonder dat duidelijk wordt wat er eigenlijk getest wordt. Vermoedelijk zijn de deelnemers van dit experiment dus ook nieuwsgierig naar de resultaten. Met wat vertraging vat ik onze bevindingen hier samen.

We deden het experiment eerst in het Engels (waarbij het relatief gemakkelijk is om online genoeg deelnemers te vinden) en daarna in het Nederlands (waarbij ik een beroep deed op mijn bloglezers). De resultaten waren zeer gelijklopend voor beide talen. Voor de eenvoud bespreek ik hier dus enkel het Nederlandstalige gedeelte.

De studie ging over voorwaardelijke zinnen. Voorwaardelijke zinnen hebben de vorm: “Als A, dan B”. Daarbij kunnen er verschillende soorten verbanden bestaan tussen A en B:

  • Het kan zo zijn dat B op een zekere of deductieve manier uit A volgt: als A waar is, dan is het logisch noodzakelijk dat B ook waar is. Het is dan strikt onmogelijk dat B niet waar is, terwijl A waar is (zie waarheidstabel in figuur hieronder). Een voorbeeld: “Als ik mijn paraplu niet meeneem naar het werk, dan kan ik hem ook niet vergeten op kantoor.”
  • Het kan ook zo zijn dat B op een onzekere manier uit A volgt: het is dan mogelijk dat B niet waar is, terwijl A wel waar is. Hierbij onderscheiden we nog twee gevallen:
    • Het kan zo zijn dat B op een inductieve manier uit A volgt: hierbij maakt A het waarschijnlijk dat B. Een voorbeeld: “Als het ’s ochtends regent, dan brengt mijn collega een paraplu mee naar het werk.”
    • Het kan zo zijn dat B op een abductieve manier uit A volgt: hierbij geeft B een (plausibele) verklaring voor A. Een voorbeeld: “Als mijn collega binnenkomt met een natte paraplu, dan regent het buiten.”
Deductie.

Waarheidstabel voor een deductieve voorwaardelijke zin. “Als A, dan B” wordt op deze manier geanalyseerd in de klassieke logica. In de praktijk gebruiken mensen voorwaardelijke zinnen echter ook op andere manieren.

Als A, dan B.We vroegen aan onze deelnemers hoe goed ze vonden dat een bepaalde voorwaardelijke zin uitgesproken kon worden in een bepaald scenario. In het artikel noemen we dit de assertibility: hoe goed de zin ‘bekt’ in die situatie.

Voor je kunt beoordelen of je een voorwaardelijke zin vindt passen bij een situatie of niet, moet je wel iets meer weten over de context. In de bovenstaande voorbeeldzinnen is het onder andere relevant om te weten of die collega al dan niet te voet naar het werk komt en of het iemand is die vaak verstrooid is. De scenario’s waren zo opgesteld, dat de voorwaardelijke zin telkens van een duidelijk type was – wat in het algemeen niet altijd het geval hoeft te zijn – dus duidelijk deductief, inductief, of abductief.

Naast de voorwaardelijke zin, van de vorm “Als A, dan B”, gaven we drie varianten die bepaalde ‘merkers’ bevatten: “Als A, dan zou B moeten”, “Als A, dan moet B” en “Als A, dan waarschijnlijk B”. We vroegen aan onze deelnemers hoe goed ze vonden dat elk van deze vier zinnen gedaan kon worden in een bepaald scenario. We vergeleken de respons voor de varianten met merkers telkens met de score voor de originele zin (“Als A, dan B”). (We hebben ook nog testen gedaan met andere merkers, zoals ‘zal wel’ en ‘moet wel’, dus het is mogelijk dat je zelf een iets andere versie van de enquête hebt ingevuld.)

Hieronder zie je de resultaten weergegeven in een grafiek.

Resultaten van ons experiment.

Dit is een staafgrafiek van de resultaten van het Nederlandstalige luik van ons experiment. We nemen de zin zonder merkers telkens als referentie. (De foutenvlaggen stellen 95% confidentie-intervallen voor.)

In de resultaten merken we dus volgende trends op:

  • waarschijnlijk” geeft het grootste effect (weergegeven in paars): deze merker past goed bij beide types van voorwaardelijke zinnen die een onzeker verband uitdrukken (inductief of abductief) en slecht bij voorwaardelijke zinnen die een zeker verband uitdrukken (deductief).
  • zou moeten” geeft het tweede grootste effect (oranje): deze merker past goed bij voorwaardelijke zinnen die een inductief verband uitdrukken en slecht bij deductieve en abductieve zinnen.
  • moet” geeft het kleinste effect (olijfgroen): deze merker past goed bij voorwaardelijke zinnen die een abductief verband uitdrukken en slecht bij deductieve en inductieve zinnen.

Een kritische stem zou nu kunnen opmerken: “Ja, dat had ik je zo ook wel kunnen vertellen. Waarom heb je hier een experiment voor nodig?” (Achteraf is het altijd gemakkelijk natuurlijk. Zonder eerst naar de resultaten te kijken, lijkt het mij lastig om – bijvoorbeeld – te voorzien dat ‘moet’ het niet zo goed zal doen in een deductieve voorwaardelijk zin dan de referentiezin zonder merker; overigens doet ‘moet’ het wel het minst slecht in dit geval.)

Het antwoord is dat de opdeling in drie soorten voorwaardelijke zinnen, die ik in het begin min of meer als feit heb geponeerd, eigenlijk slechts een theoretisch voorstel is (afkomstig van Igor Douven en Sara Verbrugge in hun artikel “The Adams family” uit 2010). Meestal komen taalfilosofen niet veel verder dan het opstellen van zo’n theorie. Als verschillende onderzoekers verschillende theorieën bedenken, kunnen ze daar hevig over aan het kibbelen slaan. Als wetenschapper interesseert het je echter niet zo zeer wie het hardste kan roepen, maar wil je weten hoe het echt zit. Dan heb je een experiment nodig – zelfs al ben je er quasi zeker van dat je op het goede spoor zit.

In theorie klopt het.

In theorie klopt het al, nu de praktijk nog. (Bron afbeelding.)

Kortom, ons experiment geeft een empirische onderbouwing aan de theorie in het begin van dit bericht, die zegt dat er (minstens) drie types van voorwaardelijke zinnen bestaan. Bovendien maakten we in ons experiment gebruik van zinnen waarbij het duidelijk was om welk type van voorwaardelijke zin het ging, terwijl er “in het wild” vaak mengvormen opduiken. (Dat B een verklaring is voor A, sluit bijvoorbeeld niet uit dat A het ook waarschijnlijk maakt dat B. Abductief en inductief sluiten elkaar dus niet uit.) Je zou dan kunnen nagaan welke van de merkers (‘zou moeten’, ‘moet’, of ‘waarschijnlijk’) mensen in dit soort situaties gebruiken en daaruit besluiten of ze de voorwaardelijke zin (vooral) ervaren als een deductief, inductief, of abductief. Met de kwalitatieve theorie alleen verkrijg je dit soort kwantitatieve informatie niet.

Tot slot nog een reactie op de deelnemers die in het commentaarveld lieten weten dat er twee ‘rare’ vragen tussen zaten. Dit was inderdaad met opzet! Dit soort vragen zijn bedoeld om mensen die onderweg niet meer aandachtig zijn en toch verder klikken eruit te kunnen filteren. Iedereen die er een opmerking over heeft gemaakt, heeft dus sowieso bijgedragen tot de gegevens in bovenstaande grafiek. (Bij de anderen hangt het ervan af hoe ze op deze controlevragen hebben geantwoord.)

[important]Het artikel is verschenen met als titel “Inferential conditionals and evidentiality” in het tijdschrift Journal of Logic, Language and Information (link). Als je interesse hebt om het hele artikel te lezen, maar er geen toegang toe hebt via een universiteitsbibliotheek, stuur me dan gerust een e-mail.[/important]

Nationale WetenschapsQuiz 2013: een tip!

Einstein is klaar voor de Kerst. U toch ook?De eindejaarsfeesten komen eraan en dat betekent dat het bijna tijd is voor de Nationale WetenschapsQuiz (NWQ2013). Deze quiz wordt dit jaar al voor de twintigste keer georganiseerd door de Nederlandse organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek (NWO).

Het is het eerste jaar dat ik kan zeggen dat de quiz door “mijn werkgever” georganiseerd wordt, aangezien NWO sinds het begin van dit jaar mijn onderzoeksbeurs betaalt (waarvoor mijn grote dank, uiteraard). Met de organisatie van de quiz heb ik trouwens niets te maken, dus ik voel me vrij om jullie vandaag een tip te geven.

De vijftien vragen kun je hier lezen en invullen. De antwoorden worden gegeven in de televisie-uitzending op 29 december (om 22u15 op Nederland 2) en de uitleg wordt achteraf ook online gezet. Er is ook een juniorversie met tien andere vragen.

Net als twee jaar geleden geef ik hier een enkele hints voor het oplossen van één van de vragen. Er zijn twee vragen die iets met kansrekening te maken hebben, vraag 6 en vraag 13. Daarvan kies ik de moeilijkste: vraag 13.

Vraag 13
Voor een ziekte waar 1 op de 1000 mensen aan lijdt, is een 99% betrouwbare test ontwikkeld. Wat is de kans dat je ook echt ziek bent als de test dat uitwijst?
Antwoord:

Mijn eerste hint is: vóór je de test doet, heb je een kans van 0,1% om aan de ziekte te lijden (dat is die “1 op de 1000”).

Mijn tweede hint is: stelling van Bayes.

Mijn derde hint is: “Harvard Medical School Test“. Zoek het op (samen met het woord “probability“): er staan heel wat uitgewerkte voorbeelden van dit soort vraagstukken online. Je moet dan enkel nog de getallen van deze opgave invullen en je bent klaar.

Als er nog antwoorden op andere vragen mijn fascinatie wekken, schrijf ik een nabeschouwing, ook net als twee jaar terug. Ik ben alleszins blij dat er een vraag over stuiterdruppels bij zit (vraag 3) en kijk al uit naar de demonstratie daarvan!

Je kunt ook het archief raadplegen met vragen (én antwoorden) uit de eerdere edities.

Aanvulling (januari 2014):

Je kunt de uitzending van de Nationale WetenschapsQuiz 2013 online (her-)bekijken: hier of hier. Het hele archief met uitzendingen van de voorbije jaren vind je hier. De juniorversie vind je hier.

De antwoorden op de NWQ2013 kun je ook nalezen: hier of hier.

Het antwoord op vraag 13 was natuurlijk 9%; meer uitleg vind je hier.

Het antwoord op de andere kansrekeningsvraag vind je hier. (Deze opgave werd trouwens bedacht door prof. Barteld Kooi uit Groningen, evenals de logicavraag.)

O, en de druppeldemonstratie stelde niet teleur! :-)

Symposium ter ere van Clark Glymour

Twee maanden geleden ben ik op congres geweest in Düsseldorf (nee, dit berichtje ging niet over dat congres). Over mijn treinreis – met name de overstap in Keulen – schreef ik eerder al een stukje. Het congres viel tussen mijn twee laatste lessen van Philosophy of Science. Tijd voor een verslag van het congres zelf bleef er toen niet over, maar vandaag maak ik dat goed.

Schloss Mickeln.Midden juni vond er in Düsseldorf een symposium ter ere van Clark Glymour plaats. Professor Glymour doceert filosofie aan de Carnegie Mellon University in Pittsburgh. Van opleiding is hij chemicus en die wetenschappelijke achtergrond is van blijvende invloed in zijn filosofische onderzoek. Hij is vooral bekend vanwege zijn werk rond partiële causatie in Bayesiaanse netwerken.

Het symposium werd georganiseerd door Matthias Unterhuber, Alexander Gebharter en Gerhard Schurz, alle drie verbonden aan het Düsseldorf Center for Logic and Philosophy of Science (DCLPS) van de Heinrich Heine Universität Düsseldorf.

Ik reisde op donderdag 13 juni af naar Düsseldorf om er de avondlezing “Brain troubles” van Clark Glymour bij te wonen. Hij sprak over de hersenen, maar ook weer niet… Hij beschouwde de hersenen grotendeels als een ingewikkelde machine, waarvan je de werking kunt proberen achterhalen door fysiologische metingen te doen. Hij besprak algoritmes om de gegevens van functionele MRI (fMRI) te analyseren, waarbij de door hem ontwikkelde causale netwerken een belangrijke rol spelen.

Na de lezing gingen de deelnemers aan het symposium samen eten. Clark Glymour zat ongeveer in het midden van het hele gezelschap en sloeg met iedereen een praatje, ook met de studenten en de diensters. Wie hem ooit in het echt heeft gezien, weet dat hij nooit verlegen zit om een anecdote, een grapje, of een kwajongensverhaal. En dat hij sigaren rookt en van vrouwen houdt. Sommige van zijn gewoontes stammen uit een andere tijd (vóór de term “politiek correct” uitgevonden was) – verfrissend ouderwets in 2013. :-)

Voor alle sprekers was er een kamer geboekt in een hotel van de universiteit. Ik verwachtte dus een spartaans kamertje in een betonnen blok, maar de lange oprijlaan bleek naar een wit kasteeltje (Schloss Mickeln) te leiden. Omdat ik niet vooraf was gaan inchecken, had de aankomst een extra spelelement: eerder die avond had ik van de organisatoren een code gekregen van een kluisje waar mijn sleutel in zou zitten. Op het blad met de code stond dat het kluisje aan de oostkant van het gebouw zat. Ze hadden me beter verwittigd dat ik een kompas moest meebrengen, want ik navigeer meestal op de zon, maar die was natuurlijk al onder. ;-)
De kamers waren veel ruimer en mooier dan nodig, de internetverbinding was snel genoeg om even naar huis te Skypen en ik had een kamer op de bovenste verdieping, dus ik sliep er heerlijk rustig.

Op vrijdag 14 juni waren er presentaties van uitgenodigde sprekers. Alle praatjes gingen in op een onderwerp waar Glymour aan gewerkt heeft; aan het einde gaf hij telkens een reactie en daarna konden er vragen gesteld worden.

De eerste drie sprekers hadden het over causaliteit: Gerhard Schurz en Alexander Gebharter presenteerden een logische analyse van oorzakelijkheid, Frederick Eberhardt ging verder in op de zoekalgoritmes voor oorzaken in Bayesiaanse netwerken (zoals die ook in de avondlezing aan bod waren gekomen) en Vera Hoffmann-Kolss gaf een presentatie over de metafysica van causatie en intuïties over oorzaken. Matthias Unterhuber ging in op een ander aspect van Glymours werk: formal learning en het verband met het vinden van natuurwetten.

Presentatie op het congres.

Tijdens mijn presentatie. (Bron foto.)

In mijn eigen presentatie had ik het over het probleem van oude aanwijzingen (problem of old evidence). Glymour schreef hierover toen ik nog in de luiers zat: in zijn boek “Theory and Evidence” uit 1980 besprak hij verschillende tekortkomingen van de Bayesiaanse wetenschapsfilosofie. Het probleem van de oude aanwijzingen is een conflcit tussen (a) beschrijvende, historische voorbeelden en (b) de Bayesiaanse theorie:

  • (a) In de praktijk kunnen oude metingen nieuwe theorieën bevestigen; zo bevestigden circa 100 jaar oude gegevens over de precessie van het perihelium van Mercurius de algemene relativiteitstheorie van Einstein.
  • (b) In het Bayesiaans formalisme kan een oud gegeven geen confirmatie leveren voor een nieuwe theorie: eens een waarneming gebeurd is, moeten alle kanstoekenningen daaraan worden aangepast; als je de oude waarnemingen later nogmaals in rekening wil brengen, verandert er niets meer aan de kansen van theorieën en gaat er dus ook geen bevestigende werking van uit.

Samen met Jan-Willem Romeijn werk ik aan een stuk over dit onderwerp, waarbij we vooral ingaan op de moeilijkheid om nieuwe theorieën in een Bayesiaans formalisme in te passen.

Voor wie er het fijne van wil weten: hieronder zie je de video-opname van mijn presentatie, met de reactie van Clark Glymour achteraf. (Op de conferentie-website kun je ook de video’s van andere sprekers bekijken.)

De laatste halve dag van het symposium, op zaterdag 15 juni, heb ik – in het kader van werk-gezins-balans – niet bijgewoond. Hierdoor heb ik de bijdragen gemist van Paul Näger, York Hagmayer en Conor Mayo-Wilson.

Groepsfoto van het symposium.

Groepsfoto van de deelnemers aan het symposium. (Bron foto.)

De kleur van het toeval is rood

God dobbelt niet, maar de oude rechter uit de film Rouge glimlacht als hij een munt opgooit.Iets te laat voor de Franse feestdag (14 juli): enkele bedenkingen bij het drieluik “Troi couleurs” van de (in 1996 overleden) Poolse regisseur Krzysztof Kieślowski, die bestaat uit Bleu, Blanc en Rouge – de drie kleuren van de Franse vlag.

Hoewel Bleu te emotioneel was naar mijn smaak (hier een compilatie van scènes), ben ik toch blijven kijken. Blanc was eerder tragikomisch, wat me al beter beviel. En Rouge had ik zeker niet willen missen. Die laatste film is ook de meest optimistische van de drie.

Wat ook leuk is als je het hele drieluik bekijkt, is dat je naar verbanden tussen de films kunt zoeken. Op het einde van Rouge worden personages uit alle drie de delen expliciet met elkaar verbonden, maar er zitten ook subtielere kruisverwijzingen in. Iets dat me was opgevallen was de oudere medemens die moeite heeft om iets in de afvalcontainer te gooien, omdat het gat te hoog zit. (Hier de betreffende scènes uit Bleu, Blanc en Rouge.)

Er gebeuren rare dingen in alle films, maar nergens gaat het zo duidelijk over de rol van het toeval in ons leven als in Rouge. Om dat duidelijk te maken, hier twee fragmenten:

In het eerste fragment luistert Joseph Kern een gesprek af tussen zijn buurvrouw Karin en haar vriend Auguste Bruner, terwijl Valentine Dusseau vooral probeert om niet te luisteren. Auguste moet eigenlijk studeren voor zijn examen, maar wil ook gaan bowlen met zijn vriendin. Hij stelt voor dat zij een muntstuk op zal gooien: kop (‘face‘) is studeren, munt (‘pile‘) is bowlen. Ondertussen gooit Joseph zelf een stuk op en hij gooit munt. Aangezien we normaal veronderstellen dat muntworpen onafhankelijke gebeurtenissen zijn, is zijn glimlach – alsof hij al weet dat ook Karin munt zal gooien – mysterieus.

In het tweede fragment haalt Joseph een herinnering op aan een boek dat openviel op het onderwerp dat op het examen ter sprake zou komen. Eerder in de film overkomt Auguste hetzelfde: zijn codex valt open open een zekere pagina, die hij instudeert, waardoor hij slaagt voor zijn examen en rechter wordt.

Misschien is de oude rechter een verpersoonlijking van het toeval zelf? Of is het accurater om te stellen dat hij de gebeurtenissen stuurt die voor de andere personages in de film slechts toeval lijken?

De analyse van Greggory Moore suggereert dat Joseph Kern de verpersoonlijking is van de regisseur, Krzysztof Kieślowski. Dit vind ik heel plausibel: als kunstenaar is hij als een god in zijn zelf-gecreëerde universum.

Naar verluidt dobbelt god niet, maar is dat enkel omdat hij de uitkomst al weet, of omdat hij muntworpen prefereert? ;-)

De paradox van de Schone Slaapster (deel 3)

Doornroosje in de versie van Disney.In dit bericht schrijf ik verder aan mijn mini-serie over de paradox van de Schone Slaapster (deel 1, deel 2). In dit deel zet ik het verband met de doosjes-paradox van Bertrand in de verf.

Als opfrissing herhaal ik eerst de originele doosjes-paradox. Daarna introduceer ik twee varianten erop en leg ik uit hoe die samenhangen met de paradox van de Schone Slaapster.

 

De originele doosjes-paradox: drie doosjes

[important]

Er zijn drie doosjes met in elk ervan twee munten: eentje met twee zilveren munten, eentje met een gouden en een zilveren munt en eentje met twee gouden munten.

Je neemt een willekeurig doosje en daaruit neem je een willekeurige munt. Dit blijkt een gouden munt te zijn.

De vraag is: wat is nu de kans dat de andere munt ook goud is?

[/important]

Je kunt twee antwoorden beargumenteren (1/3 en 2/3), maar er is er maar eentje juist (2/3). Lees mijn eerdere bericht hierover als je de juiste redenering niet (meer) weet.

Dit lijkt al vaag op de paradox van de Schone Slaapster, maar om het verband nog duidelijker te maken, heb ik een variant van de doosjes-paradox bedacht.

Eerste variant van de doosjes-paradox: twee doosjes

[important]

Er zijn nu slechts twee doosjes met in elk ervan twee munten: eentje bevat twee gouden munten en eentje bevat een gouden en een zilveren munt.

Je neemt een willekeurig doosje en daaruit neem je een willekeurige munt. Dit blijkt een gouden munt te zijn.

De vraag is: wat is nu de kans dat de andere munt niet van goud is?

[/important]

Je kunt twee antwoorden beargumenteren (1/2 en 1/3), maar er is er maar eentje juist (1/3).

Hierbij zijn de concurrerende opties hetzelfde als bij de paradox van de Schone Slaapster en ook het juiste antwoord is hetzelfde.

Volgens sommige auteurs gaat de paradox van de Schone Slaapster essentieel om ‘de se‘ geloofsovertuigingen: graden van geloof die betrekking hebben op de persoon zelf. In mijn vorige post ging ik ook deze kant op, toen ik uitlegde dat de situatie voor de heks fundamenteel anders is dan die voor de Schone Slaapster. (De heks kan terecht zeggen “Doornroosje slaapt”, maar Doornroosje kan nooit naar waarheid zeggen “Ik slaap”.)

Aangezien de structuur van bovenstaande twee-doosjes-puzzel volledig analoog is aan die van de Schone Slaapster, zou je kunnen zeggen dat die laatste paradox toch niet essentieel over de se overtuigingen gaat.

Als Doornroosje maar beseft dat ze nooit kan vaststellen “Ik slaap”, dan heeft ze de sleutel tot de oplossing van haar paradox in handen. Stel dat we afspreken dat goud staat voor “Doornroosje is wakker” en dat zilver staat voor “Doornroosje slaapt”, dan verandert dat op zich niets aan de uitkomsten van de puzzel – zelfs niet als je Doornroosje heet. Ook als je weet dat het experiment vroegtijdig wordt afgebroken als de eerste munt een zilveren munt blijkt te zijn (en je deze dus nooit bij aanvang te zien kunt krijgen), verandert dat niets aan het antwoord op bovenstaande vraag, die immers enkel van toepassing is als de eerste munt goud is.

Tweede variant van de doosjes-paradox: de ontbrekende munt

[important]

Er zijn opnieuw twee doosjes: eentje met twee munten erin en eentje met slechts één munt erin.

Je neemt een willekeurig doosje en daaruit neem je een willekeurige munt.

De vraag is: wat is nu de kans dat er geen tweede munt in het doosje zit?

[/important]

Opnieuw kun je twee antwoorden beargumenteren (1/2 en 1/3), maar er is er maar eentje juist (1/2).

Deze puzzel lijkt analoog aan de paradox van de Schone Slaapster, maar is het niet.

Deze tweede variant zal koren op de molen zijn van mensen die nog steeds denken dat het antwoord op de Schone Slaapster paradox ook 1/2 is. Dus, oeps, waarom schrijf ik dit eigenlijk op?! Ah ja, om te proberen uitleggen waarom dit zowel plausibel lijkt als fout is. :-)

• Eerst waarom het zo plausibel lijkt:

De schijnbare analogie komt door de gelijkenis tussen de afwezigheid van een tweede munt enerzijds en de afwezigheid van zelfbewustzijn bij het slapende Doornroosje anderzijds.

• En nu waar het mis gaat:

Om deze tweede variant correct aan de paradox van de Schone Slaapster te linken, moet je echter een andere vraagstelling hebben: je hebt twee gouden munten en één zilveren munt, waarvan je een willekeurige munt neemt. Wat is dan de kans dat het een zilveren munt is? Het antwoord is dan opnieuw 1/3, net als bij de ‘paradox’ van de Schone Slaapster.

Waarom dit de juiste werkwijze is als je maar drie munten hebt: (her-)lees daarvoor de uitleg over de gereduceerde kansruimte in mijn vorige bericht (zie met name Figuur 1 en Figuur 3).

Zolang je vier munten hebt – drie gouden die overeenkomen met waken en één zilveren die overeenstemt met slapen – zit je niet in de gereduceerde kansruimte. Je kunt trouwens ook in beide doosjes 46 extra zilveren munten stoppen. De relevante kans – namelijk de kans dat er niet nog een gouden munt in het doosje zit, gegeven dat je er al één gouden uit hebt getrokken – blijft daarbij gelijk. De analogie met de niet-gereduceerde kansruimte (in Figuur 2 bij mijn vorige bericht) is daarmee compleet.

Dus, de moraal van dit verhaal is: slapen is zilver en waken is goud. Carpe noctem! :-)

Wordt verwacht: vierde en laatste deel van deze reeks, over de oorsprong van deze inspirerende paradox.

De paradox van de Schone Slaapster (deel 2)

Doornroosje in de versie van Disney.Een tijd geleden had ik het over de paradox van de Schone Slaapster, een probleem over rationele graden van geloof. Ik had toen beloofd om een vervolg te schrijven. Dat heeft even op zich laten wachten, maar hier is het dan toch!

Uit het eerste deel herhaal ik de opgave:

[important]

De Schone Slaapster zal weldra in slaap worden gebracht door een heks. Het meisje zal daarna twee dagen slapen. In die tijd zal de heks haar voor één of twee korte perioden wekken. Zodra Doornroosje slaapt, zal de heks namelijk een eerlijk muntstuk opgooien: als het kop is, wekt ze het meisje één keer; als het munt is, doet ze dit twee keer. Na zo’n wekmoment dient de heks een gif toe aan Doornroosje, waardoor die zich niet zal kunnen herinneren dat ze wakker is geweest. De Schone Slaapster is zelf ook op de hoogte van wat er gaat gebeuren.

Stel nu dat de Schone Slaapster juist gewekt is. Ze kan nergens uit afleiden of dit de eerste of de tweede maal is. Wat is nu de kans die de Schone Slaapster moet toekennen aan de mogelijkheid dat de muntworp in kop is geëindigd?

[/important]

Dit probleem wordt vaak uitgelegd aan de hand van een tabel (bijvoorbeeld hier en hier), waarvan ik in Figuur 1 mijn eigen versie weergeef. Deze tabel is zeker een nuttig geheugensteuntje: je ziet in één oogopslag dat Doornroosje twee keer gewekt zal worden als de muntworp in munt eindigt en één keer als het kop is.

De paradox van de Schone Slaapster.

Figuur 1: De paradox van de Schone Slaapster wordt vaak uitgelegd aan de hand van een 2×2 tabel.

Toch kun je je afvragen of deze voorstelling niet misleidend is: wiskundig gezien gebeurt kansrekening immers niet aan de hand van tabellen, maar door het opstellen van een kansruimte of uitkomstenruimte. (De puzzel gaat weliswaar over Doornroosjes graden van geloof, maar om rationeel te zijn, zo stellen Bayesianen voorop, moeten deze graden van geloof wél aan de wetten van de kansrekening voldoen. Een wiskundige aanpak is hier dus zeker op zijn plaats.)

Goed, laten we eens de volledige kansruimte opstellen en nagaan hoe die zich verhoudt tot de tabel in Figuur 1.

De muntworp kan kop of munt zijn en dit met gelijke (absolute) kansen: de kansruimte zal dus alvast uit deze twee delen bestaan.

In beide gevallen zal Doornroosje hoofdzakelijk slapen en slechts één of twee keer kort gewekt worden. Elke dag bestaat uit 24 uur. Laat ons aannemen (*) dat Doornroosje telkens als ze gewekt is precies een uur wakker is. Als het munt is, heeft Doornroosje dus een kans van 2/48 om wakker te zijn op een gegeven uur in de loop van de twee dagen dat haar toverslaap duurt. Als het munt is, is die kans 1/48. En globaal gesproken (los van de uitkomst van de muntworp) is de a priori kans om op een zeker uur wakker te zijn 3/96.

Toelichting bij (*): Hoewel ik een wiskundig model wil opstellen, betekent dit niet dat er maar één unieke manier is om dit te doen. Wel verwacht ik dat uit elk correct opgesteld model dezelfde conclusies volgen over wat de kans is die Doornroosje moet toekennen aan de mogelijkheid dat de muntworp kop was op het moment dat zij gewekt wordt. De bovenstaande keuze (dat de waakmomenten exact een uur duren), zal inderdaad van geen enkel belang blijken te zijn bij het berekenen van de uiteindelijke kans. (Ik had ook minuten kunnen kiezen, maar dan werden de vakjes in mijn figuur te klein.)

Dit leidt tot de kansruimte in Figuur 2: hierin zie je elke mogelijke combinatie van munt of kop, met elk uur van de twee dagen, waarin Doornroosje slaapt of wakker is.

De kansruimte voor het probleem van de Schone Slaapster.

Figuur 2: De volledige kansruimte voor het probleem van de Schone Slaapster. De exacte positie van de vakjes waarin Doornroosje wakker is, doet er niet toe – enkel dat het er links twee zijn en rechts één. Als je aanneemt dat de heks Doornroosje op welbepaald uur wekt, volstaat dit. Als je aanneemt dat de heks Doornroosje op een willekeurig moment wekt, moet je eigenlijk nog veel meer roosters toevoegen aan de kansruimte, om alle mogelijke wekmomenten voor te stellen, maar voor de uiteindelijke berekening maakt dat geen verschil.

Wanneer Doornroosje in de loop van die twee dagen wakker is, weet ze al dat ze niet slaapt. (Deze mededeling werd mede mogelijk gemaakt door Kapitein Overduidelijk.) Ze mag daarom al 95 vakjes uit de uitkomstenruimte schrappen: ze conditionaliseert daarmee op het feit dat ze wakker is. Dit leidt haar naar de gereduceerde kansruimte in Figuur 3.

De lege ruimte tussen de vakjes bevat nu geen mogelijke uitkomsten meer; die zijn geschrapt tijdens het conditionaliseren. Doornroosje kan dus in de plaats van Figuur 3 net zo goed Figuur 1 gebruiken om de gevraagde kans te bepalen. Het voordeel aan Figuur 3 is enkel dat het duidelijker is wat de link is met de grotere kansruimte in Figuur 2 (namelijk dat je via conditionaliseren van 2 naar 3 kunt overgaan).

Doornroosje weet niet of de muntworp munt of kop was en ook niet welke dag het is. Ze kan zich dus in eender welk van de drie mogelijkheden van de gereduceerde kansruimte bevinden en al deze mogelijkheden hebben bovendien dezelfde kans. (Dat moet je eigenlijk apart beargumenteren, want als deze stap niet klopt loop je het risico op een Bertrand-paradox, maar dat sla ik hier voor het gemak even over.) Binnen deze gereduceerde ruimte is de kans 1/3 dat de muntworp kop was.

Maar deze kans kun je ook rechtstreeks aflezen aan de hand van Figuur 2. Binnen de oorspronkelijke kansruimte is het bovendien gemakkelijker om in te zien dat de drie mogelijkheden waarbij Doornroosje wakker is, inderdaad elk een gelijke kans hebben.

Er is geen tegenspraak tussen een absolute kans P( kop ) = 1/2 en een voorwaardelijke kans van P( het was kop | Doornroosje is wakker) = 1/3 (waarbij je de verticale streep leest als “gegeven dat”). In de opgave wordt naar de tweede, voorwaardelijke kans gevraagd.

De kansruimte voor het probleem van de Schone Slaapster, gereduceerd.

Figuur 3: De kansruimte voor het probleem van de Schone Slaapster, gereduceerd tot de mogelijkheden waarbij Doornroosje wakker is.

Je kunt dit duidelijker maken door het oorspronkelijke probleem te vereenvoudigen: als het munt is wordt Doornroosje één keer gewekt, als het kop is helemaal niet. En je kunt dit nóg duidelijker maken door het scenario iets wreder te maken: als het munt is blijft Doornroosje leven, als het kop is doodt de heks haar. Het zou dan glashelder moeten zijn dat na de worp geldt dat P( het was munt | Doornroosje leeft) = 1 en P( het was kop | Doornroosje leeft) = 0, maar dat dit niet in tegenspraak is met P( munt ) = P( kop ) = 1/2.

De heks uit Doornroosje in de versie van Disney.Merk op dat de heks zich in een andere situatie bevindt dan Doornroosje: zij weet natuurlijk of de muntworp in kop of munt geëindigd is, maar zelfs als ze dit zou vergeten (bijvoorbeeld doordat ze per ongeluk een slokje van haar eigen toverdrank neemt) blijft de situatie voor haar overzichtelijker. Voor haar is de kansruimte van Figuur 2 het meest relevant. De heks kan Doornroosje immers altijd zien, zowal als het meisje slaapt als wanneer ze wakker is. Stel dat de heks op een willekeurig uur gaat kijken of het meisje wakker is. De kans is dan het grootste dat ze Doornroosje zal zien slapen (93/96 kans dat ze slaapt en slechts 3/96 dat ze wakker is), maar de kans dat ze slaapt is toch nog net iets groter als het kop was (47/48) dan als het munt was (46/48). De heks kan dus zelfs uit het slapen van Doornroosje (een klein beetje) informatie halen, hetgeen Doornroosje zelf niet kan.

Als de heks Doornroosje wakker aantreft, weet ze – aan de hand van Figuur 2 – dat de kans dat het kop was (1/96) / (3/96) = 1/3 is.

Daarom stel ik me voor dat de heks als volgt zou reageren op de verwarring, die in de filosofische literatuur nog steeds heerst omtrent deze puzzel:

Fools!

De heks Malafide roept: “Dwazen!’

Zo, en nu ben ik nog steeds niet helemaal uitverteld over deze paradox! Misschien komt er nog een derde deel (waarin ik de link met de Bertrand-paradox nader toelicht) en wie weet zelfs een vierde deel (over de oorsprong van de paradox), maar beloven durf ik het deze keer niet. Bepaal dus zelf welke graad van geloof je hieraan wenst te hechten. :-)

De paradox van de Schone Slaapster (deel 1)

Doornroosje in de versie van Disney.Jullie kennen vast het sprookje van de Schone Slaapster (“La belle au bois dormant” in de versie van Perrault), ook bekend als Doornroosje (“Dornröschen” in de versie van de gebroeders Grimm). Maar kennen jullie ook de paradox van de Schone Slaapster? De Sleeping Beauty paradox is een probleem uit de filosofie van de kansrekening. Ik heb nu twee jaar na elkaar een vak gegeven dat “Philosophy of Probability” heet. Studenten moeten hier elk vier essays voor schrijven. Ze krijgen een lijst met mogelijke essayvragen en daarnaast mogen ze ook zelf onderwerpen voorstellen. Vorige keer schreef ik al dat de studenten heel uiteenlopende onderwerpen kiezen. Op deze regel is er één uitzondering: bij de derde opdracht staat de paradox van de Schone Slaapster namelijk ook op de lijst en dat is veruit het populairste onderwerp. Hoog tijd dus voor een kennismaking.

[important]

De Schone Slaapster zal weldra in slaap worden gebracht door een heks. Het meisje zal daarna twee dagen slapen. In die tijd zal de heks haar voor één of twee korte perioden wekken. Zodra Doornroosje slaapt, zal de heks namelijk een eerlijk muntstuk opgooien: als het kop is, wekt ze het meisje één keer; als het munt is, doet ze dit twee keer. Na zo’n wekmoment dient de heks een gif toe aan Doornroosje, waardoor die zich niet zal kunnen herinneren dat ze wakker is geweest. De Schone Slaapster is zelf ook op de hoogte van wat er gaat gebeuren.

Stel nu dat de Schone Slaapster juist gewekt is. Ze kan nergens uit afleiden of dit de eerste of de tweede maal is. Wat is nu de kans die de Schone Slaapster moet toekennen aan de mogelijkheid dat de muntworp in kop is geëindigd?

[/important]

De heks uit Doornroosje in de versie van Disney.Laat me nog even toelichten dat deze puzzel van de Schone Slaapster optreedt in de context van een bepaalde interpretatie van kansen: namelijk kansen als “rationele graden van geloof”. De vraag komt dus hierop neer: in welke mate mag de Schone Slaapster – op het moment dat zij gewekt wordt – geloven dat de muntworp kop is geworden? Wat is er rationeel om te geloven voor iemand in haar situatie?

Denk gerust even na over je eigen antwoord en lees dan verder na de vouw.

(meer…)

Plagiaatscanner

Aan de Rijksuniversiteit Groningen wordt een plagiaatscanner gebruikt.Over enkele uren – klokslag middernacht – verstrijkt voor mijn studenten van het vak “Philosophy of Probabilityde deadline voor hun vierde en laatste essayopdracht. Ik ben elke keer nieuwsgierig naar wat ze inleveren. Het zijn allemaal Master-studenten, maar sommigen hebben filosofie gestudeerd, terwijl anderen een achtergrond hebben in de wiskunde (met name kunstmatige intelligentie). Dit levert zeer gevarieerde onderwerpkeuzes op, wat het voor mij natuurlijk des te aangenamer maakt om alles na te lezen.

Aan de Rijksuniversiteit Groningen wordt Nestor als elektronisch leerplatform gebruikt. (Nestor draait op de software van Blackboard, die aan veel universiteiten gebruikt wordt.) Voor mijn cursus gebruik ik het e-platform vooral om presentaties en handouts te archiveren, zodat de studenten mijn dia’s rustig kunnen herbekijken. Ook beschikken de deelnemers die helemaal niet aanwezig kunnen zijn bij een les zo toch over al het gebruikte materiaal.

Sinds dit jaar vraag ik mijn studenten om hun schrijfopdrachten via Nestor in te leveren. Dit betekent onder andere dat mijn mailbox nu niet langer overspoeld raakt bij elke deadline. Enkel dringende vragen komen nog in mijn inbox terecht, zoals wanneer een student twijfelt of een bepaald onderwerp wel voldoende aansluit bij de huidige schrijfopdracht. Intussen staan de al ingeleverde taken rustig op een rij te wachten om door mij beoordeeld te worden.

Via dit systeem gaan de ingestuurde teksten bovendien door een plagiaatscanner (van Ephorus), waarvan ik dan automatisch een rapport te zien krijg. De plagiaatscanner wordt vooral gebruikt als preventieve maatregel: plagiaat ontmoedigen door studenten het gevoel te geven van een grote pakkans. Dat neemt echter niet weg dat de scanner het prima doet, want hij pikt citaten en referenties, die uiteraard ook in andere bronnen voorkomen maar geen plagiaat zijn, er feilloos uit. Gelukkig heb ik tot nu toe nog niemand op echt plagiaat kunnen betrappen.

Wat preventieve maatregelen betreft, doet de universiteit van Bergen het ook niet slecht. Zij lanceerde (in 2010 al) onderstaand filmpje “Et Plagieringseventyr“: “Een plagiaatavontuur”, een kerstvertelling in de stijl van Dickens met Engelstalige ondertitels.

Vannacht zwengel ik de plagiaatscanner dus nog één keer aan. Laat ons hopen dat ik daarna niet wordt bezocht door de geesten uit bovenstaand filmpje.

Kleine publicatie over grote loterijen

Een zonnige dag in Brussel.Deze publicatie verscheen eind vorig jaar al, maar is toen tussen de mazen van het blognet geglipt. In dit korte artikel – dat ook als vierde hoofdstuk in mijn proefschrift voorkomt – vergelijk ik het probleem van de oneindige loterij met de loterijparadox, die optreedt bij een grote maar eindige loterij. Het artikel staat in een boekje dat de proceedings bevat van de “Second Young Researchers Day” (YRD II) voor logica, wetenschapsgescheidenis en -filosofie, die in september 2010 werd gehouden in het Paleis der Academieën in Brussel. (Het was een zonnige dag, zoals je op de kleine foto ziet.)

YRD II Proceedings.

Proceedingsbijdrage: “Ultralarge and infinite lotteries“.

O ja: natuurlijk wens ik aan al mijn bloglezers een vrolijk Pasen.