Tag Archief: kansrekening

Verslag München – deel 2

Vorige week was ik in München, op congres met uitzicht op dit paleis.Na het fotoverslag van mijn vrije dag in München krijgen jullie vandaag te horen wat ik daar de rest van de week gedaan heb tijdens de Formal Epistemology Workshop (FEW), die plaatsvond aan het Munich Center for Mathematical Philosophy (MCMP).

De lezingen gingen over onderwerpen zoals het modelleren van kennis, het analyseren van argumenten, het selecteren van wetenschappelijke theorieën, het herzien van waarschijnlijkheden en het kwantificeren van risico.

Voor mij waren dit enkele blikvangers:

  • De presentatie van Alan Hájek en de aansluitende commentaren van Thomas Hofweber, omdat deze gingen over infinitesimale kansen en “regularity” (waar ik zelf ook onderzoek naar doe). Natuurlijk kun je ook gewoon de artikels van deze mensen lezen, maar de meerwaarde van zo’n congres is juist dat je achteraf uitgebreid met hen van gedachten kunt wisselen.
  • Mee mogen doen aan een experiment. Ik riep jullie pas nog op om een vragenlijst in te vullen (dat mag trouwens nog steeds, we laten het experiment nog even openstaan!), maar af en toe is het goed om eens aan de andere kant te zitten. Als ik het goed begrepen heb, gaan de verzamelde gegevens helpen om koala’s te redden in Australië… Ace!
  • Tijdens het conferentiediner aan tafel zitten met Richard Dawid en zo uitgebreid kunnen praten over fysica en filosofie met – vermoedelijk – de eerste filosoof van de supersnarentheorie ter wereld.
  • Dat Rohit Parikh er ook weer bij was, even oplettend als altijd: als iemand een voorbeeld presenteert waarbij de kansen niet sommeren tot één, kun je er vanop aan dat hij dat als eerste gezien heeft en dat ook meteen zal melden, maar wel met een glimlach. :-)
  • Het gevoel hebben dat ik toch al best veel mensen begin te kennen in mijn nieuwe vakgebied.
  • Warme lunch ’s middags en gebak tijdens de pauze. Ja, sorry, van al dat praten en luisteren krijgt een mens honger! ;-)

Ik heb me laten vertellen dat er in totaal een tachtigtal deelnemers waren, maar natuurlijk bleef niet iedereen er de hele week. Hieronder zie je de groepsfoto. Zelf sta ik helemaal links op de foto, naast Alan Hájek. (Als je wil weten wie de andere mensen zijn, moet je de originele foto maar opzoeken op de Facebook-pagina van het MCMP, waar de meesten getagd staan.)

Groepsfoto FEW 2012.

Groepsfoto FEW 2012 (via http://www.facebook.com/lmu.mcmp).

Naast de gewone lezingen waren er ook tutorials: langere uiteenzettingen over één onderwerp, waarbij het de bedoeling is dat de spreker niet enkel over eigen onderzoek praat, maar een overzicht geeft over een onderwerp. Een soort mini-cursus, dus. Jeff Paris, professor in de wiskundige logica aan de Universiteit van Manchester, gaf twee tutorials over inductieve logica. Op de foto hierboven zie je hem helemaal rechts (met het groene tasje). Ik ontmoette Jeff voor het eerst tijdens het congres “Progic” in New York vorig jaar, dus ik wist al dat zijn sessies over logica niet alleen degelijk zouden zijn, maar ook aangenaam om te volgen vanwege zijn goed gevoel voor (Engelse) humor – wat wil een mens nog meer? :-)

Ik hou van infinitesimalen en die kun je voorstellen met hyperreële getallen.Zelf gaf ik twee tutorials over hyperreële getallen en hun toepassingen. Op de eerste dag legde ik uit wat niet-standaard modellen van de rekenkunde en van reële velden zijn. Dan lichtte ik toe wat de ster-functie is en wat het Transfer principe inhoudt; hiervoor maakte ik gebruik van een analogie met de sciencefiction-reeks Fringe. Ik gaf ook een beknopt overzicht van de geschiedenis van de differentiaalrekening. Die eerste dag eindigde ik met onderstaand filmpje van Vi Hart, waarin ze tien bewijzen geeft voor het feit dat het reële getal 0,999… (met oneindig veel decimalen gelijk aan negen) gelijk is aan 1. Daarin geeft ze namelijk ook aan dat hyperreële getallen iets kunnen zeggen over de intuïtie dat 0,999… een infinitesimaal kleiner zou zijn dan 1 en dat vormde een mooi brugje naar mijn volgende tutorial. (Met dank aan Florian Steinberger van de plaatselijke organisatie om me te helpen met het geluid in de zaal in München.)

De tweede dag begon ik met de constructie van de reële en de hyperreële getallen uit oneindige rijen van rationale getallen (breuken). Daarna konden we aan het echte werk beginnen: toepassingen van hyperreële getallen die nuttig zijn in de formele epistemologie en in de wetenschapsfilosofie. Hierbij besprak ik mijn eigen onderzoek naar oneindig kleine kansen, waarop ik achteraf veel positieve reacties kreeg. Als afsluiter besprak ik bestaande toepassingen van hyperreële getallen in de fysica en het mogelijke belang hiervan voor de wetenschapsfilosofie – een onderwerp waar ik me de volgende jaren verder in wil verdiepen.

Een niet-standaard draak.Er kwamen tijdens mijn lezing ook enkele afbeeldingen van draken in beeld, die natuurlijk 100% educatief verantwoord waren. Eén professor, die eerst een serieuze vraag had gesteld, merkte daarna ook nog op dat er iets mis was met de anatomie van één van de draken: “Het lijkt of zijn beide vleugels uit dezelfde schouder komen”. Daarop antwoordde professor Hannes Leitgeb (directeur van het MCMP): “Het is dan ook een niet-standaard draak.” Verder heb ik het verhaal van hoe een rups een vlinder wordt gebruikt als analogie om het verband uit te leggen tussen het standaard en niet-standaard model van de rekenkunde. Hierdoor kwam ik achteraf aan de weet dat Jeff Paris zelf vlinders en motten houdt en dus als één van de weinige aanwezigen wist wat er gebeurt in de pop van een vlinder. Op voorhand vreesde ik dat sommige van mijn voorbeelden iets te kleurrijk, frivool of fantasierijk zouden zijn, maar blijkbaar kan de gemiddelde formeel epistemoloog daar wel tegen. :-)

Aanvulling (14 juni 2012):

De pdf-bestanden van mijn presentatie staan online (deel 1 en deel 2). De bijbehorende tekst van mijn minicursus is hier beschikbaar. Ook de slides en teksten van alle andere sprekers staan online gearchiveerd op de website van de workshop – alles natuurlijk in het Engels.

Trivia: Voor zo ver ik weet, werd er voor het eerst live getweet over een lezing die ik gaf. Die moderne tijden toch!

Doe mee aan een filosofie-experiment!

Je kunt ons helpen door een vragenlijst in te vullen.Door deze online vragenlijst in te vullen, kun je mij en mijn collega’s helpen. Ik mag op voorhand niet vertellen wat we precies proberen te achterhalen met dit experiment. Laat gerust een reactie achter als je er nieuwsgierig naar bent, dan zal ik de resultaten, gebaseerd op jullie antwoorden, hier na afloop samenvatten.

De archetypische filosoof zit in zijn zetel na te denken. Het enige dat hij onderzoekt zijn zijn eigen intuïties, maar niets garandeert dat deze intuïties overeenkomen met iets in de wereld daarbuiten. In het nieuwe millennium zijn er gelukkig ook andere manieren om aan wijsbegeerte te doen. In dit stukje bespreek ik drie trends naar een wetenschappelijkere aanpak van de filosofie.

Wie denkt dat filosofen niet uit hun zetel te branden zijn, heeft duidelijk nog nooit van X-Phi gehoord.(1) Wie denkt dat filosofen niet uit hun zetel te branden zijn, heeft duidelijk nog nooit van X-Phi gehoord. Ik schreef eerder al over experimentele filosofie, in dit stukje. Mijn oproep van vandaag om deel te nemen aan onze vragenlijst kadert duidelijk ook in deze trend: methodes uit de experimentele psychologie gebruiken om filosofische vragen te beantwoorden.

Achteraf moeten alle resultaten statistisch geanalyseerd worden, voor ze in een artikel gegoten kunnen worden. In de natuurwetenschappen krijgen studenten practica, waarbij ze hun eerste ervaring opdoen met dataverwerking; ook in de opleiding psychologie gaat er veel aandacht uit naar statistiek, maar in de lessen wijsbegeerte is er nog niet veel aandacht voor. Zo komt mijn ervaring met dataverwerking in de natuurwetenschappen dus nog goed van pas nu ik aan een filosofische faculteit werk.

De experimentele filosofie heeft zelfs een eigen strijdlied met als refrein:

Let’s take it to the streets
To the parks, to every strip mall parking lot
Let’s take it back to the primary source
And find out who we really are
X-phi!

In de bijbehorende clip zien we de oude denkzetel branden.

Computersimulaties worden in de wetenschappen al lang als aanvulling gebruikt op labo-experimenten, maar kunnen ze in de filosofie ook een alternatief bieden voor gedachte-experimenten?(2) Een andere nieuwe onderzoekslijn is de computationele filosofie, waarbij een wijsgerige onderzoeksvraag deels met behulp van computer-simulaties geanalyseerd wordt. Computer-simulaties worden ook wel pseudo-experimenten genoemd en zijn ook in de wetenschappen een populaire methode, met name wanneer gewone experimenten te duur, ethisch onverantwoord, of anderszins onhaalbaar zouden zijn. Computer-simulaties kunnen ook nuttig zijn als er wel gewone experimenten worden uitgevoerd, in de hoop dat de gecombineerde resultaten meer inzicht verschaffen in de onderliggende processen. Hoe en wat we van deze pseudo-experimenten kunnen leren, is dan weer een filosofische vraag. Hoewel computationele methoden relatief nieuw zijn, sluit deze vraag zeer nauw aan bij een eeuwenoude puzzel uit de traditionele wetenschapsfilosofie: wat is het verband tussen de wereld enerzijds en onze modellen en theorieën erover anderzijds?

De stelling van Bayes vormt het uitgangspunt van de Bayesiaanse statistiek, maar is volgens sommige filosofen ook van fundamenteel belang in de epistemologie(3) De derde trend is de formele epistemologie. Epistemologie is een synoniem voor kennistheorie: het is een traditionele tak van de filosofie, die zich toespitst op de vraag wat wij (kunnen) weten en wat rationeel is om te geloven. De laatste jaren is er in dit onderzoeksgebied meer aandacht gekomen voor formele methoden – wiskundige modellen dus. Sinds de opkomst van de analytische filosofie in de twinstigste eeuw heeft logica aan belang gewonnen binnen de filosofie, maar andere wiskundige modellen bleven achter. In de epistemologie is er intussen een verschuiving gebeurd van zekerheid naar waarschijnlijkheid, waardoor kansrekening plots een essentieel onderdeel werd van de filosofische analyse. Dit leidde ondermeer tot het ontstaan van de Bayesiaanse epistemologie. Ook speltheorie bijvoorbeeld is niet enkel relevant in de economie, maar wordt net zo goed door filosofen bestudeerd. Door deze ontwikkelingen lijkt de poort van de filosofie nu verder dan ooit open te staan voor het gebruik van wiskundige methoden in het algemeen.

Oud-Griekse wijsgeren schatten het denken hoger in dan het waarnemen. Hierdoor bleef experimenteren jarenlang taboe in de filosofie.Sommige klassiek geschoolde wijsgeren maken zich zorgen dat de filosofie haar eigenheid zal verliezen door steeds meer op een gewone wetenschap te gaan lijken. Eén van de rollen van de filosofie is bijvoorbeeld om na te denken over de betrouwbaarheid van wetenschappelijke kennis. Bezorgde filosofen vrezen dat ze hun beschouwende rol niet meer naar behoren kunnen vervullen als ze zelf hun handen vuil maken in de modder van het wetenschappelijke onderzoek.

Het zal jullie niet verbazen dat ik zelf optimistischer gestemd ben. Ik zie het gebruik van experimentele, computationele en formeel-wiskundige technieken in de filosofie niet als een vervanging van de traditionele methodes, maar als een aanvulling en verrijking hiervan. Bovendien zullen filosofen beter in staat zijn de sterktes en zwaktes van wetenschappelijke kennis te evalueren als ze zelf meer ervaring hebben met de gebruikte onderzoeksmethodes.

Als je maar lang genoeg verder klikt op Wikipedia kom je uiteindelijk bij filosofie terecht.Onlangs had ik het op dit blog nog over stereotypen over onderzoekers. Zoals we vandaag al zagen voldoen filosofen dus niet noodzakelijk aande stereotype van de wereldvreemde kamergeleerde zoals op het schilderij van Rembrandt. Het stereotype beeld van een filosoof is een blanke man met een baard, maar gelukkig is dit cliché aan vervanging toe: deze website verzamelt foto’s waarmee je een beeld krijgt van hoe een filosoof er anno 2012 écht uitziet. (De conclusie is: je kunt dat er eigenlijk niet aan zien. Maar je had toch niet echt gedacht van wel, hè?)

Uiteindelijk kom je altijd bij filosofie terecht; ook dat is een cliché, maar dan één dat wel nog klopt (op Wikipedia althans).

Argumentatiefouten over kansrekening

Als symbool van wijsheid waakt dit uiltje erover dat ik geen argumentatiefouten maak in dit stukje.Zoals jullie weten werk ik aan de Faculteit Wijsbegeerte van de Rijksuniversiteit Groningen. Daar ben ik onderzoeker aan het departement Theoretische Filosofie, dat een aantal onderzoeksdomeinen verzamelt. Zelf behoor ik tot de groep die werkt aan formele epistemologie (kenleer), maar ik doe ook aan wetenschapsfilosofie en logica.

Eén van de grote verschillen in de filosofie ten opzichte van de natuurwetenschappen is dat je veel gemakkelijker van onderzoeksveld kunt veranderen. Dus wie weet ga ik ooit nog wel onderzoek doen naar argumentatietheorie, taalfilosofie, of filosofie van de geest – en daarmee ben ik dan nog vrij conservatief, want ook deze onderwerpen behoren tot het departement Theoretische Filosofie.

Leren is een proces dat steeds efficiënter wordt: als je veel weet over een bepaald onderwerp, geeft je dat in een schijnbaar ongerelateerd domein vaak toch een voorsprong. Menselijke kennis is een complex vlechtwerk, waardoor je in afgelegen gebieden toch steeds vertrouwde patronen tegenkomt. (Zie ook het besluit bij mijn stukje over neutrino’s.) Vandaag doe ik een uitstapje naar het terrein van de argumentatietheorie en ga daarin op zoek naar een houvast, in mijn geval: kansrekening.

Argumentatietheorie is niet enkel nuttig om bijvoorbeeld drogredenen te herkennen, maar levert ook mooie, visuele overzichtjes op. Als je van infografieken houdt, dan is deze poster met logische fouten vast spek voor jouw bek. Als je van volledigheid houdt, dan is deze lijst met retorische en logische (‘retologische’) fouten jouw kopje thee. In de lijst staan er ook argumentatiefouten die gerelateerd zijn aan kansrekening en dat is dan weer mijn dada. Ik heb drie kansgerelateerde fouten bijeengesprokkeld in onderstaande figuur.

Argumentatiefouten die te maken hebben met kansrekening.

Drie argumentatiefouten die te maken hebben met kansrekening. Onderdelen overgenomen van: http://www.informationisbeautiful.net/visualizations/rhetological-fallacies/.

De eerste fout is: “Aannemen dat omdat iets kan gebeuren, het ook onvermijdelijk zal gebeuren.” Het voorbeeld suggereert dat het gaat om iets dat een hoge kans heeft, die echter niet gelijk is 100%. Deze fout lijkt op een principe dat populair is geweest in de filosofie van de kansrekening: het principe van Cournot (dat minstens teruggaat tot het werk van Jakob Bernoulli) zegt dat iets fysisch onmogelijk is als het een zeer kleine kans heeft; omgekeerd geldt dat iets dat een zeer grote kans heeft, in de praktijk ook zal gebeuren. Ik onderschrijf dit principe niet, maar sommige kansfilosofen zien er nog steeds muziek in. Hoewel de eerste argumentatiefout geen gewag maakt van zeer grote kansen, denk ik wel dat meer mensen vatbaar zijn voor deze fout naarmate ze de kans groter inschatten.

De tweede fout is een misvatting van veel gokkers. De uitkomst van herhaalde worpen met een dobbelsteen zijn onafhankelijk van elkaar. Dit betekent dat de kans op, bijvoorbeeld, een zes niet afhangt van de voorgaande uitkomsten. Stel dat er al twintig keer na elkaar geen zes gegooid is. Mensen zijn geneigd te denken dat de kans op een zes bij een volgende worp dan groter is. Dit klopt niet: de kans is en blijft één op zes. De kans dat er in de komende twintig worpen weer geen zes gegooid zal worden is weliswaar klein – zo’n (5/6)^20 = 2,6% -, maar ook dit betekent niet de zes zeker zal komen (zie eerste argumentatiefout).

De laatste fout is: “Een gebeurtenis beschrijven tot in de levendige details, zelfs als het een zeldzame gebeurtenis is, om iemand ervan te overtuigen dat het een probleem is.” Terwijl de eerste fout over gebeurtenissen met grote kansen lijkt te gaan, gaat het hier juist om gebeurtenissen met kleine kansen. Het is bekend dat mensen de kans overschatten op zeldzame gebeurtenissen die kwalijke gevolgen hebben. Hoe erger de mogelijke gevolgen, hoe sterker dit effect. Hoewel dit niet objectief is, is het wel begrijpelijk: het lijkt beter om de mogelijkheid tot een ramp volledig uit te sluiten, dan om de kans erop slechts te verkleinen. Het echte probleem is natuurlijk dat we rampen nooit met volledige zekerheid kunnen voorkomen. We moeten leren leven met onzekerheid zonder altijd van het ergste uit te gaan. Deze fout had dus net zo goed ‘doemdenken’ kunnen heten. (Wist je trouwens dat het woord ‘doemdenken’ voor het eerst gebruikt werd aan de Rijksuniversiteit Groningen?)

Ziezo, daarmee zit mijn eerste blogsgewijze exploratie in de argumentatietheorie erop. Voorlopig hou ik het beroepshalve bij onderzoek over (kleine) kansen, maar wie weet wat de toekomst brengt?

Stereotypen over onderzoekers

Er zijn heel wat vooroordelen over studenten in het algemeen en over specifieke richtingen in het bijzonder. Deze stereotypen zijn het onderwerp van een nieuwe internetmeme: “Wat anderen denken dat ik doe versus wat ik echt doe“.

Voor mij zijn of waren er minstens zes voorbeelden van deze meme van toepassing:

(1) Wetenschapsstudent
Feit: Wetenschapsstudenten spenderen meer tijd aan hun bureau dan in het labo.

(2) Doctoraatsstudent in de fysica
Feit: Doctoraatsstudenten weten het ook vaak niet.

(3) Experimenteel fysicus
Feit: Experimentele fysici hebben veel geduld nodig.

(4) Student in de filosofie
Feit: Filosofiestudenten zitten niet altijd op café (maar wel vaak).

(5) Wiskundige
Feit: Veel wiskundigen kunnen niet goed tellen.

(6) Statisticus
Feit: Statistici vallen, gemiddeld genomen, wel te vertrouwen.

Mijn link met bovenstaande categorieën: eerst was ik een wetenschapsstudent (1), dan een doctoraatsstudent in de fysica (2) en zo werd ik een volleerd experimenteel fysicus (3); daarna werd ik een (doctoraats-)student in de filosofie (4) en sindsdien doe ik met geavanceerde wiskunde (5) onderzoek over kansrekening en statistiek (6).

Dankzij deze ongebruikelijke mix heb ik welsiwaar extra veel last van beroepsmisvorming (zie bijvoorbeeld hier en hier), maar anderzijds hoop ik me aan bovenstaande stereotypen te kunnen onttrekken.

Hier vind je een heel uitgebreide verzameling met andere voorbeelden. Zijn er voor jou voorbeelden van deze meme van toepassing? En zit er wel wat in of slaat het nergens op? (Behalve natuurlijk op een dood paardtoelichting.)

Sta jij ook altijd in de langste wachtrij?

Het winkelkarretje is weer vol en nu op zoek naar de kortste rij.Bloggers zijn ook maar mensen, dus doen ze al eens hun beklag over alledaagse gebeurtenissen: i. van “Kerygma” schrijft over 32 minuten aanschuiven aan de kassa – en dat enkel voor een aftrekker en een rol vuiniszakken. Van mijn mama heb ik volgende stelling geleerd: “Het aantal klanten telt, niet hoe vol hun winkelwagens zijn.” (Haar ervaring is dat het afrekenen in verhouding veel langer duurt dan het scannen van een hele band producten.) Deze gouden raad heeft me al veel wachttijd bespaard. Er zijn nog mensen die zo redeneren, want deze tip staat ook tussen de commentaren bij het vorige bericht, waar je nog een hele waslijst aan strategieën vindt om de snelste rij te kiezen.

Heb jij ook het gevoel in de winkel altijd in de langste wachtrij te staan? Dat kan kloppen: het is een eenvoudig gevolg van statistiek. Als je ervan uitgaat dat wachtrijen nu eenmaal niet even snel gaan en dat je evenveel kans hebt om een tragere als om een snellere rij te kiezen, dan zul je na enkele keren winkelen gemiddeld méér tijd in trage rijen hebben doorgebracht – gewoon omdat die ervaring langer duurt dan het staan in snelle rijen. Bovendien ga je je misschien ergeren en heb je tijd om alvast een boos blogstukje te bedenken. Hierdoor heb je dus nóg meer bewuste herinneringen aan de lange rij, dan alleen al te verwachten is op basis van de er doorgebrachte tijd. Als je erover vertelt aan anderen, hebben zij vast ook rampverhalen klaar van extreem lange wachttijden, waarbij ze de keren dat er net voor hun neus een nieuwe kassa open ging en ze als eerste naar buiten wandelden natuurlijk glad vergeten.

Als we onze herinneringen gebruiken om te bepalen of er meer trage of meer snelle wachtrijen zijn, vallen we ten prooi aan een selectiebias (meer bepaald: samplingbias): we hebben meer herinneringen aan trage wachtrijen, zelfs als we al in evenveel snelle rijen hebben gestaan. Hetzelfde effect zorgt ervoor dat we ook denken dat wij met de auto altijd in de langste file staan.

Michael Lugo schreef op zijn blog “God plays dice” recent over enkele voorbeelden van samplingbias. Zijn voorbeeld over de gemiddelde grootte van schoolklassen kan meer licht kan werpen op onze altijd-in-de-langste-wachtrij-illusie. Als je ongelijke schoolklassen herverdeelt zodat ze even groot worden (zonder het aantal klassen te veranderen), doet dit niets aan de gemiddelde klasgrootte, maar wel de gemiddelde klasgrootte die leerlingen ervaren. Dit heeft er opnieuw mee te maken dat er meer leerlingen in de grootste klas zitten, waardoor zij het subjectieve gemiddelde opdrijven. Om het voorbeeld van Michael te volgen: stel dat je 90 leerlingen verdeelt over een klas van 30 leerlingen en een klas van 60 leerlingen. De klassen hebben dan gemiddeld 45 leerlingen. Als je echter aan alle leerlingen vraagt hoe groot hun klas is en daarvan het gemiddelde berekent, krijg je (30×30 + 60×60) / 90 = 50. Het subjectieve gemiddelde van 50 ligt hoger dan het objectieve gemiddelde van 45. De enige manier om dit verschil weg te werken, is door de klasgroottes gelijk te maken aan het objectieve gemiddelde, of dus twee klassen te maken van elk 45 leerlingen.

Als je nog eens lang moet wachten, kun je de tijd misschien doden met een beetje hoofdrekenen. Het lijkt allemaal een kwestie van psychologie (selectief geheugen, confirmatiebias en andere denkfouten), maar toch kun je de grootte van het effect exact voorspellen. Kijk, dat vind ik dan mooi!

Colakansjes

Coca Cola heeft een nieuwe reclamespot over zeer kleine kansen.Meestal drink ik water, maar als ik een colaatje bestel hoop ik dat het Pepsi is. Uit psychologisch onderzoek is gebleken dat mensen hun vermogen om cola van verschillende merken te onderscheiden bij een blinde test flink overschatten én dat mensen bij een blinde test doorgaans Pepsi verkiezen. (Zie bijvoorbeeld deze bron.) Toch heb ik het al bewezen bij een blinde test dat ik kan proeven welke het glas Pepsi is en welke de Coca Cola. (Pepsi is zoeter en bruist iets minder sterk dan Coca Cola.) Of het een light-variant is proef ik ook meteen (ons lichaam reageert anders op suiker dan op andere zoetstoffen, dus daar heb je in principe zelfs geen smaakpapillen voor nodig!), maar dat drink ik nog minder vaak, dus daarbij ken ik de merken niet uit elkaar.

Ondanks mijn voorkeur voor Pepsi en voor suiker boven aspartaam, heb ik toch met belangstelling zitten kijken naar de nieuwe (althans in Europa) reclamefilmpje voor Coca Cola Zero. Om hun slogan “Taste the possibilities” (“Proef de mogelijkheden”) kracht bij te zetten, hebben ze weer eens een spotje gefilmd met een slecht gewassen man in de hoofdrol en enkele bloedmooie dames in de bijrollen. Het is te laat om dit als essayopdracht aan mijn studenten te suggereren, dus schrijf ik zelf een analyse. Laten we beginnen met een deconstructie van de plot:

  • Een bezwete kerel staat met autopanne aan de kant van de weg, zo te zien ergens ver van de bewoonde wereld. Hij neemt een slokje suikervrije cola. Dan komt er in de verte een rode auto aanrijden, waarbij het onderschrift verschijnt: “0,1% possibility“.
  • Onze held neemt nog een slokje en de auto – bij nader inzien een pick-up – stopt: “0,01% possibility“.
  • Nog een slokje en de chauffeur van de rode wagen, een blonde vrouw, stapt uit: “0,001% possibility“.
  • De held drinkt nu de rest van het flesje bijna helemaal leeg. De vrouw neemt een gereedschapskoffer uit de laadbak en komt de motorpech verhelpen:  “0,00001% possibility“.
  • Nu drinkt hij ook het laatste slokje. Er stapt dan ook een vrouw uit de passagierskant van de auto, een brunette deze keer, met twee flesjes cola in haar handen:  “0,000000001% possibility“.
  • Dan zien we de man en de twee vrouwen elk met een vol flesje cola. (Waar dat derde flesje vandaan komt, blijft een mysterie.) Dan volgen de slogans: “The more zero the better” en “Zero sugar, all the possibilities“.
Een beeld uit de nieuwe reclamespot voor Coca Cola Zero.

Een beeld uit de nieuwe reclamespot voor Coca Cola Zero.

Er zijn mij twee dingen opgevallen. Waarschijnlijk ben ik daarmee niet de enige, maar misschien zijn het toch ándere dingen die mij zijn bijgebleven. ;-)

Om te beginnen worden mogelijkheden met percentages aangeduid en dat is vreemd. Iets is mogelijk of het is onmogelijk: hierin bestaat er gradatie. Het is natuurlijk wel zo dat we aan verschillende mogelijkheden verschillende waarschijnlijkheden (of kansen) toekennen en dat we deze vaak als percentages uitdrukken, maar dan had er ‘probability‘ moeten staan in plaats van ‘possibility‘ . Eén van de mogelijke redenen dat een frisdankmerk dit woord vermijdt, is dat kansen wetenschappelijk bestudeerd kunnen worden. Vermits de getallen in dit reclamespotje – voor zo ver bekend – niet gebaseerd zijn op wetenschappelijk onderzoek, is het veiliger om dit ook niet te suggereren.

Laten we dit door de vingers zien en verder aannemen dat we ‘mogelijkheid’ hier als ‘kans’ mogen lezen. Het is duidelijk dat de getallen dalen naarmate de man meer cola drinkt. Zoals jullie wellicht al weten, doe ik onderzoek naar (zeer) kleine kansen, dus dit aspect wist mijn aandacht zeker te vangen. Wat betekenen deze steeds kleiner wordende waarschijnlijkheden? Werkt cola als een soort improbability drive misschien?

Een probleem bij de interpretatie van alle kansen, klein of groot, is het probleem van de referentieklasse. Je kunt een kans zien als een frequentie. Je zou tienduizend kerels in een afgelegen gebied aan de kant van de weg kunnen zetten met een kapotte auto en nagaan bij hoeveel van hen er een andere auto stopt (binnen een vooraf bepaalde tijdsduur). Als dit in slecht één geval gebeurt, zitten we met een frequentie van één op tienduizend. Dit zou je dan kunnen interpreteren als 0,01% kans (weliswaar met een behoorlijk grote onzekerheid op deze waarde), zoals in het clipje. Wat we echter niet weten, is wat de relevante referentieklasse is: zetten we enkel mannen aan de kant van de weg, speelt het merk van hun auto een rol, hun haarkleur, enzovoort? Uiteindelijk zou je je ook kunnen afvragen of het merk van drankje dat ze staan te drinken een rol speelt.

Als je ervan uitgaat dat het drinken van deze cola je kansen op hulp drastisch verhoogt, zijn de gegeven getallen dus blijkbaar gemiddelden over de hele populatie (zowel mensen die het niet drinken als die het wel drinken). Hieruit zou dan blijken dat er erg weinig mensen deze cola-variant drinken, al lijkt deze conclusie toch ook niet wat de reclamemakers in gedachten hadden. Of hopen de makers dat de kijkers de getallen interpreteren als de kans dat de getoonde gebeurtenissen zich voordoen als de man geen cola zou drinken? Het blijft onduidelijk.

Wat wel vaststaat, is dat kansen kleiner worden naarmate je specifiekere gebeurtenissen beschrijft. Stel dat je de kans kent dat een auto stopt bij een gestrande reiziger. De kans dat een rode auto stopt is dan in elk geval kleiner en de kans dat een rode auto stopt van een specifiek merk is nog kleiner. De kans dat alles precies zo verloopt als in het filmpje is dus inderdaad zeer klein – hoe klein hangt er maar vanaf welke details je allemaal in rekening brengt. Dit is echter een algemene eigenschap van kansen en heeft verder dus niets met het drankje te maken.

Sam: Belgische stripreeks over een meisje dat dol is op automechanica.Het is ook jammer dat de kans dat een vrouw iets van automechanica kent door de mensen van Coca Cola blijkbaar zo laag wordt ingeschat. Ze zouden de Belgische stripreeks Sam eens moeten lezen. ;-) Nochtans lijkt me dit een nuttige vaardigheid op lange, verlaten wegen. Juist op zo’n weg stijgt dus de (afhankelijke) kans om een (onafhankelijke) vrouw tegen te komen die van aanpakken weet. En dat zo’n vrouw een vriendin mee zou nemen op de lange tocht wordt blijkbaar nog onwaarschijnlijker geacht.

Het mag duidelijk zijn: voorlopig hou ik het op het vlak van cola’s bij Pepsi. Verder blijft het wachten op een watermerk dat het thema kansrekening omarmt en een mooie campagne bedenkt over waterkansjes, die een kritische analyse wel doorstaat.

Welkom in de toekomst

Welkom in de toekomst. In 2012 kun je lesgeven vanop 200 km afstandGisteren heb ik helaas een vaste blogafspraak gemist: ik moet  minstens een week rusten met een zere rug en probeer mijn uren aan de computer te beperken. Een ander gevolg is dat ik vandaag ook niet in Groningen kon geraken en dat terwijl mijn lessenreeks over filosofie van de kansrekening in volle gang is. Vandaag stond de subjectieve interpretatie van waarschijnlijkheid op het programma, waarbij waarschijnlijkheden geïdentificeerd worden met overtuigingsgraden. Die is toch echt te belangrijk om over te slaan.

Gelukkig kan daar anno 2012 een mouw aan gepast worden: vandaag heb ik voor het eerst les gegeven in absentia, via Skype. (Ook handig om goedkoop mee te bellen, zeker als je veel reist.) Mijn studenten zaten in de collegezaal in Groningen, terwijl ik thuis zat in Gent. Dat is in vogelvlucht een afstand van 200 km afstand, maar in principe zou je zo ook les kunnen geven vanuit Europa aan studenten in de Verenigde Staten of Japan. Dat klinkt toch futuristisch, of niet? Voor deze oplossing heb je – naast een stabiele internetverbinding – natuurlijk lieve collega’s nodig die ter plaatse paraat staan om er hun laptop aan te sluiten op de projector en de luidsprekers. Mijn dank gaat uit naar Karolina die op voorhand tijd maakte om de geluids- en beeldkwaliteit te testen en aan Hauke voor de technische ondersteuning daarbij.

We sloten voor de zekerheid onze computers aan via een internetkabel, want dat is toch nog altijd sneller en stabieler is dan een draadloze verbinding. Technisch verliep het dus allemaal vlot. Of het geluid in de klas ook ideaal was betwijfel ik, maar dat zou aan mijn microfoon kunnen liggen. Het is in het begin wel wat onwenning om vanuit je living les te zitten geven, maar dat verdwijnt na enkele minuten. Met Skype kun je trouwens je hele beeldscherm delen, dus als ik hier mijn diapresentatie opzette, konden ze dat in Groningen meevolgen. Uiteindelijk was het bijna zoals zelf voor de klas staan: ik kon iedereen prima horen en de meerderheid van de mensen in het leslokaal zien. Als er buiten beeld iemand wou reageren dan draaide Karolina gewoon haar laptop met webcam en zo kon ik altijd meevolgen.

Op een congres hou je eerst je praatje en worden er pas daarna vragen gesteld via een moderator. Er is dan weinig toegevoegde waarde aan fysieke aanwezigheid (tenzij je met collega’s op stap wil gaan achteraf, uiteraard). Voor een congrespresentatie zou ik in het vervolg gerust voor Skype willen opteren, als die mogelijkheid voorzien wordt. Voor een les is het echter veel prettiger om ook tussendoor discussies te kunnen voeren en dat gaat ter plaatse nog altijd iets vlotter.

Conclusie: ik ben blij dat de lezing op deze manier toch heb kunnen geven vandaag, maar ik hoop er over twee weken gewoon weer zelf te kunnen staan.

In 2012 blijft de medische handscanner (tricorder) van Dr. Beverly Crusher uit Star Trek helaas toekomstmuziek.

In deze toekomst kunnen mensen dus gewoon werken terwijl ze ziek thuis zijn. Hm, als ik het zo vertel, is dat precies toch niet zo’n goed nieuws. ;-)

Als ze nu nog werk zouden maken van die handscanners zoals op de ziekenboeg van Star Trek (even over de zere plek hoveren en ’t is genezen) dan gaat dat nog helemaal goed komen met de toekomst!

Demon van Laplace en doosjes van Bertrand

Pierre-Simon Laplace.Mijn cursus voor Master-studenten over filosofie van de waarschijnlijkheid is volop bezig. We hebben vorige week onder andere de klassieke interpretatie van de kansrekening besproken. Elementen van deze interpretatie zijn terug te vinden bij vele vroege beoefenaars van de kansrekening, zoals Blaise Pascal, Daniël Bernouilli, Christiaan Huygens en Gottfried Leibniz. De interpretatie wordt echter het sterkst geassocieerd met Pierre-Simon Laplace. Laplace schreef in 1812 een wiskundig boek over kansrekening (“Théorie analytiques des probabilités“) en twee jaar later kwam zijn inleiding voor een breder publiek uit (“Essai philosophique sur les probabilités“). De Engelse vertaling hiervan, “A philosophical essay on probabilities“, is nog steeds vlot verkrijgbaar: ik kocht vorig jaar een goedkope facsimile van een uitgave uit 1902 in de New Yorkse boekenwinkel The Strand. Laplace verwerkte oudere resultaten op het vlak van de wiskundige behandeling van kansen en herontdekte de stelling van Bayes. Bovendien kwam hij met volledig origineel onderzoek over de toepassing van kansen op meetfouten in de astronomie en fysica. Hij geeft bijvoorbeeld als eerste een wiskundig bewijs voor de kleinste-kwadratenmethode, die eerder al door Gauss en Legendre was gebruikt, waardoor hij de hele foutentheorie een rigoureuze onderbouwing geeft.

Bij het lezen van Laplaces essay merk je duidelijk dat Laplace eerst en vooral een fysicus is. De grote successen van de klassieke mechanica bij het voorspellen van de beweging van hemellichamen stemden hem zeer optimistisch. Hij twijfelde er niet aan dat met het voortschrijden van de wetenschap weldra ook alle andere verschijnselen even voorspelbaar zouden zijn. Hij stelde zich een intelligentie voor die, moest zij precieze informatie hebben over alle posities en krachten van alle onderdelen in de natuur op één moment, de bewegingen van het grootste hemellichaam tot het kleinste atoom zou kunnen analyseren. Ja, intelligentie is een zij: zowel in het Frans als in het Nederlands is het een vrouwelijk woord. Later werd deze intelligentie ook wel de demon van Laplace genoemd – dat woord is dan weer mannelijk. Voor de demon van Laplace zou er geen onzekerheid zijn, niet over het verleden en niet over de toekomst. Laplace had dus een volstrekt deterministisch wereldbeeld, waarin er geen plaats was voor kansen. Is het dan niet vreemd dat Laplace zich met kansrekening bezighield, als hij dacht dat kansen helemaal niet bestonden? Nee, want we weten nu eenmaal niet alles over het heden en we zijn niet in staat, zelfs als moesten we alles over het heden weten, om al deze informatie te verwerken – aldus Laplace.

Laplace's demon makez kitty sad.

Kat die zojuist gehoord heeft over de demon van Laplace. (Bron afbeelding: http://philosophicatz.wordpress.com/2008/05/01/laplaces-demon-makez-kitty-sad/)

Het is amusant om te zien hoeveel tekst Laplace nodig heeft om wiskundige vergelijkingen in woorden te beschrijven – een euvel waar populariserende boeken over wetenschap nog steeds mee worstelen. Zo wordt het lezen van het boekje voor de eigentijdse lezer een spel: herken de vergelijking.

Voor deze blogpost heb ik geen cryptische omschrijving van een wiskundige vergelijking geselecteerd, maar wel een korte opgave, waaruit je kunt zien dat kansberekeningen, zelfs zeer eenvoudige, ooit voor grote verwarring zorgden, zelfs bij bekende wiskundigen! Hier is het vraagstuk:

Stel, je gooit een munt op. Dan is de kans op kop 1/2 en ook de kans op munt 1/2. Nu ga je de munt twee keer na elkaar opgooien. Wat is daarbij de kans op minstens één keer kop?

Laplace was van mening dat het er bij het kansrekenen op aankomt om alle “even mogelijke” uitkomsten te bepalen. (Later werd dit het indifferentieprincipe genoemd.) De kans op een gebeurtenis zou volgens hem dan de breuk zijn van het aantal van deze mogelijkheden waarbij deze gebeurtenis gerealiseerd wordt, gedeeld door het totale aantal mogelijkheden. Het toepassen van dit principe lijkt hier eenvoudig genoeg. Er zijn vier mogelijke combinaties: kop+kop, kop+munt, munt+kop en munt+munt. De eerste drie combinaties bevatten minstens één keer kop; enkel de laatste combinatie heeft geen kop. De kans op minstens één keer kop in twee worpen is dus 3/4 of 75%.

Jean le Rond d'Alembert.Het lijkt alsof je hier nauwelijks kansrekening voor nodig hebt: iemand met een beetje gevoel voor wiskunde had dit ook vóór de tijd van Laplace toch ook wel kunnen beredeneren? Neem nu d’Alembert: deze wiskundige werd 32 jaar vóór Laplace geboren en was zeker niet de minste: zijn convergentietest voor reeksen duikt nog steeds op in eigentijdse wiskundelessen. Toch beweert Laplace dat d’Alembert grote moeilijkheden had met de opgave over de twee muntworpen.

d’Alembert onderscheidde drie mogelijke uitkomsten: als het kop is bij de eerste worp is er al minstens één keer kop, dus daar moeten we verder niet naar kijken. Als het munt is bij de eerste worp hangt alles af van de tweede worp: als die kop is, is het ook goed, als die munt is niet. Zo kwam hij tot het antwoord 2/3.

Bij zijn redenering houdt d’Alembert er echter geen rekening mee dat de mogelijkheden die hij opsomt zelf niet “even mogelijk” zijn, maar ongelijke kansen hebben: kop bij de eerste worp is dubbel zo waarschijnlijk is als een uitkomst waarbij zowel de eerste als de tweede worp worden gespecifieerd. Hij had dus niet 1/3 + 1/3 moeten nemen, maar wel 2/4 + 1/4, hetgeen hem ook 3/4 had opgeleverd.

Bij de doosjesparadox van Bertrand moet je de kans berekenen dat een tweede munt ook van goud is.Hoewel de redenering van d’Alembert snel te weerleggen is, hebben latere auteurs toch geprobeerd om aan te tonen dat het vertrekpunt van Laplace (zijn indifferentieprincipe) bij andere vraagstukken tot verschillende uitkomsten kan leiden en dus niet helemaal deugt. Joseph Bertrand publiceerde in zijn boek “Calcul des probabilités” uit 1889 een aantal voorbeelden, die nu bekend zijn als de paradoxen van Bertrand. In de les bespraken we zijn bekende paradox van de koorde, maar vandaag hou ik liever bij de eenvoudigere doosjesparadox:

Er zijn drie doosjes met daarin telkens twee munten. In één doosje zitten twee gouden munten, in één doosje zitten twee zilveren munten en in één doosje zitten één gouden en één zilveren munt. Je pakt een willekeurig doosje en neemt daaruit een willekeurige munt. Het blijkt een gouden munt te zijn. Wat is nu de kans dat de andere munt in het doosje ook van goud is?

Je zou als volgt kunnen redeneren: “Er zijn twee doosjes met minstens één gouden munt erin en bij die doosjes zit er in één geval nog een gouden munt in; de kans is dus 1/2.” Mis poes! Als je dat dacht, maak je dezelfde fout als d’Alembert bij de muntworpen: je houdt er namelijk geen rekening mee dat de kans dat de eerste gouden munt uit het doosje met de twee gouden munten komt groter is dan dat deze uit het gemengde doosje komt.

Elk van de zes munten heeft een gelijke kans om als eerste getrokken te worden (namelijk elk 1/6). We weten echter al dat de eerste munt van goud is, hetgeen in drie van de zes gevallen gebeurt. Van deze drie mogelijkheden om een gouden munt te trekken, komt de munt in twee gevallen uit het doosje met de twee gouden munten. Zo zie je dat de kans dat de eerste munt uit het doosje met de twee gouden munten komt 2/3 is. De kans dat de tweede munt ook van goud is, is dan ook 2/3 (en niet 1/2).

Komt de opgave met de drie doosjes je bekend voor? Dat kan kloppen: een variant met witte en donkere pralines dook vorig jaar nog op bij de Nationale Wetenschapsquiz en zorgde voor hevige discussies op internetfora. De geest van d’Alemberts misrekening waart dus nog steeds rond en komt als een duivel uit de doosjes van Bertrand. Als remedie stel ik voor om allemaal Laplace te gaan (her-)lezen – kwestie van de ene demon met de andere te bestrijden. ;-)

Een woordenboek vol dobbelstenen

In het woordenboek vertellen gewone woorden hun bijzondere geschiedenis. Ondanks mijn recente bericht dat het tegendeel doet vermoeden, had ik helemaal niet in wereld willen wonen waar geen woorden bestaan. Woorden zijn namelijk veel te leuk: je kunt er niet alleen blogs mee vol schrijven, het zijn ook tijdscapsules die elk hun eigen geschiedenis hebben. Neem nu onze woorden die te maken hebben met kansen, toeval en willekeur. Zij zijn van verschillende hoeken van de aarde samengezwermd in ons woordenboek en belichten samen diverse aspecten van het begrip waarschijnlijkheid.

Het woord ‘lot’ gebruiken we in twee betekenissen: het noodlot en een lootje uit de loterij. Deze termen blijken etymologisch uit tegengestelde windstreken afkomstig. Geloof in het noodlot komt uit Zuid-Europa: in de Griekse en Romeinse cultuur stonden zelfs de goden niet boven deze macht. Het lot als loterijbiljet komt uit Noord-Europa: van het Oudnoorse woord ‘hlutr‘.

Met deze dobbelsteen kun je hoge ogen gooien. (Bron: http://create.boomerang.nl/profiel/jor-id/werk/hoge-ogen-gooien)Dat kansen van oudsher verbonden zijn met dobbelstenen zal geen verbazing wekken: dobbelen behoort tot de oudste kansspelen. In de taal heeft deze diepe verwantschap sporen nagelaten. Om te beginnen hebben we de uitdrukking “hoge ogen gooien” voor iemand die goed voor de dag komt en een goede kans maakt. Het Latijn voor dobbelsteen is ‘alea‘, bekend van de uitdrukking “alea iacta est“: de teerling is geworpen. Dit verklaard ook de betekenis van ‘aleatorisch‘, weliswaar een weinig gebruikt woord in het Nederlands, voor iets dat toevalselementen bevat. Kans verwees oorspronkelijk naar een gelukkige worp bij het dobbelen en komt van het Picarische ‘cance’, wat dan weer afkomstig is van het Latijn voor vallen (van dobbelstenen): ‘cadere’. Ook toeval bevat een link met vallen (hoe de omstandigheden uitvallen), net als ‘coïncidentie’ dat afkomstig is van het Latijn voor samenvallen, ‘coincidentia‘. (Of dit toe- en samenvallen zelf ook weer verwijst naar het vallen van dobbelstenen heb ik niet kunnen achterhalen.)

Er staan ook leuke citaten bij het woord ‘toeval’:

“Het woord toeval bestaat alleen omdat onze hersens te klein zijn om alle samenhangen te begrijpen.” (D. Hillenius)

en

“Je noemt iets ‘toevallig’, niet omdat het onwaarschijnlijk is dat ’t gebeurt, maar omdat je het niet verwacht.” (G. Krol)

‘Waarschijnlijkheid’ heeft dan weer niets te maken met het vallen van de dobbelstenen, maar met hoe geloofwaardig ons iets toeschijnt. In andere talen vinden we gelijkaardige samenstelling van waar/echt en schijnen/lijken: ‘vraisemblable‘ in het Frans, ‘veri similis‘ in het Latijn; in het Engels is er ook nog het woord ‘likely‘ voor waarschijnlijk. Verwant hieraan is ook de term ‘probabiliteit’, die overgenomen is van het Franse ‘probabilité‘ (wat in het Engels natuurlijk ‘probability‘ werd). Het Franse woord gaat terug op het Latijn ‘probabilitas‘ voor waarschijnlijkheid, dat zelf is afgeleid van het werkwoord voor testen of goedkeuren ‘probare‘ en het adjectief voor wat bewezen kan worden ‘probabilis‘.

Hoewel we ‘kans’ en ‘waarschijnlijkheid’ in de wiskunde als synoniemen kunnen gebruiken, hebben deze woorden toch een erg verschillende oorsprong. Ze geven een andere dimensie weer van hetzelfde begrip: de kans- of waarschijnlijkheidsrekening is ontstaan uit vragen over kansspelen en uit vragen rond de waarde van bewijsmateriaal en getuigenissen (bijvoorbeeld in de rechtzaal).

Er zijn nog mooie contrasten te vinden in de oorsprong van woorden die met kansrekening te maken hebben. Zo gaat het woord ‘stochastisch’ terug op het Grieks voor mikken op een bepaalde richting, terwijl ‘random’ gerelateerd is aan het Oudfranse ‘randir‘ voor snel lopen of galopperen, waarvan het afgeleide ‘randon‘ gebrek aan richting aanduidt.

Bronvermelding: voor dit bericht raadpleegde ik de online edities van de Dikke Van Dale en de Oxford English Dictionary.

Fruitsap van niet-meetbare delen

Eerst dacht ik nog 'He?!', maar toen dacht ik 'He?! He?!'Van één sinaasappel kun je er twee maken. Je kunt de pitten tot een boom laten uitgroeien en daarvan de eerste twee vruchten plukken, maar dan moet je wel veel geduld hebben. Volgens wiskundige maattheorie kan het sneller: je kunt een sinaasappel (of eender welke volle bol), zo opdelen, in minstens vijf stukken, dat je door de stukken enkel te draaien en te schuiven twee exemplaren kunt maken met dezelfde diameter als de oorspronkelijke sinaasappel.

Dit resultaat staat bekend als de Banach-Tarski paradox. En ja, het idee is behoorlijk gestoord. Het is ook gemakkelijk om het resultaat verkeerd voor te stellen. Om te beginnnen is het veelgebruikte voorbeeld met de sinaasappels misleidend: je kunt namelijk geen enkel materieel voorwerp fijn genoeg opdelen om de paradox in de praktijk te demonstreren. In dit geval is dat de reden dat we van een paradox spreken: wiskundig gezien is er geen tegenstrijdigheid in het spel, maar de wiskunde leidt hier wel tot een tegen-intuïtief resultaat, dat ver van de dagdagelijkse ervaring verwijderd is. Ook lees ik op veel websites dat je twee identieke bollen krijgt, of twee bollen met hetzelfde volume. Dat klopt niet: je krijgt twee bollen met dezelfde straal, maar die zijn niet precies gelijk aan de oorspronkelijke bol: er is één spookachtige bol bij.

Het bewijs van de Banach-Tarski paradox berust namelijk op niet-meetbare delen: verzamelingen van punten die zo complex zijn, dat je er geen volume aan toe kunt kennen. Voor het bestaan van dit soort verzamelingen heb je het keuzeaxioma nodig, dat soms verworpen wordt precies omdat het dit soort tegen-intuïtieve resultaten oplevert. (Zolang ze onderling niet strijdig zijn, kun je axioma’s in de wiskunde vrijelijk “aan” of “uit” zetten. Omdat het keuzeaxioma ook veel handige gevolgen heeft, staat het standaard in de wiskunde “aan”.) Ook in de kansrekening, die gebaseerd is op maattheorie, zaait het keuzeaxioma geregeld verwarring: in situaties met oneindig veel uitkomsten, kun je aan sommige gebeurtenissen geen kans toekennen.

Het bestaan van niet-meetbare verzamelingen is een nodige, maar geen voldoende voorwaarde voor het optreden van de Banach-Tarski paradox. Je hebt ook een niet-commutatieve groep nodig. Het draaien en verschuiven van delen in één of twee dimensies is onafhankelijk van de volgorde waarin je de verplaatsingen doet (“commutatief” of “Abels”) en levert daar geen schijnbare verdubbelingen op. Pas in drie en meer dimensies is de corresponderende groep niet-commutatief, met Banach-Tarski paradox als resultaat. Er is nog een leuke variant van dit is resulaat: als je begint met een volle bol ter grote van een erwtje, kun je dat in eindig veel delen opdelen en de stukken, opnieuw enkel door draaien en schuiven, zo re-assembleren dat je een volle bol krijgt ter grootte van de zon. Dit handige systeem om meer ruimte te creëren zou niet misstaan in de Ikea-catalogus, maar opnieuw geldt dat het principe niet uitvoerbaar is met materiële voorwerpen, die maar eindig fijn kunnen worden opgedeeld.

Terug naar de sinaasappels, om het toch maar bij dit – enigszins misleidende – voorbeeld te houden. Als één sinaasappel er twee kunnen worden, dan kunnen die twee er ook vier worden, vier worden er acht, en zo verder. Het aantal gaat telkens maal twee: dat is een exponentiële toename van sinaasappels. Hiermee kun je onbeperkt fruitsap maken en je mag er zoveel van drinken als je wil, want er zitten toch geen calorieën in. ;-)

Banach-Tarksi paradox leidt tot exponentiele toename.

Door de Banach-Tarksi paradox herhaaldelijk toe te passen, krijg je een exponentiële toename van sinaasappels. (Aangepast van deze bron: http://dgleahy.com/p47.html)

Zo is het gemakkelijk om mirakels te doen: volgens de bijbel kon Christus Banach-Tarskiën met brood en wijn. Het kan ook met bananen, maar dan heet het de Bananach-Tarksi paradox. ;-) Naast sinaasappels is ook ander fruit populair, bijvoorbeeld Zorn’s lemon (een knipoog naar Zorn’s lemma, dat equivalent is met het keuzeaxioma). Vraag trouwens nooit aan een wiskundige om een anagram te maken van “Banach-Tarski”, want die zal zeker antwoorden: “Banach-Tarski Banach-Tarski”.

Een stel Deense wiskundigen (of wiskunde-studenten althans, voor zo ver ik kan achterhalen van de Universiteit van Kopenhagen) ging met het idee van de paradoxale vermenigvuldiging van de sinaasappels aan de haal, met onderstaand filmpje als resultaat: ellende met  niet-meetbare delen, een exponentiële groei van fruit en hier en daar een onderbroek. 100% nerd-alarm!

Tot slot nog een tip voor wie zich al eens verveeld en denkt “Ik wou dat ik twee hondjes was, dan kon ik samen spelen“. Mijn suggestie: één glas Banach-Tarski fruitsap bij het ontbijt en alles wordt dubbel zo leuk.