Tag Archief: tekenen

Zo weet je dat jouw fysica zwanger is…

Sylvia Wenmackers 18/10/2012 2 Reacties

Een zwangere natuurkundige. Een handige gids voor al wie een vrouwelijk specimen van het menstype ‘natuurkundige’ in huis heeft of in de dichte omgeving.

Zo weet je dat jouw fysica zwanger is:

Ze heeft haar grondtoestand verlaten en bevindt zich nu in een geëxciteerde toestand met lange levensduur.
Haar golffunctie is een superpositie.
Ze begint met een nieuw project rond babyuniversa of richt haar telescoop op de Orionnevel (kraamkamer voor nieuwe sterren).
Ze probeert een echografietoestel in elkaar te knutselen met spullen die ze in het berghok vindt.
Ze maakt zich zorgen over de amplitude van de undulaties rond haar navel.
Ze varieert de frequenties van de aangeboden muzikale stimuli om resonanties te voorkomen.
Ze heeft ’s ochtends een draaimoment.
Bij gelijkblijvende snelheid neemt haar impuls quasi-lineair toe in de tijd.
Ze weigert om infinitesimalen te verwaarlozen.*
Ze heeft meededogen met het uitdijende heelal.
Ze kijkt meewarig naar de Melkweg.
Ze koopt een nieuw wiel van Maxwell en een gyroscoop (jojo en tol voor haar kindje).
Ze is nog verstrooider dan anders!

Zwangere vrouwen zijn soms verstrooid of vergeetachtig.

Door een minder goede nachtrust zijn zwangere vrouwen soms verstrooid, onhandig of vergeetachtig. (Bronnen afbeeldingen: links en rechts.)

*: Geen wonder dus dat de calculus niet is uitgevonden door een zwangere vrouw (en maar liefst twee keer door een man).

Bij dit bericht wou ik graag een klein plaatje van iets dat zowel met zwangerschap als met fysica te maken heeft. In mijn ogen geldt “alles is fysica” en ik had gerust een echografietoestel als afbeelding kunnen kiezen, maar ik wist niet of de link met fysica daarbij voor iedereen even vanzelfsprekend zou zijn. Daarom zocht ik verder naar een afbeelding van een zwangere natuurkundige of een zwangere lerares fysica, maar zonder succes.

Uiteindelijk heb ik besloten zelf een tekening te maken, in te scannen en digitaal in te kleuren. In het kleine formaat van 150 bij 150 pixels bleek de volledig ingekleurde versie echter niet zo geslaagd. Daarom maakte ik een soberdere versie voor het miniatuur, zoals je bovenaan ziet. Hieronder zie je het grotere plaatje, met meer kleuren en meer details.

Omdat ik geen goede illustratie vond van een zwangere fysica voor bij dit bericht, maakte ik zelf een tekening.

Fysica

beroepsmisvorming, fysica, grappig, lijstjes, tekenen, vrouwen, zwangerschap

Hartvormige krommen: van cardioïde tot caustiek

Sylvia Wenmackers 13/02/2012 4 Reacties

Wiskundige kromme siert Valentijnskaartje: de cardioïde. Morgen is het 14 februari en omdat dit de eerste Valentijn is sinds de start van dit blog, zijn er nog tal van mogelijkheden om een nieuwe traditie te starten. Veranderen we deze pagina’s één dag naar roze? Voorzien we de achtergrond van hartjes? Of gooien we het toch over een andere boeg? Ja, ik denk dat we het bij een thematische blogpost zullen houden. Daarom is het thema vandaag: hartvormige krommen.

Als je naar “hartkromme” zoekt op Wikipedia, kom je bij de cardioïde uit, inclusief een mooie illustratie van de constructie: volg de beweging van één punt op een cirkel terwijl deze rond een andere, vaste cirkel met dezelfde straal draait. Dit is een rolkurve, net zoals de cycloïde, waarbij je ook de beweging volgt van een punt op een cirkel, maar dan terwijl deze over een rechte lijn rolt.

Als je morgen iets gaat drinken met je (toekomstige) lief, kijk elkaar dan niet enkel diep in de ogen, maar let ook eens op de lichtweerkaatsing in je glas of kopje. Als het licht goed zit, zie je hier een hartvormige caustiek. (Voor meer uitleg over (kata-)caustieken in het Nederlands kun je hier terecht. Daar wordt caustiek weliswaar als ‘kaustiek’ gespeld, maar ik verkies vandaag de letter ‘c’ van Cupido.)

Misschien komt jouw idee van een Valentijnshartje niet overeen met de vorm van een cardioïde. Geen nood: er zijn nog genoeg andere wiskundige krommen die op een hartje lijken. Hieronder zie je een overzicht met een aantal mogelijkheden. Linksboven zie je nogmaals de cardioïde, terwijl rechtsonder een hartje staat zoals dat op de meeste Valentijnskaarten staat afgebeeld.

Deze zes wiskundige krommen komen overeen met een hartsymbool.

Hiermee zijn zeker niet alle opties uitgeput: je kunt varianten maken van deze vergelijkingen en er zijn nog andere families van krommen die in zekere mate op een hart lijken. Als je de kromme rechtsonder een beetje uitrekt in de lengterichting krijg je bijvoorbeeld het symbool dat ook op speelkaarten wordt gebruikt (afbeelding). Als je echt wil uitpakken morgen, ga je natuurlijk voor 3D.

Afsluiten doen we met twee cartoons uit het archief van Brightly Wound:

Het hart als Klein-fles en als kwantumexcitatie. (Bron afbeeldingen: http://brightlywound.com/?comic=12 en http://brightlywound.com/?comic=13)

Aangezien echte geeks hun liefdesbrieven in LaTeX schrijven, heb ik voor hen nog deze tip: het commando “\heartsuit” geeft het symbool $\heartsuit$ .

Een fijne Valentijn gewenst!

Aanvulling 1 (14 februari 2012):

Deze Sci-ence-cartoon onderzoekt waar ons symbool voor hart vandaan komt.

Aanvulling 2:

Niet enkel wiskundeliefhebbers hebben recht op thematische Valentijnkaartjes. Fysici zoeken hun inspiratie bij Newton: “An object in love will remain in love forever“, terwijl filosofen kunnen rekenen op Descartes: “Amo ergo sum“. (Meer Valentijnswensen van de hand van Ben Kling vind je hier, hier en hier.)

Wiskunde

feest, romantiek, tekenen, wiskunde

Oplossing: De ingeschreven gnoe

Sylvia Wenmackers 06/07/2011 0 Reacties

Gnoe in een cirkel Vorige week vroeg ik me af welke tophoek de driehoek moet hebben waarmee we, à la Vi Hart, oneindig veel gnoes op een blad papier kunnen tekenen. Daarbij is de breedte van het eerste dier, G, een willekeurig getal tussen nul en één. Hier kom mijn oplossing.

Volgens de formule voor de straal (R) van een ingeschreven cirkel geldt:

$R = 1/2 \sqrt{\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{a+b+c}}$ ,

waarbij a, b en c de zijden van de driehoek zijn. Voor onze gnoes geldt dat de straal van de ingeschreven cirkel de helft is van de breedte van de grootste gnoe (de diameter): G/2.

Laat ons eerst de zijden van de driehoek uitdrukken in functie van de tophoek. (Dit kun je doen door de driehoek in twee te splitsen langs de bissectrice of deellijn van de tophoek: dan krijg je twee rechthoekige driehoeken waarvan je de zijden eenvoudig kunt berekenen in functie van de tophoek.) Laten we de twee gelijke zijden a en b noemen, dan vinden we $a = b = \frac{1}{\cos(\theta/2)}=\sec(\theta/2)$ . Voor de derde zijde, die we c noemen, vinden we $c = 2 \tan(\theta/2)$ . Figuur 1 vat de uitkomsten samen.

Figuur 1: Lengte van de zijden van de gelijkbenige driehoek.

Nu kunnen we de gegevens over de zijden invullen in bovenstaande formule:

$G/2 = 1/2 \sqrt{\frac{(2 \tan(\theta/2)^2(2\sec(\theta/2)-2\tan(\theta/2))}{2\sec(\theta/2)+2\tan(\theta/2)}}$ .

Vereenvoudigen geeft:

$G = 2 \sqrt{\frac{-1+\cos(\theta/2)}{-3+\cos(\theta)-4\sin(\theta/2)}}$ .

Deze vergelijking heeft meerdere oplossingen voor $\theta$ , maar wij zijn geïnteresseerd in de kleinste, positieve oplossing: dit is de waarde van de tophoek.

Laat ons dit nu toepassen op een voorbeeld. Stel, we willen dat de eerste gnoe twee derde van de breedte van het blad heeft. Dan vullen we G=2/3 in de laatste vergelijking in. Met behulp van een grafisch rekenmachine of een computerprogramma zoals Maple of Mathematica zijn de oplossingen snel gevonden. In dit geval blijkt de tophoek 60° te zijn. Dit is een speciaal geval, waarbij we te maken hebben met een gelijkzijdige driehoek. Daarbij zou de straal van de ingeschreven cirkel $R=a \frac{\sqrt{3}}{6}$ moeten zijn. Als we $a=\sec(60^{\circ}/2)=\frac{2}{\sqrt{3}}$ invullen, vinden we $R=\frac{2}{\sqrt{3}} \frac{\sqrt{3}}{6}=1/3$ en zo zijn we terug bij onze aanname: $G=2R=2/3$ . Dit is een controle die bevestigt dat we geen fouten hebben gemaakt in het opstellen van de formule.

Tweede voobeeld: in Figuur 2 hieronder is G iets kleiner dan een half. De tophoek is dan iets kleiner dan $2 \arccos[(2 \sqrt{2}/3]$ . De tweede cirkel kan gevonden worden als de ingeschreven cirkel in een gelijkbenige driehoek met hoogte 1-G in plaats van 1: de schaalfactor is dus 1-G.

Figuur 2: Onze driehoek geeft aanleiding tot een ingeschreven cirkel waarvan de diameter, G, net iets kleiner is dan 1/2. De tweede cirkel kan gevonden worden als de ingeschreven cirkel in een gelijkbenige driehoek met hoogte 1-G.

En dan nu het leukste deel: het tekenen van de gnoes. Het resultaat zie je in Figuur 3.

Figuur 3: Op Vi Hart geïnspireerde constructie van een oneindige rij gnoes.

Puzzelvraag

kunst, oneindig, raadsel, tekenen, wiskunde

Puzzelvraag: De ingeschreven gnoe

Sylvia Wenmackers 29/06/2011 1 Reactie

Gnoe in een cirkel Onlangs schreef ik over reeksen die naar één convergeren en hoe Vi Hart deze convergente sommen gebruikt om ‘oneindig veel’ olifanten of kamelen op een blad papier te tekenen. Stel dat we nog een andere rij kuddedieren willen tekenen, gnoes bijvoorbeeld, zodat ze precies op het blad passen. Hoe kunnen we dit doen voor eender welke grootte van het eerste dier? Hoewel Vi Hart in haar filmpje suggereert dat het saai zou zijn om het antwoord uit te rekenen, vind ik het juist leuk om me dit soort vragen te stellen en ze ook op te lossen – gewoon voor de sport. Op zoek naar het antwoord kun je trouwens zoveel tekeningetjes maken als je maar wilt!

Probeer gerust eerst om de vraag zelf op te lossen. Ik zal mijn resultaat hier volgende week posten. Om vergelijken gemakkelijker te maken, verklap ik nu alvast welke aannames ik gemaakt heb. De breedte van het eerste dier noem ik G; G is dus eender welk getal tussen nul en één. Als je de methode van Vi herbekijkt, zie je dat G ook de diameter is van een ingeschreven cirkel in een driehoek. Voor de eenvoud gebruik ik een gelijkbenige driehoek met als hoogte één (breedte van het cursusblad). Ons doel is nu om de tophoek $\theta$ van de driehoek te bepalen. Figuur 1 geeft aan hoe de gelijkbenige driehoek op het blad wordt georiënteerd.

Figuur 1: Gelijkbenige driehoek met ingeschreven cirkel. (Klik op de figuur voor groter.)

Op zoek naar een hint? Spieken kan na de vouw.

(meer…)

Puzzelvraag

kunst, oneindig, raadsel, tekenen, wiskunde

Minuscule olifant

Sylvia Wenmackers 20/06/2011 3 Reacties

Olifanten zijn kuddedieren Deze post gaat over een kudde minuscule olifanten en een karavaan kleine kamelen. Maar eerst een rekensom. Stel je begint met een half, telt daar een kwart bij op, dan een achtste en zo verder. Wiskundig kun je dit als volgt noteren: $1/2 + 1/4 + 1/8 + \ldots$ , waarbij die drie puntjes betekenen dat je oneindig veel termen optelt. Zo’n oneindige som noemen we een reeks. Wat heb je eraan te weten dat deze som precies gelijk is aan één?

Wel, er zijn (minstens) drie totaal verschillende toepassingen van deze reeks, $1/2 + 1/4 + 1/8 + \ldots = 1$ .

Toepassing 1. Je kunt deze som gebruiken om oneindig veel, steeds kleinere olifanten te tekenen op een gewoon cursusblad. Volgens de som mag de eerste olifant half zo breed zijn als het blad, de tweede een kwart van de breedte, de derde een achtste en zo verder. (Natuurlijk kun je nooit oneindig veel tekeningetjes maken: je hebt maar eindig veel tijd en de punt van je potlood heeft een eindige breedte. Aan de andere kant zijn onze ogen niet in staat om oneindig scherp te zien, en zo lijkt het toch net echt.)

Vi Hart doet het ons voor in onderstaand YouTube-filmpje. Ze noemt zichzelf een recreatief mathemusicus en ze babbelt héél snel.

(meer…)

Kunst & Wetenschap

kunst, oneindig, tekenen, wiskunde